第 12章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
12.1 非正弦周期信号
12.2 周期函数分解为傅里叶级数
12.3 有效值、平均值和平均功率
12.4 非正弦周期电路的计算
小 结
12.1 非正弦周期信号
12.1.1 非正弦周期信号
几种常见的非正弦波
图 12.1
（ a） 尖脉冲电流； （ b） 矩形波电压 ; （ c） 锯齿波电压
i
t0 T
( a )
u
t0 T
( b )
u
t0 T
( c )
12.1.2 非正弦周期信号的分解
在介绍非正弦周期信号的分解之前,我们先讨论几个不同频
率的正弦波的合成 。 设有一个正弦电压 u1=U1msinωt,其波形如图
12.2（ a） 所示 。 显然这一波形与同频率矩形波相差甚远 。 如果
在这个波形上面加上第二个正弦电压波形,其频率是 u1的 3倍,而
振幅为 u1的 1/3,则表示式为
tUtUu mm ?? 3s i n31s i n 112 ??
其波形如图 12.2（ b） 所示 。 如果再加上第三个正弦电压波形,其
频率为 u1的 5倍,振幅为 u1的 1/5,其表示式为
tUtUtUu mmm ??? 5s i n513s i n31s i n 1113 ???
其波形如图 12.2（ c） 所示 。 照这样继续下去,如果叠加的正弦项
是无穷多个,那么它们的合成波形就会与图 12.2（ d） 的矩形波一
样 。
( a )
t
u
1
0
( b )
t
u
2
0
( c )
t
u
3
0
( d )
t
u
0
图 12.2 矩形波的合成
由此可以看出,几个不同频率的正弦波可以合成一个非正弦的
周期波 。 反之,一个非正弦的周期波可以分解成许多不同频率的
正弦波之和 。
由数学知识可知,如果一个函数是周期性的,且满足狄里赫利
条件,那么它可以展开成一个收敛级数,即傅里叶级数 。 电工技术
中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件 。 设给定的周期函数
f（ t） 的周期为 T,角频率 ω＝ 2π/T,则 f（ t） 的傅里叶级数展开式
为
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1
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k
kkm
kkm
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tkA
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（ 12 — 1）
利用三角函数公式,还可以把式（ 12 — 1）写成另一种形式,
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)s inc o s(
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k
kk
kk
tkbtkaa
tkbtka
tbtatbtaatf
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（ 12 — 2）
式中,a0,ak,bk称为傅里叶系数,可由下列积分求得,
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T
b
ttdktftdtktf
T
a
tdtfdttf
T
a
T
k
T
k
T
(12— 3)
k
k
k
kkkm
b
a
baA
aA
ar c t a n
22
00
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??
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?
式 （ 12— 1） 和式 （ 12— 2） 各系数之间存在如下关系,
(12 —
4)
例 12.1 已知矩形周期电压的波形如图 12.3所示 。 求 u（ t）
的傅里叶级数 。
解 图示矩形周期电压
在一个周期内的表示式为
kkmk
kkmk
Ab
Aa
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c os
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? (12 — 5)
图 12.3 例 12.1 图
t
u
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U m
－ U m
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(
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2
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Tt
T
U
tu
T
tU
m
t
m
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由式（ 12— 3）可知,
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k
m
k
bk
k
U
bk
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?当 k为奇数时,
当 k为偶数时,
由此可得
为奇数）ktk
k
ttt
U
tu m
()s i n
1
5s i n
5
1
3s i n
3
1
( s i n
4
)(
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???
?
例 12.2 求图 12.4所示周期信号的傅里叶级数展开式。
解 i (t)在一个周期内的表示式为
t
i ( t )
0
I
m
－
T
2
T
2
图 12.4 例 12.2 图
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T
m
T
k
T
T
m
T
T
m
T
m
t d tkt
T
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T
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T
I
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T
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T
a
T
t
T
t
T
I
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利用分步积分法及,得
T
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2
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2
2
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2
22
2
2
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2
2
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k
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k
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T
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T
k
T
T
m
T
T
T
T
m
k
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?
利用函数的对称性质,可使系数 a0,ak,bk的确定得到简化。
(1) 如果周期函数的波形对称于横轴 。 即在一个周期内,横轴
上方的正面积与横轴下方的负面积互相抵消,就不存在直流分量 。
如图 6.3所示 。
(2) 如果周期函数的波形对称于坐标原点,即 f（ t） ＝－ f（ － t）
为奇函数 。 如图 6.4所示 。 其傅里叶级数展开式将不含直流分量和
余弦项,只含正弦项 。
(3) 如果周期函数的波形对称于纵轴,即 f（ t） ＝ f（ － t） 为偶函
数 。 如图 6.5所示 。 将它分解成傅里叶级数时,将不含正弦项,只含
有直流分量和余弦项 。
(4) 如果函数的波形是镜像对称,即 f(t)=－ f(t+T/2)。 也就是在
任一周期内把第二个半波的波形向前移动
i(t)的傅里叶级数展开式为
)3s i n312s i n21( s i n2s i n)(
1
???????? ??
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tttItkbti
k
m
k ?????
t
f ( t )
0
A m
T
2
T t
f ( t )
0 T
图 12.5 偶函数波形 图 12.6 镜像对称波形成
12.2 周期函数分解为傅里叶级数
??????
???????
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2
7s i n (
7
1
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2
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ttt
tttttf1,振幅频谱图的作法
A
k
0
A
0
A
1
A
3
A
5
A
7
k ?7 ?5 ?3 ??
图 12.9 振幅频谱图
画出一个直角坐标,以谐波角频率 kω为横坐标,在各谐波角
频率所对应的点上,作出一条条垂直的线叫做谱线 。 如果每条谱
线的高度代表该频率谐波的振幅,这样画出的图形称为振幅频谱
图,如图 12.9所示 。 将各谱线的顶点连接起来的曲线 （ 一般用虚
线表示 ） 称为振幅包络线 。
例 12.3 图 12.10（ a） 为电视机和示波器扫描电路中常用的锯
齿波,试画出其振幅频 谱图 。
解 查表 12.1,可得锯齿波电压的傅里叶级数展开式为
k ?
A
k
0 ?
( b )
U
m
2 U m
? U
m
??
U
m
??
U
m
??
U
m
??
