第九章
正弦稳态电路的分析
主要内容
正弦信号：
正弦电路：
在线性时不变稳定电路中，若各个激励源均为同一频率
的正弦信号时，当电路达到稳态时，电路中各支路变量
均为与电源频率相同的正弦量。在此条件下，对于电路
的分析可借助相量法进行。
主要知识点
正弦稳态电路的分析方法和功率计算。
本章难点
1.电路模型和电路变量在正弦稳态下的时域和相量表示易被混淆。
2.较为繁杂的数值计算题。
3.相量图作为辅助工具以及变量间相位关系的比较。
4.正弦电路功率的计算。
具有正弦函数形式的时变电压和电流
在正弦信号激励下的电路。
分析工具：
正弦信号的相量表示；
阻抗与导纳的概念；
§ 9-1
阻抗与导纳
1．阻抗, 无源二端网络端口上电压相量与电流相量之比
具有电阻量纲。
jXRZIUZ z ????? ??
?
X：电 抗 （分量）
I
U
Z ＝
电压超前电流,No为感性
电压落后电流,No为容性
一．定义
R：电 阻 （分量） φZ>0
φZ<0
阻抗的模
阻抗角 iuz ??? ??
2．导纳：
jBGYUIY Y ????? ??
?
B：电 纳 分量
3．阻抗与导纳的关系
同一对端口
YZ
1?
4．阻抗与导纳的串并联等效
串联：
21
21 ZZ
I
UUZ ????
?
??
并联：
21
21
21
YYY
ZZ
ZZ
Z
??
?
?
或
G：电 导 分量
电阻,G
RY R ??
1
电感,感纳〕＝ (1
LjY L ?
电容：
容纳）＝ (CjY C ?
相量电路模型：
二．基本元件的阻抗与导纳
RZ R ?
)( 感抗LjjXZ LL ???
)(11 容抗＝ CjXjZ CC ???
得到的电路模型称相量模型。
将电路中电流、电压用相量表示。
将基本元件用他们的阻抗或导纳来标出。
求如图电路阻抗 Zac
设信号频率 ω
解：
)(( ?? jXR 〕＋? R(ω)：等效电阻。 X（ ω)：等效电抗。
三．无源二端网络的阻抗与导纳
例 9-1-1
LjRZ ab ??? 1
Cj
R
Y
Z
bc
bc
??
??
2
1
11
bcabac ZZZ ??
? ? 2
2
2
2
1
1
1
C
R
Cj
R
LjR
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
???
? ? ? ?
]
1
[
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
C
R
C
Lj
C
R
R
R
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
??
（ 2〕 当 ω =1 rad/s
（ Ω ）5.12)212(215.1 jjZ ac ??????
等效相量电路如图
设 FCHLRR 1,2,15.1 21 ???? ΩΩ,
（ 1）当 ω =0（直流信号） C开路 L短路
Ω5.2)0()0( 21 ????? RRjXRZ ac
讨论
求如图 RLC串联电路的阻抗
解：
zi
i
Z
jXR
C
LjRZ
?
?
?
??
??
??? )
1
(
CLX ??
1??
22 XRZ i ??
当
iZ容性
例 9-1-2
R
Xtg
z
1???
时，＝即 LCCL 11)1( ??? ? RZ i ?
时，即 LCCL 11)2( ?? ??? iZ感性
时，即 LCCL 11)3( ?? ???
(1) 无源一端口网络的阻抗与导纳取决于
网络结构、元件参数和信号源频率
(3) 当 0~9090~0 ?? ???
Yz ?? 或
时为感性
(4) 当
?? 90~00~90 ??? Yz ?? 或
时为容性
讨论
当 No中无受控源时,φZ和 φY在 ± π/2间。
(2) No的性质（感性或容性）随 ω变化，
§ 9-2
阻抗 (导纳 )的串联和并联
1．串联：
nZZZZ ???? ?21
UZZU kk ?? ?
一．阻抗的串并联
分压：
2．并联：
nZZZZ
1111
21
???? ?
nYYYY ???? ?21
IYYI kk ?? ?
分流：
如图 RLC串联电路。 R= 15 ?,L= 12 mH,C= 5 ?F，
端电压 u=141.4cos(5000t)V。
求,i、元件的电压相量。
解,用相量法。
例 9-2-1
)(0100 VU ?? ?? )/(5000 sr a d??
CjLjRZ
1
?? ???
)10 5 5 00 0 110 125 00 0(15 63 ?? ??????? j
)(5 3, 1 3 25 2015 ????? ?j
)(5 3, 1 3 4 5 3, 1 325 0100 AZUI ??
???
????????
RIU R ?? ? )(5 3, 1 3 60 V???? 155 3, 1 34 ???? ?
)(87.36 2 4 0 VLjIU L ??? ??? ?
)(13.1 4 31 6 0 1 VCjIU C ??? ???? ?
15 10
20 15
10
20 55 58.52 70.0
58.52 70.0
1.71 70.0
34.2 70.0
128.25 20.0
34.2 160.0
20
i(t)=4?2cos(5000t-53.13o)A1.71 70
§ 9-3
电路的相量图
1．根据电路中各相量之间的关系所作出的图，体现 KCL,KVL、
电压与电流之间的关系。
一．相量图
箭头长短 —— 相量的模；角度 —— 相量的相位（初相）
2．作法：
(1)选择参考相量。 (初相依据计算结果或假设为 0。 )
串联：
并联：
I?
U?
(2)其他相关相量根据参考相量确定。 (串联,KCL；并联,KVL)
如图 RLC串联电路。 R= 15 ?,L= 12 mH,C= 5 ?F，
端电压 u=141.4cos(5000t)V。
解：
例 1
)(5 3, 1 3 4 AI ?? ???
RIU R ?? ? )(5 3, 1 3 60 V????
)(87.36 240 VLjIU L ??? ??? ?
)(13.1 4 31 6 0 1 VCjIU C ??? ???? ?
)(0100 VU ?? ??
53.13o
I?
RU?
LU?
CU?U?
