弹性杆件位移分析
————材料力学教案
学
时
4学时
基
本
内
容
变形与位移的相依关系
奇异函数及其在确定梁位移中的应用
叠加法
教
学
目
的
1.掌握弹性杆的变形,位移的概念和基本公式。
2.了解奇异函数及其在确定梁位移中的应用。
3.掌握工程计算中的叠加法。
重
点
和
难
点
重点：1）弹性杆件变形与位移和计算。
2）工程计算中的叠加法。
难点：间断性分布荷载和组合受力时的叠加法。
教
学
方法
叠加法应用于弹性支撑的情形——逐段刚化法。
讲授过程中在适当地方安排课堂讨论。
作业
第六章 弹性杆件位移分析
§6-1 变形与位移的相依关系
1. 微段变形——应力分析中得到的结论
根据第3章和第4章的分析。得到与、、和对应的杆件微段的变形分别由图6-1a、b、c中的表达式确定。
（6-1）
式6-1分别为微段的各种基本变形与对应的内力之间的关系。
2. 总体变形与横截面位移
在小变形情形下，与、、和对应的变形和位移都是相互独立的，因而可以单独加以分析和计算。
1）拉压杆的轴向变形与轴向位移
图6-2所示承受轴向荷载作用但无约束的杆件，采用积分和叠加方法，由式(6-1)得到对应于图6-2a、b、c所示的三种情形下杆件两端截面的相对位移，亦即杆件的总轴向变形的计算示为
（6-2）
上述无约束杆件，在空间的位置不确定，因而无法确定杆件横截面的位移。只有确定了杆件在空间的位置，才能确定杆件横截面的位移。
2）梁的弹性曲线与梁的挠度和转角
梁在弯矩(My或Mz)的作用下发生弯曲变形,为叙述简便起见,以下讨论只有一个方向弯矩作用的情形,并略去下标,只用M表示弯矩,所得到的目结果适用于My或Mz单独作用的情形。
图6-3a所示的梁的变形，若在弹性范围内加载，梁的曲线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线，如图6-3b所示。这一连续光滑曲线称为弹性曲线，或挠度曲线，简称弹性线或挠曲线。
梁在弯曲变形后,其横截面的位移包括三部分
挠度w一一横截面形心处的铅垂位移；
转角θ一一横截面相对于变形前的位置绕中性轴转过的角度；
水平位移u一一横截面形心沿水平方向的位移。
在小变形情形下，上述位移中u与w相比为高阶小量，故通常不予考虑。
图6-4a、b、c所示三种承受弯曲的梁，在这三种情形下，AB段各横截面都受有相同的弯矩(M=a)作用。
根据式(6-1)，在上述三种情形下,AB段梁的挠曲线具有相同的形状，即曲率(1/ρ)处处对应相等。但是，由于约束不同，梁的位移则不完全相同。对于图6-4a所示的无约束梁，因为其在空间的位置不确定，故无从确定其位移。
小挠度情形下 << 0 ， << 0
应用式曲线的曲率公式：
（6-3）
以及
（6-4）
在小变形情况下，上示变为
（6-5）
即为确定梁的挠度和转角的微分方程,称为小挠度微分方程。式中正负号与坐标取向有关，如图6-5所示，图6-5a取正号，图6-5b取负号。
若采用图6-5b所示坐标系统，则上式为
（6-6）
需要指出的是剪力对梁的位移有影响，但对于细长梁，这种影响很小，可以忽略不计。
3）圆轴扭转变形与相对扭转角
对于传递功率的圆轴。大多数没有限制其绕轴线转动的固定约束，故均采用“相对位移”概念，即一截面相对于另一截面绕轴线转过的角度，称为相对扭转角。
应用（6-1）第二式，通过积分，可得图6-6a、b、c的圆轴相对扭转角表达式：
（6-7）
（6-8）
（6-9）
对于承受轴向荷载的杆和承受扭转的圆轴，即可应用式(6-1)中第二式和式(6-14)~(6-16)分别计算变形或位移。对于梁,则需建立弯矩方M=M(z)才能对式(6-13)积分,并需根据约束条件确定积分常数。
§6-2奇异函数及其在确定
梁位移中的应用
在第2章的讨论中，曾介绍了从平衡微分方程dFQ/dx=q(z)和M/dx=FQ（dx），导出FQ（x）、M(x)的表达式，这对于连续分布荷载作用情形是很方便的。对于有集中力、集中力偶以及间断性分布荷载作用的情形，需分段建立剪力方程和弯矩方程，再将这些分段的弯矩方程代人式（6-6），积分后将出现2n个积分常数，其中n为分段数。这显然是不方便的。本章将引人奇异函数可以避免上述方法带来的麻烦。
1. 奇异函数
定义对于n≥0 (n为正整数)的情形，
（6-10）
式中,<z-a>"称为奇异函数(singular function)。当n=0,1,2时,分别称为0阶、1阶和2阶奇异函数的图形奇异函数，余此类推。
图6-7a、b、c中分别给出了。0阶,1阶和2阶奇异函数的图形。
根据奇异函数定义，由式(6-10)，不难得到奇异函数的微分和积分规则：
(6-11)
(6-12)
2.弯矩方程的奇异函数形式
集中力偶作用情况
当有集中力偶作用时，根据图6一8a所示受力图，由平衡可求得x<ai和x≥ai横截面上的弯矩方程为
（6-13）
式中，下标“i”表示梁上作用的集中力偶M的个数；a为第i个M作用点的x坐标。
集中力作用的情形
根据图6-8b所示的受力图，由平衡可求得x<b和x≥bj横截面上的弯矩，都可以由下式表示：
（6-14）
式中，bj为第j个集中力加力点的x坐标。
连续分布荷载作用的情形