? ? ? ? ? ? ? ?t
u
0 T
( a )
U
m
图 12.10 例 12.3 图
根据上式可以画出其频谱图如图 12.10（ b）所示。
例 12.4 图 12.11给出了矩形脉冲电压的波形,它是无线电技
术中一种很重要的信号 。 其中脉冲幅度为 Um,脉冲的持续时间
为 τ,脉冲的周期为 Ｔ,试画出其频谱图 。
)3s i n312s i n21( s i n2)( ???????? tttUUtu mm ????
t0 T
( a )
－
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2
u
k ?
A
k
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( b )
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4 ?
?T = 3 ?
2 a
0
图 12.11 例 12.4 图
解 该信号在一个周期的数学表达式为
)
22
,
22
(0
)(
)
22
(
T
tt
T
tu
tU m
??????
?
???
??
??
由于此信号对称于纵轴,因此,bk＝０,傅里叶级数不含正弦分
量,只含直流分量和余弦 分量 。
tdtkU
T
tdtktu
T
a
T
U
dtU
T
dttu
T
a
T
T m
T
Tk
m
m
T
T
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1
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2
2
2
2
2
2
2
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??
??
??
????
若令 T＝ 3τ,则其频谱图如图 12.11(b)所示。
2,周期信号的频谱特性。
(1) 频谱是由一系列不连续的谱线组成。
(2) 相临两条谱线之间的间隔是基波频率 ω,谱线的这种 性质
称为谱波性 。
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2
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k
k
T
U
k
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U
tk
tk
U
m
mm
矩形脉冲的傅里叶级数展开式为
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2
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k
m
k
k tk
k
k
T
U
tkaatu ?
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(3) 各谱线的高度,总的趋势是逐渐减
小的。
(4) 如果脉冲的周期 T不变,脉冲的持续
时间 τ减小,也就是脉冲变窄 。 此时,振幅频谱
的收敛速度将变慢 。 如图 12.12（ b） 所示,此
图的 τ′=τ/2,T=6τ′ 。 与图 12.12(a) 比较
（ T=3τ）,收敛速度明显变慢了 。
(5) 如果脉冲的持续时间 τ不变,周期 T增
大时,谱线将变密 。 如图 12.12（ c） 所示,此
图的 T′=6τ。
12.3 有效值、平均值和平均功率
12.3.1 有效值
?? T dtiTI 0 21
(12 — 6)
下面我们讨论非正弦周期信号的有效值与各次谐波有效值的
关系 。 若将电流 i 分解成傅里叶级数,
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?
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???
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1
0
22110
)s i n (
)s i n (
)2s i n ()s i n (
k
kkm
kkm
mmm
tkII
tkI
tItIIi
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??
????
将上式积分号内直流分量与各次谐波之和的平方展开,结果有以下
四种类型,
dttkII
T
I
k
kkm
T
2
1
00 )s i n (
1
??
?
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? ??? ?
?
?
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将该表达式代入式（ 12— 6）得
)(0)s i n ()(s i n2
1
)4(
0)(s i n2
1
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2
)(s i n
1
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1
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2
0
qkdttqItkI
T
dttkII
T
I
I
dttkI
T
IdtI
T
qqmkkm
T
kkm
T
k
km
k
T
km
T
????
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???
?
?
?
?
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????
??
??
因此,电流 i 的有效值可按下式计算,
??????????????
??????????????
?
?
?
?
?
?
22
2
2
1
2
0
1
22
0
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2
2
1
2
0
1
22
0
k
k
k
k
k
k
UUUUUUU
IIIIIII
同理,非正弦周期电压的有效值为
（ 12 —
12)
(12 — 8)
所以,非正弦周期电流和电压的有效值等于各次谐波有效值平
方和的平方根 。 各次谐波有效值与最大值之间的关系为
2
,
2
km
k
km
k
U
U
I
I ??
例 12.5 已知周期电流的傅里叶级数展开式为
i=100—63.12 sin ωt—31.8 sin 2ωt—21.2 sin 3ωt A
求其有效值。
解
???
???
???
??
15
2
2.21
5.22
2
8.31
45
2
7.63
100
3
2
1
0
I
I
I
I
所以
?????????? 9.11 2155.224510 0 222223222120 IIIII
电流 i的有效值为 112.9 A 。
12.3.2 平均值 实践中还会用到平均值的概念。 以电
流为例,其定义为
dti
T
I
T
av ?? 0
1 (12 — 9)
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值 。 式 （ 12 —
9） 也称为 整流平均值,它相当于正弦电流经全波整流后的平均值 。
例如,当 i=I m sin ωt 时,其平均值为
II
I
dttI
T
dttI
T
dti
T
I
m
m
m
T
m
TT
av
898.0637.0
2
s i n
2
s i n
11
2
0
00
??
??
??
?
??
?
?
?
比较式 （ 12 — 3）,（ 12— 6）,（ 1212—9） 可以看出,非正弦交流
电路中
的直流分量,有效值和平均值是三个不同的概念,应加以区分。
12.3.3 平均功率
设有一个二端网络,在非正弦周期电压 u的作用下产生非正弦
周期电流 i,若选择电压和电流的方向一致 (如图 12.14所示 ),此二
同理,电压平均值的表示式为
dtuTU Tav ??
0
1 (12 — 10)
i
二
端
网
络
u
＋
－
图 12.14 平均功率用图
u i d t
T
p d t
T
p
uip
TT
?? ??
?
00
11
将电压和电流展开成傅里叶级数,有
)s i n (
)s i n (
1
1
ki
k
kmo
ku
k
kmo
tkIIi
tkUUu
??
??
???
???
?
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?
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?
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二端网络吸收的平均功率为
? ?? ?dttkIItkUUTP kukm
k
kukm
k
T )s i n ()s i n (1
1
0
1
00 ???? ????? ???
?
?
?
?
将上式积分号内两个积数的乘积展开,分别计算各乘积项在一
个周期内的平均值,有以下五种类型项,
dttktkIU
T
IUIU
T
kikukmkm
T
T
)s i n ()s i n (
1
)2(
1
)1(
0
0000
0
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?
?
)(0)s i n ()s i n (
1
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1
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0)s i n (
1
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1
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0
0
0
0
qkdttqItkIU
T
dttkIU
T
dttkIU
T
IUIU
qiqmkukm
T
kukm
T
kikm
T
kkkkikukmkm
????
??
??
???
?
?
?
????
??
??
???
因此,二端网络吸收的平均功率可按下式计算：
????????????
