第 4章 电路定理 (Circuit Theorems)
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
4,2 替代定理 (Substitution Theorem)
4.3 戴维南定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
4,4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)
4,5 互易定理 (Reciprocity Theorem)
4,6 对偶原理 (Dual Principle)
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
如图电路，计算各支路电流。
用回路法：
(R1+R2)ia-R2ib=us1-us2
-R2ia+(R2+R3)ib=us2-
us3
R11ia+R12ib=us11
R21ia+R22ib=us22
其中
R11=R1+R2,R12= -R2,us11=us1-us2
R21= -R2,R22=R2+R3,us22=us2-us3
用行列式法解：
R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
s3
12
s2
2211
1s
22
s 22
11
11s
22
2221
1211
2222s
1211s
a
u
R
u
RR
u
R
u
R
u
R
RR
RR
Ru
Ru
i
ΔΔΔ
ΔΔ
?
?
??
?
???
s3
11
s2
2111
1s
2122s21
11s11
b u
R
u
RR
u
RuR
uR
i
ΔΔΔΔ
?
?
?
?
?
??
则各支路电流为：
其中
21122211
2221
1211 RRRR
RR
RR ???Δ
R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
'''''' iiiuRuRRuRii
111s3
12
s2
2212
s1
22
a1 ????
????
ΔΔΔ
'''''' iii
u
RR
u
RRRR
u
RR
iii
222
s3
1211
s2
221211
s1
2221
ba2
1
???
?
?
???
?
?
???
ΔΔΔ
'''''' iiiuRuRRuRii
333s3
11
s2
2111
s1
21
b3 ???
???????
ΔΔΔ
各支路电流（如 i1）均可看成各电压源单独作用时，产生
的电流（如 i1',i1",i1"'） 之叠加。
由上式可见,各支路电流均为各电压源的一次函数，所以
当一个电源单独作用时, 其余电源不作用, 就意味着取零值 。
即对电压源看作短路, 而对电流源看作开路 。 即如下图：
三个电源共同作用
=
= us1单独作用 +
us2单独作用
+
+ us3单独作用
+R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
R1
us1
R2 R3
i1'
i2'
i3'
+
–
R1 R2
us2
R3
i1''
i2''
i3''
+
–
R1 R2 R3
us3
i1'''
i2'''
i3'''
+
–
因此 i
1=i1'+i1"+i1"'
i3=i3'+i3"+i3"'
i2=i2'+i2"+i2"'
上述以一个具体例子来说明叠加的概念, 这个方法也
可推广到多个电源的电路中去 。
对于有 b条支路, l个独立回路的仅由线性电阻和电压
源构成的电路, 由回路电流方程, 可得回路电流的解答式
为：
),2,1,(
SlSl2Sl
2
1Sl
1
l
lk
uuuui llkkkkkkk
?
??
?
??????
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
由此可知任一支路电流 ij 的可表示为：
ij=gj1uS1+ gj2uS2+ ??? + gjkuSk+ ??? + gjbuSb (j=1,2,???,b)
同样 可以证明,线性电阻电路中任意两点间的电
压等于各电源在此两点间产生的电压的代数和 。
电源既可是电压源,也可是电流源 。
叠加定理,
在线性电路中, 任一支路电流 (或电压 )都是电路中各个
独立电源单独作用时, 在该支路产生的电流 (或电压 )的代数
和 。
例 1,求图中电压 u。 +
–
10V 4A
6?
+
–
4? u
解, (1) 10V电压源单独作用,4A电流源开路
4A
6?
+
–
4? u''
u'=4V
(2) 4A电流源单独作用,10V电压源短路
u"= -4?2.4= -9.6V
共同作用,u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
+
–
10V
6?
+
–
4? u'
例 2,求电压 Us。
(1) 10V电压源单独作用,(2) 4A电流源单独作用：解,
Us'= -10 I1'+4= -10?1+4= -6V Us"= -10I1"+2.4?4
= -10 ?(-1.6)+9.6=25.6V
共同作用,Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
+
–
10V
6?I1
4A
+
–
Us
+ –10 I1
4?
+
–
10V
6?I1'
+
–
Us'
+ –10 I1'
4?
6?I1''
4A
+
–
Us''
+ –10 I1''
4?
齐性原理 （ homogeneity property):
线性电路中, 所有激励 (独立源 )都增大 (或减小 )同样
的倍数, 则电路中响应 (电压或电流 )也增大 (或减小 )同样
的倍数 。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
例 3.
解, 采用倒推法：设 i'=1A，推出此时 us'=34V。
则
可加性 (additivity property)。
求电流 i 。
RL=2? R1=1 ?
R2=1 ? us=51V
R1 R1 R1
R2 R2 RL+
–
us
i
+
–
2V2A5A13A
3A8A21A
+ –3V+ –8V+ –21V
+
–
us'=34V
R2
i'=1A
V5113451
s
s
s
s,'i
u
ui
u
u
'i
i
'' ????? 即
?
4,2 替代定理 (Substitution Theorem)
对于给定的任意一个电路, 其中第 k条支路电压 uk和电流 ik
已知, 那么这条支路就可以用一个具有电压等于 uk的独立电压
源, 或者用一个电流等于 ik的 独立电流源来替代, 替代后电路中
全部电压和电流均保持原有值 (解答唯一 )。
A +
–
uk ikA
定理内容,
= =
证明,替代前后 KCL,KVL关系相同, 其余支路的 u,i关
系不变 。 用 uk替代后, 其余支路电压不变 (KVL)，
A
ik
+
–
uk 支路
k
注,1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
无电压源回路；
无电流源节点 (含广义节点 )。
3.替代后其余支路及参数不能改变 (一点等效 )。
例,
若要使
试求 Rx。
其余支路电流也不变, 故第 k条支路 ik也不变 (KCL)。 用
ik替代后, 其余支路电流不变 (KCL),其余支路电压不变,
故第 k条支路 uk也不变 (KVL)。
2,替代后电路必须有唯一解
0.5?
