第一学期第八次课 第二章 §4矩阵的运算 2.4.1矩阵运算的定义 定义（矩阵的加法和数乘） 给定两个矩阵 ， ， 和加法定义为 ； 给定数域中的一个元素，与的数乘定义为 . 定义（矩阵的乘法） 给定一个矩阵和一个矩阵 ， ， 和的乘法定义为 . 2.4.2 矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）的性质 命题 矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中均为上的矩阵，为数域中的元素） 加法结合律 ； 加法交换律 ； 数乘结合律 ； 数乘分配律 ； ； （5） 乘法结合律 ； ； （6） 乘法分配律 ； ； （7） ; （8） 。 2.4.3 矩阵的和与积的秩 命题 矩阵的运算与秩的关系满足如下性质（其中均为数域上的矩阵，为中的元素）： 若，则rr； rr； （3） rrr 证明 （1）和（2）显然成立。关于（3），由矩阵的秩的定义，只需要证明的列向量组的秩小于等于的列向量组的秩加上的列向量组的秩即可。的列项量可以被和的所有列向量线性表出，于是的秩小于等于所有列向量的所组成的向量组的秩，小于等于秩的和。于是命题成立。 命题 设分别为矩阵和一个矩阵，则rminrr 证明 由矩阵乘法的定义，有 . 的列向量（记为）可表示为 ，（）， 于是每一个列向量都可以写成的列向量组的线性组合，故rr；同理可证，rr，于是rminrr。 命题 rrr. 证明 记，设的列向量为，则的列向量可以表示为 . （1） 设的列向量的一个极大线性无关部分组为， ，， 任取的一个列向量，存在，使得， 将（1）式代入，得到 ， 于是是方程组的一个特解。 设齐次线性方程组的基础解系为，由线性方程组理论知，方程的解可以表示为 ， 其中，由，是方程的解，于是的列向量可以被向量组线性表示，于是rrr，即 rrr. 证毕。 定义 阶方阵自左上角到右下角这一条对角线称为的主对角线。主对角线上的个元素的连加称为的迹。