???? ??
?
?
?
?
k
k
k
kkk
k
PPPP
PPIUIUP
210
1
0
1
00 c o s ?
(12— 11)
其中,,是 k次谐波的平均功
率 。 kkkkkukkk
IUIUP ??? c o s)c o s ( ???
必须注意,只有同频率的谐波电压和电流才能构成平均功率,
不同频率的谐波电压和电流不能构成平均功率,也不等于端口电
压的有效值与端口电流有效值的乘积 。
例 12.6 流过 10 Ω电阻的电流为 i=10+28.28 cos t+14.14
cos 2t A
求其平均功率 。
解
? ? W
IIIRRIRIRIPPPP
6 00 0)
2
14.14
()
2
28.28
(1010
)(
222
2
2
2
1
2
0
2
2
2
1
2
0210
????
?????????
例 12.12 某二端网络的电压和电流分别为
u=100 sin (ωt+30° )+50sin (3ωt+60° )+25sin 5ωt V
i=10 sin (ωt—30° )+5 sin (3ωt+30° )+2 sin (5ωt—30° ) A
求二端网络吸收的功率。
解 基波功率
WIUP
WIUP
WIUP
o
o
o
6.2130c o s
2
2
2
25
c o s
2.1 0 830c o s
2
5
2
50
c o s
2 5 060c o s
2
10
2
1 0 0
c o s
5555
3333
1111
????
????
????
?
?
?
三次谐波功率
五次谐波功率
因此,总的平均功率为
WPPPP 8.3796.212.108250531 ???????
12.4 非正弦周期电流电路的计算
把傅里叶级数,直流电路,交流电路的分析和计算方法以及叠
加原理应用于非正弦的周期电路中,就可以对其电路进行分析和
计算 。 其具体步骤如下,
(1) 把给定的非正弦输入信号分解成直流分量和各次谐波分
量,并根据精度的具体要求取前几项 。
(2) 分别计算各谐波分量单独作用于电路时的电压和电流 。
但要注意电容和电感对各次谐波表现出来的感抗和容抗的不同,
对于 k次谐波有
(3) 应用线性电路的叠加原理,将各次谐波作用下的电压或电
流的瞬时值进行叠加 。 应注意的是,由于各次谐波的频率不同,
不能用相量形式进行叠加 。
Ck
X
LkX
kC
kL
?
?
1
?
?
例 12.8 如图 12.15（ a） 所示的矩形脉冲作用于图 12.15（ b）
所示的 RLC串联电路,其中矩形脉冲的幅度为 100 V,周期为 1ms,
电阻 R＝ 10 Ω,电感 L＝ 10 mH,电容 C＝ 5 μF,求电路中的电流
i及平均功率 。
解 查表 12.1可得矩形脉冲电压的傅里叶级数表达式为
)3c o s31( c o s2 0 050 ??????? ttu ???
其中基波频率,若取前三项就有图 12.15（ c）
所求的等效电路 。 sr a dT /102
2 3??? ???
i
R
L
C
u
＋
－
( b )
i
R
L
C
U
0
＋
－
( c )
U
1
＋
－
U
3
＋
－
t / m s0
u
1 0 0
0, 2 5 1
( a )
图 12.15 例 12.8 图
(1) 求直流分量 。 当 U0＝ 50V 的直流电压作用于
电路时,电感相当于短路,电容相当于开路,故 I 0＝ 0。
(2) 求基波分量 。
???
????
???????
??
?????????
?
???
)9.17s i n (95.1
9.17/95.1
1.72/6.32
90/7.63
1.72/6.323110)8.318.62(10
)
5102
10
1010102(10)
1
(
90/7.63
)90s i n (7.63c o s
2 0 0
1
1
1
.
1
.
3
6
33
1
1
.
1
o
o
o
o
m
m
o
o
m
o
ti
Z
U
I
jj
j
C
LjRZ
VU
Vttu
?
?
?
?
?
??
?
(3) 求三次谐波分量
????
?
??
????
???
??????
???
??
????
?
o
o
o
m
m
o
o
m
o
Z
U
I
j
j
C
LjRZ
VU
Vttu
8.17612.0
8.86/1.178
90/2.21
8.86/1.1788.17710
)
51023
10
100123(10
)
3
1
3(
90/2.21
)903s i n (2.213c o s
3
200
.
3
.
3
3
3
6
3
3
.
3
3
?
?
?
?
?
?
??
?
??? )8.1 7 63s i n (12.03 oti ?
(4) 将各次谐波分量的瞬时值叠加得
W
IUIUP
ttiiIi
oo
oo
2.19)8.86c o s (
2
12.0
2
2.21
)1.72c o s (
2
95.1
2
7.63
c o sc o s
)8.1 7 63s i n (12.0)9.17s i n (95.1
333111
310
?????
??
????????
??
??
电路中的平均功率为
例 12.9 如图 12.16所示的电路,R＝ 3 Ω,L＝ 0.4 H,C＝
1000 μF,
u＝ 45＋ 180 sin 10t＋ 60 sin 30t V 。 求电流 i及其有效值 。
解 (1) 求直流分量,
???
????
??
??
??
?
??
??
?
???
)3.5110s i n (6.34
3.51/6.34
3.51/2.5
0/180
3.51/2.5
)1004(3
)100)(43(
)
1
(
)
1
)((
15
3
45
1
1
.
1
o
o
o
m
o
o
ti
I
j
jj
C
LjR
C
jLjR
Z
A
R
U
I
?
?
?
?
(2) 求基波分量,
(3) 求三次谐波分量,
???
????
??
??
??
?
??
??
?
)6830s i n (1.3
68/1.3
68/2.19
0/60
68/2.19
)3.3312(3
)3.33)(123(
)
3
1
3(
)
3
1
)(3(
3
.
3
3
o
o
o
o
m
o
ti
I
j
j
C
LjR
C
jLjR
Z
?
?
?
?
(4) 叠加后可得电流 i为
)6830s i n (1.3)3.5110s i n (6.341531 ooo ttiiIi ????????
