第二章 杆件内力分析 ——材料力学教案 教学学时 8  基本内容 内力与内力分量，外力与内力的相依关系。 内力图的绘制  教学目的 深入理解横截面上内力的概念，内力分量对应的基本变形,掌握根据变形规定的内力正负号规则。 熟练掌握由截面法导出的由截面——侧外力求指定截面上的FN、Mx 、FQ、、M的方法（截面—侧外力法）以及由M(x)、FQ(x)、q(x)的积分关系，求指定截面上FQ、、M的面积法。 了解控制面的概念，熟练掌握基于平衡微分方程非无限接近两相邻控制面间内力图变化规律以及无限接近两控制面间内力图突变的规律。 能熟练运用内力图变化的“两个规律”和求指定截面上内力的“两个方法”正确绘制内力图。  重点、难点 重点：1、求指定截面上内力的两个方法：侧面—侧外力法和面积法。 内力图变化的两个规律：非无限接近两相邻控制面间内力图变化规律和无限接近的两控制面间内力图的突变规律。 内力图的正确绘制。 难点：1、内力符号规则。 2、两无限接近控制面间内力图的突变规律。  教学思路 理论讲授与习题讨论相结合。  课外作业    第二章 杆件内力分析 §2-1 内力与内力分量 1. 内力主矢与主矩 无论杆件横截面上的内力分布如何复杂，总可以将其向该截面某一简化中心简化，得到一主矢和一主矩，二者分别称为内力主矢和内力主矩。 2. 内力分量 图2-1a中所示以截面形心为简化中心的主矢和主矩。 与几种基本变形对应的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量。图2-1b中所示的和分别为主矢和主矩在x、y、z轴三个方向上的分量。其中： 或称为轴力，它与杆产生的轴向变形（伸长或缩短）相对应。 、称为剪力，二者均与杆件产生的剪切变形相对应。 称为扭矩,它与杆件产生的绕杆轴转动的扭转变形相对应。 、称为弯矩,二者与杆件产生的弯曲变形相对应。 3. 内力分量的正负好规定 为了保证杆件同一处左、右两侧截面上具有相同的正负号，不仅要考虑内力分量的方向，而且要看它作用在哪一侧截面上。于是，上述内力分量的正负号规则约定如下： 轴力或————无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为正；受压者为负。 剪力或————使杆件截开部分产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。 弯矩或————作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。 扭矩————扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正；反之为负。 图2-2为 轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定的方向。 §2-2外力与内力之间的相依关系 1. 弹性体的平衡原理 弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的任意部分也必须保持平衡。前者称为整体平衡或总体平衡；后者称为局部平衡。这种整体平衡与局部平衡的关系，不仅适用于弹性杆件而且适用于所有的弹性体，因而称为弹性体平衡原理。 2. 截面法 确定构件任意截面上内力值的基本方法是截面法。图2-3（a）所示为任意受平衡力系作用的构件.为了显示并计算某一截面上的内力,可在该截面处用一假想截面将构件一分为二并弃去其中一部分.将弃去部分对保留部分的作用以力的形式表示,此即该截面上的内力。 根据变形固体均匀、连续的基本假设，截面上的内力是连续分布的。通常将截面上的分布内力用位于该截面形心处的主矢和主矩来代替。尽管内力的合力是未知的，但其六个内力分量（空间任意力系）、、和、、来表示，如图2-3（b）。 3. 控制面 为了表明杆件内力的一般规律,特引入,一段杆的两个端截面称为控制面。下列截面均可为控制面：如图2-4所示。 集中力作用点两侧无限接近的截面。 集中力偶作用点两侧无限接近的截面。 分布荷载（集度相同）的起点和终点处截面。 4. 杆件内力变化的一般规律 应用截面法，不难证明，集中力作用点两侧两个无限接近的控制面剪力将发生突变，集中力偶作用点两侧无限接近的截面弯矩将发生突变。杆件两个相邻的非无限接近的控制面间的内力将分别按不同的函数规律变化。 5. 杆件内力变化的一般规律 、和间的微分关系，将进一步揭示载荷、剪力图和弯矩图三者间存在的某些规律，在不列内力方程的情况下，能够快速准确的画出内力图。 如图2-5(a)所示的梁上作用的分布载荷集度是的连续函数。设分布载荷向上为正，反之为负，并以A为原点，取轴向右为正。