第八章 杆类构件的强度与刚度设计
————材料力学教案
学
时
8学时
基
本
内
容
设计原则与设计过程
拉压杆，弯曲梁，扭转轴的强度设计
组合变形杆的强度设计
梁与轴的刚度设计
教
学
目
的
掌握强度设计与刚度设计的有关概念。
掌握杆，梁，轴的强度设计。
掌握组合变形杆的强度设计。
了解梁和轴的刚度设计。
重
点
和
难
点
重点：1）强度设计的过程是：外力分析——内力分析（危险截面）——危险截面上的危险点——失效准则与计算应力——强度设计准则，强度计算。
2）强度设计准则与刚度设计准则的三类计算：强度或刚度校核；截面设计；确定许用荷载。
3）许用应力，许用位移的概念。
难点：1）危险截面的确定。
2）危险点应力状态微元各面上的正应力和切应力大小的计算和方向的确定以及等。
教
学
方法
本章是前面各章中的基本概念，基本理论和基本方法的综合，讲授时要不断复习构件的力学模型，内力分析，内力图，正应力和切应力计算，应力状态分析，主应力和最大切应力的确定，位移分析，材料类型与力学性能，失效概念和设计准则等。要有针对地解决学生在前面各章学习中的薄弱环节。
作业
第八章 杆类构件的强度与刚度设计
杆类构件包括杆、梁、轴和柱。在常温、静载荷作用下，杆、梁、轴的设计主要涉及强度设计和刚度设计；柱的设计，除了满足强度要求外还需要满足稳定性要求。
本章主要涉及杆类构件在静荷载作用下的强度和刚度设计。关于柱的稳定性设计将在以后的章节中详细介绍，而轴的疲劳强度设计，将在专题中或其它课程中讨论。
§8-1设计原则与设计过程
1强度设计
杆类构件在外载荷作用下，由内力分析，建立杆件横截面内力沿杆长方向分布变化的规律，绘制内力图，从内力的变化中找到内力最大的截面，从而确定可能最先发生强度失效的那些截面，称为危险截面。
通过应力分析，建立横截面上应力分布规律，确定危险截面上哪些点最先可能发生强度失效，这些点称为危险点。
强度失效不仅与应力大小有关，而且与危险点的应力状态有关。因此，根据材料性能和应力状态，首先判断可能的失效形式（屈服还是断裂）从而选择相应的设计准则；然后根据设计准则，由不同的工程要求进行下列几方面的计算（以拉伸杆件为例）：
强度校核：当外力、杆件各部分尺寸及材料许用应力均为已知时，验证危险点的应力强度是否满足设计准则。
截面设计：当外力及材料许用应力为已知时根据设计准则设计杆件横截面尺寸。
确定许可载荷：当杆件各部分尺寸及材料许用应力已知时，确定构件或结构所能承受的最大载荷。
选择材料：当外力、杆件各部分尺寸已知时，根据经济安全的原则以及其它工程要求，选择合适的材料。
2刚度设计
刚度设计就是根据工程要求，对构件进行设计，以保证在确定的外部荷载作用下，构件的弹性位移（最大位移或者指定位置处的位移）不超过规定的数值。于是
对于拉压杆，刚度设计准则为
（8-1）
式中, 为轴向位移；为许用轴向位移。
对于梁，刚度设计准则为
（8-2）
（8-3）
式中，和分别为梁的挠度和转角；[]和[]分别为许用挠度和许用转角。
对于受扭圆轴，刚度设计准则为
（8-4）
或 （8-5）
式中，和分别为圆轴两指定截面的相对扭转角和单位长度相对扭转角；和 均为许用值。
需要指出的是，对于拉压杆件，强度设计是主要的，只是在一些对刚度有特殊要求的场合才要求刚度设计。
§8-2拉压杆件的强度设计
工程中有一些简单结构是由拉压杆通过焊接、铆接、销钉连接以至胶粘连接而成(图8-1)。为保证这类结构在确定荷载作用下安全可靠地工作，需对拉压杆及连接件(或连接部位)作强度设计。
拉压杆与连接件的强度设计差异较大，故将分别加以介绍。
拉压杆的特点是横截面上正应力均匀分布，而且各点均处于单向应力状态，故可直接应用第7章中的失效判据式，在等式右边除以安全因数，并将等号变为不等号，得到相应的设计准则，即
