第三章 弹性杆横截面上的正应力分析 ——材料力学教案 学 时 6学时  基 本 内 容 应力、应变及其相互关系；杆件横截面上的正应力分析，正应力公式的应用（拉压杆横截面上的正应力，平面弯曲正应力，斜弯曲正应力）。  教 学 目 的 深入理解应力、应变的概念；熟练掌握虎克定律。 理解从变形协调、物性与静力学三方面分析由内力求应力的材料力学基本方法。 掌握横截面上正应力的一般表达式。 熟练掌握拉压杆横截面上正应力、平面弯曲正应力、斜弯曲正应力的计算与分布规律。 深入理解中性层和中性轴的概念。  重 点 和 难 点 重点：1）应力与应变的概念；虎克定律。 2）正应力的一般表达式。 3）、的分布规律与计算。 4）中性层与中性轴的概念。 难点：1）平面假设与变形协调方程。 2）正应力一般表达式的应用。  教 学 方法 利用简单模型教具演示平面假设以建立变形协调方程。 讲清正应力一般表达式中各代数量符号按坐标系确定，或根据由、、的实际方向在应力点所产生的的拉压性质确定。 应安排习题讨论课。  作业 1，7，9，11，15，16   弹性杆横截面上的正应力分析 应用平衡原理可以确定静定问题中杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是杆件横截面上连续分布内力的简化结果。仅仅确定了内力分量并不能确定横截面上各点内力的大小。这是因为,在一般情形下分布内力在各点的数值是不相等的，因此，只有当内力在横截面上的分布规律确定之后，才能由内力分量确定横截面上内力在各点的数值。 内力是不可见的，但变形却是可见的，而且二者之间通过材料的物性关系相联系。因此，为了确定内力的分布规律，必须分析和研究杆件的变形，必须研究材料受力与变形之间的关系，即必须涉及变形协调与物性关系两个重要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规律的基本方法。 §3-1 应力、应变及其关系 考察图3-1中杆件横截面上的微小面积ΔA。假设分布内力在这一面积上的合力为ΔFR则称ΔFR/ΔA为这一微小面积上的平均应力。 当所取的面积趋于无穷小时，上述平均应力趋于一极限值。这一极限值称为横截面上一点处的应力)。这表明：应力实际上是分布内力在截面上某一点处的强弱程度，简称集度。 工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。 1．正应力与切应力 若将ΔFR分解为x、y、z三个方向上的分量ΔFRx、ΔFQy和ΔFQz，则根据应力定义，有  （3-1）  ，  （3-2） 式中，正应力σ垂直于横截面，称为正应力；τ位于横截面内，称为切应力。 应力单位为Pa，工程上常用Mpa。 2．正应变与切应变 若围绕受力弹性体中的任意点截取一微元体(通常为六面体)，一般情形下微元体的各个面上均有应力作用。下面考察两种最简单的情形，分别如图3-2a、b所示。 不难发现，在正应力作用下，微元沿着正应力方向和垂直于正应力方向将产生伸长和缩短，这种变形称为线变形。描写弹性体在各点处线变形程度的量，称为正应变或线应变，用表示：  （3-3） 式中，u为微元受力后相距dx的两截面沿正应力方向的相对位移。的下标表示应变方向。约定：拉应变为正；压应变为负。 在切应力作用下，微元将发生剪切变形，剪切变形程度用微元直角的改变量度量。微元直角改变量称为切应变，用表示。在图3-2b中, 。 的单位为rad。 3.线弹性材料的物性关系 对于工程中常用材料制成的杆件，实验结果表明：若在弹性范围内加载(应力小于某一极限值)，对于只承受单方向正应力或承受切应力的微元，正应力与正应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系：  （3-4）  （3-5） E和G与材料有关的常数：分别为弹性模量，和切变模量。式（3-4）和(3-5)即为描述线弹性材料物性关系的方程，均可称为胡克定律。所谓线弹性材料是指弹性范围内加载时应力-应变满足线性关系的材料。 §3-2杆件横截面上的正应力分析 考察杆件横截面上只有轴力FN、弯矩My和Mz作用的情形（为导出横截面上的正应力一般表达式，FN、My和Mz的指向与相应坐标轴正向相同），如图3-3a所示。