第一学期第二十二次课 4.2.7线性空间关于一个子空间的同余关系 定义 给定K上的线性空间V，M是V的子空间，设是V的一个向量。如果V的一个向量满足：，则称与模M同余，记作。 易见，同余关系是V上的一个等价关系。 把全部等价类组成的集合（一个等价类视为等价类集合中的一个元素）记为，中的元素形如 ， 我们称为一个模M的同余类，而将等价类中的任一元素称为等价类的代表元素。 命题 同余类满足如下一些性质： 1）、； 2）、； 3）、； 4）、若，则。 证明 1）由定义可以得出；若，则由1），，则，于是，，同理，于是，2）得证；由2）可以推出3）； 我们将记为。 4.2.8商空间的定义，定义的合理性以及商空间的基的选取 定义 中的运算（加法和数量乘法） 对于任意，定义；。 下面证明加法和数量乘法是良定义，即若，，有；且，有。 事实上，若，，则，，于是，，，于是，加法和数乘是良定义。 命题 关于上面定义的加法和数乘构成一个线性空间。 证明 逐项验证即可。 定义 这个线性空间被称为对子空间的商空间。 命题 设是数域上的n维线性空间，是的一个维子空间，则 ； 证明 任取的一组基，将它扩为的一组基，断言是的一组基。 首先证明线性无关性。设有，使得，由加法的定义，左端=，于是，故存在，使得，而由于是的一组基，则。 再证中任一向量可被表成的线性组合。事实上，任取，则存在，使得，由于，于是。 于是是的一组基。证毕.。