0.5?
+
–
10V
3? 1? R
x Ix
– +U
I0.5?
,II x 81?
解,用替代：
U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix
Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2?
(或 U=(0.1-0.075)I=0.025I
)
= +
0.5?
0.5?1?
– +U
I
0.5?
I81
0.5?
0.5?1?
– +U'
I
0.5? 0.5?
0.5?1?
– +U''0.5?
I81
xI.I..I.
.I
.'U 80105052
511
52
1 ??????
xI.I.I.
.''U 600 7 501
8
1
52
51 ????????
Ω201 2 50 0 2 50,I,I.IUR x ???
4.3 戴维南定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
工程实际中, 常常碰到只需研究某一
支路的情况 。 这时, 可以将除我们需保留
的支路外的其余部分的电路 (通常为二端
网络或称一端口网络 ),等效变换为较简单
的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源
与电阻并联支路 ),可大大方便我们的分析和计算。戴维南
定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。
R3R1
R5
R4R2
iRx
a
b
+ –us
1,几个名词
(1) 端口 ( port )
端口指电路引出的一对端钮, 其中从一
个端钮 (如 a)流入的电流一定等于从另一
端钮 (如 b)流出的电流 。
A
a
b
i
i
(2) 一端口网络 (network) (亦称二端网络 )
网络与外部电路只有一对端钮 (或一个端口 )联接。
(3) 含源 (active)与无源 (passive)一端口网络
网络内部含有独立电源的一端口网络称为 含源一端口网络。
网络内部 不 含有独立电源的一端口网络称为 无源一端口网络 。
2,戴维南定理,
任何一个线性含有独立电源, 线性电阻和线性受控
源的二端网络, 对外电路来说, 可以用一个电压源 (Uoc)
和电阻 Ri的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于
一端口的开路电压, 而电阻等于一端口中全部独立电源
置零后的输入电阻 。
A
a
b
i
i
a
b
Ri
Uoc
+
-
证明,
(a) (b)
(对 a) 利用替代定理, 将外部电路用电流源替代, 此时 u,
i值不变 。 计算 u值 。
= +
根据叠加定理，可得
电流源 i为零 网络 A中独立源全部置零
a
b
A
i
+
–u N
'
i
Uoc
+
–
u N'
a
b
+
–
Ri
a
b
A i+–u
a
b
A +–u'
a
b
P i+
–
u''R
i
u'=Uoc (外电路开路时 a,b间开路电压 )
u"= Ri i
则 u = u' + u" = Uoc - Ri i 此关系式恰与图 (b)电路相同。证毕！
3,小结,
(1) 戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开
路电压 Uoc,电压源方向与所求开路电压方向有关 。
(2) 串联电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零 (电压源
短路, 电流源开路 )后, 所得无源一端口网络的等效电阻 。
等效电阻的计算方法：
当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法
计算；
1
2 加压求流法或加流求压法。
开路电压，短路电流法。3 2 3 方法更有一般性。
(3) 外电路发生改变时, 含源一端口网络的等效电路不变 (伏 -
安 特性等效 )。
(4) 当一端口内部含有受控源时, 其控制电路也必须包含在
被化简的一端口中 。
例 1.
(1) 计算 Rx分别为 1.2?,5.2?时的 I；
(2) Rx为何值时，其上获最大功率?
IRx
a
b
+ –10V
4?
6?
6?
4?
解, 保留 Rx支路，将其余一端口网络化为戴维南等效电路：
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1 IRx
I a
b
Uoc
+
–
Rx
Ri
(1) 求开路电压
Uoc = U1 + U2
= -10?4/(4+6)+10? 6/(4+6)
= -4+6=2V
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1
+
-
Uoc
(2) 求等效电阻 Ri
Ri=4//6+6//4=4.8?
(3) Rx =1.2?时，
I= Uoc /(Ri + Rx) =2/6=0.333A
Rx =5.2?时，
I= Uoc /(Ri + Rx) =2/10=0.2A
Rx = Ri =4.8?时，其上获最大功率。
Ri
a
b
含受控源电路戴维南定理的应用
求 U0 。 3? 3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0
a
b
+– 6I例 2,a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
解,(1) 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
I=9/9=1A Uoc=9V3?
6?
I+
–
9V
+
–
Uoc
a
b
+– 6I
(2) 求等效电阻 Ri
方法 1：加压求流
U0=6I+3I=9I
I=I0?6/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9 ? (2/3)I0=6I0
Ri = U0 /I0=6 ?
3?
6?
I +
–
U0
a
b
+– 6I I0
方法 2：开路电压、短路电流 (Uoc=9V)
6 I1 +3I=9
I=-6I/3=-2I I=0
Isc=9/6=1.5A
Ri = Uoc / Isc =9/1.5=6 ?
3?
6?
I+
–
9V Isc
a
b
+– 6I
I1
(3) 等效电路
a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
6?
9V
V3936 30 ????U
例 3.