电路如图,R1=10?,L=0.5H, R2= 1000?,C=10 ?F，
Us=100V,?=314rad/s。求各支路电流。
解：
例 2
，则：VU s ?? 0100设 ??
CjRZ ??? 2// 1
1
//1 ZLjRZ ??? ?
?33.7245.3 0 35.03 1 410 ?????? j
53 1031410
1
?? ??? j
)(33.7245.303 ???? ?
)(30.5299.1 6 6 ???? ?
92.11-j289.13
Z
UI ?? ?? )(30.5260.0 A???
C 1
C 1
2
2 ?
?
jR
jII
??
?? )(03.2018.0 A????
C 12
2
1 ?jR
RII
??
?? )(97.6957.0 A???
1I?
2I?
I?
Ij ?L?
1RI?
22RI?
sU?
§ 9-４
正弦稳态电路的分析
(3)若需要，将结果表示为时间函数。
线性电路，单一频率正弦激励下的 稳态 电路条件：
工具,(1)引入相量形式欧姆定律，将微分、积分化为
复数的代数运算。
(2)由于 KCL和 KVL相量形式成立，前面直流
电路分析中等效方法、建立方程方法及线性
电路的定理可直接应用于相量模型。
(3)相量图作为辅助工具。
稳态电路分析的一般步骤：
(1)将电路时域模型变为相量模型；
(2)按直流电路的分析方法求出相量解；
已知,电路中 ))(301000(210 VtS i nu ???
求,i,uR,,uC,uL?
解,1．画出相量模型
)(3010 VU ?? ??
2.
Ω 〕(3.5164
5040
)5010 0(40
???
??
???
j
jZ
)(3.21156.0
3.5164
3010
A
Z
UI
?
?
??
?
???
?
???
3．写出时间函数
))(3.1111000(28.7 VtS inu C ???
一．简单电路
)(3.2124.6 VIRU R ??? ????
)(7.686.15 VILjU L ??? ??? ?
)(3.1 1 18.71 VICjU C ??? ???? ?
))(3.211 0 0 0(21 6 5.0 AtS i ni ???
))(3.211000(224.6 VtS i nu R ???
))(7.681 0 0 0(26.15 VtS i nu L ???
例 9-4-1
已知,电流表读数
A1=6(A),A2=8(A)
求,A 的读数？
解：设 U? 为参考相量，
由相量图
)(1086 22 AI ???
例 9-4-2
已知, 电路相量模型如图。 求：支路电流?,,
321 III ???
解,(1)用网孔分析法
??
?
?
?
?????
???
221
121
)(
)
1
(
s
s
UILjRIR
UIRI
Cj
R
???
???
?
?
解方程得
?
?
?
?
?
????
???
???
)(9.118.29
)(3.1152.32
)(3.568.27
213
2
1
AIII
AI
AI
?
?
?
???
?
?
二．复杂电路
例 9-4-3
R
C L
Us1 Us2
(2)用结点分析法：
211
1)11(
ssn ULjUCjULjRCj
???
???? ????
求, 图（ a）电路中的 u(t)
(a)
(b)
?
?
?
????
?????
11
11
22
202)1(
UUjUj
UUjUj
???
??? ?
?
?
?
???
????
02)2(
2)1(
1
1
UjUj
UjUj
??
??
解出,）（＝ VjU
?? 6.265224 ????
例 9-4-4
解：
列出方程
(1) 用结点分析法，
元件值用导纳表示，
（ 2）用戴维宁定理求解
(c)
由图（ c）电路求
ocU?
)(422
)(02102
11
1
VjUjUU
VU
oc ????
?????
???
? ??
(d)
由图（ d）电路求 Zo，令 1
1 ?U?
则：
)(100 ΩjIUZ ??? ?
?
(e)
由图（ e）等效电路，求出
))(6.263(102)( VtS i ntu ????
1＝I?
jjjU ??? 1210 ＋＝?
241 )42()(
0
jjj jjjjZ UU oc ???? ?????
??
＝
。，求的相位差为与若要使例,?osUIjZjZ 90,1000400,5010 11 ????????
解：用回路法
?
?
?
?
?
?
?
???
11
12
211 )
l
l
sll
II
II
UIZIZZ
??
??
???
?
（
?ZZZ
UII s
l ?????
1
11
???
，即实部应为，则相位差为与要使 090
1
0
1 I
UUI s
s ?
???
0]R e [ 1 ??? ?ZZZ
41
010104 0 0
???
????
?
?
1lI?
2lI?
§ 9-5
正弦稳态电路的功率
? ???? ???? tItUuip c o s2 c o s2
一．瞬时功率 p(t)
正弦稳态，以电压为参考相量。即,tUu c o s2 ??
) co s (2 ?? ?? tIi
? ?] 2c o s[ c o s ??? ??? tUI
恒定分量 正弦分量（ 2?） ?
i(t)
u(t)
T? T
p(t) UIcos?
)s i n2s i nc o s2( c o sc o s ????? ttUIUI ???
tUItUI ???? 2s i ns i n)2c o s1(c o s ??? ?0
正弦变化 (可逆 )非正弦周期量 (不可逆 )
1+cos2?t
sin2?t0若一端口内不含有独立源，即,Z=R+jX，
则第一部分为电阻分量 R所吸收的瞬时功率，
第二部分为电抗分量 X所吸收的瞬时功率。
则：在某一瞬时输入该电路的功率为：
单
个
元
件
R,?=0 p=UI(1+cos2?t) 平均 >0 耗能
L,?=90o p=UIsin2?t 平均 =0
C,?= -90o p= -UIsin2?t 平均 =0
tUItUIp ???? 2s i ns i n)2c o s1(c o s ???
储能,
周期性地“吞吐”能量
二．几种功率（正弦电流电路）
1．有功功率 P：（平均功率 P） （ W）
?? T dttpTP 0 )(1
?c o sUI? ?UI?
? ??? T dttUIT 0 )]2c o s ([ c o s1 ???
