第一学期第三次课
§3线性方程组
1.3.1数域K上的线性方程组的初等变换
举例说明解线性方程组的Gauss消元法。
定义（线性方程组的初等变换） 数域上的线性方程组的如下三种变换
（1） 互换两个方程的位置；
（2） 把某一个方程两边同乘数域内一个非零元素；
（3） 把某一个方程加上另一个方程的倍，这里
的每一种都称为线性方程组的初等变换。
容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。
命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解
证明 设线性方程组为
（*）
经过初等变换后得到的线性方程组为（**），只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**）的解也是（*）的解即可。
设是（*）的解，即（*）中用代入后成为等式。对其进行初等变换，可以得到代入（**）后也成为等式，即是（**）的解。反之，（**）的解也是（*）的解。
证毕。
1.3.2线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换
定义（数域上的矩阵） 给定数域K中的个元素（，）。把它们按一定次序排成一个行列的长方形表格
称为数域K上的 一个行列矩阵，简称为矩阵。
定义（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵） 线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵称为方程组的系数矩阵；如果把方程组的常数项添到内作为最后一列，得到的矩阵
称为方程组的增广矩阵。
定义(矩阵的初等变换) 对数域上的矩阵的行（列）所作的如下变换
互换两行（列）的位置；
把某一行（列）乘以K内一个非零常数；
把某一行（列）加上另一行（列）的倍，这里
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域上常数项都为零的线性方程组称为数域K上的齐次线性方程组。
这类方程组的一般形式是
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解；
证明 对变元个数作归纳。
说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上，
在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果所给的是数域上的线性方程组，那么做初等变换后仍为上的线性方程组，所求出的解也都是数域中的元素。因此，对上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域中进行。
