压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计 ————材料力学教案 学 时 6学时  基 本 内 容 弹性体平衡构形稳定性的基本概念 确定分叉荷载的平衡方法：欧拉压杆、其他刚性支承压杆 柔度、大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆 临界压力总图；压杆失效的不同类型与稳定性设计准则  教 学 目 的 掌握稳定性的基本概念与用平衡方法确定的压杆分叉荷载。 掌握柔度的概念与大、中、小柔度杆的区分、临界应力的计算。 了解压杆失效和稳定性设计准则。  重 点 和 难 点 重点：1）稳定性的基本概念。 2）欧拉杆与其他刚性支承压杆的临界应力计算式。 3）柔度的概念以及常用结构钢的的计算。 难点：1）不同形状截面压杆的的确定。 2）常用结构钢的的计算。  教 学 方法  可用简单模型教具表演在临界压力下的压杆的平衡构形和提高承载能力的措施。  作业    第九章 压杆的弹性稳定分析与稳定性设计 刚体的平衡位形和弹性体的平衡构形都存在稳定与不稳定问题。本章首先介绍关于弹性体平衡构形稳定性的基本概念。 然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程以及端部约束条件，确定不同刚性支承条件下弹性压杆的临界荷载。 最后介绍两种工程中常用的压杆稳定设计方法。 §9-1弹性体平衡构形稳定性的基本概念 1. 弹性稳定性的静力学判别准则 结构构件或者机器零件在荷载作用下，在某一位置保持平衡，这一平衡位置称为平衡构形。例如弹性压杆具有直线平衡构形和弯曲平衡构形两种形式。 当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离初始平衡构形；外界扰动除去后，构件仍能回复到初始平衡构形，则称初始平衡构形是稳定的；当载荷大于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离初始平衡构形；外界扰动除去后，构件不能回复到初始平衡构形，则称初始平衡构形是不稳定的。此即判别弹性稳定性的静力学准则。 不稳定的平衡构形在任意微小的外界挠动下，都要转变为其它平衡构形或失稳，这种过程称为屈曲或失稳。通常，屈曲将导致构件失效——称屈曲失效。由于这种失效具有突发性，常给工程带来灾难性后果。 2. 弹性压杆的平衡构形及分叉屈曲 轴向受压的理想细长直杆，当轴向压力小于一定数值时，压杆只有一种稳定的直线平衡构形；当轴向压力大于一定数值时，压杆存在直线或者屈曲的两种可能的平衡构形，而且直线平衡构形在微小侧向干扰力作用下立即会转变成不稳定的屈曲平衡构形，这种现象称为平衡构形分叉。稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临界点，从临界点开始会出现平衡构形分叉现象，所以又称为分叉点。临界点对应的荷载称为临界载荷或者分叉荷载，用表示。 §9-2确定分叉载荷的平衡方法 1. 两端铰支的压杆 考察如图9-2a所示受压的理想直杆，忽略剪切变形影响及杆的轴向变形。图9-2b直线平衡构形无限接近的微弯曲构形的局部（图9-2c），得到任意截面x上的弯矩。  又由小挠度微分方程  得到  (9-1)  (9-2) 微分方程（9-1）示的解为  （9-3） 利用边界条件，解得 0 ? A + 1 ? B = 0 sinkl ? A +coskl ? B=0 其中不全为0，则系数行列式等于零，即  由此解得  (9-4) 于是有 （n=1,2,……） 从中解出k后代入（9-2），便可以得到分叉荷载的表达式 ； (9-5) 当n=1时，得到有实际意义的分叉载荷最小值即最小临界荷载： ， (9-6) 当端部各个方向的约束相同时，上述二式中I为杆横截面的最小形心主惯性矩。 由（9-3）式得无限接近直线的屈曲位移函数为  （9-7） 2. 其他刚性支承条件下的压杆 不同刚性支承条件下，由静力学平衡方法得到的压杆的平衡微分方程和边界条件都可能各不相同，确定分叉载荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法却是相同的。对于细长的杆件，这些公式可以写成通用的形式 对于细长杆，这些公式可以写成通用形式：  （9-8） 这一表达式称为欧拉公式。