?=cos?：一端口的功率因数
cos? >0：吸收有功功率
cos? <0：发出有功功率
P= W 的示数，反映电阻分量所消耗的平均功率。
2．无功功率 Q：
?s inUIQ ?
sin? >0：“吸收” 无功 功率
sin? <0：“发出” 无功 功率
瞬时功率中周期量的的最大值,反映交换功率的幅值，反映端
口内外往返交换能量的情况。 （ var）
电流 电压
U
U无功 分量,Isin?
U?
I?
?
Icos?
3．视在功率 S,（ VA）
UIS ? 铭牌上的容量 =额定电压有效值 ?额定电流的有效值
4．关系：
?
?
?
??
??
?
?
s in
c o s
SQ
SP
?
?
?
?
?
?
??
?
P
Q
tg
QPS
1
22
?
有功分量,Icos?
元件瞬时功率 uip ?
并取 u为参考正弦量
tUu ?c o s2?
1.电阻,tItUGuGi ?? c o s2c o s2 ????
0)2c o s1(c o s2)( 2 ?????? tUItGUiutp ??
平均功率：
? ? 01 22
0
????? ? RURIUIdttpTP T
（耗能元件）
平均功率 --- 有功功率
三．基本元件的功率与能量
以下讨论中，假定元件两端电压与电流取关联参考方向，
2.电感,)90c o s (2)90c o s (2 ?? ???? tIt
L
Ui ??
?
tUItItUtp ??? 2s i ns i n2c o s2)( ???
瞬时功率,p>0，吸收能量，建立磁场
平均功率：
2
2
2 LI
X
UIXUIQ
L
LL ?????
储能,? ?
02c o s12121)( 22 ???? tLILitW l ?
平均储能,2
2
1 LIW
L ?
LL WQ ?2??
p<0，放出能量，磁能消失 储能元件
0)(1
0
?? ? T dttpTP
3.电容,tItUci ??? s i n2)90c o s (2 ???? ?
瞬时功率,tUIp ?2s in??
无功功率,222
CUXUIXUIQ
C
Cc ?????????
注：当电路 L和 C有同样电流或同样电压时,L和 C瞬时功率反相，
一个吸收，另一放出，故规定 QC<0
储能, 0)2c o s1(
2
1
2
1 22 ???? tCUCuW
c ?
平均储能：
CC WQ ?2???221 CUW C ?
例 9-5-1
求图示一端口网络
的 P,Q和 cos?
解：
?452101010
1010
100155 ????
?
???? j
j
jjZ
707.045c o sc o s ??? ???
∴P=UIcos φ =5（ W） Q=UIsinφ =5 （ var）
（滞后）
)(45707.045210 010 AZUI oo
o
??????? ??
§ 9-6
复 功 率
定义复数 *IUS ??? 为复功率 ??? SS
S 可同时表征 P,Q,S大小及 ?，便于计算。
uUU ???
??
iII ???
??
则
iuUIIU ?? ???* ??
jQPS ???
可利用相量直接求
一, 定义：
1、设端口上
，进而示 P,Q,cos?。S
二、推导：
??? UI
?? s inc o s jSS ??
jQP ??
IZU ???? UYI ????
则
2** ZIIIZIUS ??? ????
三、意义：
2、若一端口内部不含独立源，则：
二、计算：
或 2*** )( UYUYUIUS ??? ????
2、在正弦电流电路中，复功率守恒。有功功率、无功功率守恒，
视在功率不守恒。
? ? 0S
? ? 0P
? ? 0Q
电路总的有功功率是电路中各部分有功功率之和。
电路总的无功功率是电路中各部分无功功率之和。
? ? 0S
引入它的目的是能直接应用电压相量、电流相量，使有功功率
P、无功功率 Q、视在功率 S的计算和表达简化。
S1、复功率 不代表正弦量，也不直接反映时域范围的能量关系。
求额定电压 U=220V，电流 I=0.4A，
功率 P=40W 的日光灯电路的 S,Q
和 cosφ 。为提高功率因数，并联
电容如图中虚线所示。 C=4.75μ F，
求此时的 cosφ ’，电源频率为 50Hz。
解：
v a r4.78s in ??? ?SQ
并电容后：
v a r18.6s in ?????? ?SQ
例 9-6-1
VAUIS 884.02 2 0 ????
4 5 5.0c o s ?? SP?
?63455.0c o s 1 ?? ??
AjUCjI C 3 2 8.0?? ?? ?
AjI 365.0182.0634.0 ????? ??
AIII C ???? 75.8184.0 ??????
?75.8???? ?
99.075.8c o sc o s ???? ?? （滞后）
VAIUS 5.40????
例 9-6-2：求图中所示电路各支路的复功率。已知：
Is=10A,?=1000rad/s,R1=10?,j ?L1=j25?,R2=5?,-j/?C2=-j15?.
:,010,则各支路电流为令解 AI os ???
AjIII
Aj
j
j
C
j
RLjR
C
j
R
II
s
s
46.831.2
46.831.2
1015
155
*10
12
2
211
2
2
1
????
???
?
?
?
???
?
?
???
??
?
?
?
VAjIZIIZIUS
VAjIZIIZIUS
33471116
1923769
:
2
22
*
222
*
2102
2
11
*
111
*
1101
?????
?????
????
????
各支路的复功率为
VAjjS
IZUIUS s
1 42 41 88 410*)4.1 424.1 88(
:,,1110*10
????
?? 故但是电源发出的复功率 ???
21
:
SSS ??
忽略误差
§ 9-7
最大功率传输
欲使 P最大
1,共轭匹配：负载电抗可独立变化，即模与幅角均可变
令
eqXX ?? 2
2
)( RR
RUP
eq
oc
?
? 可变，由 0?
R
P
?
? 可知，当
eqRR ?
时，即
*
eqZZ ?
（共轭匹配）负载获最大功率
eq
oc
R
UP
4
2
?
2,模匹配：负载阻抗模可变，幅角不变。将 ??? ZZ 代入
?c o s2 ZIP ? 可推导 P最大条件为 222 eqeq XRZ ?? 即 eqZZ ?
