第一学期第二次课
§2一元高次代数方程的基础知识
1.2.1高等代数基本定理及其等价命题
1. 高等代数基本定理
设为数域。以表示系数在上的以为变元的一元多项式的全体。如果，则称为的次数，记为。
定理（高等代数基本定理） C的任一元素在C中必有零点。
命题 设是C上一个次多项式，是一个复数。则存在C上首项系数为的次多项式，使得
证明 对作数学归纳法。
推论 为的零点，当且仅当为的因式（其中）。
命题（高等代数基本定理的等价命题） 设 为C上的次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在个复数，使
证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设是一个数域，是一个未知量，则等式
（1）
（其中）称为数域上的一个次代数方程；如果以带入（1）式后使它变成等式，则称为方程（1）在中的一个根。
定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域上的次代数方程在复数域C内必有一个根。
命题 次代数方程在复数域C内有且恰有个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
，
，
如果存在整整数,,及个不同的复数，使得
，
则。
1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性
设，其中。设的复根为（可能有重复），则
所以
；
；
我们记
；
；
；
（称为的初等对称多项式）。于是有
定理2.5 (韦达定理) 设，其中。设的复根为。则
；
；
命题 给定R上次方程
， ，
如果i是方程的一个根，则共轭复数i也是方程的根。
证明 由已知，
.
两边取复共轭，又由于R，所以
.
推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。
证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在C内有奇数个根，故其中必有一根为实数。
