Ch3-1
第三章
电阻电路的一般分析方法
(2)通过介绍变量的独立性与完备性，引入并重点讲授
网孔法，结点法，回路法；
电路分析的对象
主要内容
引言
(1)通过简单介绍支路电流法，阐述电路分析的基本步骤
及建立独立方程的原理和方法；
(3)介绍一般分析方法中各种电源处理的基本原则。
建立独立拓扑约束方程的依据
独立的元件约束方程数
2b个独立方程建立的方法
求解 2b个变量所需的独立方程数
b条支路的变量数
—— 各支路电压、电流
—— 2b
—— 2b
—— 元件约束关系 + 拓扑约束关系
—— b
—— KCL+KVL (b)
§ 3-1
电路 的 图
Ch3s1-1
电路 的 图 电路图
?
图论概念，
只有结点、支路，无具体元件
只表明电路的结构及其连接方式（拓扑性质）
既有电路连接形式，又有具体元件
Ch3s1-2
(a) (b)
回忆第一章的一个例子
（ 1）各元件上的电压，电流不仅与元件本身的约束有关，
还与 连接方式 有关。
（ 2）电路中各支路 u,i受两类约束：
a,个体（ 元件特性） ?VCR
b,整体（联接方式约束） ?KCL,KVL（拓扑）
（ 3）元件约束关系与拓扑约束关系是互为 独立 的
（ 4） ?引入电路的图来研究如何列出 KCL,KVL方程，
并讨论其独立性。
ch3s1-3
一、图
1.支路 (branch)
电路中一个元件，或几个元件的组合 ?一条支路
在图中用 线段 表示
2.结点 (node)
支路的连接点或端点
4.路径 (A?B)
从某一结点 (A)出发, 沿某些支路连续移动, 到达另一指定
结点 (B) (或原结点 )。
拓扑名词解释一
3.图 (Gragh)：
一个图 G是结点和支路的集合, 每条支路的两端都连接到
相应的结点上 。
不一定 将它所连接的结点均移去
在图中用 点 表示
允许有孤立的结点存在；但每条支路均连接到两个结点上。
?移去结点 ?移去与之连接的所有的支路
移去支路
Ch3s1-4
二、有向图：
标有支路电流参考方向的图。 (电压一般取关联参考方向 )
三、连通图：
图中任意两点间至少存在一条路径的图，
否则是非连接通图
四、平面图：
能在平面上画出，而没有任何空间交叉
支路的图，否则为非平面图
拓扑名词解释二
§ 3-2
KCL和 KVL的独立方程数
Ch3s2-1
寻找 KCL,KVL独立方程数目，
以及如何根据电路列出独立方程
对此电路的图，列 KCL：
0])()[()(
11
????? ??
??
b
j
jj
n
k
k iiKC L
所以这 n个方程不独立。
一,KCL的独立方程数：
说明：方程组不独立。
0:1 13 ??? iinode
0:2 21 ??? iinode
0:3 23 ??? iinode
?
032 ?? ii
00?
因为每条支路都与两个结点相连，支路电流必然从某结点流出，
从另一结点流入,?在所有结点的 KCL方程中,每条支路电流必
然出现两次，且一次正，一次负。即
可以证明：
对于 n个结点的电路，在 任意 (n-1)个结点上可以列出 (n-1)个
独立 的 KCL方程。 （独立结点）
(n-1)
Ch3s2-3
如何确定独立回路
二,KVL的独立方程数
此图共有 13个回路，可列出 13个 KVL方程，
方程独立否？
1.连通图：
当图 G的任意两个节点之间至少存在一条
路径时,G就称为连通图
共有 8条支路,u,i共 16个未知数，
需要 16个独立方程
VCR:8个独立方程
KCL:4个独立方程
KVL:?应有 4个独立方程
借助
图论知识
2.树,(T)
一个连通图的树 T包含 G的全部结点和部分支路，
而树 T本身是连通的而且又不包含回路。
1.G的连通子集
2.包含 G的所有结点
3.不包含回路
树 T
树支：树 T的支路。 tree
连支：包含于 G，但又不属于树 T的支路。 link
Ch3s2-4
?
KVL的独立方程数：
证明：
图 G有许多不同的树，但无论哪一个树，树支数总是 (n-1)
? ? ?
树支数 = n - 1,连支数 l = b - (n-1) = b - n + 1
3.独立回路、基本回路
(1) 对任一个树，每加一个连支，便形成 一个 只包含 一个连支 的回路。
KVL独立方程数 l = b - n + 1
b - n + 1
单连支回路存在
的必然性
(2)全部单连支回路 ?单连支回路（基本回路组） ?独立回路组 。
?独立回路组数 = 单连支回路数 = 连支数
Ch3s2-5
(3)解方程
讨论
（ 1）利用元件约束关系及拓扑约束关系，可建立关于 2b个变量的
独立的 2b个方程。
其中 b个方程为元件约束关系方程；
n-1个方程为节点的 KCL方程；
b-(n-1)个方程为网孔的 KVL方程。
（ 2） 2b法就是依据该原理进行电路分析的。
2b法步骤
(1)选所有支路电压，电流为变量 2b 个
(2)列所有支路的元件约束关系方程 b个；
列独立的节点 KCL方程 n-1个；
列独立的网孔 KVL方程 b-(n-1)个
Ch3s2-6
求：
各支路电压，电流？
共有 8条支路,16个变量
支
路
约
束
关
系
方
程 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
6
3
26
20
2
6
4
3
8
37
26
5
44
33
22
11
i
ui
iu
u
iu
iu
iu
iu
独立的网孔 KVL方程
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
????
0
0
0
0
238
543
765
721
uuu
uuu
uuu
uuu
例 3-0-1
解：
该电路的拓扑图为
独立的节点 KCL方程
?
?
?
?
?
?
?
????
????
?????
???
40
30
20
10
654
843
7532
821
节点
节点
节点
节点
iii
iii
iiii
iii
以 (2,5,7)为树支
Ch3s2-7
求：
各支路电压，电流？
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
)(6
)(18
)(10
)(17
)(7
)(1
)(2
)(8
8
7
6
5
4
3
2
1
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
)(14
)(32
)(52
)(20
)(14
)(6
)(8
)(24
8
7
6
5
4
3
2
1
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
续例 3-0-1
§ 3-3
支路电流法
ch3s3-1
ch3s3-2 支路电流法的引出：
n个结点,b条支路：
VCR,b 个方程
KCL,(n-1)个独立方程
KVL,(b-n+1)个独立方程
以支路电流、支路电压为变量
则 2b 个变量
2b 个独立方程 2b法(缺点：方程个数多，
求解繁 )
一、支路电流法：
以支路电流 ik 为变量 (b个 ) 列方程。
依据：
VCR：
KCL：
KVL：
uk = f ( ik )
ch3s3-3 1、举例说明,（ 4个结点,6条支路）
1.KCL,(独立方程数 n-1=3)
node 1,-i1+ i2 + i6 =0
node 2,-i2- i3 + i4 =0
node 3,-i4- i6 + i5 =0
n-1=3
2.VCR,(独立方程数 b=6)
u1= i1R1- us1 b=6
i1R1- us1+ i2R2 - i3R3 =0loop1:
loop 2:
loop 3,i3R3 + i4R4 + (i5+is5)R5 =0i6R6 - i4R4 - i2R2 =0 b-n+1=3
整理得,i1R1+ i2R2 - i3R3 = us1
i3R3 + i4R4 + i5R5 = is5R5
i6R6 - i4R4 - i2R2 =0
最终，方程组由 <1> <2>组成。
<1>
<2>
u2= i2R2 u3= i3R3
u4= i4R4 u5= (i5+is5)R5 u6= i6R6
u1+ u2 - u3 =0
u3 + u4 + u5 =0
u6 - u4 - u2 =0
3.KVL,(独立方程数 b-n+1=3) 选自然网孔
以 (2,3,4)为树支
ch3s3-4
（ 6）求解其他变量。
2、支路电流法步骤
（ 1）确定变量 ik (b个 )，确定 ik 参考方向；
（ 2）列独立的结点 KCL方程 (n-1个 )；
（ 3） 列独立的回路 KVL方程 (b-n+1个 )，溶入元件 VCR，
形式为,?ikRk = ? usk
其中,ikRk:回路中所有支路 ik与回路方向
（ 4）求解方程，求出支路电流；
（ 5）依据支路约束关系，求解支路电压；
一致：,+”
相反：,-”
usk:回路中电源电压 usk与回路方向 一致：,-”相反：,+”
3、支路电流法的局限性
不能解决 无伴电流源 的情况 （因为此支路电压无法用支路电流表示）
ch3s3-5 求：各支路电流及
各元件上的电压？
(2)列独立的节点 KCL方程
aIII 节点0321 ???