此时负载功率小于共轭匹配时 maxP
Ns
oc
eq
图示电路左端为含源二
端网络，右端为负载，设
jXRZ
jXRZ eqeqeq
??
??
负载功率：
22
2
2
)()( XXjRR
RURIP
eqeq
oc
???
??
例 9-7-1 图示电路求：
（ 1） ZL为何值可达共轭匹配，并求 Pmax
（ 2）如果 ZL=RL,求 RL为何值获得最大功率？
解,VU
OC ??? 020002100 ?????
?????? ?452100100100 jZ S
（ 1）当 ???? 100100* jZZ
SL
时共轭匹配
WRUP
S
oc 1 00
4
2
m a x ??
（ 2）当 ??? 22 0 0
SL ZR
时模匹配
VRZ RUU
LS
L
OCL
??? 5.221 0 8 ??
???
W
R
UP
L
L 2.41
2
m a x ???
§ 9-8
串联电路的谐振
谐振频率, 当 ω L=1/ωC 时，即
LC
1
0 ??
所以当信号源频率等于 ω0时电路将发生串联谐振。
二, RLC串联谐振：
Z(?)= R+jX =R+j(? L-1/ ?C)
ω0即为 谐振频率（也称为电路的固有频率）
一, 谐振定义：
在正弦激励下，端口电压与电流同相的工作状态。
发生谐振时的电源频率为电路的谐振频率。
(1)谐振阻抗, Zo = R （最小）
(3)特性阻抗,CLCL //1 00 ??? ???
(2)谐振时的电流：当 U一定时 I0=U/R 最大
(5)回路元件上的电压
即元件上的电压为外加电压的 Q倍
1.特点
UL=UC= ? Io= ?(U/R) = QU
)/(1// 00 CRRLRQ ??? ???
一般来讲品质因数决定电路的选频特性
(4)品质因数 （回路品质因数）
谐振时，功率因数 λ＝ 1
(6)选频特性, 将电流对频率的关系曲线称为电路的选频特性。
设 00?? UU。
iIR
Xtg
XR
U
Z
UI ?????
?
?? ? 1
22
??
22 XR
UI
?
? 对 ω的关系称之为幅频特性
22 )1(
C
LR
U
I
?
? ??
? 0,,
1,0 ?????? IZ
C??
)(,,1,00 最大IIRZCL ???? ????
0,,,??????? IZL??
显然谐振电路对不同的 ω，响应不同，对有些信号有抑制作用，
这种特点称为选择性。
R
C
L
tgi ?
?
?
1
1
?
?? ? (7) 通频带：两个半功率点之间的频率宽度
0
0
122 Q
ffffB ??????
当
2
0II ? 时
RIRIPP 2020 2121 ???
为半功率点。
显然 Bw与 Q0成反比，
即 Q0越大 Bw越小。
??? 90,0 i??
0,0 ?? i???
????? 90,i??
u,i 同相位
R
Xtg
i
1????
对 ω的关系称之为相频特性
(8)分析 L,C上的电压情况：
谐振时：
UjQRULjU L ?
??
?? 0?
UjQRUCjU C ?
??
???
0
1
?
RU?
LU?
CU?
U?? I?
Q>0.707,UL,UC存在峰值
(9)分析 L,C上的电能情况
谐振时,在电感,电容中所储存的电磁能量的总和是不随时间变
化的一个常量，且与 Q值的平方成正比
例,图示电路，正弦电压有效值 U＝ 10V,R＝ 10Ω，
L＝ 20mH,当电容 C＝ 200pF时，电流 I＝ 1A，求正弦
电压 u的频率 ω、电压 UL,UC和 Q值。
解：
，＝设 V10 ∠0 0U?
1;=
X+R
10==
22Z
UI
因为 R＝ 10Ω；所以 X＝ 0，表明电路处于谐振状态。
r a d / s10×5=1= 5LCω
V 1 0 0 0 0=== UR LωUU CL
1000== UUQ L
§ 9-9
并 联谐振电路
)()()( ??? jBGY ??
)1( LCjG ?? ???
)1( 2 LCCjG ??? ??
当 01 ??
LC ??
时发生并联谐振
此时 Y最小 Y=G
谐振频率
LC
1
0 ??
1,谐振条件与谐振频率
（一）
LC
f 0
2 π
1
=
（ 4）电感支路与电容支路上的电流 LC II ?? 与
大小相等方向相反，且为总电流的
Q0倍，所以并联谐振为电流谐振。
（ 3）品质因数：
L
RCRQ
0
00 ?? ??
（ 5）选频特性,主要研究 ??U?
其特性与串联谐振的 ??I? 类似。
（ 6）通频带：同串联谐振。
2.特点：
（ 1）谐振阻抗 Zo = 1/Yo=R最大。
（ 2）谐振时的电压，
当 IS一定时,U0=ISZ0最大。
s
sL
IjQ
I
L
Q
j
Lj
U
I
?
?
?
?
0
0
0
0
0
??
???
?
?
?
os ZIU ?? ?0
CZIjCjUI osc 000 ?? ??? ??
0QIj s??
)()()( ??? jBGY ??
LjRCj ?? ???
1
])([)( 2222 LR LCjLR R ???? ?????
当
22 )( LR
LC
?
??
??
，即
此时 Y最小
1,谐振条件与谐振频率
Is
U
I1 I2
+
_
时发生并联谐振。
L
CR
LCCL
CRL 2
2
2
0 1
1 ?????
CR
LR
L
CR
LR
RY ??
?? 022,)( 令?
（二）
2,特点：
ss ICR
LRIU ??? ??
00 )(?
11101 ||)( ?? ??? sIYCR
LYUI ???
2)( 0202
???? ???? CI
CR
LUCjYUI
s????
1I?
2I?
sI?
U?
1?
