第一学期第十四次课 第三章 §3行列式的初步应用 3.3.1行列式的应用：用行列式求逆矩阵；克莱姆法则 定义 设矩阵 ， 矩阵  称为的伴随矩阵。 由行列式的性质容易证得， ， 其中，为Kronecker记号。于是有 命题 对于阶满秩方阵，有，若，则。 考察线性方程组 ， 将其记为，若满秩，则 ， 而 ， 就是把的第列换成后的行列式，记 ， 于是有： 定理 若数域上的个未知量个方程的线性方程组的系数矩阵的行列式，则它有唯一的一组解。这个定理称为Cramer法则。 3.3.2矩阵乘积的行列式、用矩阵的子式的行列式刻画矩阵的秩 命题 设，则。 证明 对讨论满秩与不满秩的情况。 定义 设 ， 取，，  称为的一个阶子式，记为。 引理 存在非零的阶子式。 证明 “” 若，则由矩阵的秩的定义，存在个线性无关的行向量，设它们为行，取它们构成一个秩为的矩阵  存在个线性无关的列向量，设它们为列，于是； “” 若存在，则此子式的个列向量线性无关，将它们扩充成为原矩阵的第，它们仍线性无关。证毕。 命题 对于上的阶方阵，当且仅当存在某个阶子式不等于零，但所有阶子式都等于零。 证明 “” 若，则由引理，存在某个阶子式不等于零。若存在某个阶子式不等于零，则由引理，，矛盾于，必要性得证； “” 若对于，存在某个阶子式不等于零，则，而但所有阶子式都等于零，则，于是，证毕。