第一学期第十八次课 4.1.3 线性空间的基与维数，向量的坐标 设V是数域K上的线性空间， 定义4.9 基和维数 如果在V中存在n个向量，满足： 1）、线性无关； 2）、V中任一向量在K上可表成的线性组合， 则称为V的一组基。 基即是V的一个极大线性无关部分组。 基的个数定义为线性空间的维数。 命题4.4 设V是数域K上的n维线性空间，而。若V中任一向量皆可被线性表出，则是V的一组基。 证明：由与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等。 命题4.5 设V为K上的n维线性空间，，则下述两条等价： 1）、线性无关； 2）、V中任一向量可被线性表出。 定义4.10 向量的坐标 设V为K上的n维线性空间，是它的一组基。任给，由命题 ，可唯一表示为的线性组合，即，使得 ， 于是我们称为在基下的坐标。 易见，在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系。