本章结束
第九章是重点章节，
希望同学们认真复习，
独立完成作业！！！
作业, 9-1（ a） (b); 9-3(1)(2)(3);
9-5; 9-8; 9-12; 9-36; 9-37;
9-38; 9-39
正弦稳态电路的分析
主要内容
正弦信号：
正弦电路：
在线性时不变稳定电路中，若各个激励源均为同一频率
的正弦信号时，当电路达到稳态时，电路中各支路变量
均为与电源频率相同的正弦量。在此条件下，对于电路
的分析可借助相量法进行。
主要知识点
正弦稳态电路的分析方法和功率计算。
本章难点
1.电路模型和电路变量在正弦稳态下的时域和相量表示易被混淆。
2.较为繁杂的数值计算题。
3.相量图作为辅助工具以及变量间相位关系的比较。
4.正弦电路功率的计算。
具有正弦函数形式的时变电压和电流
在正弦信号激励下的电路。
分析工具：
正弦信号的相量表示；
阻抗与导纳的概念；
§ 9-1
阻抗与导纳
1．阻抗, 无源二端网络端口上电压相量与电流相量之比
具有电阻量纲。
jXRZIUZ z ????? ??
?
X：电 抗 （分量）
I
U
Z ＝
电压超前电流,No为感性
电压落后电流,No为容性
一．定义
R：电 阻 （分量） φZ>0
φZ<0
阻抗的模
阻抗角 iuz ??? ??
2．导纳：
jBGYUIY Y ????? ??
?
B：电 纳 分量
3．阻抗与导纳的关系
同一对端口
YZ
1?
4．阻抗与导纳的串并联等效
串联：
21
21 ZZ
I
UUZ ????
?
??
并联：
21
21
21
YYY
ZZ
ZZ
Z
??
?
?
或
G：电 导 分量
电阻,G
RY R ??
1
电感,感纳〕＝ (1
LjY L ?
电容：
容纳）＝ (CjY C ?
相量电路模型：
二．基本元件的阻抗与导纳
RZ R ?
)( 感抗LjjXZ LL ???
)(11 容抗＝ CjXjZ CC ???
得到的电路模型称相量模型。
将电路中电流、电压用相量表示。
将基本元件用他们的阻抗或导纳来标出。
求如图电路阻抗 Zac
设信号频率 ω
解：
)(( ?? jXR 〕＋? R(ω)：等效电阻。 X（ ω)：等效电抗。
三．无源二端网络的阻抗与导纳
例 9-1-1
LjRZ ab ??? 1
Cj
R
Y
Z
bc
bc
??
??
2
1
11
bcabac ZZZ ??
? ? 2
2
2
2
1
1
1
C
R
Cj
R
LjR
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
???
? ? ? ?
]
1
[
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
C
R
C
Lj
C
R
R
R
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
??
（ 2〕 当 ω =1 rad/s
（ Ω ）5.12)212(215.1 jjZ ac ??????
等效相量电路如图
设 FCHLRR 1,2,15.1 21 ???? ΩΩ,
（ 1）当 ω =0（直流信号） C开路 L短路
Ω5.2)0()0( 21 ????? RRjXRZ ac
讨论
求如图 RLC串联电路的阻抗
解：
zi
i
Z
jXR
C
LjRZ
?
?
?
??
??
??? )
1
(
CLX ??
1??
22 XRZ i ??
当
iZ容性
例 9-1-2
R
Xtg
z
1???
时，＝即 LCCL 11)1( ??? ? RZ i ?
时，即 LCCL 11)2( ?? ??? iZ感性
时，即 LCCL 11)3( ?? ???
(1) 无源一端口网络的阻抗与导纳取决于
网络结构、元件参数和信号源频率
(3) 当 0~9090~0 ?? ???
Yz ?? 或
时为感性
(4) 当
?? 90~00~90 ??? Yz ?? 或
时为容性
讨论
当 No中无受控源时,φZ和 φY在 ± π/2间。
(2) No的性质（感性或容性）随 ω变化，
§ 9-2
阻抗 (导纳 )的串联和并联
1．串联：
nZZZZ ???? ?21
UZZU kk ?? ?
一．阻抗的串并联
分压：
2．并联：
nZZZZ
1111
21
???? ?
nYYYY ???? ?21
IYYI kk ?? ?
分流：
如图 RLC串联电路。 R= 15 ?,L= 12 mH,C= 5 ?F，
端电压 u=141.4cos(5000t)V。
求,i、元件的电压相量。
解,用相量法。
例 9-2-1
)(0100 VU ?? ?? )/(5000 sr a d??
CjLjRZ
1
?? ???
)10 5 5 00 0 110 125 00 0(15 63 ?? ??????? j
)(5 3, 1 3 25 2015 ????? ?j
)(5 3, 1 3 4 5 3, 1 325 0100 AZUI ??
???
????????
RIU R ?? ? )(5 3, 1 3 60 V???? 155 3, 1 34 ???? ?
)(87.36 2 4 0 VLjIU L ??? ??? ?
)(13.1 4 31 6 0 1 VCjIU C ??? ???? ?
15 10
20 15
10
20 55 58.52 70.0
58.52 70.0
1.71 70.0
34.2 70.0
128.25 20.0
34.2 160.0
20
i(t)=4?2cos(5000t-53.13o)A1.71 70
§ 9-3
电路的相量图
1．根据电路中各相量之间的关系所作出的图，体现 KCL,KVL、
电压与电流之间的关系。
一．相量图
箭头长短 —— 相量的模；角度 —— 相量的相位（初相）
2．作法：
(1)选择参考相量。 (初相依据计算结果或假设为 0。 )
串联：
并联：
I?
U?
(2)其他相关相量根据参考相量确定。 (串联,KCL；并联,KVL)
如图 RLC串联电路。 R= 15 ?,L= 12 mH,C= 5 ?F，
端电压 u=141.4cos(5000t)V。
解：
例 1
)(5 3, 1 3 4 AI ?? ???
RIU R ?? ? )(5 3, 1 3 60 V????
)(87.36 240 VLjIU L ??? ??? ?
)(13.1 4 31 6 0 1 VCjIU C ??? ???? ?
)(0100 VU ?? ??
53.13o
I?
RU?
LU?
CU?U?