（8-6）
其中,
（对韧性材料） （8-7）
（对脆性材料） （8-8）
上述设计也可以从第七章的屈服准则和断裂准则演变而来。
例题8－1 结构尺寸及受力如图8－2所示。设均为刚体，和为圆截面钢杆。钢杆直径为，二杆材料均为钢，其许用应力。若已知荷载，试校核此结构的强度是否安全。
解：1.分析危险状态
该结构的强度与杆BC和EF的强度有关，在强度校核之前，应先判断哪一根杆最危险。现二杆直径及材料均相同，故受力大的杆最危险。为确定危险杆件，需先作受力分析。
研究AB、CD的平衡（图8－2b）：
得到
由此解得
可见杆EF为受力最大，故其为危险杆
2.计算应力
杆EF横截面上应力
3.校核是否满足设计准则
因为=160Mpa，而σ=151Mpa，所以满足设计准则
可见杆EF的强度是安全的，亦即整个结构的强度是安全的。
例题8-2 上例中若杆BC和杆EF的直径均为未知，其他条件不变。试设计二杆所需的直径。
解： 二杆材料相同，受力不同，故所需直径不同。设杆BC、EF的直径分别为d1和d2，则由设计准则有
应用上题中受力分析的结果，得到
例题8-3 例题8-1中的杆BC、EF直径均为d=30mm，[σ]=160Mpa，其他条件不变。试确定此时结构所能承受的许可荷载[Fp]。
解：根据例题8-1中的分析，杆EF为危险杆，由平衡方程得到其受力
应用设计准则
得到
于是。有
亦即结构的许可荷载
[FP]=59.52Kn
§8-3连接件的工程假定计算
螺栓、销钉和铆钉等工程上常用的连接件以及被连接的构件在连接处的应力，都属于所谓"加力点附近局部应力"。这些局部区域，在一般杆件的应力分析与强度计算中是不予考虑的。
由于应力的局部性质，连接件横截面上或被连接构件在连接处的应力分布是很复杂的，很难作出精确的理论分析。因此，在工程设计中大都采取假定计算方法，一是假定应力分布规律，由此计算应力；二是根据实物或模拟实验，由前面所述应力公式计算，得到连接件破坏时应力值；然后，再根据上述两方面假定得到的结果，建立设计准则，作为连接件设计的依据。
1剪切假定计算
当作为连接件的铆钉、销钉、键等零件承受一对大小相等、方向相反、作用线互相平行且相距很近的力作用时，其主要失效形式之一是沿剪切面发生剪切破坏，如图8-3所示。这时在剪切面上既有弯矩又有剪力，但弯矩极小，故主要是剪力引起的剪切破坏。利用平衡方程不难求得剪切面上的剪力。
这时，剪切面上的切应力分布是比较复杂的，一般假定切应力在截面上均匀分布，于是有
（8-9）
式中，A为剪切面面积；FQ为作用在该面上的剪力。
相应设计准则为
（8-10）
其中，[τ]为连接件许用切应力，
（8-11）
是根据连接件实物或模拟剪切破坏实验得到破坏时的FQb值，再由式(8-9)算得的。
剪切假定计算中的许用切应力[τ]与拉伸许用应力有关，对于钢材：
[τ]=(0.75~0.80)[σ]
需要注意，在计算中要正确确定有几个剪切面，以及每个剪切面上的剪力。例如，图8-3所示的铆钉只有一个剪切面；而图8-4所示的则为有两个剪切面的情形。
2挤压假定计算
在承载的情形下，连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压，因而在二者接触面的局部区域产生较大的接触应力，称为挤压应力，用符号表示。挤压应力是垂直于接触面的正应力。这种挤压应力过大时，亦将在二者接触的局部区域产生过量的塑性变形，从而导致二者失效。
挤压接触面上的应力分布同样也是比较复杂的。因此在工程计算中，也是采用简化方法，即假定挤压应力在有效挤压面上均匀分布。有效挤压面简称挤压面，它是指挤压面面积在垂直于总挤压力作用线平面上的投影，如图8-5所示。若连接件直径为d连接板厚度为δ，,则有效挤压面面积为δd。于是，挤压应力为