(5) 电流 i的有效值为
???????? 8.28)
2
1.3()
2
6.34(15 2222
3
2
1
2
0 IIII
例 12.10 为了减小整流器输出电压的纹波,使其更接近直流 。
常在整流的输出端与负载电阻 R间接有 LC滤波器,其电路如图
12.112(a)所示 。 若已知 R=1 kΩ,L=5 H,C=30 μF,输入电压 u
的波形如图 12.112(b)所示,其中振幅 Um =1512 V,基波角频率 ω=
314 rad/s,求输出电压 u R 。
Cu
＋
－
L
R
＋
－
u
R
( a )
t0
u
U
m
( b )
T
2
图 12.112 例 12.10 图
解 查表 12.1,可得电压 u 的傅里叶级数为
)4c os
15
12c os
3
1
2
1(4 ??????? tUu m ???
?
取到四次谐波,并代入 U m =1512 V 得
tVtu ?? 34.132c o s7.661 0 0 ???
(1) 求直流分量 。 对于直流分量,电感相当于短路,电容相当
于开路,故 U0R=100 V 。
(2) 求二次谐波分量,
Vtu
C
jR
C
jR
Z
U
U
jj
j
j
j
C
jR
C
jR
LjZ
o
R
o
o
o
o
m
mR
)5.872s i n (15.1
5.87/15.1
87/53
95.89/1.3 0 8 7
90/7.66
2
1
)
2
1
(
95.89/1.3 0 8 71.3 0 8 78.287/533 1 4 0
303 1 42
10
10
)
303 1 42
10
(10
53 1 42
2
1
)
2
1
(
2
2
2
2
.
2
00
6
3
6
3
2
??
??
???
?
?
??
??????
??
?
??
?
????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
(3) 求四次谐波分量,
(4) 输出电压为
VttU ooR )5.914s i n (056.0)5.872s i n (15.1100 ????? ??
Vtu
C
jR
C
jR
U
U
j
C
jR
C
jR
LjZ
o
R
o
o
o
o
m
mR
oo
)5.914s i n (056.0
5.91/056.0
5.88/5.26
90/5.6 2 5 3
90/3.13
4
1
)
4
1
(
4
90/5.6 2 5 35.88/5.266 2 8 0
4
1
)
4
1
(
4
4
4
.
4
.
4
??
?
??
?
?
?
?
??
?????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
比较本例题的输入电压和输出电
压,可看到, 二次谐波分量由原本占
直流分量的 66.12% 减小到 1.15%,
四次谐波分量由原本占直流分量的
13.3%减小到 0.056% 。 因此,输入
电压 u经过 LC滤波后,高次谐波分量
受到抑制,负载两端得到较平稳的输
出电压 。
小 结
(1) 非正弦的周期信号,在满足狄里赫利条件的情况下可以分
解成傅里叶级数 。 傅里叶级数一般包含有直流分量, 基波分量
和高次谐波分量 。 它有两种表示式,
)s i n ()(
)s i nc o s()(
1
0
1
0
kk
k
k
k
k
tkAAtf
tkbtkaatf
??
??
???
???
?
?
?
?
?
?
两种形式的系数之间的对应关系为：
k
k
k
kkk
b
a
baA
ar ct an
22
?
??
?
一般都是先求 ak,bk后,再利用上式求出 A k和 φk。
(2) 非正弦周期信号还可以用频谱图来表示 。 所谓频谱图,就
是用谱线表示各次谐波的振幅和相位,然后把这些线段由高到低依
次排列起来 。 非正弦周期信号的频谱有以下特点,
① 频谱的离散性 ;
② 频谱的谱波性 ;
③ 频谱的收敛性 ;
④ 脉宽与频宽成反比 。
(3) 非正弦周期信号有效值的定义与正弦信号有效值的定义相
同 。 即
?
?
?
?
T
T
dtu
T
U
dti
T
I
0
2
0
2
1
1
与各次谐波分量有效值的关系为
???????????
???????????
22
1
2
0
22
1
2
0
k
k
UUUU
IIII
非正弦交流电路的平均值指一个周期内函数绝对值的平均值 。
其定义为
dtu
T
U
dti
T
I
T
av
T
av
?
?
?
?
0
0
1
1
非正弦交流电路的平均功率的定义也与正弦交流电路平均功率的
定义相同,都表示瞬时功率在一个周期内的平均值 。 其定义为
?? ??
TT
u i d t
T
p d t
T
P
00
11
(4) 非正弦交流电路的计算,实际上是应用了线性电路的叠加
原理,并借助于直流及交流电路的计算方法,其步骤如下,
① 将非正弦信号分解成傅里叶级数 ;
② 计算直流分量和各次谐波分量分别作用于电路时的电压和
电流响应 。 但要注意感抗和容抗在不同谐波所表现的不同 。 即
????????????
????????????
kkk
k
IUIUIUIU
PPPPP
??? c osc osc os 22211100
210
与各次谐波功率之间的关系为
Ck
X
LkX
kL
kL
?
?
1
?
?
③ 将各次谐波的电压和电流响应用瞬时值表示后
再叠加。 其过程可用图 12.19表示。
y
1
( t )
线
性
电
路
y
2
( t )
y
0
( t )
y ( t )
叠加
f
1
( t )
f
2
( t )
f
0
( t )
f ( t )
分解
图 12.19 非正弦电路分析流图
12.1 非正弦周期信号
12.2 周期函数分解为傅里叶级数
12.3 有效值、平均值和平均功率
12.4 非正弦周期电路的计算
小 结
12.1 非正弦周期信号
12.1.1 非正弦周期信号
几种常见的非正弦波
图 12.1
（ a） 尖脉冲电流； （ b） 矩形波电压 ; （ c） 锯齿波电压
i
t0 T
( a )
u
t0 T
( b )
u
t0 T
( c )
12.1.2 非正弦周期信号的分解
在介绍非正弦周期信号的分解之前,我们先讨论几个不同频
率的正弦波的合成 。 设有一个正弦电压 u1=U1msinωt,其波形如图
12.2（ a） 所示 。 显然这一波形与同频率矩形波相差甚远 。 如果
在这个波形上面加上第二个正弦电压波形,其频率是 u1的 3倍,而
振幅为 u1的 1/3,则表示式为
tUtUu mm ?? 3s i n31s i n 112 ??
其波形如图 12.2（ b） 所示 。 如果再加上第三个正弦电压波形,其
频率为 u1的 5倍,振幅为 u1的 1/5,其表示式为
tUtUtUu mmm ??? 5s i n513s i n31s i n 1113 ???