电路如图,R1=10?,L=0.5H, R2= 1000?,C=10 ?F，
Us=100V,?=314rad/s。求各支路电流。
解：
例 2
，则：VU s ?? 0100设 ??
CjRZ ??? 2// 1
1
//1 ZLjRZ ??? ?
?33.7245.3 0 35.03 1 410 ?????? j
53 1031410
1
?? ??? j
)(33.7245.303 ???? ?
)(30.5299.1 6 6 ???? ?
92.11-j289.13
Z
UI ?? ?? )(30.5260.0 A???
C 1
C 1
2
2 ?
?
jR
jII
??
?? )(03.2018.0 A????
C 12
2
1 ?jR
RII
??
?? )(97.6957.0 A???
1I?
2I?
I?
Ij ?L?
1RI?
22RI?
sU?
§ 9-４
正弦稳态电路的分析
(3)若需要，将结果表示为时间函数。
线性电路，单一频率正弦激励下的 稳态 电路条件：
工具,(1)引入相量形式欧姆定律，将微分、积分化为
复数的代数运算。
(2)由于 KCL和 KVL相量形式成立，前面直流
电路分析中等效方法、建立方程方法及线性
电路的定理可直接应用于相量模型。
(3)相量图作为辅助工具。
稳态电路分析的一般步骤：
(1)将电路时域模型变为相量模型；
(2)按直流电路的分析方法求出相量解；
已知,电路中 ))(301000(210 VtS i nu ???
求,i,uR,,uC,uL?
解,1．画出相量模型
)(3010 VU ?? ??
2.
Ω 〕(3.5164
5040
)5010 0(40
???
??
???
j
jZ
)(3.21156.0
3.5164
3010
A
Z
UI
?
?
??
?
???
?
???
3．写出时间函数
))(3.1111000(28.7 VtS inu C ???
一．简单电路
)(3.2124.6 VIRU R ??? ????
)(7.686.15 VILjU L ??? ??? ?
)(3.1 1 18.71 VICjU C ??? ???? ?
))(3.211 0 0 0(21 6 5.0 AtS i ni ???
))(3.211000(224.6 VtS i nu R ???
))(7.681 0 0 0(26.15 VtS i nu L ???
例 9-4-1
已知,电流表读数
A1=6(A),A2=8(A)
求,A 的读数？
解：设 U? 为参考相量，
由相量图
)(1086 22 AI ???
例 9-4-2
已知, 电路相量模型如图。 求：支路电流?,,
321 III ???
解,(1)用网孔分析法
??
?
?
?
?????
???
221
121
)(
)
1
(
s
s
UILjRIR
UIRI
Cj
R
???
???
?
?
解方程得
?
?
?
?
?
????
???
???
)(9.118.29
)(3.1152.32
)(3.568.27
213
2
1
AIII
AI
AI
?
?
?
???
?
?
二．复杂电路
例 9-4-3
R
C L
Us1 Us2
(2)用结点分析法：
211
1)11(
ssn ULjUCjULjRCj
???
???? ????
求, 图（ a）电路中的 u(t)
(a)
(b)
?
?
?
????
?????
11
11
22
202)1(
UUjUj
UUjUj
???
??? ?
?
?
?
???
????
02)2(
2)1(
1
1
UjUj
UjUj
??
??
解出,）（＝ VjU
?? 6.265224 ????
例 9-4-4
解：
列出方程
(1) 用结点分析法，
元件值用导纳表示，
（ 2）用戴维宁定理求解
(c)
由图（ c）电路求
ocU?
)(422
)(02102
11
1
VjUjUU
VU
oc ????
?????
???
? ??
(d)
由图（ d）电路求 Zo，令 1
1 ?U?
则：
)(100 ΩjIUZ ??? ?
?
(e)
由图（ e）等效电路，求出
))(6.263(102)( VtS i ntu ????
1＝I?
jjjU ??? 1210 ＋＝?
241 )42()(
0
jjj jjjjZ UU oc ???? ?????
??
＝
。，求的相位差为与若要使例,?osUIjZjZ 90,1000400,5010 11 ????????
解：用回路法
?
?
?
?
?
?
?
???
11
12
211 )
l
l
sll
II
II
UIZIZZ
??
??
???
?
（
?ZZZ
UII s
l ?????
1
11
???
，即实部应为，则相位差为与要使 090
1
0
1 I
UUI s
s ?
???
0]R e [ 1 ??? ?ZZZ
41
010104 0 0
???
????
?
?
1lI?
2lI?
§ 9-5
正弦稳态电路的功率
? ???? ???? tItUuip c o s2 c o s2
一．瞬时功率 p(t)
正弦稳态，以电压为参考相量。即,tUu c o s2 ??
) co s (2 ?? ?? tIi
? ?] 2c o s[ c o s ??? ??? tUI
恒定分量 正弦分量（ 2?） ?
i(t)
u(t)
T? T
p(t) UIcos?
)s i n2s i nc o s2( c o sc o s ????? ttUIUI ???
tUItUI ???? 2s i ns i n)2c o s1(c o s ??? ?0
正弦变化 (可逆 )非正弦周期量 (不可逆 )
1+cos2?t
sin2?t0若一端口内不含有独立源，即,Z=R+jX，
则第一部分为电阻分量 R所吸收的瞬时功率，
第二部分为电抗分量 X所吸收的瞬时功率。
则：在某一瞬时输入该电路的功率为：
单
个
元
件
R,?=0 p=UI(1+cos2?t) 平均 >0 耗能
L,?=90o p=UIsin2?t 平均 =0
C,?= -90o p= -UIsin2?t 平均 =0
tUItUIp ???? 2s i ns i n)2c o s1(c o s ???
储能,
周期性地“吞吐”能量
二．几种功率（正弦电流电路）
1．有功功率 P：（平均功率 P） （ W）
?? T dttpTP 0 )(1
?c o sUI? ?UI?
? ??? T dttUIT 0 )]2c o s ([ c o s1 ???