（8-12）
相应的强度设计准则为
（8-13）
式中，FPc为作用在连接件上的总压力；为挤压许用应力。对于钢材[σc]=(1.7~2.0)[σ]，其中[σ]为拉伸许用应力。
例题8-4 图8-6示的钢板铆接件中,已知钢板的拉伸许用应力[σ]=98Mpa，挤压许用应力[σc]=196Mpa，钢板厚度δ=10mm，宽度b=100mm，铆钉直径d=17mm，铆钉许用切应力 =137Mpa，挤压许用应力[σc]=314Mpa。若铆接件承受的荷载Fp=23.5KN。试校核钢板与销钉的强度。
解：对于钢板，由于自铆钉孔边缘线至板端部的距离比较大，该处钢板纵向承受剪切的面积较大，因而具有较高的抗剪切强度。因此，本例中只需校核钢板的拉伸强度和挤压强度，以及铆钉的挤压和剪切强度。现分别计算如下。
1. 对于钢板
拉伸强度：考虑到铆钉孔对钢板的削弱，有
故钢板的拉伸强度是安全的。
挤压强度：在图中所示的受力情况下，钢板所受的总挤压力为Fp；有效挤压面为δd。于是有
故钢板的挤压强度也是安全的。
2. 对于销钉
剪切强度：在图8-6所示情形下，例钉有两个剪切面，每个剪切面上的剪力FQ=Fp/2，于是有
故铆钉的剪切强度是安全的。
挤压强度：铆钉的总挤压力与有效挤压面面积均与钢板相同，而且挤压许用应力较钢板为高，因钢板的挤压强度已校核是安全的，故无需重复计算。
由此可见，整个连接结构的强度都是安全的。
例题8-5 托架受力如图8-7a所示。试：
1.已知控制杆AB由钢制成,其强度极限=600Mpa，安全因数nb=3.3。求杆的直径。
2.C处的销钉由钢制成，其剪切强度极限=350Mpa，安全因数nb=3.3。求销钉的直径。
3.已知托架支承C处材料的挤压许用应力[σc]=300Mpa，确定支承板厚度δ。
解：首先确定控制杆、销钉和支承的受力，如图8－7b所示。根据平衡方程和，求得
F=40kN，
FCX=40kN， FCY=65kN， FC=76。3kN。
式中，FC为FCx与FCy的合力
1．确定控制杆的直径
根据拉压杆的强度设计准则
得
2．计算销钉直径
销钉受力如图8－7c所示，它承受剪切，有两个剪切面。于是，有
其中，FQ=FC/2，A=，代入上式后，解得
3．确定支承C的厚度
支承承受挤压，每个挤压面上作用的挤压力为FC/2，于是，有
由此解得：
§8－4梁的强度设计
1危险截面的确定
在一般情况下，梁的各个截面上的剪力和弯矩是不相等的。有可能在一个或几个横截面上出现弯矩最大值或剪力最大值；也可能在同一截面上，剪力和弯矩虽然不是最大值，但数值都比较大。这些截面都是可能的危险截面。
例如图8-8所示的截面A(或B)、C分别为最大剪力和最大弯矩作用面，故为危险截面；而图8-9所示的梁上，除FQmax、Mmax作用的截面A、D外，截面B由于其上的FQ、M都比较大，也可能是危险截面。
除了根据剪力图和弯矩图判断危险截面外，有时还要根据截面的形状和尺寸以及材料的力学性能等方面综合考虑，确定其它可能的危险截面。
除了存在危险截面外，梁强度问题的另一特点是，大多数情形下，横截面上既有正应力又有切应力，而且二者都是非均匀分布的。于是，在梁内可能存在着三类危险点：第一类是正应力最大点，这些点一般位于弯矩最大的截面上且为距中性轴最远的点，即截面上、下边缘上各点；第二类是切应力最大点，这些点一般位于剪力最大的截面上，对于常见的实心截面，这些点位于中性轴上，对于开口薄壁截面则不一定在中性轴上；第三类是正应力和切应力都比较大的点，这些点一般位于FQ、M都比较大的截面上，既不在最大正应力处，也不在最大切应力处，而是在截面上、下缘与中性轴之间的某个位置上，例如工字形截面的翼缘与腹板交界处。图8-10所示的外伸梁，支座B的左侧截面既是|FQ|max又是|M|max作用面，故为危险截面。其上的点1、5为σmax作用点；点3为τmax作用点；点2、4为σ、τ都较大的点。