(3)列独立的网孔 KVL方程
?
?
?
??
??
2102010
120205
32
31
网孔
网孔
II
II
(4)解支路电流
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
??
)(71.0
7
5
)(43.0
7
3
)(14.1
7
8
3
2
1
AI
AI
AI (5)求解元件上电压
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
????
???
?
?
?
?
?
????
????
)(3.14
7
5
20
)(29.4
7
3
10
)(7.5
7
8
5
333
222
111
VIRU
VIRU
VIRU
R
R
R
例 3-1-1
解：
(1) 选支路电流为变量 (I1,I2,I3)
ch3s3-6
求：各支路电流及电压？
(2)列独立的节点 KCL方程
?
?
?
?
?
????
????
???
cIII
bIII
aIII
节点
节点
节点
0
0
0
631
532
421
(3)列独立的网孔 KVL方程
?
?
?
?
?
??
???
????
311.0
2215.0
111.05.01
52
53
231
网孔
网孔
网孔
adUII
II
III
例 3-1-2
(1) 选支路电流为变量 (I1,I2,I3,I4,I5,I6 其中 I4=3A已知 )
要点：电流源的处理
解：
1
3 2
ch3s3-7
(d)在实际例子中，由于 I4已知，支路电流的实际变量少一个，所
以也可不列网孔 3的 KVL方程。这样就不会出现变量 uad，仍
可保证变量数与方程数一致。
讨论
(a)对电流源，因其电流为
常数，与电压无关，在
列网孔 3的 KVL方程时，
无法用 I4 表示 uad
(b)对含无伴电流源的电路，列支路电流方程时，可增加一个变量：
该电流源上的电压。
(c)因该支路电流为已知，由此条件，应补充一个方程 ij=is，
使变量数与方程数一致。
(4)求解支路电流
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
)(58.0
)(42.2
)(3
)(84.0
)(26.3
)(26.0
6
5
4
3
2
1
AI
AI
AI
AI
AI
AI
(5)求解支路电压
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
???
?
???
???
???
????
)(75.2
)(2
)(42.21
)(42.05.0
)(32 6.01.0
)(74.011
5
3
2
1
Vuuu
Vu
VIu
VIu
VIu
VIu
bdabad
cd
bd
bc
ab
ac
ch3s3-8 续例 3-1-2
(1)电源的处理，尤其是电流源的处理
支路电流法的难点
(2)受控源的处理
独立源处理方法
独立源
电流源电压源
直接列方程 利用等效变换
转换为电压源
直接列方程
(1)增加一个变量：
电流源上的电压
(多出一个变量 )
(2)补充一个该支
路的电流方程
(保持变量数与方程数一致 )
直接列方程
受控源处理方法
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
多出一个变量
增加一个控制量与
支路电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为支路电流
变量数与方程数一致
是 不是
重要结论
(1) 求解几个变量，就必须建立几个独立的方程
—— 方程的独立性。
(2)变量数越少，方程越简单，所以应尽可能选用
相互独立的变量 —— 变量的独立性。
(3)应能用所选变量表示全部支路电压，电流
—— 变量的完备性。
(4)一组变量的完备性指所选变量可用来表示全部支路的
电压和电流。
讨论
电路变量的独立性与完备性
(1)对任何电路均可用 2b法或支路电流法求解。
减少变量数，可减少方程数，使求解简便。
(2)选择变量的原则应是在可求解全部 2b个变量的前提下，
尽可能减少变量数，即 要求变量的独立性及完备性。
(3)一组变量的独立性是指每个变量不能用其他变量所表
示。以保证所选变量中无多余变量。
(7)电路分析规范化的基本概念
讨论
(5)分析支路电流变量的独立性与完备性。
因为可用支路电流表示所有支路的电压和电流，
所以具有完备性。
b个支路电流中有 n-1个支路电流不独立。这是因为
可列出 n-1个独立的节点 KCL方程联系有关支路电流。
也就是说 b个支路电流中有不独立的、多余的变量，
所以不具有独立性。
(6)设法从 b个支路电流中选出 b-(n-1)个独立的电流变量
(它们可以是支路电流的代数和 )，以使变量相互独立。
(a)所选变量应具备独立性和完备性；
(b)方程的建立要有规律。
第二节
网孔分析法
网孔电流：
网孔,不包围其它支路的闭合回路 。
沿每个网孔边界自行流动，且闭合的假想电流。
讨论：
网孔电流数：网孔数 b-(n-1)
网孔电流的完备性：因为任意支路电流都属于某几个网孔，
所以必然可用网孔电流的代数和来表示所有支路的电流，
进而可以表示所有支路的电压。
网孔电流的独立性：网孔电流是闭合的，从某节点流入后，
又必从该点流出，无法用 KCL方程联系起来。
网孔方程：以每个网孔电流为变量，列网孔的 KVL方程。
网孔方程数：网孔数 b-(n-1)
网孔法只要求建立 b-(n-1)个方程。
2b法要求建立 2b个独立方程；
支路电流法要求建立 b个独立方程；
解
?
?
?
?
?
?????
??????
?????
3)()(
2)()(
1)()(
323613533
212432622
131521411
网孔
网孔
网孔
S
S
S
UIIRIIRIR
UIIRIIRIR
UIIRIIRIR
?
?
?
?
?
??????
???????
?????
336532615
236264214
135241541
)(
)(
)(
s
s
s
UIRRRIRIR
UIRIRRRIR
UIRIRIRRR
整理后
例 3-2-1
(3)电压源放在方程右侧，
电压升为正，电压降为负 (全部顺时 )。
归纳规律性
(1)对网孔 1方程
I1的系数为网孔 1包括的全部电阻 ------网孔 1的自电阻；
I2的系数为网孔 1,2共有的电阻 ------网孔 1,2的互电阻；
I3的系数为网孔 1,3共有的电阻 ------网孔 1,3的互电阻；
对网孔 2和 3方程也类似。
(2)若网孔电流采用同一方向 (全部顺时，或全部逆时 )，
则自电阻一律为正，互电阻一律为负。
网孔法要点：网孔电流，自电阻，互电阻及各种电源的处理。
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
s m mmmmmm
smm
smm
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
?
??
?
?