解,(1) a,b开路,I=0,Uoc= 10V
(2)求 Ri：加压求流法
U0 =(I0-0.5 I0)?103+ I0?103 =1500I0
Ri = U0 / I0 =1.5k?
a
b
Uoc +–
+
–
U R0.5k ?Ri
(含受控源电路 )用戴维南定理求 U。
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R0.5k?+
–
U
I
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
U=Uoc ? 500/(1500+500)=2.5V
Isc = -I,(I-0.5I)?103 +I?103+10=0
1500I= -10?I= -1/150 A
即 Isc=1/150 A
? Ri = Uoc / Isc =10 ? 150=1500 ?
a
b
10V +–
+
–
U R0.5k?1.5k?
(3) 等效电路：
开路电压 Uoc,短路电流 Isc法求 Ri,Ri = Uoc / Isc
Uoc =10V（已求出）
求短路电流 Isc (将 a,b短路 )：
另：
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
I
Isc
加流求压法求 Ri
I= I0
U0 =0.5I0 ? 103 +I0 ? 103 =1500I0
? Ri = U0 /I0=1500 ?
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
解毕！
任何一个含独立电源, 线性电阻和线性受控源的一
端口, 对外电路来说, 可以用一个电流源和电导 (电阻 )
的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的
短路电流, 而电导 (电阻 )等于把该一端口的全部独立电
源置零后的输入电导 (电阻 )。
4,诺顿定理：
诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效
变换得到 。 但须指出, 诺顿等效电路可独立进行证明 。
证明过程从略 。
A
a
b
a
b
Gi(Ri)Isc
例, 求电流 I 。
12V
2?
10?
+
–
24V
a
b
4? I
+ –
4?I
a
b
Gi(Ri) Is
c
(1)求 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A
解：
2?
10?
+
–
24V
a
b
Isc
+ –
I1
I2
12V
(2) 求 Ri：串并联
Ri =10?2/(10+2)=1.67 ?
(3) 诺顿等效电路,
I = - Isc?1.67/(4+1.67)
=9.6?1.67/5.67
=2.83A
Ri 2?
10?a
b
b
4?I
a
1.67 ? -9.6A
解毕！
4,4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)
1.具有相同拓扑结构（特征）的电路
两个电路, 支路数和节点数都相同, 而且对应支路
与节点的联接关系也相同 。
N N
R5R4
R1
R3R2R6
+ –
us1
1
2
3 4
R5'R4'
R1'
R3'
R6'
us6
is2
+
–1
2
43
两个电路支路与节点联接关系相同：
假设两个电路中对应支路电压
方向相同, 支路电流均取和支路电
压相同的参考方向 。
2,特勒根定理：
46
5
1
2 3
4
2
3
1
)( 0 0
),(
)()(
)()(
11
似功率平衡关系和
即且各支路取关联方向
的乘积之和为零中对应的支路中的与电路
路的电压的所有支路中的每一支电路
?? ??
?
?
?
?
???
??
b
k
kk
b
k
kk
kk
kk
iuiu
iiNN
uuNN
?? ?
+ –uk
ik
uk = un? - un?, ik = i????
则
证明：
?? ?
+ –
ki
?
ku?
αββααβkαββα iiiiii
???? ?????,,
αααββαβα
βα
βn βαβnnn
knknkk
iuiuiuiu
iuiuiu
????
???
????
??
)(
1
βαβnαβαn
b
k
kk iuiuiu
??
?
?
? ?? ?
所 有 支 路
0
0.)( 0 K C L,
,).(
,
1
??
????
??
?
?
??
??
?
b
k
k
k
n
n
n
k
k
iu
,
iu,i.
αiiu
uα,iu
即也成立理可证对其余节点此式
同所以有根据流的代数和
上的所有支路电表示联接在节点其中
相乘项之和一定是与对节点相乘将所有支路
α
α
α
αα
α
α
? ?
?
?b
k
kk iu
1
0
:依同理也可证明
3,功率平衡定理：
在任一瞬间, 任一电路中的所有支路所吸收的瞬时
功率的代数和为零, 即
将特勒根定理用于同一电路中各支路电流, 电压即可证得
上述关系 。
此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。
特勒根定理适用于一切集总参数电路 。 只要各支路 u，
i满足 KCL,KVL即可 。 特勒根定理与 KCL,KVL三者中取
其两个即可 。
注意：
? ???
??
b
k kk
b
k k
iup
11
0
),,,( kkkk iiuu,NN ??? ??则为同一电路亦可视为
例 1：
(1) R1=R2=2?,Us=8V 时,
I1=2A,U2 =2V
(2) R1=1.4 ?,R2=0.8?,Us'=9V时,
I1'=3A,
求 U2'。
解, 利用特勒根定理
由 (1)得,U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A
222211 ( 5/ 4)/ A,3 V,84,( 2)
????? ???? URUII.U得由
),(
)()(
11
22112211
的方向不同负号是因为 IU
IUIUIUIU
????
?????
V615142 1284251234 222,./.UU.U,???????????? ???
无源
电阻
网络
P–
+
U1
+
–
Us
R1I1 I2
–
+
U2R2
例 2.
U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A
解,
P
–
+
U1
–
+
U2 I2
I1
P
–
+
–
+
2?
1
?U 2?U
1
?I
2
?I
V102 ??U
.U 1?求
)()( 22112211 IUIUIUIU ???? ?????
