第一学期第十五次课 第三章 §4行列式的完全展开式 3.4.1一些基本概念 定义 给定个互不相同的自然书，把它们按一定次序排列起来： ， 称为该个自然数的一个排列。在上述排列中，如果有一个较大的自然竖排在一个较小的自然数前面，则称为一个反序。一个排列中包含的反序的总数称为该排列的反序数。排列的反序数计作。一个排列的反序数为奇数时，该排列称为奇排列；如果反序数时偶数，则称为偶排列。 的算法 给定个自然数，按大小顺序排列： ， 现在把它们按任意次序重排，得元排列，这个排列的反序数可用下法计算：先找出排在前面的数字有多少，设为，然后划去，再看前面未划去的数字有多少，设为，然后划去，再看前面未划去的数字有多少，设为，然后划去，…，经过次后，即得 。 命题 给定数域上的矩阵，（）， ， 取定个自然数，按大小次序排列：，又设是这个自然数的一个排列，则 。 推论 将命题中的互换，则其奇偶性发生变化。 定理 数域上的阶行列式有如下展开式 。 证明 令，证明是行列式函数。 推论 设，则。