2三类危险点的的应力状态与设计准则
根据以上分析，不难确定，梁中的三类危险点分属于三种不同的应力状态，如图8-11所示。可见，对于这种只承受最大拉、压应力的点为单向应力状态；对于承受最大切应力的点，因为横截面上无正应力作用，故为纯切应力状态；对于既有正应力σ又有切应力τ作用的点，为平面应力状态。当然，前两种应力状态也都是平面应力状态的特例。
应用第5章中介绍的解析法或应力圆不难确定上述三类危险点的主应力。
对于单向应力状态：
， （最大拉应力点）
或是
， （最大压应力点）
对于纯切应力状态：
， ，
对于平面应力状态：
在上述应力状态下，杆件的失效形式主要取决于材料的力学性能。即若为脆性材料则发生断裂；若为韧性材料则发生屈服。据此即可建立三类危险点的失效判据，从而建立梁的强度设计准则。
对于最大拉(压)应力作用的危险点，无论是脆性材料还是韧性材料，无论采用哪一种失效判据，所得到的设计准则都具有相同的形式：
（8-14）
对于拉压强度不等的材料，则分别采用
（8-15）
（8-16）
式中，[σ]+=、[σ]-= ；和分别为拉伸时的强度极限和压缩时的强度极限。
对于最大切应力作用的危险点，若为脆性材料，则根据最大拉应力准则，得到设计准则为
（8-17）
式中,[σ]=σb/nb为材料的拉伸强度极限。若为韧性材料，则根据最大切应力准则为
或畸变能密度准则
得到
（8-18）
或
（8-19）
式中，[σ]=σs/ns；σs为材料的拉伸屈服应力。
对于既有正应力又有切应力作用的危险点，若为脆性材料，则有
（8-20）
式中，,[σ]=σb/nb ；σb为材料的拉伸强度极限。若为韧性材料，则对应于最大切应力准则和畸变能密度准则，分别有
（8-21）
（8-22）
式中，[σ]= σs/ns。
3梁的强度设计程序与应用举例
对于韧性材料，由于弯曲正应力分布的不均匀性，当危险点的应力达到屈服应力时，该点发生屈服。但其他各点的应力仍未达到屈服应为值，因而不会导致整个杆件丧失承载能力。于是，工程上规定承弯杆件的许用正应力略高于拉伸许用应力，约高20%~50%。一般取为拉伸许用应力的1.2倍。
对于脆性材料，如铸铁等，由于材料本身的不均匀性(如内部夹杂物、缺陷、气孔等)，以及弯曲正应力的非均匀分布，最大应力作用区远小于较小应力作用区。于是，缺陷在最大应力区域内引起破坏的概率，比在低应力区的概率要小得多。因此，脆性材料弯曲许用拉应力要比拉伸时高得多。例如，对于灰铸铁，弯曲许用拉应力要比拉伸时高70%~110%。
4.梁的强度设计程序与应用举例
强度设计通常包含解决下列三类强度问题：强度校核、截面形状与尺寸设计、确定许用荷载。根据前述设计准则，强度设计一般应遵循以下计算程序。
·首先要正确地画出剪力图和弯矩图，确定|FQ|max、|M|max作用面以及它们的数值，以便确定可能危险截面。
·根据危险截面上内力的实际方向，确定应力分布以及σmax和τmax的作用点，综合考虑材料的力学性能，确定可能的危险点。
·根据危险点的应力状态，区分脆性材料与韧性材料，选择合适的设计准则，解决不同类型的强度问题。
对于强度校核，只需对三类危险点验算式(8-17)~(8-22)中相关的强度设计准则是否得以满足。若满足则杆件强度安全；否则不安全。
对于截面尺寸设计，若材料的拉压许用应力相等，可先按照最大正应力点的设计准则式(8-17)，确定所需的最小弯曲截面系数
（8-23）