?=cos?：一端口的功率因数
cos? >0：吸收有功功率
cos? <0：发出有功功率
P= W 的示数，反映电阻分量所消耗的平均功率。
2．无功功率 Q：
?s inUIQ ?
sin? >0：“吸收” 无功 功率
sin? <0：“发出” 无功 功率
瞬时功率中周期量的的最大值,反映交换功率的幅值，反映端
口内外往返交换能量的情况。 （ var）
电流 电压
U
U无功 分量,Isin?
U?
I?
?
Icos?
3．视在功率 S,（ VA）
UIS ? 铭牌上的容量 =额定电压有效值 ?额定电流的有效值
4．关系：
?
?
?
??
??
?
?
s in
c o s
SQ
SP
?
?
?
?
?
?
??
?
P
Q
tg
QPS
1
22
?
有功分量,Icos?
元件瞬时功率 uip ?
并取 u为参考正弦量
tUu ?c o s2?
1.电阻,tItUGuGi ?? c o s2c o s2 ????
0)2c o s1(c o s2)( 2 ?????? tUItGUiutp ??
平均功率：
? ? 01 22
0
????? ? RURIUIdttpTP T
（耗能元件）
平均功率 --- 有功功率
三．基本元件的功率与能量
以下讨论中，假定元件两端电压与电流取关联参考方向，
2.电感,)90c o s (2)90c o s (2 ?? ???? tIt
L
Ui ??
?
tUItItUtp ??? 2s i ns i n2c o s2)( ???
瞬时功率,p>0，吸收能量，建立磁场
平均功率：
2
2
2 LI
X
UIXUIQ
L
LL ?????
储能,? ?
02c o s12121)( 22 ???? tLILitW l ?
平均储能,2
2
1 LIW
L ?
LL WQ ?2??
p<0，放出能量，磁能消失 储能元件
0)(1
0
?? ? T dttpTP
3.电容,tItUci ??? s i n2)90c o s (2 ???? ?
瞬时功率,tUIp ?2s in??
无功功率,222
CUXUIXUIQ
C
Cc ?????????
注：当电路 L和 C有同样电流或同样电压时,L和 C瞬时功率反相，
一个吸收，另一放出，故规定 QC<0
储能, 0)2c o s1(
2
1
2
1 22 ???? tCUCuW
c ?
平均储能：
CC WQ ?2???221 CUW C ?
例 9-5-1
求图示一端口网络
的 P,Q和 cos?
解：
?452101010
1010
100155 ????
?
???? j
j
jjZ
707.045c o sc o s ??? ???
∴P=UIcos φ =5（ W） Q=UIsinφ =5 （ var）
（滞后）
)(45707.045210 010 AZUI oo
o
??????? ??
§ 9-6
复 功 率
定义复数 *IUS ??? 为复功率 ??? SS
S 可同时表征 P,Q,S大小及 ?，便于计算。
uUU ???
??
iII ???
??
则
iuUIIU ?? ???* ??
jQPS ???
可利用相量直接求
一, 定义：
1、设端口上
，进而示 P,Q,cos?。S
二、推导：
??? UI
?? s inc o s jSS ??
jQP ??
IZU ???? UYI ????
则
2** ZIIIZIUS ??? ????
三、意义：
2、若一端口内部不含独立源，则：
二、计算：
或 2*** )( UYUYUIUS ??? ????
2、在正弦电流电路中，复功率守恒。有功功率、无功功率守恒，
视在功率不守恒。
? ? 0S
? ? 0P
? ? 0Q
电路总的有功功率是电路中各部分有功功率之和。
电路总的无功功率是电路中各部分无功功率之和。
? ? 0S
引入它的目的是能直接应用电压相量、电流相量，使有功功率
P、无功功率 Q、视在功率 S的计算和表达简化。
S1、复功率 不代表正弦量，也不直接反映时域范围的能量关系。
求额定电压 U=220V，电流 I=0.4A，
功率 P=40W 的日光灯电路的 S,Q
和 cosφ 。为提高功率因数，并联
电容如图中虚线所示。 C=4.75μ F，
求此时的 cosφ ’，电源频率为 50Hz。
解：
v a r4.78s in ??? ?SQ
并电容后：
v a r18.6s in ?????? ?SQ
例 9-6-1
VAUIS 884.02 2 0 ????
4 5 5.0c o s ?? SP?
?63455.0c o s 1 ?? ??
AjUCjI C 3 2 8.0?? ?? ?
AjI 365.0182.0634.0 ????? ??
AIII C ???? 75.8184.0 ??????
?75.8???? ?
99.075.8c o sc o s ???? ?? （滞后）
VAIUS 5.40????
例 9-6-2：求图中所示电路各支路的复功率。已知：
Is=10A,?=1000rad/s,R1=10?,j ?L1=j25?,R2=5?,-j/?C2=-j15?.
:,010,则各支路电流为令解 AI os ???
AjIII
Aj
j
j
C
j
RLjR
C
j
R
II
s
s
46.831.2
46.831.2
1015
155
*10
12
2
211
2
2
1
????
???
?
?
?
???
?
?
???
??
?
?
?
VAjIZIIZIUS
VAjIZIIZIUS
33471116
1923769
:
2
22
*
222
*
2102
2
11
*
111
*
1101
?????
?????
????
????
各支路的复功率为
VAjjS
IZUIUS s
1 42 41 88 410*)4.1 424.1 88(
:,,1110*10
????
?? 故但是电源发出的复功率 ???
21
:
SSS ??
忽略误差
§ 9-7
最大功率传输
欲使 P最大
1,共轭匹配：负载电抗可独立变化，即模与幅角均可变
令
eqXX ?? 2
2
)( RR
RUP
eq
oc
?
? 可变，由 0?
R
P
?
? 可知，当
eqRR ?
时，即
*
eqZZ ?
（共轭匹配）负载获最大功率
eq
oc
R
UP
4
2
?
2,模匹配：负载阻抗模可变，幅角不变。将 ??? ZZ 代入
?c o s2 ZIP ? 可推导 P最大条件为 222 eqeq XRZ ?? 即 eqZZ ?