11 2
?? ? IU
V.11 ??U
4,5 互易定理 (Reciprocity Theorem)
第一种形式, 电压源激励，电流响应。
给定任一仅由线性电阻构成的网络 (见下图 ),设支路 j中
有唯一电压源 uj,其在支路 k中产生的电流为 ikj(图 a)；若支路
k中有唯一电压源 uk,其在支路 j中产生的电流为 ijk(图 b)。
c
d
线性
电阻
网络
N
ijk +
–
uk
a
b (b)
ikj
线性
电阻
网络
N
+
–
uj
a
b
c
d
(a)
当 uk = uj 时,ikj= ijk 。
则两个支路中电压电流有如下关系：
jkjkjk
k
jk
j
kj iuiu
u
i
u
i
?? 或
证明, 用特勒根定理。
由特勒根定理：
(设 a-b支路为支路 1,c-d支路为支路 2,其余支路为 3~b)。 图
(a)与图 (b)有相同拓扑特征, (a)中用 uk, ik表示支路电压,
电流, (b)中用 。表示
kk iu
??,
0 0
11
????
?
?
?
? b
k
kk
b
k
kk iuiu 和
0
3
2211
3
2211
1
? ????
?????
?
???
?
???
?
?
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
即：
0
3
2211
3
2211
1
? ????
?????
?
???
?
???
?
?
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
两式相减，得
22112211 iuiuiuiu
????
???
将图 (a)与图 (b)中支路 1,2的条件代入，即
即：
证毕！
jkkkjj iiuuuiiuuu ??????
??
121221,,0 ;,0,
kjkjkj iuiiiu ?????
?
12 00
当 uk = uj 时,ikj= ijk 。
k
jk
j
kj
jkjkjk u
i
u
i
iuiu ?? 或
第二种形式, 电流源激励，电压响应。
在任一线性电阻网络的一对节点 j,j'间接入唯一电流
源 ij,它在另一对节点 k,k'产生电压 ukj(见图 a)；若改在节
点 k,k'间接入唯一电流源 ik,它在节点 j,j'间产生电压
ujk(图 b),则上述电压, 电流有如下关系：
当 ik = jj 时,ukj= ujk 。
jjkkkj
k
jk
j
kj iuiu
i
u
i
u
?? 或
ukjij
+
–
j
j' k'
k
(a)
ik
+
–
ujk
j
j' k'
k
(b)
(a) (b)
若 us = is, 则
* 第三种形式：
1
1' 2'
2
i2Nis N?
1
1' 2'
2+
–
us
+
–
u1?
.iu 21 ??
例：
2?1?
2?4? + –8V 2?
I
a b c
d
求电流 I 。
解,利用互易定理
I1 = I'?2/(4+2)=2/3A
I2 = I'?2/(1+2)=4/3A
I= I1-I2 = - 2/3A
2?1?
2?4?
+
–8V
2?
I
a b c
d
I1
I2
I'
A24821242 8 ????? ////'I
解毕！
(1) 互易定理适用于线性网络在单一电源激励下, 两个支路
电压电流关系 。
(2) 激励为电压源时，响应为电流
激励为电流源时，响应为电压
电压与电流互易。
(3) 电压源激励, 互易时原电压源处短路, 电压源串入另一
支路； 电流源激励, 互易时原电流源处开路, 电流源并
入另一支路的两个节点间 。
(4) 互易要注意电源与电压 (电流 )的方向。
(5) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
应用互易定理时应注意：
4,6 对偶原理 (Dual Principle)
1,对偶电路：
例 1.
网孔电流方程：
(R1 + R2)il = us
节点电压方程：
(G1 + G2 )un = is
若 R1=G1,R2 =G2,us=is，
则两方程完全相同，解答 il=un也相同。
R2
+ –u
s
il
R1 G1
G2u
n
is
例 2
网孔方程,节点方程：
上述每例中的两个电路称为对偶电路。
将方程 (1)中所有元素用其对偶元素替换得方程 (2)。
若 R1=G1,R2 =G2,R3 =G3,us1=is1,rm = gm, 则两个方程
组相同, 其解答也相同, 即 un1= il1, un2= il2。
R3R1
R2
+
–
us1 il1 il2
i1
+
–
rm i1
G2
G3G1
un1 un2
+
–
u1is1 gm u1
(R1+R2) il1- R2 il2 = us1
- R2 il1 +(R2+R3) il2 = - rm i1
i1 = il1
(1)
(G1+G2)un1- G2 un2 = is1
-G2 un1+(G2+G3) un2 =- gm u1
u1 =un1
(2)
2,对偶元素,（见书）
节点
网孔
节点电压
网孔电流
KCL
KVL
L
C
R
G is
us串联
并联
CCVS
VCCS
…
…
3,对偶原理,
（或陈述） S成立，则将 S中所有元素，分别以其对应的对偶
只有平面电路才可能有对偶电路。
4,如何求一个电路的对偶电路
打点法：网孔电流对应节点电压 (外网孔对应参考节点 )。
两个对偶电路 N,N，如果对电路 N有命题
元素替换，所得命题（或陈述） S对电路 N成立。
注意：
例 1,R
2
+ –u
s
il
R1 G1
G2u
n
is
例 2
R3R1
R2
+
–
us1
il1 il2
i1
+
–
rm i1
G2
G3G1
un1 un2
+
–
u1is1 gm u1
(2) 各对偶元素进行替换。 (i1 ~u1)数值相同，量纲不同。
(3) 电源方向：电压源电压方向与网孔电流方向相同时,
对应电流源方向为离开对应节点, 反之相反 。 电流源
方向与网孔电流方向相同时, 对应电压源方向与对应
节点电压方向相同, 反之相反 。
注意：
(1) 每一网孔电流对应一节点电压, 外网孔对应参考节点 。
网孔电流取顺时针方向, 节点电压指向参考节点 。
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
4,2 替代定理 (Substitution Theorem)
4.3 戴维南定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
4,4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)
4,5 互易定理 (Reciprocity Theorem)
4,6 对偶原理 (Dual Principle)
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
如图电路，计算各支路电流。
用回路法：
(R1+R2)ia-R2ib=us1-us2
-R2ia+(R2+R3)ib=us2-
us3
R11ia+R12ib=us11
R21ia+R22ib=us22
其中
R11=R1+R2,R12= -R2,us11=us1-us2
R21= -R2,R22=R2+R3,us22=us2-us3
用行列式法解：
R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
s3
12
s2
2211
1s
22
s 22
11
11s
22
2221
1211
2222s
1211s
a
u
R
u
RR
u
R
u
R
u
R
RR
RR
Ru
Ru
i
ΔΔΔ
ΔΔ
?