2211
222222121
111212111
Usjj为网孔 j的全部电压源的代数和 (升为正 )
(4)网孔方程的一般形式 (全部顺时 )
其中
(4)解其他变量；
网孔法步骤
(1)选网孔电流为变量，并标出变量；
(2)按照规律列网孔方程；
(3)解网孔电流；
Rjj为网孔 j的自电阻 (取正 )
Rij为网孔 i,j的互电阻 (取负 )
(1)选网孔电流为变量 Im1,Im2
?
?
?
?????
???
10)2010(20
2020)205(
21
21
mm
mm
II
II
(3)解出网孔电流
?
?
?
?
?
)(43.0
)(14.1
2
1
AI
AI
m
m
(4)求其他变量
?
?
?
?
?
???
??
??
)(71.0
)(43.0
)(14.1
213
22
11
AIII
AII
AII
mm
m
m
?
?
?
?
?
??
??
??
)(2.14
)(3.4
)(7.5
333
222
111
VIRU
VIRU
VIRU
R
R
R
例 3-2-2
要点：掌握规律解,
(2)列网孔方程
(2)列网孔方程
?
?
?
?
?
??????
?
??????
2)15.0(5.0
3
15.01.0)15.01(
321
2
321
III
I
III
讨论：
?
?
?
?
?
?
?
??
)(58.0
)(3
)(26.0
3
2
1
AI
AI
AI
例 3-2-3
要点：独立源的处理
解,(1)选网孔电流 I1,I2,I3为变量。
(3)解网孔电流
(a)网孔 2包括一个电流源，且等于网孔电流 I2，
相当于 I2已知，可不列该网孔的 KVL方程。
(b)应尽可能使电流源为网孔电流。
如非要列，必须注意如何在该网孔方程中
考虑该电流源上的电压。
要点：独立源的处理
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
????
2
52
2
55)51(
13
32
2
21
II
UII
I
UII
(2)独立电流源
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
)(35.5
)(27.0
)(2
)(73.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI
解得
例 3-2-4
解：网孔方程 电流源上设电压
电流源上设电压
增加电流源与
网孔电流的关系方程
讨论
(1)独立电压源全部放在方程右侧。
(c)当不选为网孔电流时，首先设其上电压后，将其看成独立压源处
理，然后增加一个网孔电流与该电流源电流的关系方程。
(a)尽量使其成为网孔电流，这样网孔电流已知，可不列该网孔方程；
(b)应用等效变换，将其变为电压源；
要点：受孔源的处理
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
????
2
12
3
2
31
2
2
55
103)32(
II
II
II
UI
UII
bc
bc
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
)(7.9
)(88.1
)(94.0
)(06.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI
bc
例 3-2-5
解：网孔方程 设流源上电压后看成压源
先将受控源
看成独立源
增加流源与网孔
电流的关系方程
增加控制量与网孔
电流的关系方程
网孔法对电源的处理 (关键是保证变量数与独立方程数一致 )
归纳
独立源
电流源电压源 利用等效变换转换为电压源
(1)设其上电压后按
独立电压源处理
(多出一个变量 )
(2)增加一个该电流源电流
与网孔电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
尽量选为
网孔电流
放在方程右侧,
电压升为正
归纳
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
不是
多出一个变量
增加一个控制量与
网孔电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为网孔电流
是
变量数与方程数一致
§ 3-5
回路电流法
以基本回路为独立回路，
以 回路电流（连支电流） 为变量列方程。
是网孔电流法的推广，不再仅适用于平面电路
回路电流法：以基本回路电流 (即连支电流 )为变量，列基
本回路的 KVL方程，求解。
基本回路数,b-(n-1)=b-n+1
基本回路电流：沿基本回路流动的闭合电流
(用连支电流定义为该闭合电流 )。
连支电流的独立性：不受 KCL约束。
连支电流的完备性：每个支路必属于某个或某几个基本
回路，所以必可用连支电流表示，
进而表示所有支路的电压。
(网孔法是回路法的特例，且仅适用于平面电路 )。
回路法要点：基本回路，连支电流，回路方程，自电阻，
互电阻及各种电源的处理。
回路法步骤：
(1)画有向图，选树，并选连支电流为变量；
(2)确定基本回路，并以连支电流方向定为基本回路方向；
(3)以连支电流为变量，按照规律列基本回路方程；
(3)解连支电流；
(4)解其他变量；
回路方程的一般形式
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
s m mlmmmlmlm
slmmll
slmmll
uiRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
?
??
?
?
2211
222222121
111212111
usjj为基本回路 j的全部电压源的代数和 (升为正 )
其中 ilj为基本回路电流
Rjj为基本回路 j的自电阻 (取正 )
Rij为基本回路 i,j的互电阻
(两回路方向一致取正，反之取负 )
?
?
?
?
?
?
????
????
????
s m mmmmmm
smm
smm
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
?
??
?
?
2211
222222121
111212111
解：
(1)画图，选树，选变量
(2)列回路方程
5135225312531 )()()( sslll uuiRRiRRiRRRR ??????????
例 3-5-1
5352536153 )()( slll uiRiRRRiRR ??????
5345225152 )()( slll uiRRRiRiRR ????????
(2)列网孔方程
?
?
?
?
?
??????
?
??????
2)15.0(5.0
3
15.01.0)1.05.01(
321
2
321
III
I
III
讨论：
?
?
?
?
?
?
?
??
)(58.0
)(3
)(26.0
3
2
1
AI
AI
AI
例 3-2-3
要点,无伴电流源 的处理
解,(1)选网孔电流 I1,I2,I3为变量。
(3)解网孔电流
(a)网孔 2包括一个电流源，且等于网孔电流 I2，
相当于 I2已知，可不列该网孔的 KVL方程。
(b)应尽可能使电流源为网孔电流。
如非要列，必须注意如何在该网孔方程中
考虑该电流源上的电压。
要点,无伴电流源 的处理
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
????
2
52
2
55)51(
13
32
2
21
II
UII
I
UII
(2)无伴独立电流源
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
)(35.5
)(27.0
)(2
)(73.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI解得
例 3-2-4
解：网孔方程 电流源上设电压
电流源上设电压
增加电流源与
网孔电流的关系方程
讨论
(1)独立电压源全部放在方程右侧。
(b)当不选为回路电流时，首先设其上电压后，将其看成独立电压源处理，然后
增加一个回路电流与该电流源电流的关系方程。
(a)尽量使其成为回路电流,(选单回路通过该电流源 )，这样回路电流已知，
可不列该回路方程；
要点,受控源 的处理
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
)(7.9
)(88.1
)(94.0
)(06.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI
bc
例 3-2-5
解：网孔方程 设流源上电压后看成压源
先将受控源
看成独立源
增加流源与网孔
电流的关系方程
增加控制量与网孔
电流的关系方程
bcUII ???? 103)32( 31
212 ?? II
II 23 ??
bcUI ??? 55 2
2II ?
回路法对电源的处理 (关键是保证变量数与独立方程数一致 )
归纳
独立源
电流源电压源 利用等效变换转换为电压源
(1)设其上电压后按
独立电压源处理
(多出一个变量 )
(2)增加一个该电流源电流
与回路电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
尽量选为
回路电流
放在方程右侧,
电压升为正
归纳
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
不是
多出一个变量
增加一个控制量与
回路电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为回路电流
是
变量数与方程数一致
§ 3-6
结点电压法
以结点电压为变量列方程
讨论,n越少，方程数越少。
结点电压：选定参考结点，其余结点相对参考结点的电压。
结点电压数：一个电路有 n个结点，则有 n-1个结点电压。
结点电压的完备性：任何支路必在某两个结点之间，
都有 uij=ui-uj，所以具有完备性。
结点电压的独立性：在任何回路 KVL方程中，回路所包括的
结点电压必出现两次，且一 正一负，
所以无法用 KVL方程将结点电压联系起来。例, u
ab+ubc+ucd+uda=0
结点方程：对 n-1个结点 (参考点除外 )，以结点电压为变量，
列各个结点的 KCL方程。
结点方程数,n-1
即 (ua-ub)+(ub-uc)+(uc-ud)+(ud-ua) =0
?
