第一学期第十次课 2.5.2可逆矩阵，方阵的逆矩阵 1、可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义 定义 设A是属于K上的一个n阶方阵，如果存在属于K上的n阶方阵B，使 ， 则称B是A的一个逆矩阵，此时A称为可逆矩阵。 2、群和环的定义 定义 设A是一个非空集合。任意一个由到A的映射就成为定义在A上的代数运算。 定义 设G是一个非空集合。如果在G上定义了一个代数运算（二元运算），称为乘法，记作，而且它适合以下条件，那么就成为一个群： 乘法满足结合律 对于G中的任意元素a,b,c有 ； 存在单位元素，对于任意，满足 ； 对于任意，存在，使得 。 关于群的性质，我们有如下命题： 命题 对于任意，同样有 证明 对于，存在，使得， ， 两端右乘，得到 。 命题 对于任意，同样有 证明 。 命题 单位元素唯一 证明 假设存在，均是单位元素，则。 命题 对于任意，存在唯一，使得 ，于是元素就称为的逆元素，记为。 证明 设存在，满足条件，则 。 易知，。 命题 对于G中的任意元素a,b，方程有唯一解。 定义 一个群G称为一个交换群（Abelian Group），若定义在上面的代数运算满足交换律，即对于任意，都有。 定义 设L是一个非空集合，在L上定义了两个代数运算，一个叫加法，记为a+b，一个叫乘法，记为ab。如果具有性质： （1）、L关于加法成为一个交换群； （2）、乘法满足结合律，即 ，有； （3）、乘法关于加法满足分配律，即，有  那么L就称为一个环。 命题 数域上的阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群，称为上的一般线性群，记为GL；数域上的阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环，称为上的全矩阵环，记为M； 证明 按定义逐项验证即可。其中GL中乘法的单位元是n阶单位矩阵，而M中加法的单位元是n阶零方阵。 命题  证明 ，由逆矩阵的唯一性可知，命题成立。 命题 假设n阶可逆方阵A的逆矩阵是B，则是的逆矩阵。 证明 只需要证明即可。 事实上， ， 于是命题得证。 命题 矩阵可逆当且仅当满秩； 证明 必要性 若n阶方阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得，于是有 ，于是； 充分性 若n阶方阵满秩，则A可以表为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使得。只需要证明初等矩阵是可逆的。事实上，；；，所以由命题 。证毕。 2.5.3用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，矩阵方程和的解法（为可逆阵） 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵 如果A可逆，则A满秩。于是A可以经过初等行变换化为对角形，即 ，则。 于是，对单位矩阵做与把A化为标准形相同的初等行变换（由矩阵乘法和初等变换的等价性可以知道这是可行的）就可以得到A的逆矩阵，不妨把可逆矩阵A和单位矩阵E并在一起，得到，对A进行初等行变换，将其化为对角形，即得到； 同样地，将可逆矩阵和单位矩阵拼成如下形状 ， 进行初等列变换，同样可以得到。 2、关于矩阵方程和的解法（其中为可逆阵） a、关于矩阵方程，其中A是一个矩阵，X和B是矩阵。 由关于群性质，可以知道，于是将A和B并排拼成一个矩阵，进行初等行变换，将A化为单位矩阵，于是可以得到； b、关于矩阵方程，其中A是一个矩阵，X和B是矩阵。 同样地，我们将A和B拼为，可以得到方程的解。 例 设和为数域上的和矩阵，则 rr+r 证明 存在和初等矩阵，使得，其中D为A在初等变换的下标准形，记为的秩。令,则。Q和P均为满秩方阵，则 ， 记为，则 =， 于是的秩为前s个行向量的秩。而可以被前s个行向量的极大线性无关部分组和的后n-s个向量线性表示，于是 ， 于是 。 证毕。