对应于这些内力分量，杆件横截面上将有什么应力？这种应力在截面上又是怎样分布的？ 不难看出，只有垂直于横截面的分布内力，经过简化才能得到上述内力分量。这表明此时横截面上只有正应力而没有切应力，并且正应力不会是均匀分布的。 平面假设与变形谐调方程 在FNx、My、Mz的共同作用下，杆件上dx微段的两截面将发生相对运动，产生位移。假定杆横截面位移后依然保持平面。这一假定称为平面假定。 设微段一侧截面不动，根据平面假定，另一侧截面将发生三种位移：在FNx作用下沿x方向平行移动；在My和Mz作用下分别绕y、z轴转动。如图3-3b所示。 三种位移的结果，横截面上任意点(y、z)的位移可以表示为  （3-6） 式中第1项由整个截面沿x方向的位移所引起；第2、3两项分别由绕z轴和y铀的转动所引起，如图3-4a和b所示。其中，和为dz微段两截面分别绕y轴和z轴相对转过的角度。 方程(3-6)表明:在FNx、My、Mz作用下,各点的位移不能是任意的，只能从一个平面协调地移动到另一平面，故上述方程又称为变形协调方程。 应变分布与应力分布 对于直杆，微段上各处的纵向x长度在变形前均为dx，根据式（3－3）以及，由方程（3-6）得到横截面上任意点（x，y，z）的正应变为  （3-7） (a) (b) 其中， ——轴向荷载引起的应变； ——梁轴线在xz坐标平面内弯曲时的曲率半径； ——梁轴线在xy坐标平面内弯曲时的曲率半径； 对于确定的截面（x坐标确定），、、均为待定常数。 应用物理关系，根据弹性范围内的胡克定律，由式（3-4）、（3-7），得到横截面上任意点（y、z）处的正应力为  （3-8） 上式表明：在轴力和弯矩作用下，杆件横截面上的正应力对于y、z都是线性分布，即在空间形成一应力平面。 静力学平衡方程的应用——待定常数的确定 作用在微元面积dA上的内力dA(图3-5a)及其对y、z轴之矩(dA)z、(dA)y分别在整个横截面上积分，便组成三个内力分量、、（图3-5b）。即  (3-9)  (3-10)  (3-11) 将方程（3-8）代入上述各式，经整理后得到  （3-12）  （3-13）  （3-14） 其中， ，  ，  分别为横截面对y、z轴的静矩(即截面一次矩)；横截面面积；横截面对于Y、z轴的惯性矩（即截面二次轴矩）和惯性积。对于给定的截面，这些量均为已知量。于是由式(3-12)、(3-13)和(3-14)联立，即可确定式(3一8)中的待定常数、和。 正应力的一般表达式 不难看出，求解上述联立方程过于繁琐。但是，如果选择合适的坐标原点和坐标轴，则式(3-15)中的某些量将取零值。 注意到，在此之前，对于坐标系，只规定了坐标原点设在截面形心、x轴与杆件的轴线重合。根据本书附录A中关于截面几何性质的分析，当坐标轴通过截面形心时，截面对这些坐标轴的静矩为零。于是式(3-15)中的。若再将y、z取为形心主轴，则式(3-15)中的惯性积，且、皆为截面的形心主惯性矩。 在坐标原点与坐标轴这种特定的选择下，由式(3-12)~(3-14)直接得到  （3-16）  （3-17）  （3-18） 将它们代人方程(3-8)，最后得到  （3-19） 这就是计算在FNx、My、Mz作用下，横截面上任意点处正应力的一般表达式。式中，FNx、My、Mz可由截面法求得；A为横截面面积；、分别为横截面对其形心主轴的惯性矩。 除了正应力公式，上述分析还得出关于计算杆件轴向变形和位移的公式(3-16)与和曲率和分别表示在xz和xy坐标平面内杆件轴线的弯曲变形程度。 上述各式中EA称为杆的拉压刚度；和分别称为杆在xz和xy两个平面内的弯曲刚度。 §3-3正应力公式的应用 实验结果表明,对于没有剪力作用的情形，正应力公式计算出的正应力值与实验值吻合得很好。当横截面上除了轴力和弯矩外，尚有剪力(FQy或FQz)存在时，横截面上除正应力外，还将有切应力存在，由此引起的切应变将使横截面在变形后不再保持平面。因此，由平面假定导出的正应力表达式(3-19)算出的应力值将与实验值有一定的误差。但是，对于细长的实心截面杆件，实验结果表明，这种误差是很小的，因而通常可以忽略不计。 