第一学期第九次课 第二章 §5 n阶方阵 2.5.1 n阶方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，初等矩阵，对称、反对称、上三角、下三角矩阵 定义（数域上的阶方阵） 数域上的矩阵成为上的阶方阵，上全体阶方阵所成的集合记作。 定义（阶对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵） 数域上形如  的方阵被称为n阶对角矩阵，与其他矩阵相乘，有 ； 。 形如  的方阵被称为n阶数量矩阵，与其他矩阵相乘，有 ； 。 矩阵  被称为n阶单位矩阵，记作，有 ； 。 我们记第i行第j列为1，其余位置全为零的n阶方阵 。 定义 初等矩阵 我们把形如  其中对角线上除了第i个元素为k以外，全为1，其他位置全为0的矩阵和形如  其中对角线上的元素全为1，第i行j列位置上为k，其余位置都为0的矩阵和形如  其中对角线上的元素除了第i和第j个元素为零外，都为1，第i行第列和第（n-i）行第（n-j）列位置上为1，其余位置均为零的矩阵称为初等矩阵，分别用，，来表示。初等矩阵都是由单位阵经过一次初等变换得到的。 定义 对称矩阵、反对称矩阵 设为数域K上的n阶方阵，若，称A为对称矩阵；若，则称为反对称矩阵。 若为数域上的阶对称（反对称）矩阵，则仍为K上的n阶对称（反对称）矩阵，其中。 定义 上三角、下三角矩阵 数域K上形如  的n阶方阵被称为上三角矩阵；形如  的n阶方阵被称为下三角矩阵。 对于n阶上（下）三角矩阵，同样有 若为数域K上的n阶上（下）三角矩阵，则仍为K上的n阶上（下）三角矩阵，其中。 命题 矩阵的初等行（列）变换等价于左（右）乘初等矩阵； 证明 我们分别考察三种初等矩阵 对于 ， 有 ， 等价于初等行变换中将第i行乘以一个非零数， ， 等价于初等列变换中将第i列乘以一个非零数； 对于 ， 有  等价于初等行变换中将第j行加上第i行的k倍，  等价于初等列变换中将第j列加上第i列的k倍； 对于 ， 有 ， 等价于初等行变换中互换i，j两行，而  等价于初等列变换中互换i，j两列。 于是初等行（列）变换可以等价为左（右）乘初等矩阵。证毕。 定理 一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。 证明 必要性 经过初等变换可以将一个满秩n阶矩阵（记为A）化为对角形，由初等变换与乘初等矩阵的等价性，可知存在初等矩阵 和， 使得，由于初等变换存在逆变换，于是可知用初等变换的逆变换可以将单位矩阵化为满秩矩阵A，于是，存在n阶初等矩阵和，使得 ， 由矩阵运算的结合律和单位矩阵的性质，可以知道，必要性证毕。 充分性 若可以表示成为初等矩阵的乘积，则，表示可由阶单位阵经过次初等变换得到，于是满秩。证毕。 推论 设是满秩矩阵，对于任意矩阵，有rr，rr（只要乘法有意义）. 证明 由于满秩矩阵可以写作初等矩阵的乘积，于是存在初等矩阵，使得，于是，，由初等矩阵于初等变换的等价关系，相当于对B做r次初等行变换。由于初等变换不改变矩阵的秩，所以rr；同理，rr。证毕。