其中称为有效长度；为反映不同支承影响的系数，称为长度系数。 一端自由，一端固定时 μ＝2.0 一端铰支，一端固定 μ＝0.7 两端固定 μ＝0.5 两端铰支 μ＝1.0 §9-3柔度、临界应力及非弹性屈曲 1. 细长压杆的临界应力 压杆处于临界平衡状态时，其横截面上的平均应力，用表示。将式（9-8）两端同除压杆横截面积，便得  式中仅与截面的形状及尺寸有关，若用表示表示，则有  （9-9） 称为截面的惯性半径，单位常用mm。将式（9-9）代入上式，并令，则得细长压杆的临界应力欧拉公式为  （9-10） 式中综合反映了压杆的长度、约束形式及截面几何性质对临界应力的影响，称为柔度系数或长细比。 2. 欧拉公式的适用范围 挠曲线近似微分方程仅适用于杆内应力不超过比例极限的情况，而欧拉公式是根据其建立的，因此，欧拉公式适用范围为  由上式可得，，若令  （9-11） 则有当的压杆，压杆将发生弹性屈曲。这时，杆在直线平衡构形下横截面上的正应力不超过材料的比例极限，这类压杆称为大柔度杆或细长杆。 在工程实际中许多压杆的柔度，其临界应力.柔度λ小于λP，但大于或等于某一数值λS时，这类压杆称为中柔度杆或中长杆。这类压杆也会发生屈曲，但是横截面上的应力已经超过比例极限，故称为非弹性屈曲。对于中长杆，目前在设计中多采用经验公式计算其临界应力。 对于 的压杆称为小柔度杆（短杆），这类压杆称为小柔度杆或粗短杆。这类压杆将发生强度失效，而不是屈曲。 需要特别指出的是，大柔度杆与中柔度杆在轴向压缩载荷作用下，虽然都会发生屈曲，但屈曲的类型并不相同：其一，从平衡路径看，大柔度杆的轴向压力超过临界压力值后，有两种平衡构形或平衡路径，临界点为路径的分叉点。这类屈曲称为分叉屈曲。中柔度杆屈曲时，由于出现塑性变形，其平衡路径无分叉及分叉点，只有极值点，这类屈曲称为极值点屈曲。其二，从平衡路径不难看出，对于大柔度杆的分叉点屈曲，由于超过临界点，仍有稳定的平衡路径，因而压杆可以继续承载；而极限点屈曲的中柔度杆，自临界点开始便丧失承载能力。 3. 临界应力的经验公式 在试验与分析的基础上建立的常用经验公式有直线公式和抛物线公式。 （1）．直线公式 对于由合金钢、铝合金、铸铁与松木等制成的中柔度杆，可采用下述直线公式计算临界应力。  （9-12） 式中，和为与材料性能有关的常数，单位为Mpa，几种常用材料的和值见表9-1。图9-4所示为各类压杆的临界应力和的关系，称为临界应力总图。由此图可明显地看出，短杆的临界应力与无关，而中、长杆的临界应力则随的增加而减小。 大柔度杆用欧拉公式：  （λ>λP） 中柔度杆采用直线经验公式：  （λS≤λ≤λP） 小柔度杆用材料的屈服极限或破坏极限：=σS或r=σb （λ≤λS） 表9-1直线经验公式中常数值 材料 a/MPa b/MPa  铸铁 332.2 1.454  铝合金 373 2.15  木材 28.7 0.19   （2）．抛物线公式 对于由结构钢与低合金结构钢等材料制成的中柔度压杆，可采用下述抛物线公式计算临界应力。  （9-13） 式中，和为与材料性能有关的常数。 大柔度杆用欧拉公式：  （λ≥λP） 中柔度杆与小柔度杆用抛物线公式：  （λ≤λP） 材料Q235的 λP=132 ；=（235－0.0068λ2 ）MPa （λ≤132）； 材料16Mn的 λP=109 ；=（343－0.00161λ2）MPa （λ≤109）； §9-4稳定性设计准则 对于工程实际中的压杆，为使其不丧失稳定，就必须使压杆所承受的轴向压力。另外为安全起见，还要有一定的安全系数，使压杆具有足够的稳定性。因此，压杆的稳定条件为  （9-14） 或  （9-15） 式中，为压杆的工作稳定安全因数；为规定的稳定安全因数。 在选择规定的稳定安全因数时，除考虑强度安全因数的因素外，还要考虑压杆存在的初曲率和不可避免的荷载偏心等不利因素。因此，规定的稳定安全因数一般要大于强度安全因数。其值可从有关设计规范和手册中查得。几种常见压杆规定的稳定安全因数列于表9-2中，以备查用。 表9-2几种常见压杆规定的稳定安全因数 实际压杆 金属结构中的压杆 矿山、冶金 设备中的压杆 机床 丝杠 精密丝杠 水平 长丝杆 磨床油缸活塞杆 低速发动机挺杆 高速发动机挺杆  [nst] 1.8~3.0 4~8 2.5~4 >4 >4 2~5 4~6 2~5   还应指出，由于压杆的稳定性取决于整个杆件的弯曲刚度，因此，在确定压杆的临界载荷或临界应力时，可不必考虑杆件局部削弱（例如铆钉孔或油孔等）的影响，而应按未削弱截面计算横截面的惯性矩与面积。