因此，对于细长实心截面杆件，应力表达式(3-19)不仅可以用于无剪力作用情形，而且也可以用于有剪力存在的情形，这样便大大拓宽了式(3-19)的适用范围。 轴向载荷作用下杆件横截面上的正应力 当杆件承受沿轴线方向的荷载作用时，称为轴向拉压，其横截面上只有轴力FNx一个内力分量。于是，由式（3-19），得到  （3-20） 这时横截面上的应力分布如图（3-6）所示。 2. 平面弯曲正应力 在内力分量My、FQz或Mz、FQy作用下，梁的轴线将在一个主轴平面（弯矩作用面，或者荷载作用面）内弯曲成一条平面曲线。因此，梁的这种弯曲又称为平面弯曲。 这种情况下，式（3-19）将变为  （3-21） 或  （3-22） 在两种平面弯曲情形下，横截面上的正应力分布如图3-7a和b所示。 不难看出，在两种情形下的最大正应力分别为  （3-23）  （3-24） 其中， ，  （3-25） 分别称为横截面的对于z轴和y轴的弯曲截面系数。表3一1中列出了几种常见截面的弯曲截面系数。关于轧制的型钢的截面二次轴矩和弯曲截面系数等几何量可由本书附录B型钢表中查得。 3.斜弯曲的正应力 当杆件的两个互相垂直的主轴平面内都有荷载作用(无纵向荷载)时，杆将在两个方向同时发生弯曲，这种弯曲称为斜弯曲或双向弯曲。这时梁的横截面上将同时作用有My和Mz(可能还会有FQy和FQz)。于是，由式(3-19)，这种情形下横截面上任意一点的正应力为  （3-26） 这时的正应力分布如图3-8所示。最大正应力作用点的位置需视截面的形状而定。 4.中性轴的概念及其位置 在平面弯曲和斜弯曲情形下，横截面与应力平面的交线上各点的正应力值均为零，这条交线称为中性轴。变形时，横截面将绕中性轴转动。所有截面中性轴组成的平面称为中性面。对于平面弯曲，截面的一对形心主轴之一必为某一平面弯曲的中性轴，如图3-7所示。  （3-27） 读者不难证明，无论是平面弯曲还是斜弯曲，中性轴都通过截面形心。 5.偏心荷载概念 对于横截面上同时存在FNx、My、Mz三个内力分量的情形(图3-9)，任意点的正应力由式(3-19)直接计算。这时横截面上可能存在中性轴，也可能不存在中性轴，主要取决于横截面上是否存在应力异号的区域，而这要视FNx、My、Mz的大小和方向而定。但是，只要FNx≠0。,即使横截面上存在中性轴，也一定不通过截面形心。当杆件承受不通过形心的纵向荷载时即属此例。这种荷载称为偏心荷载。 上述分析对于横截面上同时存在FNx以及My、Mz之一的情形也是成立的。对于以脆性材料制成的杆件(例如混凝土柱)，承受偏心压缩时，由于其抗压性能优于抗拉性能(参见第7章§7-1)，因而通常不希望在横截面上出现拉应力。为此，对偏心压缩荷载(图3-9a、b所示分别为其所受荷载与内力分量)的加力点需有一定的限制。 §3-4应用举例 例题3-1开口链环由直径d=12mm的圆钢弯制而成，其形状如图3-10a所示。链环的受力及其他尺寸均示于图中。试求： 1.链环直段部分横截面上的最大拉应力和最大压应力； 2.中性轴与截面形心之间的距离。 解：1. 计算直段部分横截面上的最大拉、压应力 将链环从直段的某一横截面处截开，根据平衡，截面上将作用有内力分量FNx和Mz(图3-10b)。由平衡方程和，得  FN x＝800N； Mz＝800×15×10－3＝12（N.m） 由轴力FNx引起的正应力在截面上均匀分布(图3-10c)，其值为  由弯矩Mz引起的正应力分布如图3-10d所示，最大拉、压应力分别发生在 A、B两点，其绝对值为  将上述两个内力分量引起的应力分布叠加，便得到由荷载引起的链环直段横截面上的正应力分布，如图3-10e所示。 从图中可以看出，横截面上的A、B二处分别承受最大拉应力和最大压应力，其值分别为   计算中性轴到形心之间的距离 令FNx和Mz引起的正应力之和为零，即  其中，y0为中性轴到形心的距离（图3-11e）。于是，由上式解得 =0.6mm 本题解题过程：先计算杆件的内力，然后针对各个基本变形计算杆件对应的应力，最后利用叠加原理计算某点的应力值。利用中性轴上正应力为零，以确定中性轴的位置。 