用坐标分别为和的两个横截面从梁上截出长为的微段，其受力图如图2-5 (b)所示。 由   解得  (2-1) 由   略去二阶微量解得  (2-2) 将式(2-2)代入式(2-1) 得  (2-3) 式(7-1)、(7-2)和(7-3)就是荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系。由此可知和分别是剪力图和弯矩图的斜率。 根据上述各关系式及其几何意义，可得出画内力图的一些规律如下： q=0 ： 剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 q=常数：剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 集中力FP作用处：剪力图在FP作用处有突变，突变值等于FP。弯矩图为一折线， P作用处有转折。 集中力偶作用处：剪力图在力偶作用处无变化。弯矩图在力偶作用处有突变， 突变值等于集中力偶。 §2-3内力图 1. 轴力图 当所有外力均沿杆的轴线方向作用时,杆的横截面上只有轴力一种内力分量FNo表示轴力沿杆轴线方向变化的图形,称为轴力图。用截面法求截面上的内力,为了无论取哪段，均使求得的同一截面上的轴力FN有相同的符号，则规定：轴力FN方向与截面外法线方向相同为正，即为拉力；相反为负，即为压力。 例2-1 图2-6a中所示直杆， B、C两处作用集中荷载F1和F2，其中B、C两处作用集中荷载F1和F2，已知F1=5KN,F2=10KN。作AC杆件的轴力图。 解 A处为固定端约束，作用有约束力。由0求得FA=5kN,方向向上。于是,A、C截面以及B处上、下两侧截面均为控制面，如图中虚线所示。 A截面：  截面： 截面： C截面：  建立FN-x坐标系，并将控制控制面上的轴力标在其中，得到a、b“、b‘、和c四点。 因为AB以及BC之间，没有其他外力作用，故这两段轴力，各段分别各自相同。表面a点与b“点及b‘点与c点之间的轴力平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴力图如图2-6e所示。 由例子可见，杆的不同截面上有不同的轴力，而对杆进行强度计算时，要以杆内最大的轴力为计算依据，所以必须知道各个截面上的轴力，以便确定出最大的轴力值。这就需要画出轴力图。 1. 扭矩图 对于受扭的轴，用截面法来求n—n截面上的内力，作用于其上的外力仅有轴向力偶矩矢，因其平衡，则作用于截面上的内力必合成为一力偶。 杆件受到外力偶矩作用而发生扭转变形时，在杆的横截面上产生的内力称扭矩（Mx）或T单位：N·m或KN·m。 符号规定：按右手螺旋法则将T表示为矢量，矢量方向与截面外法线方向相同为正；反之为负。 例2-2 图2-7（a）所示的传动轴的转速 =300r/min，主动轮A的功率=400kW，3个从动轮输出功率分别为 =120kW, =120kW,=160kW，试求指定截面的扭矩（N?m） 解 由,得 =kN?m =kN?m kN?m 如图2-7（b）。 由 Σ ，   解得  kN?m 如图2-7（c） 。 由 Σ ，  解得 kN?m 如图2-7（d）。 由 Σ ，  解得 kN?m 由上述扭矩计算过程推得：任一截面上的扭矩值等于对应截面一侧所有外力偶矩的代数和，且外力偶矩应用右手螺旋定则背离该截面时为正，反之为负。 例2-3 试作出例7-2中传动轴的扭矩图。 解 BC段： kN·m   kN·m CA段:  kN·m   kN·m AD段:  kN·m   kN·m 根据、、、、、的对应值便可作出图 7-17(c)所示的扭矩图 。及分别对应横截面右侧及左侧相邻横截面的扭矩。 由例子可见，轴的不同截面上有不同的扭矩，而对轴进行强度计算时，要以轴内最大的扭矩为计算依据，所以必须知道各个截面上的扭矩，以便确定出最大的扭矩值。这就需要画扭矩图来解决。 1. 剪力图与弯矩图 根据作用于梁上的已知载荷，应用有关平衡方程求出支座反力，然后将梁分段，并由各段内载荷的情况初步确定剪力图和弯矩图的形状，根据平衡条件，求出控制面上的内力值，便可画出全梁的剪力图和弯矩图。这种绘图方法称为简捷法。 例2-4 简支梁受力如图2-6a所示。试画出其剪力图和弯矩图，并确定二者绝对值的最大值和的值。 解：1.确定支座处的约束力 FFy=1.11kN(↑) FAy=0.89kN(↓) 2.建立坐标系 建立FQ-x、M-x坐标，分别如图2-9b和c所示。 IKNm 3．选择控制面,并确定其上剪力和弯矩值 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面，即图2-9a中所示A、B、C、D、E、F各截面均为控制面。 