第一学期第一次课
第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识
代数系统的概念
一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。
数域的定义
定义（数域） 设是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对内任意两个数、（可以等于），必有，则称K为一个数域。
例1.1 典型的数域举例： 复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = {i |∈Q}，其中i =。
命题 任意数域K都包括有理数域Q。
证明 设为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素。于是
。
进而Z,
。
最后，Z，，。这就证明了Q。证毕。
集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念
定义(集合的交、并、差) 设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集，记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做。
定义（集合的映射） 设、为集合。如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素（记做），则称是到的一个映射，记为
如果，则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做，即。
若都有 则称为单射。若 都存在，使得，则称为满射。如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应。
1.1.4 求和号与求积号
1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。
设给定某个数域上个数，我们使用如下记号：
,
.
当然也可以写成
,
.
2. 求和号的性质. 容易证明，
事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：
分别先按行和列求和，再求总和即可。