0 ≡0
KVL,回路 1,u1+ u4 - u2=0
即, - un1 + (un1- un2) -(- un2) =0
一、举例说明
0=0 自动满足，无须再列 VCR
KCL：
结点 1,- i1+ i4 + i6 =0
结点 2,- i4 + i5 - i2 =0
结点 3,- i6 - i5 + i3 =0
u1= (i1 -is1) R1= - un1 u2= i2R2 = - un2
u3= i3R3 + us3 = un3 u4= i4R4 = un1 - un2
u5= i5R5 = un2 - un3 u6= (i6 -is6) R6= un1 - un3
整理：
?
?
?
?
?
???????
??????
??????
33636532516
35252414
6136241641
)(
0)(
)(
ssnnn
nnn
ssnnn
uGiuGGGuGuG
uGuGGGuG
iiuGuGuGGG
或者直接用结点电压为变量列写 KCL方程：
KCL：
node 1:
G1un1 + G4(un1 - un2) + G6(un1 - un3) = is1 - is6
node 2:
G4(un2 - un1) + G5(un2 - un3) + G2un2 = 0
node 3:
G3(un3 - us3 )+ G5(un3 - un2) + G6(un3 - un1) = is6
整理：
?
?
?
?
?
???????
??????
??????
33636532516
35252414
6136241641
)(
0)(
)(
ssnnn
nnn
ssnnn
uGiuGGGuGuG
uGuGGGuG
iiuGuGuGGG
G11 G12 G13 is11
G21 G22 G23 is22
G31 G32 G33 is33
结论：
自导,G11 G22 G33 连接到该结点的全部电导之和；,+”
互导,Gmn(m?n) 连接结点 m,n的公共电导。, -”
电流净进入量,is11 is22 is33 电源注入该结点的电流。
入：,+”；出：,-”
结点法要点：结点电压，自电导，互电导及各种电源的处理。
isjj为流入结点 j的全部电流源的代数和 (入为正 )
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
???????
??
??
11111212111
22112222121
11111212111
nsnnnnnnnnn
snnnnn
snnnnn
iuGuGuG
iuGuGuG
iuGuGuG
?
??
?
?
结点电压方程的一般形式
其中
Gjj为结点 j的自电导 (取正 )
Gij为结点 i,j的互电导 (取负 )
结点法步骤：
(1)选参考点，对结点进行编号；
(2)按照规律列结点方程；
(3)解结点电压；
(4)解其他变量；
(2)列结点电压方程：
?
?
?
?
?
?????
??????
????
23312311
33243212
13122121
)(
0)(
)(
snnn
nnn
snnn
iuGGuGuG
uGuGGGuG
iuGuGuGG
例 3-3-1 要点：运用规律
解：
(1)选 d为参考点，
设 Un1,Un2,Un3为结点电压变量
例 3-3-2：结点电压例题
例 3-3-3、电路如图所示，用结点电压法求各支
路电流及输出电压 U。
解：取参考结点如图所示、
其它 3个结点的电压分别
为 Un1,Un2,Un3。结点电
压方程为,
3
15
6
1
3
1
6
1
3
1
2
1
n2n1 ????
??
?
? ???
?
??
?
? ?? UU
105315216131216131 n3n2n1 ?????????? ????????? ?? UUU
5212121 n3n2 ??????? ??? UU
②
-
5A
10A
2Ω -
①
3Ω
+
+
15V 6Ω 2Ω
2Ω ③
Uo
②
-
5A
10A
2Ω -
①
3Ω
+
+
15V 6Ω 2Ω
2Ω ③
Uo
整理后可解得,Un1＝ 5V,Un2＝ 20V,Un3＝ 15V
Uo＝ Un3＝ 15V
(2)列结点方程
(3) 解得
?
?
?
??
?
?
?
??????
?
10
0
1
)
111
(
1
20
3
3
2
2
321
1
1
1
n
nnn
n
u
u
R
u
RRR
u
R
u
?
?
?
?
?
?
?
?
)(10
)(3.14
)(20
3
2
1
Vu
Vu
Vu
n
n
n
例 3-3-5
要点,无伴电压源 的处理
解：
(1)选参考点及结点电压为变量。
(2)等效变换
压源串联电阻 ?流源并联电阻
例 3-3-6
要点,电压源 的处理
解,(1) 选参考点及
结点电压为变量。
(3)列结点方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?????
cU
bUUU
aUUU
c
cba
cba
节点
节点
节点
2
0
5.0
1
)
5.0
1
1
1
1.0
1
(
1.0
1
13
1
1
1.0
1
)
1.0
1
1
1
(
(4)解得
?
?
?
?
?
?
?
?
)(2
)(42.2
)(75.2
VU
VU
VU
c
b
a
(5)求解其他变量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
)(59.0)(
)(42.2
1
)(84.0
5.0
)(3.3
5.0
)(25.01
1
316
5
3
2
1
AIII
A
U
I
A
UU
I
A
UU
I
A
UU
I
b
cb
ba
ca
解,(1) 选参考点及结点电压为变量。
(3)列结点方程
?
?
?
?
?
??
???
???
3
22010
5155
ba
b
a
UU
IU
IU
例 3-3-7 要点：电压源的处理
(2) 等效变换 电压源串联电阻 ?电 流源并联电阻
设电压源上的电流后看成电流源
增加一个电压源与结点电压的关系方程
(c)当不选为结点电压时，首先设其上电流后，
将其看成独立流源处理，然后增加一个结点电压
与该电压源电压的关系方程。
(4) 解得
?
?
?
?
?
)(13.1
)(13.4
VU
VU
b
a
(5) 求解其他变量
?
?
?
?
?
????
????
?????
)(65.105
)(7.810)2(
)(65.55)3(
1
2
1
AII
AUI
AUI
b
a
(1)独立电流源全部放在方程右侧，流入为正。，是流出为负
(2)独立电压源
(b)尽量使其成为结点电压，这样结点电压已知，
可不列该结点方程；
(a)应用等效变换，将其变为电流源；（串联有电阻的）
讨论
解,(1)选参考点及结点
电压为变量。
(2)列结点方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
????
???????
?????
)(2
10
5
532
2)522(2
3522)22(
ba
ea
cb
e
c
ba
eba
UUI
UUU
UU
U
IU
IIUU
UUUU
例 3-3-8 求,U,I?
将受控源看成独立源
设压源上的电流
后看成流源
增加压源的电压与
结点电压的关系方程
增加控制量与结点
电压的关系方程
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
)(5
)(4
)(6
)(12
VU
VU
VU
VU
e
c
b
a
(4) 求解其他变量
?
?
?
???
???