?
??
?
???
s3
11
s2
2111
1s
2122s21
11s11
b u
R
u
RR
u
RuR
uR
i
ΔΔΔΔ
?
?
?
?
?
??
则各支路电流为：
其中
21122211
2221
1211 RRRR
RR
RR ???Δ
R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
'''''' iiiuRuRRuRii
111s3
12
s2
2212
s1
22
a1 ????
????
ΔΔΔ
'''''' iii
u
RR
u
RRRR
u
RR
iii
222
s3
1211
s2
221211
s1
2221
ba2
1
???
?
?
???
?
?
???
ΔΔΔ
'''''' iiiuRuRRuRii
333s3
11
s2
2111
s1
21
b3 ???
???????
ΔΔΔ
各支路电流（如 i1）均可看成各电压源单独作用时，产生
的电流（如 i1',i1",i1"'） 之叠加。
由上式可见,各支路电流均为各电压源的一次函数，所以
当一个电源单独作用时, 其余电源不作用, 就意味着取零值 。
即对电压源看作短路, 而对电流源看作开路 。 即如下图：
三个电源共同作用
=
= us1单独作用 +
us2单独作用
+
+ us3单独作用
+R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
R1
us1
R2 R3
i1'
i2'
i3'
+
–
R1 R2
us2
R3
i1''
i2''
i3''
+
–
R1 R2 R3
us3
i1'''
i2'''
i3'''
+
–
因此 i
1=i1'+i1"+i1"'
i3=i3'+i3"+i3"'
i2=i2'+i2"+i2"'
上述以一个具体例子来说明叠加的概念, 这个方法也
可推广到多个电源的电路中去 。
对于有 b条支路, l个独立回路的仅由线性电阻和电压
源构成的电路, 由回路电流方程, 可得回路电流的解答式
为：
),2,1,(
SlSl2Sl
2
1Sl
1
l
lk
uuuui llkkkkkkk
?
??
?
??????
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
由此可知任一支路电流 ij 的可表示为：
ij=gj1uS1+ gj2uS2+ ??? + gjkuSk+ ??? + gjbuSb (j=1,2,???,b)
同样 可以证明,线性电阻电路中任意两点间的电
压等于各电源在此两点间产生的电压的代数和 。
电源既可是电压源,也可是电流源 。
叠加定理,
在线性电路中, 任一支路电流 (或电压 )都是电路中各个
独立电源单独作用时, 在该支路产生的电流 (或电压 )的代数
和 。
例 1,求图中电压 u。 +
–
10V 4A
6?
+
–
4? u
解, (1) 10V电压源单独作用,4A电流源开路
4A
6?
+
–
4? u''
u'=4V
(2) 4A电流源单独作用,10V电压源短路
u"= -4?2.4= -9.6V
共同作用,u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
+
–
10V
6?
+
–
4? u'
例 2,求电压 Us。
(1) 10V电压源单独作用,(2) 4A电流源单独作用：解,
Us'= -10 I1'+4= -10?1+4= -6V Us"= -10I1"+2.4?4
= -10 ?(-1.6)+9.6=25.6V
共同作用,Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
+
–
10V
6?I1
4A
+
–
Us
+ –10 I1
4?
+
–
10V
6?I1'
+
–
Us'
+ –10 I1'
4?
6?I1''
4A
+
–
Us''
+ –10 I1''
4?
齐性原理 （ homogeneity property):
线性电路中, 所有激励 (独立源 )都增大 (或减小 )同样
的倍数, 则电路中响应 (电压或电流 )也增大 (或减小 )同样
的倍数 。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
例 3.
解, 采用倒推法：设 i'=1A，推出此时 us'=34V。
则
可加性 (additivity property)。
求电流 i 。
RL=2? R1=1 ?
R2=1 ? us=51V
R1 R1 R1
R2 R2 RL+
–
us
i
+
–
2V2A5A13A
3A8A21A
+ –3V+ –8V+ –21V
+
–
us'=34V
R2
i'=1A
V5113451
s
s
s
s,'i
u
ui
u
u
'i
i
'' ????? 即
?
4,2 替代定理 (Substitution Theorem)
对于给定的任意一个电路, 其中第 k条支路电压 uk和电流 ik
已知, 那么这条支路就可以用一个具有电压等于 uk的独立电压
源, 或者用一个电流等于 ik的 独立电流源来替代, 替代后电路中
全部电压和电流均保持原有值 (解答唯一 )。
A +
–
uk ikA
定理内容,
= =
证明,替代前后 KCL,KVL关系相同, 其余支路的 u,i关
系不变 。 用 uk替代后, 其余支路电压不变 (KVL)，
A
ik
+
–
uk 支路
k
注,1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
无电压源回路；
无电流源节点 (含广义节点 )。
3.替代后其余支路及参数不能改变 (一点等效 )。
例,
若要使
试求 Rx。
其余支路电流也不变, 故第 k条支路 ik也不变 (KCL)。 用
ik替代后, 其余支路电流不变 (KCL),其余支路电压不变,
故第 k条支路 uk也不变 (KVL)。
2,替代后电路必须有唯一解
0.5?