其波形如图 12.2（ c） 所示 。 照这样继续下去,如果叠加的正弦项
是无穷多个,那么它们的合成波形就会与图 12.2（ d） 的矩形波一
样 。
( a )
t
u
1
0
( b )
t
u
2
0
( c )
t
u
3
0
( d )
t
u
0
图 12.2 矩形波的合成
由此可以看出,几个不同频率的正弦波可以合成一个非正弦的
周期波 。 反之,一个非正弦的周期波可以分解成许多不同频率的
正弦波之和 。
由数学知识可知,如果一个函数是周期性的,且满足狄里赫利
条件,那么它可以展开成一个收敛级数,即傅里叶级数 。 电工技术
中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件 。 设给定的周期函数
f（ t） 的周期为 T,角频率 ω＝ 2π/T,则 f（ t） 的傅里叶级数展开式
为
?
?
?
???
?????
?????????
1
0
22110
)s i n (
)s i n (
)2s i n ()s i n ()(
k
kkm
kkm
mm
tkAA
tkA
tAtAAtf
??
??
????
（ 12 — 1）
利用三角函数公式,还可以把式（ 12 — 1）写成另一种形式,
?
?
?
???
??????
?????????
1
0
22110
)s inc o s(
)s inc o s(
)2s in2c o s()s inc o s()(
k
kk
kk
tkbtkaa
tkbtka
tbtatbtaatf
??
??
????
（ 12 — 2）
式中,a0,ak,bk称为傅里叶系数,可由下列积分求得,
??
??
??
??
??
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
2
00
2
00
2
00
0
)(s i n)(
1
s i n)(
2
)(c o s)(
1
c o s)(
2
)()(
2
1
)(
1
ttdktftdtktf
T
b
ttdktftdtktf
T
a
tdtfdttf
T
a
T
k
T
k
T
(12— 3)
k
k
k
kkkm
b
a
baA
aA
ar c t a n
22
00
?
??
?
?
式 （ 12— 1） 和式 （ 12— 2） 各系数之间存在如下关系,
(12 —
4)
例 12.1 已知矩形周期电压的波形如图 12.3所示 。 求 u（ t）
的傅里叶级数 。
解 图示矩形周期电压
在一个周期内的表示式为
kkmk
kkmk
Ab
Aa
?
?
c os
s in
?
? (12 — 5)
图 12.3 例 12.1 图
t
u
0
U m
－ U m
TT
2
)
2
(
)(
)
2
0(
Tt
T
U
tu
T
tU
m
t
m
???
?
??
由式（ 12— 3）可知,
)()(
2
1 2
00 ?
?
?
?
?
tdtua
? ? 0)()(2 1 200 ???? ?? tdUtdU mm ??? ??? ? ? ?
??
?
??
?
???
?
???
???
?
??
?
??
?
)(s i n)(s i n
1
)(s i n)(
1
0s i ns i n
)(c o s
1
)(c o s
1
)(c o s)(
1
2
00
2
0
2
0
2
00
2
0
ttdkUttdkU
ttdktub
tk
k
U
tk
k
U
ttdkUttdkU
ttdktua
mm
k
mm
mm
k
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??
?
??
?
?
?
?
??
?
? ?
)c o s1(
2
c o s
2
)(s i n
2
00
?
?
?
?
??
?
??
k
k
U
tk
k
U
ttdk
U
m
mm
??
??? ?
0,1c o s
4
,1c o s
??
???
k
m
k
bk
k
U
bk
?
?
?当 k为奇数时,
当 k为偶数时,
由此可得
为奇数）ktk
k
ttt
U
tu m
()s i n
1
5s i n
5
1
3s i n
3
1
( s i n
4
)(
?????
???????
?
???
?
例 12.2 求图 12.4所示周期信号的傅里叶级数展开式。
解 i (t)在一个周期内的表示式为
t
i ( t )
0
I
m
－
T
2
T
2
图 12.4 例 12.2 图
??
? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
????
2
2
2
0
0
2
2
0
2
2
2
2
0
0
c o s
4
c o s)(
2
0
2
2
)(
1
)
22
(
2
)(
T
T
m
T
k
T
T
m
T
T
m
T
m
t d tkt
T
I
t d tkti
T
a
t d tt d t
T
I
t d t
T
I
dtti
T
a
T
t
T
t
T
I
ti
??
利用分步积分法及,得
T
?? 2?
),3,2,1()
c o s
(
2
)(
s i n4
s i n
4
s i n)(
2
0
)(
c o s
(0
4
s i ns i n4
2
2
22
2
2
2
0
2
2
22
2
2
2
2
2
??????
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
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?
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?
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?
k
k
kI
k
tt co n k
k
tk
T
I
t d tkt
T
I
t d tkti
T
b
k
tk
T
I
dt
k
tk
k
tkt
T
I
a
m
T
T
m
T
T
m
T
k
T
T
m
T
T
T
T
m
k
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
利用函数的对称性质,可使系数 a0,ak,bk的确定得到简化。
(1) 如果周期函数的波形对称于横轴 。 即在一个周期内,横轴
上方的正面积与横轴下方的负面积互相抵消,就不存在直流分量 。
如图 6.3所示 。
(2) 如果周期函数的波形对称于坐标原点,即 f（ t） ＝－ f（ － t）
为奇函数 。 如图 6.4所示 。 其傅里叶级数展开式将不含直流分量和
余弦项,只含正弦项 。
(3) 如果周期函数的波形对称于纵轴,即 f（ t） ＝ f（ － t） 为偶函
数 。 如图 6.5所示 。 将它分解成傅里叶级数时,将不含正弦项,只含
有直流分量和余弦项 。
(4) 如果函数的波形是镜像对称,即 f(t)=－ f(t+T/2)。 也就是在
任一周期内把第二个半波的波形向前移动
i(t)的傅里叶级数展开式为
)3s i n312s i n21( s i n2s i n)(
1
???????? ??
?
tttItkbti
k
m
k ?????
t
f ( t )
0
A m
T
2
T t
f ( t )
0 T
图 12.5 偶函数波形 图 12.6 镜像对称波形成
12.2 周期函数分解为傅里叶级数
??????
???????
?????????
)
2
7s i n (
7
1
)
2
5s i n (
5
1
)
2
3s i n (
3
1
)
2
s i n (
4
7c o s
7
1
5c o s
5
1
3c o s
3
1
c o s
4
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
t
ttt
tttttf1,振幅频谱图的作法
A
k
0
A
0
A
1
A
3
A
5
A
7
k ?7 ?5 ?3 ??