)(12)(2
)(75
AUUI
VUU
ba
a
Ch3s6-14
结点法对电源的处理 (关键是保证变量数与独立方程数一致 )
归纳
独立源
电压源电流源 利用等效变换转换为电流源
(1)设其上电流后按
独立电流源处理
(多出一个变量 )
(2)增加一个该电压源电压
与结点电压的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
尽量选为
结点电压
放在方程右侧,
流入为正
归纳
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
不是
多出一个变量
增加一个控制量与
结点电压的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为结点电压
是
变量数与方程数一致
思考：在列节点电压方程时，如果某条支路是电流源
与电阻串联，该如何处理？
第三章
电阻电路的一般分析方法
(2)通过介绍变量的独立性与完备性，引入并重点讲授
网孔法，结点法，回路法；
电路分析的对象
主要内容
引言
(1)通过简单介绍支路电流法，阐述电路分析的基本步骤
及建立独立方程的原理和方法；
(3)介绍一般分析方法中各种电源处理的基本原则。
建立独立拓扑约束方程的依据
独立的元件约束方程数
2b个独立方程建立的方法
求解 2b个变量所需的独立方程数
b条支路的变量数
—— 各支路电压、电流
—— 2b
—— 2b
—— 元件约束关系 + 拓扑约束关系
—— b
—— KCL+KVL (b)
§ 3-1
电路 的 图
Ch3s1-1
电路 的 图 电路图
?
图论概念，
只有结点、支路，无具体元件
只表明电路的结构及其连接方式（拓扑性质）
既有电路连接形式，又有具体元件
Ch3s1-2
(a) (b)
回忆第一章的一个例子
（ 1）各元件上的电压，电流不仅与元件本身的约束有关，
还与 连接方式 有关。
（ 2）电路中各支路 u,i受两类约束：
a,个体（ 元件特性） ?VCR
b,整体（联接方式约束） ?KCL,KVL（拓扑）
（ 3）元件约束关系与拓扑约束关系是互为 独立 的
（ 4） ?引入电路的图来研究如何列出 KCL,KVL方程，
并讨论其独立性。
ch3s1-3
一、图
1.支路 (branch)
电路中一个元件，或几个元件的组合 ?一条支路
在图中用 线段 表示
2.结点 (node)
支路的连接点或端点
4.路径 (A?B)
从某一结点 (A)出发, 沿某些支路连续移动, 到达另一指定
结点 (B) (或原结点 )。
拓扑名词解释一
3.图 (Gragh)：
一个图 G是结点和支路的集合, 每条支路的两端都连接到
相应的结点上 。
不一定 将它所连接的结点均移去
在图中用 点 表示
允许有孤立的结点存在；但每条支路均连接到两个结点上。
?移去结点 ?移去与之连接的所有的支路
移去支路
Ch3s1-4
二、有向图：
标有支路电流参考方向的图。 (电压一般取关联参考方向 )
三、连通图：
图中任意两点间至少存在一条路径的图，
否则是非连接通图
四、平面图：
能在平面上画出，而没有任何空间交叉
支路的图，否则为非平面图
拓扑名词解释二
§ 3-2
KCL和 KVL的独立方程数
Ch3s2-1
寻找 KCL,KVL独立方程数目，
以及如何根据电路列出独立方程
对此电路的图，列 KCL：
0])()[()(
11
????? ??
??
b
j
jj
n
k
k iiKC L
所以这 n个方程不独立。
一,KCL的独立方程数：
说明：方程组不独立。
0:1 13 ??? iinode
0:2 21 ??? iinode
0:3 23 ??? iinode
?
032 ?? ii
00?
因为每条支路都与两个结点相连，支路电流必然从某结点流出，
从另一结点流入,?在所有结点的 KCL方程中,每条支路电流必
然出现两次，且一次正，一次负。即
可以证明：
对于 n个结点的电路，在 任意 (n-1)个结点上可以列出 (n-1)个
独立 的 KCL方程。 （独立结点）
(n-1)
Ch3s2-3
如何确定独立回路
二,KVL的独立方程数
此图共有 13个回路，可列出 13个 KVL方程，
方程独立否？
1.连通图：
当图 G的任意两个节点之间至少存在一条
路径时,G就称为连通图
共有 8条支路,u,i共 16个未知数，
需要 16个独立方程
VCR:8个独立方程
KCL:4个独立方程
KVL:?应有 4个独立方程
借助
图论知识
2.树,(T)
一个连通图的树 T包含 G的全部结点和部分支路，
而树 T本身是连通的而且又不包含回路。
1.G的连通子集
2.包含 G的所有结点
3.不包含回路
树 T
树支：树 T的支路。 tree
连支：包含于 G，但又不属于树 T的支路。 link
Ch3s2-4
?
KVL的独立方程数：
证明：
图 G有许多不同的树，但无论哪一个树，树支数总是 (n-1)
? ? ?
树支数 = n - 1,连支数 l = b - (n-1) = b - n + 1
3.独立回路、基本回路
(1) 对任一个树，每加一个连支，便形成 一个 只包含 一个连支 的回路。
KVL独立方程数 l = b - n + 1
b - n + 1
单连支回路存在
的必然性
(2)全部单连支回路 ?单连支回路（基本回路组） ?独立回路组 。
?独立回路组数 = 单连支回路数 = 连支数
Ch3s2-5
(3)解方程
讨论
（ 1）利用元件约束关系及拓扑约束关系，可建立关于 2b个变量的
独立的 2b个方程。
其中 b个方程为元件约束关系方程；
n-1个方程为节点的 KCL方程；
b-(n-1)个方程为网孔的 KVL方程。
（ 2） 2b法就是依据该原理进行电路分析的。
2b法步骤
(1)选所有支路电压，电流为变量 2b 个
(2)列所有支路的元件约束关系方程 b个；
列独立的节点 KCL方程 n-1个；
列独立的网孔 KVL方程 b-(n-1)个
Ch3s2-6
求：
各支路电压，电流？
共有 8条支路,16个变量
支
路
约
束
关
系
方
程 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
6
3
26
20
2
6
4
3
8
37
26
5
44
33
22
11
i
ui
iu
u
iu
iu
iu
iu
独立的网孔 KVL方程
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
????
0
0
0
0
238
543
765
721
uuu
uuu
uuu
uuu
例 3-0-1
解：
该电路的拓扑图为
独立的节点 KCL方程
?
?
?
?
?
?
?
????
????
?????
???
40
30
20
10
654
843
7532
821
节点
节点
节点
节点
iii
iii
iiii
iii
以 (2,5,7)为树支
Ch3s2-7
求：
各支路电压，电流？
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
)(6
)(18
)(10
)(17
)(7
)(1
)(2
)(8
8
7
6
5
4
3
2
1
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
)(14
)(32
)(52
)(20
)(14
)(6
)(8
)(24
8
7
6
5
4
3
2
1
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
续例 3-0-1
§ 3-3
支路电流法
ch3s3-1
ch3s3-2 支路电流法的引出：
n个结点,b条支路：
VCR,b 个方程
KCL,(n-1)个独立方程
KVL,(b-n+1)个独立方程
以支路电流、支路电压为变量
则 2b 个变量
2b 个独立方程 2b法(缺点：方程个数多，
求解繁 )
一、支路电流法：
以支路电流 ik 为变量 (b个 ) 列方程。
依据：
VCR：
KCL：
KVL：
uk = f ( ik )
ch3s3-3 1、举例说明,（ 4个结点,6条支路）
1.KCL,(独立方程数 n-1=3)
node 1,-i1+ i2 + i6 =0
node 2,-i2- i3 + i4 =0
node 3,-i4- i6 + i5 =0
n-1=3
2.VCR,(独立方程数 b=6)
u1= i1R1- us1 b=6
i1R1- us1+ i2R2 - i3R3 =0loop1:
loop 2:
loop 3,i3R3 + i4R4 + (i5+is5)R5 =0i6R6 - i4R4 - i2R2 =0 b-n+1=3
整理得,i1R1+ i2R2 - i3R3 = us1
i3R3 + i4R4 + i5R5 = is5R5
i6R6 - i4R4 - i2R2 =0
最终，方程组由 <1> <2>组成。
<1>
<2>
u2= i2R2 u3= i3R3
u4= i4R4 u5= (i5+is5)R5 u6= i6R6
u1+ u2 - u3 =0
u3 + u4 + u5 =0
u6 - u4 - u2 =0
3.KVL,(独立方程数 b-n+1=3) 选自然网孔
以 (2,3,4)为树支
ch3s3-4
（ 6）求解其他变量。
2、支路电流法步骤
（ 1）确定变量 ik (b个 )，确定 ik 参考方向；
（ 2）列独立的结点 KCL方程 (n-1个 )；
（ 3） 列独立的回路 KVL方程 (b-n+1个 )，溶入元件 VCR，
形式为,?ikRk = ? usk
其中,ikRk:回路中所有支路 ik与回路方向
（ 4）求解方程，求出支路电流；
（ 5）依据支路约束关系，求解支路电压；
一致：,+”
相反：,-”
usk:回路中电源电压 usk与回路方向 一致：,-”相反：,+”
3、支路电流法的局限性
不能解决 无伴电流源 的情况 （因为此支路电压无法用支路电流表示）
ch3s3-5 求：各支路电流及
各元件上的电压？
(2)列独立的节点 KCL方程
aIII 节点0321 ???