此时负载功率小于共轭匹配时 maxP
Ns
oc
eq
图示电路左端为含源二
端网络，右端为负载，设
jXRZ
jXRZ eqeqeq
??
??
负载功率：
22
2
2
)()( XXjRR
RURIP
eqeq
oc
???
??
例 9-7-1 图示电路求：
（ 1） ZL为何值可达共轭匹配，并求 Pmax
（ 2）如果 ZL=RL,求 RL为何值获得最大功率？
解,VU
OC ??? 020002100 ?????
?????? ?452100100100 jZ S
（ 1）当 ???? 100100* jZZ
SL
时共轭匹配
WRUP
S
oc 1 00
4
2
m a x ??
（ 2）当 ??? 22 0 0
SL ZR
时模匹配
VRZ RUU
LS
L
OCL
??? 5.221 0 8 ??
???
W
R
UP
L
L 2.41
2
m a x ???
§ 9-8
串联电路的谐振
谐振频率, 当 ω L=1/ωC 时，即
LC
1
0 ??
所以当信号源频率等于 ω0时电路将发生串联谐振。
二, RLC串联谐振：
Z(?)= R+jX =R+j(? L-1/ ?C)
ω0即为 谐振频率（也称为电路的固有频率）
一, 谐振定义：
在正弦激励下，端口电压与电流同相的工作状态。
发生谐振时的电源频率为电路的谐振频率。
(1)谐振阻抗, Zo = R （最小）
(3)特性阻抗,CLCL //1 00 ??? ???
(2)谐振时的电流：当 U一定时 I0=U/R 最大
(5)回路元件上的电压
即元件上的电压为外加电压的 Q倍
1.特点
UL=UC= ? Io= ?(U/R) = QU
)/(1// 00 CRRLRQ ??? ???
一般来讲品质因数决定电路的选频特性
(4)品质因数 （回路品质因数）
谐振时，功率因数 λ＝ 1
(6)选频特性, 将电流对频率的关系曲线称为电路的选频特性。
设 00?? UU。
iIR
Xtg
XR
U
Z
UI ?????
?
?? ? 1
22
??
22 XR
UI
?
? 对 ω的关系称之为幅频特性
22 )1(
C
LR
U
I
?
? ??
? 0,,
1,0 ?????? IZ
C??
)(,,1,00 最大IIRZCL ???? ????
0,,,??????? IZL??
显然谐振电路对不同的 ω，响应不同，对有些信号有抑制作用，
这种特点称为选择性。
R
C
L
tgi ?
?
?
1
1
?
?? ? (7) 通频带：两个半功率点之间的频率宽度
0
0
122 Q
ffffB ??????
当
2
0II ? 时
RIRIPP 2020 2121 ???
为半功率点。
显然 Bw与 Q0成反比，
即 Q0越大 Bw越小。
??? 90,0 i??
0,0 ?? i???
????? 90,i??
u,i 同相位
R
Xtg
i
1????
对 ω的关系称之为相频特性
(8)分析 L,C上的电压情况：
谐振时：
UjQRULjU L ?
??
?? 0?
UjQRUCjU C ?
??
???
0
1
?
RU?
LU?
CU?
U?? I?
Q>0.707,UL,UC存在峰值
(9)分析 L,C上的电能情况
谐振时,在电感,电容中所储存的电磁能量的总和是不随时间变
化的一个常量，且与 Q值的平方成正比
例,图示电路，正弦电压有效值 U＝ 10V,R＝ 10Ω，
L＝ 20mH,当电容 C＝ 200pF时，电流 I＝ 1A，求正弦
电压 u的频率 ω、电压 UL,UC和 Q值。
解：
，＝设 V10 ∠0 0U?
1;=
X+R
10==
22Z
UI
因为 R＝ 10Ω；所以 X＝ 0，表明电路处于谐振状态。
r a d / s10×5=1= 5LCω
V 1 0 0 0 0=== UR LωUU CL
1000== UUQ L
§ 9-9
并 联谐振电路
)()()( ??? jBGY ??
)1( LCjG ?? ???
)1( 2 LCCjG ??? ??
当 01 ??
LC ??
时发生并联谐振
此时 Y最小 Y=G
谐振频率
LC
1
0 ??
1,谐振条件与谐振频率
（一）
LC
f 0
2 π
1
=
（ 4）电感支路与电容支路上的电流 LC II ?? 与
大小相等方向相反，且为总电流的
Q0倍，所以并联谐振为电流谐振。
（ 3）品质因数：
L
RCRQ
0
00 ?? ??
（ 5）选频特性,主要研究 ??U?
其特性与串联谐振的 ??I? 类似。
（ 6）通频带：同串联谐振。
2.特点：
（ 1）谐振阻抗 Zo = 1/Yo=R最大。
（ 2）谐振时的电压，
当 IS一定时,U0=ISZ0最大。
s
sL
IjQ
I
L
Q
j
Lj
U
I
?
?
?
?
0
0
0
0
0
??
???
?
?
?
os ZIU ?? ?0
CZIjCjUI osc 000 ?? ??? ??
0QIj s??
)()()( ??? jBGY ??
LjRCj ?? ???
1
])([)( 2222 LR LCjLR R ???? ?????
当
22 )( LR
LC
?
??
??
，即
此时 Y最小
1,谐振条件与谐振频率
Is
U
I1 I2
+
_
时发生并联谐振。
L
CR
LCCL
CRL 2
2
2
0 1
1 ?????
CR
LR
L
CR
LR
RY ??
?? 022,)( 令?
（二）
2,特点：
ss ICR
LRIU ??? ??
00 )(?
11101 ||)( ?? ??? sIYCR
LYUI ???
2)( 0202
???? ???? CI
CR
LUCjYUI
s????
1I?
2I?
sI?
U?
1?
本章结束
第九章是重点章节，
希望同学们认真复习，
独立完成作业！！！
作业, 9-1（ a） (b); 9-3(1)(2)(3);
9-5; 9-8; 9-12; 9-36; 9-37;
9-38; 9-39
