第一学期第二十一次课 第四章 §2子空间与商空间 4.2.4子空间的直和与直和的四个等价定义 定义 设V是数域K上的线性空间，是V的有限为子空间。若对于中任一向量，表达式  是唯一的，则称为直和，记为 或。 定理 设为数域K上的线性空间V上的有限为子空间，则下述四条等价： 1）、是直和； 2）、零向量表示法唯一； 3）、； 4）、。 证明  显然。 设则 。 由2）知，零向量的表示法唯一，于是 ， 即的表示法唯一。由直和的定义可知，是直和。 假若存在某个，使得，则存在向量且，于是存在，使得 。 由线性空间的定义， ， 则，与零向量的表示法唯一矛盾，于是 。  若2）不真，则有 ， 其中且。于是 ， 与3）矛盾，于是2）成立。 对m作归纳。m=2时，由维数公式得到 。 设已证，  而，都有； 用归纳假设，可以得到；  ，都有 ， 于是。证毕。 推论 设为V的有限维子空间，则下述四条等价： i）、是直和； ii）、零向量的表示法唯一； iii）、； iv）、。 4.2.5直和因子的基与直和的基 命题 设，则的基的并集为V的一组基。 证明 设是的一组基，则V中任一向量可被线性表出。又，由命题 ，它们线性无关，于是它们是V的一组基。 证毕。 4.2.6补空间的定义及存在性 定义 设为V的子空间，若子空间满足，则称为的补空间。 命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间。 证明 设为K上的n为线性空间V的非平凡子空间，取的一组基，将其扩为V的一组基取，则有 ，且， 于是，即是的补空间。证毕。