(3)列独立的网孔 KVL方程
?
?
?
??
??
2102010
120205
32
31
网孔
网孔
II
II
(4)解支路电流
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
??
)(71.0
7
5
)(43.0
7
3
)(14.1
7
8
3
2
1
AI
AI
AI (5)求解元件上电压
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
????
???
?
?
?
?
?
????
????
)(3.14
7
5
20
)(29.4
7
3
10
)(7.5
7
8
5
333
222
111
VIRU
VIRU
VIRU
R
R
R
例 3-1-1
解：
(1) 选支路电流为变量 (I1,I2,I3)
ch3s3-6
求：各支路电流及电压？
(2)列独立的节点 KCL方程
?
?
?
?
?
????
????
???
cIII
bIII
aIII
节点
节点
节点
0
0
0
631
532
421
(3)列独立的网孔 KVL方程
?
?
?
?
?
??
???
????
311.0
2215.0
111.05.01
52
53
231
网孔
网孔
网孔
adUII
II
III
例 3-1-2
(1) 选支路电流为变量 (I1,I2,I3,I4,I5,I6 其中 I4=3A已知 )
要点：电流源的处理
解：
1
3 2
ch3s3-7
(d)在实际例子中，由于 I4已知，支路电流的实际变量少一个，所
以也可不列网孔 3的 KVL方程。这样就不会出现变量 uad，仍
可保证变量数与方程数一致。
讨论
(a)对电流源，因其电流为
常数，与电压无关，在
列网孔 3的 KVL方程时，
无法用 I4 表示 uad
(b)对含无伴电流源的电路，列支路电流方程时，可增加一个变量：
该电流源上的电压。
(c)因该支路电流为已知，由此条件，应补充一个方程 ij=is，
使变量数与方程数一致。
(4)求解支路电流
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
)(58.0
)(42.2
)(3
)(84.0
)(26.3
)(26.0
6
5
4
3
2
1
AI
AI
AI
AI
AI
AI
(5)求解支路电压
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
???
?
???
???
???
????
)(75.2
)(2
)(42.21
)(42.05.0
)(32 6.01.0
)(74.011
5
3
2
1
Vuuu
Vu
VIu
VIu
VIu
VIu
bdabad
cd
bd
bc
ab
ac
ch3s3-8 续例 3-1-2
(1)电源的处理，尤其是电流源的处理
支路电流法的难点
(2)受控源的处理
独立源处理方法
独立源
电流源电压源
直接列方程 利用等效变换
转换为电压源
直接列方程
(1)增加一个变量：
电流源上的电压
(多出一个变量 )
(2)补充一个该支
路的电流方程
(保持变量数与方程数一致 )
直接列方程
受控源处理方法
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
多出一个变量
增加一个控制量与
支路电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为支路电流
变量数与方程数一致
是 不是
重要结论
(1) 求解几个变量，就必须建立几个独立的方程
—— 方程的独立性。
(2)变量数越少，方程越简单，所以应尽可能选用
相互独立的变量 —— 变量的独立性。
(3)应能用所选变量表示全部支路电压，电流
—— 变量的完备性。
(4)一组变量的完备性指所选变量可用来表示全部支路的
电压和电流。
讨论
电路变量的独立性与完备性
(1)对任何电路均可用 2b法或支路电流法求解。
减少变量数，可减少方程数，使求解简便。
(2)选择变量的原则应是在可求解全部 2b个变量的前提下，
尽可能减少变量数，即 要求变量的独立性及完备性。
(3)一组变量的独立性是指每个变量不能用其他变量所表
示。以保证所选变量中无多余变量。
(7)电路分析规范化的基本概念
讨论
(5)分析支路电流变量的独立性与完备性。
因为可用支路电流表示所有支路的电压和电流，
所以具有完备性。
b个支路电流中有 n-1个支路电流不独立。这是因为
可列出 n-1个独立的节点 KCL方程联系有关支路电流。
也就是说 b个支路电流中有不独立的、多余的变量，
所以不具有独立性。
(6)设法从 b个支路电流中选出 b-(n-1)个独立的电流变量
(它们可以是支路电流的代数和 )，以使变量相互独立。
(a)所选变量应具备独立性和完备性；
(b)方程的建立要有规律。
第二节
网孔分析法
网孔电流：
网孔,不包围其它支路的闭合回路 。
沿每个网孔边界自行流动，且闭合的假想电流。
讨论：
网孔电流数：网孔数 b-(n-1)
网孔电流的完备性：因为任意支路电流都属于某几个网孔，
所以必然可用网孔电流的代数和来表示所有支路的电流，
进而可以表示所有支路的电压。
网孔电流的独立性：网孔电流是闭合的，从某节点流入后，
又必从该点流出，无法用 KCL方程联系起来。
网孔方程：以每个网孔电流为变量，列网孔的 KVL方程。
网孔方程数：网孔数 b-(n-1)
网孔法只要求建立 b-(n-1)个方程。
2b法要求建立 2b个独立方程；
支路电流法要求建立 b个独立方程；
解
?
?
?
?
?
?????
??????
?????
3)()(
2)()(
1)()(
323613533
212432622
131521411
网孔
网孔
网孔
S
S
S
UIIRIIRIR
UIIRIIRIR
UIIRIIRIR
?
?
?
?
?
??????
???????
?????
336532615
236264214
135241541
)(
)(
)(
s
s
s
UIRRRIRIR
UIRIRRRIR
UIRIRIRRR
整理后
例 3-2-1
(3)电压源放在方程右侧，
电压升为正，电压降为负 (全部顺时 )。
归纳规律性
(1)对网孔 1方程
I1的系数为网孔 1包括的全部电阻 ------网孔 1的自电阻；
I2的系数为网孔 1,2共有的电阻 ------网孔 1,2的互电阻；
I3的系数为网孔 1,3共有的电阻 ------网孔 1,3的互电阻；
对网孔 2和 3方程也类似。
(2)若网孔电流采用同一方向 (全部顺时，或全部逆时 )，
则自电阻一律为正，互电阻一律为负。
网孔法要点：网孔电流，自电阻，互电阻及各种电源的处理。
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
s m mmmmmm
smm
smm
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
?
??
?
?