0.5?
+
–
10V
3? 1? R
x Ix
– +U
I0.5?
,II x 81?
解,用替代：
U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix
Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2?
(或 U=(0.1-0.075)I=0.025I
)
= +
0.5?
0.5?1?
– +U
I
0.5?
I81
0.5?
0.5?1?
– +U'
I
0.5? 0.5?
0.5?1?
– +U''0.5?
I81
xI.I..I.
.I
.'U 80105052
511
52
1 ??????
xI.I.I.
.''U 600 7 501
8
1
52
51 ????????
Ω201 2 50 0 2 50,I,I.IUR x ???
4.3 戴维南定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
工程实际中, 常常碰到只需研究某一
支路的情况 。 这时, 可以将除我们需保留
的支路外的其余部分的电路 (通常为二端
网络或称一端口网络 ),等效变换为较简单
的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源
与电阻并联支路 ),可大大方便我们的分析和计算。戴维南
定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。
R3R1
R5
R4R2
iRx
a
b
+ –us
1,几个名词
(1) 端口 ( port )
端口指电路引出的一对端钮, 其中从一
个端钮 (如 a)流入的电流一定等于从另一
端钮 (如 b)流出的电流 。
A
a
b
i
i
(2) 一端口网络 (network) (亦称二端网络 )
网络与外部电路只有一对端钮 (或一个端口 )联接。
(3) 含源 (active)与无源 (passive)一端口网络
网络内部含有独立电源的一端口网络称为 含源一端口网络。
网络内部 不 含有独立电源的一端口网络称为 无源一端口网络 。
2,戴维南定理,
任何一个线性含有独立电源, 线性电阻和线性受控
源的二端网络, 对外电路来说, 可以用一个电压源 (Uoc)
和电阻 Ri的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于
一端口的开路电压, 而电阻等于一端口中全部独立电源
置零后的输入电阻 。
A
a
b
i
i
a
b
Ri
Uoc
+
-
证明,
(a) (b)
(对 a) 利用替代定理, 将外部电路用电流源替代, 此时 u,
i值不变 。 计算 u值 。
= +
根据叠加定理，可得
电流源 i为零 网络 A中独立源全部置零
a
b
A
i
+
–u N
'
i
Uoc
+
–
u N'
a
b
+
–
Ri
a
b
A i+–u
a
b
A +–u'
a
b
P i+
–
u''R
i
u'=Uoc (外电路开路时 a,b间开路电压 )
u"= Ri i
则 u = u' + u" = Uoc - Ri i 此关系式恰与图 (b)电路相同。证毕！
3,小结,
(1) 戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开
路电压 Uoc,电压源方向与所求开路电压方向有关 。
(2) 串联电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零 (电压源
短路, 电流源开路 )后, 所得无源一端口网络的等效电阻 。
等效电阻的计算方法：
当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法
计算；
1
2 加压求流法或加流求压法。
开路电压，短路电流法。3 2 3 方法更有一般性。
(3) 外电路发生改变时, 含源一端口网络的等效电路不变 (伏 -
安 特性等效 )。
(4) 当一端口内部含有受控源时, 其控制电路也必须包含在
被化简的一端口中 。
例 1.
(1) 计算 Rx分别为 1.2?,5.2?时的 I；
(2) Rx为何值时，其上获最大功率?
IRx
a
b
+ –10V
4?
6?
6?
4?
解, 保留 Rx支路，将其余一端口网络化为戴维南等效电路：
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1 IRx
I a
b
Uoc
+
–
Rx
Ri
(1) 求开路电压
Uoc = U1 + U2
= -10?4/(4+6)+10? 6/(4+6)
= -4+6=2V
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1
+
-
Uoc
(2) 求等效电阻 Ri
Ri=4//6+6//4=4.8?
(3) Rx =1.2?时，
I= Uoc /(Ri + Rx) =2/6=0.333A
Rx =5.2?时，
I= Uoc /(Ri + Rx) =2/10=0.2A
Rx = Ri =4.8?时，其上获最大功率。
Ri
a
b
含受控源电路戴维南定理的应用
求 U0 。 3? 3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0
a
b
+– 6I例 2,a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
解,(1) 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
I=9/9=1A Uoc=9V3?
6?
I+
–
9V
+
–
Uoc
a
b
+– 6I
(2) 求等效电阻 Ri
方法 1：加压求流
U0=6I+3I=9I
I=I0?6/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9 ? (2/3)I0=6I0
Ri = U0 /I0=6 ?
3?
6?
I +
–
U0
a
b
+– 6I I0
方法 2：开路电压、短路电流 (Uoc=9V)
6 I1 +3I=9
I=-6I/3=-2I I=0
Isc=9/6=1.5A
Ri = Uoc / Isc =9/1.5=6 ?
3?
6?
I+
–
9V Isc
a
b
+– 6I
I1
(3) 等效电路
a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
6?
9V
V3936 30 ????U
例 3.
