第一学期第四次课
第二章 向量空间与矩阵
m维向量空间
2.1.1 向量和m维向量空间的定义及性质
定义（向量）设是一个数域。中个数所组成的一个元有序数组称为一个m维向量；
（）
称为一个m维列向量；而
称为一个m 维行向量。
我们用记集合。
定义（中的加法和数量乘法） 在中定义加法如下：两个向量相加即相同位置处的数相加，即
.
在定义数量乘法为用中的数去乘向量的各个位置，即对于某个，
定义（维向量空间） 集合和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为数域上的m维向量空间。
命题（向量空间的性质） 向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性质（其中表示数域，表示中的向量）：
加法结合律：；
加法结合律：
向量（0,0,……,0）（记为）具有性质：对于任意，有；
，令，称其为的负向量，它满足；
对于数1，有
对内任意数, ，有；
对内任意数, ，有；
对内任意数，有 。
2.1.2 线性组合和线性表出的定义
定义（线性组合） 设 ，，则称向量为向量组的一个线性组合。
定义（线性表示） 设，。如果存在，使得
，
则称可被向量组线性表示。
2.1.3 向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述
定义（线性相关与线性无关） 设。如果存在不全为零的，使得
，
则称线性相关，否则称为线性无关。
注意：根据这个定义，线性无关可以表述如下：若，使得，则必有。
如果
，
显然线性相关当且仅当齐次线性方程组
有非零解，线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解。
命题 设，则下述两条等价：
1）线性相关；
2）某个可被其余向量线性表示。
证明 1）2）. 由于线性相关，故存在不全为零的个数，使得
。
不妨设某个。于是，由向量空间的性质有
2）1）. 如果某个可被其余向量线性表示，即存在，使得
.
由向量空间的性质有
.
于是线性相关。证毕。
推论 设，则下述两条等价：
1）线性无关；
2）任一不能被其余向量线性表示。