2211
222222121
111212111
Usjj为网孔 j的全部电压源的代数和 (升为正 )
(4)网孔方程的一般形式 (全部顺时 )
其中
(4)解其他变量；
网孔法步骤
(1)选网孔电流为变量，并标出变量；
(2)按照规律列网孔方程；
(3)解网孔电流；
Rjj为网孔 j的自电阻 (取正 )
Rij为网孔 i,j的互电阻 (取负 )
(1)选网孔电流为变量 Im1,Im2
?
?
?
?????
???
10)2010(20
2020)205(
21
21
mm
mm
II
II
(3)解出网孔电流
?
?
?
?
?
)(43.0
)(14.1
2
1
AI
AI
m
m
(4)求其他变量
?
?
?
?
?
???
??
??
)(71.0
)(43.0
)(14.1
213
22
11
AIII
AII
AII
mm
m
m
?
?
?
?
?
??
??
??
)(2.14
)(3.4
)(7.5
333
222
111
VIRU
VIRU
VIRU
R
R
R
例 3-2-2
要点：掌握规律解,
(2)列网孔方程
(2)列网孔方程
?
?
?
?
?
??????
?
??????
2)15.0(5.0
3
15.01.0)15.01(
321
2
321
III
I
III
讨论：
?
?
?
?
?
?
?
??
)(58.0
)(3
)(26.0
3
2
1
AI
AI
AI
例 3-2-3
要点：独立源的处理
解,(1)选网孔电流 I1,I2,I3为变量。
(3)解网孔电流
(a)网孔 2包括一个电流源，且等于网孔电流 I2，
相当于 I2已知，可不列该网孔的 KVL方程。
(b)应尽可能使电流源为网孔电流。
如非要列，必须注意如何在该网孔方程中
考虑该电流源上的电压。
要点：独立源的处理
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
????
2
52
2
55)51(
13
32
2
21
II
UII
I
UII
(2)独立电流源
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
)(35.5
)(27.0
)(2
)(73.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI
解得
例 3-2-4
解：网孔方程 电流源上设电压
电流源上设电压
增加电流源与
网孔电流的关系方程
讨论
(1)独立电压源全部放在方程右侧。
(c)当不选为网孔电流时，首先设其上电压后，将其看成独立压源处
理，然后增加一个网孔电流与该电流源电流的关系方程。
(a)尽量使其成为网孔电流，这样网孔电流已知，可不列该网孔方程；
(b)应用等效变换，将其变为电压源；
要点：受孔源的处理
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
????
2
12
3
2
31
2
2
55
103)32(
II
II
II
UI
UII
bc
bc
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
)(7.9
)(88.1
)(94.0
)(06.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI
bc
例 3-2-5
解：网孔方程 设流源上电压后看成压源
先将受控源
看成独立源
增加流源与网孔
电流的关系方程
增加控制量与网孔
电流的关系方程
网孔法对电源的处理 (关键是保证变量数与独立方程数一致 )
归纳
独立源
电流源电压源 利用等效变换转换为电压源
(1)设其上电压后按
独立电压源处理
(多出一个变量 )
(2)增加一个该电流源电流
与网孔电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
尽量选为
网孔电流
放在方程右侧,
电压升为正
归纳
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
不是
多出一个变量
增加一个控制量与
网孔电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为网孔电流
是
变量数与方程数一致
§ 3-5
回路电流法
以基本回路为独立回路，
以 回路电流（连支电流） 为变量列方程。
是网孔电流法的推广，不再仅适用于平面电路
回路电流法：以基本回路电流 (即连支电流 )为变量，列基
本回路的 KVL方程，求解。
基本回路数,b-(n-1)=b-n+1
基本回路电流：沿基本回路流动的闭合电流
(用连支电流定义为该闭合电流 )。
连支电流的独立性：不受 KCL约束。
连支电流的完备性：每个支路必属于某个或某几个基本
回路，所以必可用连支电流表示，
进而表示所有支路的电压。
(网孔法是回路法的特例，且仅适用于平面电路 )。
回路法要点：基本回路，连支电流，回路方程，自电阻，
互电阻及各种电源的处理。
回路法步骤：
(1)画有向图，选树，并选连支电流为变量；
(2)确定基本回路，并以连支电流方向定为基本回路方向；
(3)以连支电流为变量，按照规律列基本回路方程；
(3)解连支电流；
(4)解其他变量；
回路方程的一般形式
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
s m mlmmmlmlm
slmmll
slmmll
uiRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
?
??
?
?
2211
222222121
111212111
usjj为基本回路 j的全部电压源的代数和 (升为正 )
其中 ilj为基本回路电流
Rjj为基本回路 j的自电阻 (取正 )
Rij为基本回路 i,j的互电阻
(两回路方向一致取正，反之取负 )
?
?
?
?
?
?
????
????
????
s m mmmmmm
smm
smm
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
?
??
?
?
2211
222222121
111212111
解：
(1)画图，选树，选变量
(2)列回路方程
5135225312531 )()()( sslll uuiRRiRRiRRRR ??????????
例 3-5-1
5352536153 )()( slll uiRiRRRiRR ??????
5345225152 )()( slll uiRRRiRiRR ????????
(2)列网孔方程
?
?
?
?
?
??????
?
??????
2)15.0(5.0
3
15.01.0)1.05.01(
321
2
321
III
I
III
讨论：
?
?
?
?
?
?
?
??
)(58.0
)(3
)(26.0
3
2
1
AI
AI
AI
例 3-2-3
要点,无伴电流源 的处理
解,(1)选网孔电流 I1,I2,I3为变量。
(3)解网孔电流
(a)网孔 2包括一个电流源，且等于网孔电流 I2，
相当于 I2已知，可不列该网孔的 KVL方程。
(b)应尽可能使电流源为网孔电流。
如非要列，必须注意如何在该网孔方程中
考虑该电流源上的电压。
要点,无伴电流源 的处理
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
????
2
52
2
55)51(
13
32
2
21
II
UII
I
UII
(2)无伴独立电流源
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
)(35.5
)(27.0
)(2
)(73.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI解得
例 3-2-4
解：网孔方程 电流源上设电压
电流源上设电压
增加电流源与
网孔电流的关系方程
讨论
(1)独立电压源全部放在方程右侧。
(b)当不选为回路电流时，首先设其上电压后，将其看成独立电压源处理，然后
增加一个回路电流与该电流源电流的关系方程。
(a)尽量使其成为回路电流,(选单回路通过该电流源 )，这样回路电流已知，
可不列该回路方程；
要点,受控源 的处理
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
)(7.9
)(88.1
)(94.0
)(06.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI
bc
例 3-2-5
解：网孔方程 设流源上电压后看成压源
先将受控源
看成独立源
增加流源与网孔
电流的关系方程
增加控制量与网孔
电流的关系方程
bcUII ???? 103)32( 31
212 ?? II
II 23 ??
bcUI ??? 55 2
2II ?
回路法对电源的处理 (关键是保证变量数与独立方程数一致 )
归纳
独立源
电流源电压源 利用等效变换转换为电压源
(1)设其上电压后按
独立电压源处理
(多出一个变量 )
(2)增加一个该电流源电流
与回路电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
尽量选为
回路电流
放在方程右侧,
电压升为正
归纳
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
不是
多出一个变量
增加一个控制量与
回路电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为回路电流
是
变量数与方程数一致
§ 3-6
结点电压法
以结点电压为变量列方程
讨论,n越少，方程数越少。
结点电压：选定参考结点，其余结点相对参考结点的电压。
结点电压数：一个电路有 n个结点，则有 n-1个结点电压。
结点电压的完备性：任何支路必在某两个结点之间，
都有 uij=ui-uj，所以具有完备性。
结点电压的独立性：在任何回路 KVL方程中，回路所包括的
结点电压必出现两次，且一 正一负，
所以无法用 KVL方程将结点电压联系起来。例, u
ab+ubc+ucd+uda=0
结点方程：对 n-1个结点 (参考点除外 )，以结点电压为变量，
列各个结点的 KCL方程。
结点方程数,n-1
即 (ua-ub)+(ub-uc)+(uc-ud)+(ud-ua) =0
?