根据平衡，由图6-8c中所示的受力图，得到连续均匀分布荷载作用下任意横截面上的弯矩表达式为
（6-15）
式中，ck为第k个均布荷载起点的x坐标。
叠加法的应用
当梁上作用有若干个Mi、FPj、qk时，任意横截面上的弯矩表达式，可由上述三式(6-13)~(6-15)叠加而得，即
（6-16）
需要指出的是，式(6-13)~(6-16)中的Mi、FPj、qk均与图6－8中所示相同者为正；反之为负。连续分布载荷qk须从Ck一直分布至梁的右端。
3. 奇异函数在确定梁的挠度和转角中的应用
将弯矩方程(6-13)~(6-16)之一代人小挠度微分方程(6-6)，积分一次和二次并利用约束条件确定积分常数后，即可求得梁的转角和挠度方程。
例6-1 图6-9所示承受集中荷载的简支梁，令其弯曲刚度为EI。应用奇异函数，确定梁的挠度和转角方程。
解 在图示坐标系中，为确定梁自0~l范围内各截面上的弯矩，需要考虑左端A处的约束力3Fp/4和荷载Fp。于是，有
（1）弯矩方程（只需考虑左端约束力 3FP/4 和载荷FP）
（2）挠度微分方程
（3）微分方程的积分
（4）利用约束条件确定积分常数
求得的挠度代入约束条件，可解得
（5）挠度与转角方程
则B点处的挠度和A、C点处的转角为
§6-3 工程计算中的叠加法
在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型荷载作用下的挠度和转角表达式一一列出，称为挠度表(参见本章表6一1)。
基于梁变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是梁变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。
1. 第一类叠加法——应用于多个载荷作用的情况
当梁上受有几种不同的荷载作用时，都可以将其分解为几种荷载单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度或转角，再将其叠加后，便得到几种荷载同时作用的结果。
例6-2 图6-10a中的简支梁，承受集中力ql、集中力偶ql2和均布荷载q同时作用。求梁中点的挠度和右端支座处的转角。
解 首先，将其分解为三种简单荷载单独作用的情形，并画出挠度曲线的大致形状，分别如图6-10b、c、d所示。其次，应用表6-1中所列结果，求得上述三种情形下，梁中点的挠度wci(i=1、2、3)和右端支座处的转角θBi分别为
, ,
, ,
则梁中点的总挠度wc和右端支座处的总转角θB分别为
2. 第二类叠加法——间断性分布载荷作用的情况
对于间断性分布荷载作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布荷载，变为梁全长上连续分布荷载，然后在原来没有分布荷载的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布荷载，最后应用叠加法。
例6-3 图6一11a所示悬臂梁，利用挠度表中关于梁全长承受均布荷载的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角。
解 先将均布荷载延长至梁的全长，为了不改变原来荷载作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布荷载，如图6-11b所示。
再将处理后的梁分解为图6-11c和d两种情形，并分别画出它们的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中关于承受均布荷载悬臂梁的计算结果， 上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为
上式结果叠加后，得到
3. 确定组合受力时位移的叠加法
斜弯曲时梁的挠度
例6-4 图6一12中所示的承受斜弯曲的悬臂梁，为求自由端的挠度。
解 在小变形和线弹性的条件下，斜弯曲可以分解为两个平面弯曲的叠加，即将作用线与主轴不一致的荷载Fp沿两个形心主轴方向(y与z)分解为Fpy和Fpz，二者分别在y和z方向产生挠度wy和wz。将它们叠加后即得总挠度w。但是，这种叠加有别于前二小节所介绍的代数值叠加，而是求二者的矢量和。于是
,
总挠度值和总矢量的方向α为
对于一般横截面Iz≠Iy的情形，α≠θ。这表明：斜弯曲时总挠度的方向与加载方向不一致。这是斜弯曲与平面弯曲又一重要区别。
小结
弹性杆件的变形与位移的概念和计算
弹性杆件的位移指的是横截面位置的改变，它是变形叠加的结果，且与约束有关。
拉压杆的轴向伸缩
扭转轴的相对扭转角
弯曲梁的小挠度微分方程 ，
共同特点是本质上是个积分问题，积分限或积分常数由边界条件和连续条件确定；都与内力成正比，与相应的刚度成反比。
奇异函数用于确定梁的挠度和转角时具有简单方便的优点，不过，许多工程设计手册上都列有简单载荷下梁的挠度表可供查阅。
工程上的叠加法要求首先将梁上的载荷分解为挠度表上列入的几种简单载荷，并计算出简单载荷单独作用下梁的变形，然后叠加即得复杂载荷作用下梁的变形。
