第一学期第十二次课 第三章 §1，§2 阶方阵的行列式 3.1.1平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质 在解析几何中已证明，给定二维向量空间中的单位正交标架，设向量的坐标分别为和，则由向量张成的平行四边形的有向面积为，这里记为；给定三维空间内右手单位正交标架，设向量的坐标分别为、和，则由向量张成的平行六面体的有向体积为。 我们引入如下记号：对于二阶方阵，定义；对于三阶方阵，定义。 不难发现，（有向面积与有向体积）满足以下三条性质： （1）、如果的某行或某列换为两个向量的线性组合，则，其中分别为把该行（列）换为所得的阶方阵； （2）、如果不满秩，则； （3）、当为单位矩阵时，。 3.1.2利用上述三条性质定义阶方阵的行列式函数的det 定义 线性函数 若满足如下条件：对中任意向量(写成横排形式)以及K中任意数k，，都有 =+；=， 则称为上的一个行线性函数。 设满足如下条件 对中任意向量（写成竖排形式）以及K中任意数k，，都有 ； ， 则称为上的一个列线性函数。 同样地，行（列）线性函数的定义还可以写作 ，有 =+和 。 容易证明它们与上面定义的等价性。 定义 反对称线性函数 记号如上，若列线性函数f满足 ， 则称f为列反对称函数。 定理 设为列线性函数，则下述四条等价： i）、反对称； ii）、； iii）、； iv）、若M不满秩，则。 证明 i）ii） 若反对称，则 ， 于是。 ii）iii） 若，由于列线性，则  iii）iv） 若，则由已知，不满秩矩阵必有一个列向量可以被其他列向量线性表出。若记M的列向量为，则必存在一个，满足，其中，于是 。 iv）ii） 矩阵不满秩，则。 ii）i） 若，则 ， 于是 ， 则有。证毕 定义 函数被称为一个行列式函数，当且仅当满足下列3条性质： 1、列线性； 2、反对称； 3、。 2.3.3行列式函数的存在性与唯一性 引理 设和为烈现行反对称函数，。则若经过相同的初等列变换化为和，则 。 证明 由初等变换的可逆性，只需证“”。只需分别对三类基本初等列变换进行证明。 定理 行列式函数存在且唯一。 证明 首先证明若行列式函数存在，则唯一。设是行列式函数，若A不满秩，则；若A满秩，则可以经过初等列变换化为， ，于是由引理，即和在上取值相等，于是。唯一性证毕。 再证明行列式函数的存在性。定义函数det如下：设，定义 ； 设在集合内函数已定义，那么，对 ， 定义其中表示划去A的第i行和第j列后所剩的n-1阶方阵的值，为。 用记号来代表，如果，可以写成  下面要证明上述定义的函数是行列式函数，从而说明了行列式函数的存在性。 对作归纳，可分别证明； 是列线性函数和反对称，于是是行列式函数。 命题 行列式函数是行线性函数。 证明 对作归纳。 3.2.4行列式的六条性质 命题 行列式函数满足以下六条性质： 1、； 2、， 类似地，对行向量，有 ； 3、若A的某列（行）为两列（行）之和，则为两个相应的行列式之和； 4、A不满秩，则，特别地，A有两行（列）相等，则； 5、将A的一行（列）的若干倍加到B的另一行（列）上去，行列式值不变； 6、两行（列）互换，行列式反号。