0 ≡0
KVL,回路 1,u1+ u4 - u2=0
即, - un1 + (un1- un2) -(- un2) =0
一、举例说明
0=0 自动满足，无须再列 VCR
KCL：
结点 1,- i1+ i4 + i6 =0
结点 2,- i4 + i5 - i2 =0
结点 3,- i6 - i5 + i3 =0
u1= (i1 -is1) R1= - un1 u2= i2R2 = - un2
u3= i3R3 + us3 = un3 u4= i4R4 = un1 - un2
u5= i5R5 = un2 - un3 u6= (i6 -is6) R6= un1 - un3
整理：
?
?
?
?
?
???????
??????
??????
33636532516
35252414
6136241641
)(
0)(
)(
ssnnn
nnn
ssnnn
uGiuGGGuGuG
uGuGGGuG
iiuGuGuGGG
或者直接用结点电压为变量列写 KCL方程：
KCL：
node 1:
G1un1 + G4(un1 - un2) + G6(un1 - un3) = is1 - is6
node 2:
G4(un2 - un1) + G5(un2 - un3) + G2un2 = 0
node 3:
G3(un3 - us3 )+ G5(un3 - un2) + G6(un3 - un1) = is6
整理：
?
?
?
?
?
???????
??????
??????
33636532516
35252414
6136241641
)(
0)(
)(
ssnnn
nnn
ssnnn
uGiuGGGuGuG
uGuGGGuG
iiuGuGuGGG
G11 G12 G13 is11
G21 G22 G23 is22
G31 G32 G33 is33
结论：
自导,G11 G22 G33 连接到该结点的全部电导之和；,+”
互导,Gmn(m?n) 连接结点 m,n的公共电导。, -”
电流净进入量,is11 is22 is33 电源注入该结点的电流。
入：,+”；出：,-”
结点法要点：结点电压，自电导，互电导及各种电源的处理。
isjj为流入结点 j的全部电流源的代数和 (入为正 )
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
???????
??
??
11111212111
22112222121
11111212111
nsnnnnnnnnn
snnnnn
snnnnn
iuGuGuG
iuGuGuG
iuGuGuG
?
??
?
?
结点电压方程的一般形式
其中
Gjj为结点 j的自电导 (取正 )
Gij为结点 i,j的互电导 (取负 )
结点法步骤：
(1)选参考点，对结点进行编号；
(2)按照规律列结点方程；
(3)解结点电压；
(4)解其他变量；
(2)列结点电压方程：
?
?
?
?
?
?????
??????
????
23312311
33243212
13122121
)(
0)(
)(
snnn
nnn
snnn
iuGGuGuG
uGuGGGuG
iuGuGuGG
例 3-3-1 要点：运用规律
解：
(1)选 d为参考点，
设 Un1,Un2,Un3为结点电压变量
例 3-3-2：结点电压例题
例 3-3-3、电路如图所示，用结点电压法求各支
路电流及输出电压 U。
解：取参考结点如图所示、
其它 3个结点的电压分别
为 Un1,Un2,Un3。结点电
压方程为,
3
15
6
1
3
1
6
1
3
1
2
1
n2n1 ????
??
?
? ???
?
??
?
? ?? UU
105315216131216131 n3n2n1 ?????????? ????????? ?? UUU
5212121 n3n2 ??????? ??? UU
②
-
5A
10A
2Ω -
①
3Ω
+
+
15V 6Ω 2Ω
2Ω ③
Uo
②
-
5A
10A
2Ω -
①
3Ω
+
+
15V 6Ω 2Ω
2Ω ③
Uo
整理后可解得,Un1＝ 5V,Un2＝ 20V,Un3＝ 15V
Uo＝ Un3＝ 15V
(2)列结点方程
(3) 解得
?
?
?
??
?
?
?
??????
?
10
0
1
)
111
(
1
20
3
3
2
2
321
1
1
1
n
nnn
n
u
u
R
u
RRR
u
R
u
?
?
?
?
?
?
?
?
)(10
)(3.14
)(20
3
2
1
Vu
Vu
Vu
n
n
n
例 3-3-5
要点,无伴电压源 的处理
解：
(1)选参考点及结点电压为变量。
(2)等效变换
压源串联电阻 ?流源并联电阻
例 3-3-6
要点,电压源 的处理
解,(1) 选参考点及
结点电压为变量。
(3)列结点方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?????
cU
bUUU
aUUU
c
cba
cba
节点
节点
节点
2
0
5.0
1
)
5.0
1
1
1
1.0
1
(
1.0
1
13
1
1
1.0
1
)
1.0
1
1
1
(
(4)解得
?
?
?
?
?
?
?
?
)(2
)(42.2
)(75.2
VU
VU
VU
c
b
a
(5)求解其他变量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
)(59.0)(
)(42.2
1
)(84.0
5.0
)(3.3
5.0
)(25.01
1
316
5
3
2
1
AIII
A
U
I
A
UU
I
A
UU
I
A
UU
I
b
cb
ba
ca
解,(1) 选参考点及结点电压为变量。
(3)列结点方程
?
?
?
?
?
??
???
???
3
22010
5155
ba
b
a
UU
IU
IU
例 3-3-7 要点：电压源的处理
(2) 等效变换 电压源串联电阻 ?电 流源并联电阻
设电压源上的电流后看成电流源
增加一个电压源与结点电压的关系方程
(c)当不选为结点电压时，首先设其上电流后，
将其看成独立流源处理，然后增加一个结点电压
与该电压源电压的关系方程。
(4) 解得
?
?
?
?
?
)(13.1
)(13.4
VU
VU
b
a
(5) 求解其他变量
?
?
?
?
?
????
????
?????
)(65.105
)(7.810)2(
)(65.55)3(
1
2
1
AII
AUI
AUI
b
a
(1)独立电流源全部放在方程右侧，流入为正。，是流出为负
(2)独立电压源
(b)尽量使其成为结点电压，这样结点电压已知，
可不列该结点方程；
(a)应用等效变换，将其变为电流源；（串联有电阻的）
讨论
解,(1)选参考点及结点
电压为变量。
(2)列结点方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
????
???????
?????
)(2
10
5
532
2)522(2
3522)22(
ba
ea
cb
e
c
ba
eba
UUI
UUU
UU
U
IU
IIUU
UUUU
例 3-3-8 求,U,I?
将受控源看成独立源
设压源上的电流
后看成流源
增加压源的电压与
结点电压的关系方程
增加控制量与结点
电压的关系方程
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
)(5
)(4
)(6
)(12
VU
VU
VU
VU
e
c
b
a
(4) 求解其他变量
?
?
?
???
???
)(12)(2
)(75
AUUI
VUU
ba
a
Ch3s6-14
结点法对电源的处理 (关键是保证变量数与独立方程数一致 )
归纳
独立源
电压源电流源 利用等效变换转换为电流源
(1)设其上电流后按
独立电流源处理
(多出一个变量 )
(2)增加一个该电压源电压
与结点电压的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
尽量选为
结点电压
放在方程右侧,
流入为正
归纳
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
不是
多出一个变量
增加一个控制量与
结点电压的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为结点电压
是
变量数与方程数一致
思考：在列节点电压方程时，如果某条支路是电流源
与电阻串联，该如何处理？