对于拉压许用应力不等的脆性材料，则按式(8-15)和式(8-16)计算。进而根据截面的形状确定截面的尺寸。确定截面尺寸之后，再对第二类和第三类危险点的强度加以校核。若强度满足要求，设计即告完成；否则还要改变截面或尺寸，再一次对第二、三类危险点进行强度校核，直至所有可能危险点都满足设计准则为止。
计算梁所能承受的最大荷载时，也是先从最大正应力点的设计准则式(8-14)或式(8-15)和式(8-16)出发，计算出许可荷载值，然后再对第二类和第三类危险点按前述步骤作强度校核。
需要指出的是，对于实心截面杆件，在一般受力形式下，横截面上的正应力远大于切应力，多数情形下，只要保证最大正应力点具有足够的强度，就可以保证第二、三类危险点具有足够的强度，因而可以不对这两类危险点进行强度校核。对于薄壁截面，特别是非轧制型钢的组合截面，这两类危险点都要校核其强度。
下面举例说明梁的强度设计问题。
例题8－6 空心活塞销受力如图8－12a所示。已知。销子各段可近似视为承受均布荷载。销子由钢材制成，许用应力。试校核最大正应力与最大切应力作用点的强度。
解：1.作销子的受力简图与剪力图、弯矩图，判断危险截面
销子在三段都承受均布荷载作用，但段与段的荷载方向和荷载集度不同。由此可以画出销子的计算简图如图8－12b所示，其中，
根据上述计算简图，可以作出如图8－12c所示的剪力图和弯矩图，从图中可以看出：销子中间截面上弯矩最大，其值为
2.计算销子的弯曲截面系数
圆管弯曲截面系数
3.校核最大正应力作用点的强度
最大正应力发生在最大弯矩作用面的上、下两点，其应力值为为
故销子上最大正应力作用点的强度足够，销子是安全的。
4.校核最大切应力作用点的强度
根据第四章，圆管截面上的最大弯曲切应力(作用在中性轴上各点)为
其中，FQ为截面上的剪力。现在要进行强度校核，因而必须采用梁内的最大剪力。由剪力图可知，B、C两处截面上剪力最大，其值为
|FQ|max=3.50kN
上式中A为圆管横截面面积，即
于是，得到销子中的最大弯曲切应力为
根据最大切应力失效准则式(8-18)，，所以销子上最大弯曲切应力作用点的强度也是安全的。
从以上计算结果可以看出，最大弯矩与最大剪力不在同一横截面上；最大正应力与最大切应力也不在同一点上，前者发生在中间截面的上、下两点，后者发生在截面B、C中性轴上各点。
例题8－7 图8－13a所示的简支梁由普通热轧工字钢制成。若已知工字钢材料的许用应力。试求许可荷载。
解： 因为在细长梁中，正应力对强度的影响是主要的，所以本例中先按最大正应力作用点的强度计算许可荷载，然后，再对最大切应力作用点进行强度校核。
1.按最大正应力作用点的强度计算许可荷载
首先,画出梁的剪力图和弯矩图分别如图8-13b、c所示。
由弯矩图可以看出,C、D两处截面上的弯矩最大，故为危险截面，其上的弯矩值为
由型钢表查得No。20a普通热轧工字钢的弯曲截面系数为
于是由 ，得
由此解得
2．对于工字钢，梁内最大弯曲切应力
其中最大剪力由剪力图可得
δ为工字钢腹板厚度(型钢表中为d)以及(型钢表中为I/Sz)均可由型钢表查得。对于No.20a普通热轧工字钢，查得
δ=d=7mm
=17.2cm=0.172m
将上述数值，连同所求得的Fp值，代人前式中，得
根据最大切应力设计准则，=78.5Mpa，故梁上最大切应力作用点的强度是足够的。因此，该梁的许可荷载为
[Fp ]=55.8kN
例题8－8 由铸铁制造的外伸梁，受力及横截面尺寸如图8－14a所示,其中z为中性轴。已知铸铁的拉伸许用应力[σ]+=393 Mpa，压缩许用应力为[σ]—=58.8Mpa，Iz=7.65×106mm4。试校核该梁强度。
解：因为梁的截面没有水平对称轴，所以其横截面上的最大拉应力与最大压应力不相等。同时梁的材料为铸铁，其拉伸与压缩许用应力不等。因此，判断危险截面位置时，除弯矩图外，还应考虑上述因素。