图 12.9 振幅频谱图
画出一个直角坐标,以谐波角频率 kω为横坐标,在各谐波角
频率所对应的点上,作出一条条垂直的线叫做谱线 。 如果每条谱
线的高度代表该频率谐波的振幅,这样画出的图形称为振幅频谱
图,如图 12.9所示 。 将各谱线的顶点连接起来的曲线 （ 一般用虚
线表示 ） 称为振幅包络线 。
例 12.3 图 12.10（ a） 为电视机和示波器扫描电路中常用的锯
齿波,试画出其振幅频 谱图 。
解 查表 12.1,可得锯齿波电压的傅里叶级数展开式为
k ?
A
k
0 ?
( b )
U
m
2 U m
? U
m
??
U
m
??
U
m
??
U
m
??
? ? ? ? ? ? ? ?t
u
0 T
( a )
U
m
图 12.10 例 12.3 图
根据上式可以画出其频谱图如图 12.10（ b）所示。
例 12.4 图 12.11给出了矩形脉冲电压的波形,它是无线电技
术中一种很重要的信号 。 其中脉冲幅度为 Um,脉冲的持续时间
为 τ,脉冲的周期为 Ｔ,试画出其频谱图 。
)3s i n312s i n21( s i n2)( ???????? tttUUtu mm ????
t0 T
( a )
－
?
2
?
2
u
k ?
A
k
0
( b )
2 ?
?
4 ?
?T = 3 ?
2 a
0
图 12.11 例 12.4 图
解 该信号在一个周期的数学表达式为
)
22
,
22
(0
)(
)
22
(
T
tt
T
tu
tU m
??????
?
???
??
??
由于此信号对称于纵轴,因此,bk＝０,傅里叶级数不含正弦分
量,只含直流分量和余弦 分量 。
tdtkU
T
tdtktu
T
a
T
U
dtU
T
dttu
T
a
T
T m
T
Tk
m
m
T
T
??
?
?
?
c o s
2
c o s)(
2
1
)(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
0
??
??
??
??
??
????
若令 T＝ 3τ,则其频谱图如图 12.11(b)所示。
2,周期信号的频谱特性。
(1) 频谱是由一系列不连续的谱线组成。
(2) 相临两条谱线之间的间隔是基波频率 ω,谱线的这种 性质
称为谱波性 。
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
2
)
2
s i n (
2
)
2
s i n (
2
s i n
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
k
T
U
k
Tk
U
tk
tk
U
m
mm
矩形脉冲的傅里叶级数展开式为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? ??
?
?
?
? 11
0 c o s
2
2
s i n
2c o s)(
k
m
k
k tk
k
k
T
U
tkaatu ?
?
?
?
?
???
(3) 各谱线的高度,总的趋势是逐渐减
小的。
(4) 如果脉冲的周期 T不变,脉冲的持续
时间 τ减小,也就是脉冲变窄 。 此时,振幅频谱
的收敛速度将变慢 。 如图 12.12（ b） 所示,此
图的 τ′=τ/2,T=6τ′ 。 与图 12.12(a) 比较
（ T=3τ）,收敛速度明显变慢了 。
(5) 如果脉冲的持续时间 τ不变,周期 T增
大时,谱线将变密 。 如图 12.12（ c） 所示,此
图的 T′=6τ。
12.3 有效值、平均值和平均功率
12.3.1 有效值
?? T dtiTI 0 21
(12 — 6)
下面我们讨论非正弦周期信号的有效值与各次谐波有效值的
关系 。 若将电流 i 分解成傅里叶级数,
?
?
?
???
??
?????????
1
0
22110
)s i n (
)s i n (
)2s i n ()s i n (
k
kkm
kkm
mmm
tkII
tkI
tItIIi
??
??
????
将上式积分号内直流分量与各次谐波之和的平方展开,结果有以下
四种类型,
dttkII
T
I
k
kkm
T
2
1
00 )s i n (
1
??
?
??
? ??? ?
?
?
?
??
将该表达式代入式（ 12— 6）得
)(0)s i n ()(s i n2
1
)4(
0)(s i n2
1
)3(
2
)(s i n
1
)2(
1
)1(
0
0
0
2
2
2
0
2
2
0
0
2
0
qkdttqItkI
T
dttkII
T
I
I
dttkI
T
IdtI
T
qqmkkm
T
kkm
T
k
km
k
T
km
T
????
??
???
?
?
?
?
?
????
??
??
因此,电流 i 的有效值可按下式计算,
??????????????
??????????????
?
?
?
?
?
?
22
2
2
1
2
0
1
22
0
22
2
2
1
2
0
1
22
0
k
k
k
k
k
k
UUUUUUU
IIIIIII
同理,非正弦周期电压的有效值为
（ 12 —
12)
(12 — 8)
所以,非正弦周期电流和电压的有效值等于各次谐波有效值平
方和的平方根 。 各次谐波有效值与最大值之间的关系为
2
,
2
km
k
km
k
U
U
I
I ??
例 12.5 已知周期电流的傅里叶级数展开式为
i=100—63.12 sin ωt—31.8 sin 2ωt—21.2 sin 3ωt A
求其有效值。
解
???
???
???
??
15
2
2.21
5.22
2
8.31
45
2
7.63
100
3
2
1
0
I
I
I
I
所以
?????????? 9.11 2155.224510 0 222223222120 IIIII
电流 i的有效值为 112.9 A 。
12.3.2 平均值 实践中还会用到平均值的概念。 以电
流为例,其定义为
dti
T
I
T
av ?? 0
1 (12 — 9)
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值 。 式 （ 12 —
9） 也称为 整流平均值,它相当于正弦电流经全波整流后的平均值 。
例如,当 i=I m sin ωt 时,其平均值为
II
I
dttI
T
dttI
T
dti
T
I
m
m
m
T
m
TT
av
898.0637.0
2
s i n
2
s i n
11
2
0
00
??
??
??
?
??
?
?
?
比较式 （ 12 — 3）,（ 12— 6）,（ 1212—9） 可以看出,非正弦交流
电路中
的直流分量,有效值和平均值是三个不同的概念,应加以区分。
12.3.3 平均功率
设有一个二端网络,在非正弦周期电压 u的作用下产生非正弦
周期电流 i,若选择电压和电流的方向一致 (如图 12.14所示 ),此二
同理,电压平均值的表示式为
dtuTU Tav ??
