第一学期第二十次课 4.2.2子空间的交与和，生成元集 定义4.13 设，则是V的一个子空间，称为由生成的子空间，记为。易见，生成的子空间的维数等于的秩。 定义4.14 子空间的交与和 设为线性空间V/K的子空间，定义 ，称为子空间的交； ，称为子空间的和。 命题4.9 和都是V的子空间。 证明： 由命题 ，只需要证明和关于加法与数乘封闭即可。 事实上，，则，。由于均是V的子空间，则，于是，关于加法封闭，，，，于是，关于数乘封闭；，则由的定义，，使得，而，则 ，关于加法封闭， ，，使得，由于，则，关于数乘封闭。 证毕。 命题4.10 设是V的子空间，则和均为V的子空间。 4.2.3 维数公式。 定理4.1 设V为有限维线性空间，为子空间，则 。 这个定理中的公式被称为维数公式。 证明： 设，，，， 取的一组基（若=0，则，基为空集） 将此基分别扩充为的基 ， ， 只需要证明是的一组基即可。 首先，易见中的任一向量都可以被线性表出。事实上，，则，其中， 而   于是可被线性表出。只要再证明向量组线性无关即可。 设， 其中 则 ，（*） 于是 ， ， 于是，记为。 则可被线性表示，则 ， 带入（*），有 ， 由于是的一组基，所以线性无关，则 ， 带回（*），又有 ， 于是向量组线性无关。 证毕。 推论2.1 设都是有限为线性空间V的子空间，则： 。 证明：对t作归纳。