解,(1) a,b开路,I=0,Uoc= 10V
(2)求 Ri：加压求流法
U0 =(I0-0.5 I0)?103+ I0?103 =1500I0
Ri = U0 / I0 =1.5k?
a
b
Uoc +–
+
–
U R0.5k ?Ri
(含受控源电路 )用戴维南定理求 U。
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R0.5k?+
–
U
I
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
U=Uoc ? 500/(1500+500)=2.5V
Isc = -I,(I-0.5I)?103 +I?103+10=0
1500I= -10?I= -1/150 A
即 Isc=1/150 A
? Ri = Uoc / Isc =10 ? 150=1500 ?
a
b
10V +–
+
–
U R0.5k?1.5k?
(3) 等效电路：
开路电压 Uoc,短路电流 Isc法求 Ri,Ri = Uoc / Isc
Uoc =10V（已求出）
求短路电流 Isc (将 a,b短路 )：
另：
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
I
Isc
加流求压法求 Ri
I= I0
U0 =0.5I0 ? 103 +I0 ? 103 =1500I0
? Ri = U0 /I0=1500 ?
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
解毕！
任何一个含独立电源, 线性电阻和线性受控源的一
端口, 对外电路来说, 可以用一个电流源和电导 (电阻 )
的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的
短路电流, 而电导 (电阻 )等于把该一端口的全部独立电
源置零后的输入电导 (电阻 )。
4,诺顿定理：
诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效
变换得到 。 但须指出, 诺顿等效电路可独立进行证明 。
证明过程从略 。
A
a
b
a
b
Gi(Ri)Isc
例, 求电流 I 。
12V
2?
10?
+
–
24V
a
b
4? I
+ –
4?I
a
b
Gi(Ri) Is
c
(1)求 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A
解：
2?
10?
+
–
24V
a
b
Isc
+ –
I1
I2
12V
(2) 求 Ri：串并联
Ri =10?2/(10+2)=1.67 ?
(3) 诺顿等效电路,
I = - Isc?1.67/(4+1.67)
=9.6?1.67/5.67
=2.83A
Ri 2?
10?a
b
b
4?I
a
1.67 ? -9.6A
解毕！
4,4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)
1.具有相同拓扑结构（特征）的电路
两个电路, 支路数和节点数都相同, 而且对应支路
与节点的联接关系也相同 。
N N
R5R4
R1
R3R2R6
+ –
us1
1
2
3 4
R5'R4'
R1'
R3'
R6'
us6
is2
+
–1
2
43
两个电路支路与节点联接关系相同：
假设两个电路中对应支路电压
方向相同, 支路电流均取和支路电
压相同的参考方向 。
2,特勒根定理：
46
5
1
2 3
4
2
3
1
)( 0 0
),(
)()(
)()(
11
似功率平衡关系和
即且各支路取关联方向
的乘积之和为零中对应的支路中的与电路
路的电压的所有支路中的每一支电路
?? ??
?
?
?
?
???
??
b
k
kk
b
k
kk
kk
kk
iuiu
iiNN
uuNN
?? ?
+ –uk
ik
uk = un? - un?, ik = i????
则
证明：
?? ?
+ –
ki
?
ku?
αββααβkαββα iiiiii
???? ?????,,
αααββαβα
βα
βn βαβnnn
knknkk
iuiuiuiu
iuiuiu
????
???
????
??
)(
1
βαβnαβαn
b
k
kk iuiuiu
??
?
?
? ?? ?
所 有 支 路
0
0.)( 0 K C L,
,).(
,
1
??
????
??
?
?
??
??
?
b
k
k
k
n
n
n
k
k
iu
,
iu,i.
αiiu
uα,iu
即也成立理可证对其余节点此式
同所以有根据流的代数和
上的所有支路电表示联接在节点其中
相乘项之和一定是与对节点相乘将所有支路
α
α
α
αα
α
α
? ?
?
?b
k
kk iu
1
0
:依同理也可证明
3,功率平衡定理：
在任一瞬间, 任一电路中的所有支路所吸收的瞬时
功率的代数和为零, 即
将特勒根定理用于同一电路中各支路电流, 电压即可证得
上述关系 。
此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。
特勒根定理适用于一切集总参数电路 。 只要各支路 u，
i满足 KCL,KVL即可 。 特勒根定理与 KCL,KVL三者中取
其两个即可 。
注意：
? ???
??
b
k kk
b
k k
iup
11
0
),,,( kkkk iiuu,NN ??? ??则为同一电路亦可视为
例 1：
(1) R1=R2=2?,Us=8V 时,
I1=2A,U2 =2V
(2) R1=1.4 ?,R2=0.8?,Us'=9V时,
I1'=3A,
求 U2'。
解, 利用特勒根定理
由 (1)得,U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A
222211 ( 5/ 4)/ A,3 V,84,( 2)
????? ???? URUII.U得由
),(
)()(
11
22112211
的方向不同负号是因为 IU
IUIUIUIU
????
?????
V615142 1284251234 222,./.UU.U,???????????? ???
无源
电阻
网络
P–
+
U1
+
–
Us
R1I1 I2
–
+
U2R2
例 2.
U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A
解,
P
–
+
U1
–
+
U2 I2
I1
P
–
+
–
+
2?
1
?U 2?U
1
?I
2
?I
V102 ??U
.U 1?求
)()( 22112211 IUIUIUIU ???? ?????