但是，对于被削弱的横截面，则还应进行强度校核。 在工程实际，还常采用所谓折减系数法进行稳定计算。将式（9-15）两端同除压杆横截面面积，并整理得，将稳定许用应力改写为  （9-16） 则杆件的稳定条件为  (9-17) 式中为许用应力，是一个小于1的系数，称为折减系数或稳定系数，其值与压杆的柔度有关。 根据计算、试验及经验制成的压杆曲线如图9-6所示。 与强度计算类似，可以用折减系数法公式（9-17）对压杆进行三类问题的计算： （一）稳定校核 若已知压杆的长度、支承情况、材料截面及载荷，则可校核压杆的稳定性。即  （二）设计截面 将折减系数法公式(9-17)改写为  在设计截面时，由于和都是未知量，并且它们又是两个相依的未知量，所以常采用试算法进行计算。步骤如下： （1）假设一个值（一般取，由此可初步定出截面尺寸。 （2）按所选的截面，计算柔度，查出相应的，比较与，若两者接近，可对所选截面进行校核。 （3）若与相差较大，可再设，重复（1）、（2）步骤试算，直至求得与所设的接近为止。 （三）确定许用载荷 若已知压杆的长度、支承情况、材料截面及载荷，则可按折减系数法公式来确定压杆能承受的最大载荷值，即  §9-5提高压杆稳定性的措施 1．合理选择材料 细长杆的临界应力，与材料的弹性模量E有关。因此，选择弹性模量较高的材料，显然可以提高细长杆的稳定性。然而，就钢而言，由于各种钢的弹性模量值相差不大，若仅从稳定性考虑，选用高强度钢作细长杆是不经济的。 中柔度杆的临界应力与材料的比例极限、压缩极限应力等有关，因而强度高的材料，临界应力相应也高。所以，选用高强度材料作中柔度杆显然有利于稳定性的提高。 2．降低压杆的柔度 降低压杆的柔度，是提高压杆临界应力的主要措施。它包括以下几个方面： （1）选择合理的截面形状 在条件许可的情况下，应增大截面的惯性矩。例如截面面积相同时，空心圆截面比实心圆截面更为合理。但薄壁空心圆截面杆受压时，如果壁厚过小，会产生局部失稳。若构件在、平面的支承条件相同，则应尽量使截面的与相等。 （2）减小压杆支承间的长度 条件允许时，可在压杆的中部增加横向支承。 （3）改善杆端的约束情况 杆端的约束刚性越强，压杆的值就越小，从而可以在相当程度上改善整个杆件的抗失稳能力。 §9-6应用举例 例9-1 图9- a、b中所示压杆，其直径为d，材料都是Q235钢，但二者的长度和约束各不相同。试： 1.分析: 哪一根压杆的临界载荷比较大； 2.已知： d =160 mm、 E =206 GPa ,求：二杆的临界载荷 解 1）分析: 哪一根压杆的临界载荷比较大： 计算柔度 (=( l / i ,  两端铰支压杆：(=1，l=5000mm (a=20/d 两端固定压杆：(=0.5，l=9000mm (b=18/d . 因此 FPcr(a)< FPcr(b) 2）二杆的临界载荷. 首先计算柔度，判断属于哪一类压杆： 两端铰支压杆： (a=20/d ＝20/0.16=125, 两端固定压杆： (b=18/d ＝18/0.16=112.5 Q235钢，(p=132，(a和(b都大于(p ，二者都属于中长杆，采用抛物线公式。 然后计算临界荷载 =2589kN =3000Kn 例9-2 如图11-6所示空心圆截面连杆，承受轴向压力=20kN。已知连杆用硬铝制成，其外径mm，内径mm，杆长mm，规定稳定安全系数，试校核该杆的稳定性。  解 1）柔度计算  m  由硬铝材料的弹性模量E、比例极限计算临界柔度 =50 则 ， 由表9-1查得又查得MPa, MPa 2）稳定校核 由式（9-12），得 pa kN  此连杆稳定性符合要求。 小结 压杆的屈曲分为柔度杆的分叉屈曲或弹性屈曲与中柔度杆的极限屈曲或非弹性屈曲。在压力大于临界压力时，前者存在两种可能的平衡构形，而后着只有一种平衡构形。 压杆稳定性设计的主要工作是确定临界应力（相当于强度设计中材料强度失效时的极限应力或）或临界载荷。 压杆稳定性设计 (1)稳定性条件  或  也可  或  工程上常用折减系数法，其稳定性条件为  (2)计算步骤 对校核稳定与确定许用载荷，一般为 a、算、与 ，  ， 压杆类型算 ，大柔度杆 ， ，中柔度杆 ，根据有关经验公式计算。 c、定性条件进行稳定校核或确定许用载荷   d、设计截面，这一类稳定性计算一般用折减系数法通过试算来实现。