应用截面法和平衡方程,求得这些控制面上的剪力和弯矩值分别为： A截面： FQ=-0.89KN， M=0 B截面： FQ=-0.89KN， M=-1335KNm C截面： FQ=-0.89KN， M=-0335KNm D截面： FQ=-0.89KN， M=-1.665KNm E截面： FQ=1.11KN， M=-1.665KNm F截面： FQ=1.11KN， M=0 将这些值分别标在FQ-x和M-x坐标系中，便得到a、b、c、d、e、f各点，如图2-9b、c所示。 4．根据平衡微分方程连图线 因为梁上无分布荷载作用，所以FQ(x)图形均为平行于z轴的直线； M(x)图形均为斜直线。于是；顺序连接FQ-x和M-x坐标系中的a、b、c、d、e、f各点，便得到梁的剪力图与弯矩图，分别如图2-96b、c所示。 从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为 =1.11KN (在EF段) =1.65KNm (在D、E截面上) 例2-5 外伸梁受力如图2-7所示。试画出其剪力图与弯矩图，并确定和的值。 解 首先，由整体梁的平衡确定支座处约束力,如图所示。 1．确定控制面及其上的、M数值 由于AB段上作用有连续分布荷载，故A、B两个截面为控制面，约束力右侧的C截面，以及集中力左侧的D截面，也都是控制面。 应用截面法和平衡方程求得A、B、C、D四个控制面上的、M数值分别为： A截面：  B截面：  C截面：  D截面：  将其分别标在FQ-x和M-x坐标系中，得到相应的a、b、c、d各点，如图2-9c、d所示。 2．根据平衡微分方程连图线 对于剪力图：在AB段，因有均布荷载作用，剪力图为一斜直线,于是连接a、b两点，即得这一段的剪力图；在CD段，因无分布荷载作用，故剪力图为平行于x轴的直线，由连接c、d二点而得，或者由其中任一点作平行于x轴的直线而得。 对于弯矩图：在AB段，因有均布荷载作用，图形为二次抛物线。又因为q向下为负，所以有<0，弯矩图为凸向坐标正方向的曲线。这样：AB段内弯矩图的形状便大致确定。为了确定曲线的位置，除AB段上两个控制面上弯矩数值外，还需确定在这一段内二次抛物线有无极值点，以及极值点的位置和弯矩值。从剪力图上可以看出，在e点剪力为零。根据dM/dz=0，弯矩图在e点有极值点。利用FQ=0。这一条件，可以确定极值点e的位置xE。 为了求xE，由图2-9b所示隔离体的平衡方程，可得   由此解得   将其标在M-x坐标系中，得到e点，根据a、b、c三点，以及图形为凸曲线并在e点取极值，即可画出AB段的弯矩图。在CD段因无分布载荷作用，故弯矩图为一斜直线，它由c、d两点直接连得。 从图中可以看出： ,  注意到在右边支座处，由于约束力的作用，该处剪力图有突变(支座两侧截面剪力不等)弯矩图在该处出现折点(曲线段在该处的切线斜率不等于斜直线的斜率)。 由上述内力图可见，集中力作用处的横截面，轴力图及剪力图均发生突变，突变的值等于集中力的数值;集中力偶作用的横截面，剪力图无变化，扭矩图与弯矩图均发生突变，突变的值等于集中力偶的力偶矩数值。 小结 1、弹性杆横截面上的内力分量FN，Mx（或T），FQy，FQZ、My、Mz是横截面上分布内力向其形心简化的结果。 2、指定截面上的内力主要用内截面法导出的截面一侧外力法，如对于梁，  （截面外法线顺时针旋转900时与剪力方向相同为正，反之为负） （使梁向下凸为正，反之为负） 还有所谓面积法：   式中，A，B为梁内由左到右的两相邻截面。 、分别为A、B两截面间分布载荷与剪力图的面积。 力图、扭矩图可用“矢量顺时针转900法”、剪力图可用“矢量法”直接快速画出如例2－1： FA顺时针旋转900向右，从零开始沿FN轴突变5KN至a，再沿轴线画平行线至。 F1顺时针旋转900向右，从突变5KN至。再沿轴线画平行线至c。 F2顺时针旋转900向左，从c左突变10KN到x轴上，即为轴力图。 又如例2-3，只需用右手定则将MB、MC、MA和MD表为矩矢，再都顺时针旋转900，再从坐标原点开始画图，直至在D截面向下突变MD=5.09KN·m线段落在x轴上为正，即完成了扭矩的绘制。 再如例2-4，建立x－FQ坐标系后，从坐标原点（即A－截面）向下突变FAy值至a，力偶对FQ无影响，从a画与x平行的线至d（即D截面），向上突变2KN至+1.11KN的e点，再画水平行线至B－截面，再向下突变1.11KN到x轴上，剪力图绘制结束。最后看例2－5，只要注意从A－至B－间是连续分布的方向向下的载荷，便是一条向下的斜线，只要求出 FQ（B）连线即可，其余同上例。 4、有了载荷图、剪力图，由“两个变化规律”FQ＝0的截面处M图有极值以及求指定截面上M的“两个方法”，则不难正确绘制出弯矩图。