梁的弯矩图如图8－14b所示。可以看出，截面上的弯矩绝对值最大，为可能的危险截面之一。在截面上，弯矩虽然比截面上的弯矩小，但根据该截面上的弯矩的实际方向，如图8－14c所示，其上边缘的各点受压应力，下边缘各点受拉应力，并且由于受拉边到中性轴的距离较大，拉应力也比较大，而材料的拉伸许用应力低于压缩许用应力，所以截面D亦可能为危险截面。现分别校核这两个截面的强度。
对于截面B，弯矩为负，其绝对值为
其方向如图8-14c所示。由弯矩实际方向可以确定该截面上点1受压、点2受拉，应力值分别为
点1：
点2：
对于被面D，其上的弯矩为正，其值为
其方向如图8－14c所示。已经指出，点3受拉，点4受压，但点4的压应力要比截面B上点1的压应力小，所以只需校核点3的拉应力。
点3：
因此，截面D的强度是不安全的，亦即该梁的强度不安全。
§8－5轴的静载强度设计
1承受弯曲与扭转的圆轴
借助于带轮或齿轮传递功率的传动轴,如图8-15所示。工作时在齿轮的轮齿上均有外力作用。将作用在轮齿上的力向轴的截面形心简化便得到相当的力和力偶，这表明轴将承受横向荷载和扭转荷载，如图8-15b所示。为简单起见，可以用轴线受力图代替图8-15b中的受力图，如图8-23c所示。这种图称为传动轴的计算简图。
对承受弯曲与扭转组合作用下的圆轴作强度设计，一般需画出弯短图和扭矩图(剪力一般忽略不计)并据此确定传动轴上可能的危险截面。因为是圆截面，所以当危险截面上有两个弯矩My和Mz同时作用时，应按求矢量的方法，确定危险截面上总弯矩M的大小与方向(图8-16a、b)。
根据截面上的总弯矩M和扭矩Mx的实际方向，以及它们分别产生的正应力和切应力分布，即可确定承受弯曲与扭转圆轴的危险点及其应力状态，如图8-17a、b所示。截面上的正应力和切应力分别为
其中
式中，d为圆轴的直径。
这一应力状态与梁内第三类危险点的应力状态相同，因为轴一般由韧性材料制成，故可用最大切应力准则和畸变能密度准则作为强度设计的依据，利用（8-21）、（8-22）式，即
将、代入上式，并考虑到，便得到
（8-24）
（8-25）
引入记号
（8-26）
= （8-27）
式（8-24）、（8-24）变为
（8-28）
（8-29）
式中，和分别为基于最大切应力准则和基于畸变能密度准则的计算弯矩或相当弯矩。
例题8-9 图8-19a所示的传动轴，传递功率P=7.5kW，轴的转速n=l00r/min。 A、B为带轮。轮A带处于水平位置；轮B带处于铅垂位置。 F'p1=Fp1 、F'p2=Fp2为带拉力。已知Fp1>Fp2，Fp2=1500N，两轮直径均为D=600mm，轴材料的许用应力[σ]=80Mpa。试按最大切应力准则设计轴的直径。
解： 因为作用在带上的力都是横向力，而且都不作用在截面形心上，所以需要将其向轴的截面形心简化，得到的计算简图如图10－18b所示。其中为作用在圆轴上的外加扭转力偶矩，为
而作用在带轮上的力向截面形心简化的结果得
由此求得
，
从计算结果上看，轴在外力作用下，将产生两个方向的弯曲和扭转。为确定危险截面，现分别画出两个方向的弯矩图和扭矩图，如图10－18c、d、e所示。
由内力图可以看出，轮B右侧截面弯矩最大，其上扭矩与其他截面（轮b以右）相等，故该截面为危险截面。其上总弯矩为
把代入最大切应力准则，可以得到设计公式
其中
将上式以及给定的许用应力代入设计公式中，得到轴的直径为
2同时承受弯矩、扭矩、剪力和轴力的圆杆
在某些受力情况下，圆杆的横截面上将同时存在弯矩（My、Mz）、扭矩Mx、剪力FQy或(FQz）和轴力FNx。如图8-18所示。
横截面上任意点的正应力为弯矩和轴力在同一点引起的正应力的代数和；切应力由扭矩和剪力共同引起，当剪力引起的切应力所占比例较小时，可以忽略剪力引起的切应力。