例题3-2 图3-11a所示矩形截面梁,截面宽度b=90mm，高度h=180mmo梁在两个互相垂直的平面内分别受有水平力FP1和铅垂力FP2。若已知FP1=800N，FP2=1650N，l=1m，试求梁内的最大弯曲正应力并指出其作用位置。 解：1. 为求梁内的最大弯曲正应力，必须分析FP1和FP2所产生的弯矩在何处取最大值。不难看出，两个力均在固定端处产生最大弯矩，其作用方向如图3-11b所示。其中My max由FP1引起，Mz max由Fp2引起，计算最大弯矩   2. 计算最大拉、压应力 对于矩形截面，My max作用下最大拉应力和最大压应力分别发生在AD边和CB边；在Mz max作用下，最大拉应力和最大压应力分别发生在AC边和BD边。在图3-11b中，最大拉应力和最大压应力作用点分别用"+"和"-"表示。于是 点A：  点B：  对于等截面弯曲梁最大弯曲正应力一般发生在弯矩最大的截面上，当两个方向的最大弯矩都同时出现在同一个截面时，应用叠加法计算正应力时，必须是针对同一个点计算。 例题3-2 矩形截面木柱承受偏心荷载，如图3-12a所示。试求： 确定任意横截面上A、B、D、E四点的正应力； 确定截面上中性轴的位置 画出横截面上的正应力分布图。 解：首先将外力Fp向截面形心和形心主轴简化。然后再确定ABDE截面上的内力分量，得  My=[4.80×103×(60-35)×10-3]Nm=120Nm Mz=(4.80×103×40×10-3)Nm=192Nm 内力分量的实际方向均示于图3-12b中。 为计算应力，横截面面积和弯曲截面系数分别为： A=(120×10-3×80×10-3)m2=9.6×10-3m2 Wy=(80×10-3×1202×10-6)/6=1.92×10-4m3 Wz=(120×10-3×802×10-6)/6=1.28×10-4m3 计算A、B、D、E四点的应力 根据FNz、My、、 Mz的实际方向，A、B、D、E四点的应力分别为 点A：  点B：  点D：  点E：  计算上述诸式中各项应力时，由于已经根据FNx、My、Mz的实际方向确定了它们的拉、压性质，并以"+"或"-"加以反映，因此不必再考虑FNx、My、Mz的正负，即 压缩正应力为  弯矩My 引起的最大弯曲正应力为  弯矩Mz 引起的最大弯曲正应力为  利用上面的结果，对A、B、C、D四点的正应力叠加计算分别为 σx(A)= -(0.5+0.625+1.5)×106 = -2.625×106Pa=-2.625Mpa σx(B)= (-0.5+0.625-1.5)×106 = -1.375×106Pa = -1.375Mpa σx(D)= (-0.5-0.625+1.5)×106 = 0.375×106Pa = 0.375MPa σx(E)= (-0.5+0.625+1.5)×106 =1.625×106Pa = 1.625Mpa 2. 横截面上的正应力分布图与中性轴位置 因为横截面上正应力为平面分布，故截面ABDE上的正应力分布如图3-12c所示。 不难看出，在点A和D之间以及B和点E之间的正应力由负变正，其间必有一点上的正应力为零，分别用点H和G表示，两点的连线即为截面上的中性轴。于是，从应力分布图，得到如下关系：  ,  (b) 式中，EG=80mm –BG，HD=80mm -AH。最后由式(a)、(b)解出： BG=36.7mm， AH=70.0mm 从而确定了中性轴的位置。 小结 1、应力与应变是材料力学中的基本概念 2、由内力求应力的基本方法是基于平面假设的变形协调、由虎克定律表达的物理关系以及内力与应力间的静力学关系三方面分析，缺一不可。 3、应用正应力一般表示式  时，应注意： FNx为轴力，Mz和My为作用在形心主轴平面内的弯矩。 在弹性范围内加载（仅承受轴力FNx的拉压杆除外）。 坐标系原点与截面形心重合，x轴与杆件轴线重合，y、z为截面的形心主轴。 （4）轴力矢、弯矩矩矢指向与相应坐标轴正向相同时为正，否则为负，y、z为截面内所求应力点的坐标。其中三项的正负号也可按在所求应力点产生的正应力的拉压性质确定。 4、横截面上拉压正应力均布，弯曲正应力与斜弯曲正应力均呈线性分布，中性轴上各点正应力为零，最大拉应力与最大压应力分别在离中性轴最远的两侧各点上。