11 2
?? ? IU
V.11 ??U
4,5 互易定理 (Reciprocity Theorem)
第一种形式, 电压源激励，电流响应。
给定任一仅由线性电阻构成的网络 (见下图 ),设支路 j中
有唯一电压源 uj,其在支路 k中产生的电流为 ikj(图 a)；若支路
k中有唯一电压源 uk,其在支路 j中产生的电流为 ijk(图 b)。
c
d
线性
电阻
网络
N
ijk +
–
uk
a
b (b)
ikj
线性
电阻
网络
N
+
–
uj
a
b
c
d
(a)
当 uk = uj 时,ikj= ijk 。
则两个支路中电压电流有如下关系：
jkjkjk
k
jk
j
kj iuiu
u
i
u
i
?? 或
证明, 用特勒根定理。
由特勒根定理：
(设 a-b支路为支路 1,c-d支路为支路 2,其余支路为 3~b)。 图
(a)与图 (b)有相同拓扑特征, (a)中用 uk, ik表示支路电压,
电流, (b)中用 。表示
kk iu
??,
0 0
11
????
?
?
?
? b
k
kk
b
k
kk iuiu 和
0
3
2211
3
2211
1
? ????
?????
?
???
?
???
?
?
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
即：
0
3
2211
3
2211
1
? ????
?????
?
???
?
???
?
?
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
两式相减，得
22112211 iuiuiuiu
????
???
将图 (a)与图 (b)中支路 1,2的条件代入，即
即：
证毕！
jkkkjj iiuuuiiuuu ??????
??
121221,,0 ;,0,
kjkjkj iuiiiu ?????
?
12 00
当 uk = uj 时,ikj= ijk 。
k
jk
j
kj
jkjkjk u
i
u
i
iuiu ?? 或
第二种形式, 电流源激励，电压响应。
在任一线性电阻网络的一对节点 j,j'间接入唯一电流
源 ij,它在另一对节点 k,k'产生电压 ukj(见图 a)；若改在节
点 k,k'间接入唯一电流源 ik,它在节点 j,j'间产生电压
ujk(图 b),则上述电压, 电流有如下关系：
当 ik = jj 时,ukj= ujk 。
jjkkkj
k
jk
j
kj iuiu
i
u
i
u
?? 或
ukjij
+
–
j
j' k'
k
(a)
ik
+
–
ujk
j
j' k'
k
(b)
(a) (b)
若 us = is, 则
* 第三种形式：
1
1' 2'
2
i2Nis N?
1
1' 2'
2+
–
us
+
–
u1?
.iu 21 ??
例：
2?1?
2?4? + –8V 2?
I
a b c
d
求电流 I 。
解,利用互易定理
I1 = I'?2/(4+2)=2/3A
I2 = I'?2/(1+2)=4/3A
I= I1-I2 = - 2/3A
2?1?
2?4?
+
–8V
2?
I
a b c
d
I1
I2
I'
A24821242 8 ????? ////'I
解毕！
(1) 互易定理适用于线性网络在单一电源激励下, 两个支路
电压电流关系 。
(2) 激励为电压源时，响应为电流
激励为电流源时，响应为电压
电压与电流互易。
(3) 电压源激励, 互易时原电压源处短路, 电压源串入另一
支路； 电流源激励, 互易时原电流源处开路, 电流源并
入另一支路的两个节点间 。
(4) 互易要注意电源与电压 (电流 )的方向。
(5) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
应用互易定理时应注意：
4,6 对偶原理 (Dual Principle)
1,对偶电路：
例 1.
网孔电流方程：
(R1 + R2)il = us
节点电压方程：
(G1 + G2 )un = is
若 R1=G1,R2 =G2,us=is，
则两方程完全相同，解答 il=un也相同。
R2
+ –u
s
il
R1 G1
G2u
n
is
例 2
网孔方程,节点方程：
上述每例中的两个电路称为对偶电路。
将方程 (1)中所有元素用其对偶元素替换得方程 (2)。
若 R1=G1,R2 =G2,R3 =G3,us1=is1,rm = gm, 则两个方程
组相同, 其解答也相同, 即 un1= il1, un2= il2。
R3R1
R2
+
–
us1 il1 il2
i1
+
–
rm i1
G2
G3G1
un1 un2
+
–
u1is1 gm u1
(R1+R2) il1- R2 il2 = us1
- R2 il1 +(R2+R3) il2 = - rm i1
i1 = il1
(1)
(G1+G2)un1- G2 un2 = is1
-G2 un1+(G2+G3) un2 =- gm u1
u1 =un1
(2)
2,对偶元素,（见书）
节点
网孔
节点电压
网孔电流
KCL
KVL
L
C
R
G is
us串联
并联
CCVS
VCCS
…
…
3,对偶原理,
（或陈述） S成立，则将 S中所有元素，分别以其对应的对偶
只有平面电路才可能有对偶电路。
4,如何求一个电路的对偶电路
打点法：网孔电流对应节点电压 (外网孔对应参考节点 )。
两个对偶电路 N,N，如果对电路 N有命题
元素替换，所得命题（或陈述） S对电路 N成立。
注意：
例 1,R
2
+ –u
s
il
R1 G1
G2u
n
is
例 2
R3R1
R2
+
–
us1
il1 il2
i1
+
–
rm i1
G2
G3G1
un1 un2
+
–
u1is1 gm u1
(2) 各对偶元素进行替换。 (i1 ~u1)数值相同，量纲不同。
(3) 电源方向：电压源电压方向与网孔电流方向相同时,
对应电流源方向为离开对应节点, 反之相反 。 电流源
方向与网孔电流方向相同时, 对应电压源方向与对应
节点电压方向相同, 反之相反 。
注意：
(1) 每一网孔电流对应一节点电压, 外网孔对应参考节点 。
网孔电流取顺时针方向, 节点电压指向参考节点 。