危险点的应力状态依然为同时作用的情形，与承受弯曲与扭转的圆轴相同。
按最大切应力设计准则有
按畸变能密度设计准则有
其中
，
§8－6轴与梁的刚度设计
对于主要承受弯曲的轴和梁的挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。
轴和梁的刚度设计，就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角限制在一定范围内，即满足刚度设计准则式。
上述二式中[w]和均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。常见轴的许用挠度和许用转角数值列于表8-1中。
对于主要承受扭转的圆轴，刚度设计主要是使轴的相对扭转角或单位长度相对扭转角满足刚度设计准则：
需要指出的是，刚度设计与强度设计的重要区别是，它不是以应力是否达到屈服应力或强度极限作为设计的依据，而是以限制弹性位移的大小作为设计的依据。以刚度要求作为依据设计出的杆件，其应力在多数情形下都在比例极限以下。
例题8-10 图8-19所示钢制圆轴，左端受力为FP，其他尺寸如图所示。已知FP=20KN，a=1m，l=2m，E=206GPa，轴承B处的许用转角=0.50。试确定该轴的直径d。
解： 根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。
1、查表确定B处的转角
由表6-1中承受集中载荷的外伸梁的结果，得
式中
，， ，，
2、根据刚度设计准则确定轴的直径d
根据设计要求
其中，的单位为rad(弧度)，而的单位为(0)(度)，考虑到单位的一致性，得到
例题8-11 矩形截面悬臂梁承受均布荷载如图8-20所示。已知q=100kN/m，l=3m，E=196Gpa，[σ]=118Mpa，许用最大挠度与梁跨度比值[wmax/l]=1/250，且已知截面高与宽之比为2，即h=2b。试求截面尺寸b和h。
解：本例所涉及的问题是，既要满足强度要求，又要满足刚度要求。
解决这类问题的方法是，可以先按强度设计准则设计截面尺寸，然后校核刚度设计准则是否满足；也可以先按刚度设计准则设计截面尺寸，然后校核强度设计是否满足。或者，同时按强度和刚度设计准则设计截面尺寸，最后选两种情形下所得尺寸中之较大者。现按后一种方法计算如下。
1、强度设计
根据强度设计准则
于是，有
把上面数据代入设计准则得
2、刚度设计
根据刚度设计准则
由表6-1中受均布荷载作用的悬臂梁的计算结果，得
于是，有
其中，将上式代入刚度设计准则得
由此解得
§8－7提高构件强度和刚度的途径
1、提高构件强度的途径
(1)改变支承与加力点的位置使弯矩和扭矩的峰值尽量减小。集中载荷变为分布载荷、约束位置的改变都可以明显减小最大弯矩的值。
(2)根据应力分布特点选择经济合理的截面形状，并充分利用材料的力学性能。
2、提高构件刚度的途径
提高梁的刚度、主要是指减小梁的弹性位移。弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和杆的刚度有关。因此提高构件刚度的方法有：
（1）增加约束，减小梁的跨度。
（2）选择合理的横截面形状和尺寸，以增加截面的惯性矩。
附：
小结
本章将前几章的理论分析（内力、应力、应力状态、失效与设计准则等）与实验研究（材料的力学性能）的结论与方法应用与工程设计，具综合性和应用性。
学习本章时，既要学会工程设计方法，增强工程观念，更要学会如何将材料力学的概念、理论和方法应用于工程实际。
通过各类杆件的强度设计，要复习巩固前几章的理论分析内容；只有熟练掌握了材料力学的基本内容和方法，才能为工程设计提供可靠基础。