0
1 (12 — 10)
i
二
端
网
络
u
＋
－
图 12.14 平均功率用图
u i d t
T
p d t
T
p
uip
TT
?? ??
?
00
11
将电压和电流展开成傅里叶级数,有
)s i n (
)s i n (
1
1
ki
k
kmo
ku
k
kmo
tkIIi
tkUUu
??
??
???
???
?
?
?
?
?
?
二端网络吸收的平均功率为
? ?? ?dttkIItkUUTP kukm
k
kukm
k
T )s i n ()s i n (1
1
0
1
00 ???? ????? ???
?
?
?
?
将上式积分号内两个积数的乘积展开,分别计算各乘积项在一
个周期内的平均值,有以下五种类型项,
dttktkIU
T
IUIU
T
kikukmkm
T
T
)s i n ()s i n (
1
)2(
1
)1(
0
0000
0
???? ??
?
?
?
)(0)s i n ()s i n (
1
)5(
0)s i n (
1
)4(
0)s i n (
1
)3(
c o s)(
2
1
0
0
0
0
0
0
qkdttqItkIU
T
dttkIU
T
dttkIU
T
IUIU
qiqmkukm
T
kukm
T
kikm
T
kkkkikukmkm
????
??
??
???
?
?
?
????
??
??
???
因此,二端网络吸收的平均功率可按下式计算：
????????????
???? ??
?
?
?
?
k
k
k
kkk
k
PPPP
PPIUIUP
210
1
0
1
00 c o s ?
(12— 11)
其中,,是 k次谐波的平均功
率 。 kkkkkukkk
IUIUP ??? c o s)c o s ( ???
必须注意,只有同频率的谐波电压和电流才能构成平均功率,
不同频率的谐波电压和电流不能构成平均功率,也不等于端口电
压的有效值与端口电流有效值的乘积 。
例 12.6 流过 10 Ω电阻的电流为 i=10+28.28 cos t+14.14
cos 2t A
求其平均功率 。
解
? ? W
IIIRRIRIRIPPPP
6 00 0)
2
14.14
()
2
28.28
(1010
)(
222
2
2
2
1
2
0
2
2
2
1
2
0210
????
?????????
例 12.12 某二端网络的电压和电流分别为
u=100 sin (ωt+30° )+50sin (3ωt+60° )+25sin 5ωt V
i=10 sin (ωt—30° )+5 sin (3ωt+30° )+2 sin (5ωt—30° ) A
求二端网络吸收的功率。
解 基波功率
WIUP
WIUP
WIUP
o
o
o
6.2130c o s
2
2
2
25
c o s
2.1 0 830c o s
2
5
2
50
c o s
2 5 060c o s
2
10
2
1 0 0
c o s
5555
3333
1111
????
????
????
?
?
?
三次谐波功率
五次谐波功率
因此,总的平均功率为
WPPPP 8.3796.212.108250531 ???????
12.4 非正弦周期电流电路的计算
把傅里叶级数,直流电路,交流电路的分析和计算方法以及叠
加原理应用于非正弦的周期电路中,就可以对其电路进行分析和
计算 。 其具体步骤如下,
(1) 把给定的非正弦输入信号分解成直流分量和各次谐波分
量,并根据精度的具体要求取前几项 。
(2) 分别计算各谐波分量单独作用于电路时的电压和电流 。
但要注意电容和电感对各次谐波表现出来的感抗和容抗的不同,
对于 k次谐波有
(3) 应用线性电路的叠加原理,将各次谐波作用下的电压或电
流的瞬时值进行叠加 。 应注意的是,由于各次谐波的频率不同,
不能用相量形式进行叠加 。
Ck
X
LkX
kC
kL
?
?
1
?
?
例 12.8 如图 12.15（ a） 所示的矩形脉冲作用于图 12.15（ b）
所示的 RLC串联电路,其中矩形脉冲的幅度为 100 V,周期为 1ms,
电阻 R＝ 10 Ω,电感 L＝ 10 mH,电容 C＝ 5 μF,求电路中的电流
i及平均功率 。
解 查表 12.1可得矩形脉冲电压的傅里叶级数表达式为
)3c o s31( c o s2 0 050 ??????? ttu ???
其中基波频率,若取前三项就有图 12.15（ c）
所求的等效电路 。 sr a dT /102
2 3??? ???
i
R
L
C
u
＋
－
( b )
i
R
L
C
U
0
＋
－
( c )
U
1
＋
－
U
3
＋
－
t / m s0
u
1 0 0
0, 2 5 1
( a )
图 12.15 例 12.8 图
(1) 求直流分量 。 当 U0＝ 50V 的直流电压作用于
电路时,电感相当于短路,电容相当于开路,故 I 0＝ 0。
(2) 求基波分量 。
???
????
???????
??
?????????
?
???
)9.17s i n (95.1
9.17/95.1
1.72/6.32
90/7.63
1.72/6.323110)8.318.62(10
)
5102
10
1010102(10)
1
(
90/7.63
)90s i n (7.63c o s
2 0 0
1
1
1
.
1
.
3
6
33
1
1
.
1
o
o
o
o
m
m
o
o
m
o
ti
Z
U
I
jj
j
C
LjRZ
VU
Vttu
?
?
?
?
?
??
?
(3) 求三次谐波分量
????
?
??
????
???
??????
???
??
????
?
o
o
o
m
m
o
o
m
o
Z
U
I
j
j
C
LjRZ
VU
Vttu
8.17612.0
8.86/1.178
90/2.21
8.86/1.1788.17710
)
51023
10
100123(10
)
3
1
3(
90/2.21
)903s i n (2.213c o s
3
200
.
3
.
3
3
3
6
3
3
.
3
3
?
?
?
?
?
?
??
?
??? )8.1 7 63s i n (12.03 oti ?
(4) 将各次谐波分量的瞬时值叠加得
W
IUIUP
ttiiIi
oo
oo
2.19)8.86c o s (
2
12.0
2
2.21
)1.72c o s (
2
95.1
2
7.63
c o sc o s
)8.1 7 63s i n (12.0)9.17s i n (95.1
333111
310
?????
??
????????
??
??
电路中的平均功率为
例 12.9 如图 12.16所示的电路,R＝ 3 Ω,L＝ 0.4 H,C＝
1000 μF,
u＝ 45＋ 180 sin 10t＋ 60 sin 30t V 。 求电流 i及其有效值 。
解 (1) 求直流分量,
???
????
??
??
??
?
??
??
?
???
)3.5110s i n (6.34
3.51/6.34
3.51/2.5
0/180
3.51/2.5
)1004(3
)100)(43(
)
1
(
)
1
)((
15
3
45
1
1
.
1
o
o
o
m
o
o
ti
I
j
jj
C
LjR
C
jLjR
Z
A
R
U
I
?
?
?
?
(2) 求基波分量,
(3) 求三次谐波分量,
???
????
??
??
??
?
??
??
?
)6830s i n (1.3
68/1.3
68/2.19
0/60
68/2.19
)3.3312(3
)3.33)(123(
)
3
1
3(
)
3
1
)(3(
3
.
3
3
o
o
o
o
m
o
ti
I
j
j
C
LjR
C
jLjR
Z
?
?
?
?
(4) 叠加后可得电流 i为
)6830s i n (1.3)3.5110s i n (6.341531 ooo ttiiIi ????????
(5) 电流 i的有效值为
???????? 8.28)
2
1.3()
2
6.34(15 2222
3
2
1
2
0 IIII
例 12.10 为了减小整流器输出电压的纹波,使其更接近直流 。
常在整流的输出端与负载电阻 R间接有 LC滤波器,其电路如图
12.112(a)所示 。 若已知 R=1 kΩ,L=5 H,C=30 μF,输入电压 u
的波形如图 12.112(b)所示,其中振幅 Um =1512 V,基波角频率 ω=
314 rad/s,求输出电压 u R 。
Cu
＋
－
L
R
＋
－
u
R
( a )
t0
u
U
m
( b )
T
2
图 12.112 例 12.10 图
解 查表 12.1,可得电压 u 的傅里叶级数为
)4c os
15
12c os
3
1
2
1(4 ??????? tUu m ???
?
取到四次谐波,并代入 U m =1512 V 得
tVtu ?? 34.132c o s7.661 0 0 ???
(1) 求直流分量 。 对于直流分量,电感相当于短路,电容相当
于开路,故 U0R=100 V 。
(2) 求二次谐波分量,
Vtu
C
jR
C
jR
Z
U
U
jj
j
j
j
C
jR
C
jR
LjZ
o
R
o
o
o
o
m
mR
)5.872s i n (15.1
5.87/15.1
87/53
95.89/1.3 0 8 7
90/7.66
2
1
)
2
1
(
95.89/1.3 0 8 71.3 0 8 78.287/533 1 4 0
303 1 42
10
10
)
303 1 42
10
(10
53 1 42
2
1
)
2
1
(
2
2
2
2
.
2
00
6
3
6
3
2
??
??
???
?
?
??
??????
??
?
??
?
????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
(3) 求四次谐波分量,
(4) 输出电压为
VttU ooR )5.914s i n (056.0)5.872s i n (15.1100 ????? ??
Vtu
C
jR
C
jR
U
U
j
C
jR
C
jR
LjZ
o
R
o
o
o
o
m
mR
oo
)5.914s i n (056.0
5.91/056.0
5.88/5.26
90/5.6 2 5 3
90/3.13
4
1
)
4
1
(
4
90/5.6 2 5 35.88/5.266 2 8 0
4
1
)
4
1
(
4
4
4
.
4
.
4
??
?
??
?
?
?
?
??
?????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
比较本例题的输入电压和输出电
压,可看到, 二次谐波分量由原本占
直流分量的 66.12% 减小到 1.15%,
四次谐波分量由原本占直流分量的
13.3%减小到 0.056% 。 因此,输入
电压 u经过 LC滤波后,高次谐波分量
受到抑制,负载两端得到较平稳的输
出电压 。
小 结
(1) 非正弦的周期信号,在满足狄里赫利条件的情况下可以分
解成傅里叶级数 。 傅里叶级数一般包含有直流分量, 基波分量
和高次谐波分量 。 它有两种表示式,
)s i n ()(
)s i nc o s()(
1
0
1
0
kk
k
k
k
k
tkAAtf
tkbtkaatf
??
??
???
???
?
?
?
?
?
?
两种形式的系数之间的对应关系为：
k
k
k
kkk
b
a
baA
ar ct an
22
?
??
?
一般都是先求 ak,bk后,再利用上式求出 A k和 φk。
(2) 非正弦周期信号还可以用频谱图来表示 。 所谓频谱图,就
是用谱线表示各次谐波的振幅和相位,然后把这些线段由高到低依
次排列起来 。 非正弦周期信号的频谱有以下特点,
① 频谱的离散性 ;
② 频谱的谱波性 ;
③ 频谱的收敛性 ;
④ 脉宽与频宽成反比 。
(3) 非正弦周期信号有效值的定义与正弦信号有效值的定义相
同 。 即
?
?
?
?
T
T
dtu
T
U
dti
T
I
0
2
0
2
1
1
与各次谐波分量有效值的关系为
???????????
???????????
22
1
2
0
22
1
2
0
k
k
UUUU
IIII
非正弦交流电路的平均值指一个周期内函数绝对值的平均值 。
其定义为
dtu
T
U
dti
T
I
T
av
T
av
?
?
?
?
0
0
1
1
非正弦交流电路的平均功率的定义也与正弦交流电路平均功率的
定义相同,都表示瞬时功率在一个周期内的平均值 。 其定义为
?? ??
TT
u i d t
T
p d t
T
P
00
11
(4) 非正弦交流电路的计算,实际上是应用了线性电路的叠加
原理,并借助于直流及交流电路的计算方法,其步骤如下,
① 将非正弦信号分解成傅里叶级数 ;
② 计算直流分量和各次谐波分量分别作用于电路时的电压和
电流响应 。 但要注意感抗和容抗在不同谐波所表现的不同 。 即
????????????
????????????
kkk
k
IUIUIUIU
PPPPP
??? c osc osc os 22211100
210
与各次谐波功率之间的关系为
Ck
X
LkX
kL
kL
?
?
1
?
?
③ 将各次谐波的电压和电流响应用瞬时值表示后
再叠加。 其过程可用图 12.19表示。
y
1
( t )
线
性
电
路
y
2
( t )
y
0
( t )
y ( t )
叠加
f
1
( t )
f
2
( t )
f
0
( t )
f ( t )
分解
图 12.19 非正弦电路分析流图
