§ 2-1 引 言
Introduction
?时不变线性电路（简称线性电路）
?线性电阻性电路（简称电阻电路）
?直流电路
由时不变元件组成的电路, 称为时不变线性电路 。 元件特
性随时间而改变的电路, 称为时变电路 。 含独立源 （ 独立电
压源, 独立电流源 ） 的电路称为含源或有源电路 。 包含有受
控元件的电路为有受控源电路 。 电路特性呈线性规律变化的
称为线性电路 。 即电路可分为时变, 非时变, 含源, 无源,
有受控, 无受控, 线性, 非线性等分法 。 无源元件均为线性
电阻的电路称为线性电阻电路 。 独立源均为直流电源的电路
称为直流电路 。 前四章为直流线性电阻电路分析 。
本章讨论的是电阻的等效变换和串、并联等效以及电阻的
△ -Y变换；电压源、电流源的串联、并联及等效变换；输入
电阻的计算等，是电路分析的基础。本章的正确理解以及熟
练运用对后续课程非常重要。
等效变换：将电路中的某一部分简化，并用简
化后的电路替代原电路。
§ 2-2 电路的等效变换
Equivalent Resistive Circuits
两等效电路, 其外特性完全相同 。 等效是针对外电路而
言的 。 设有 B,C两电路, 当分别与另一 A电路相连, A电路
效果一样 （ 即 A电路呈现的电压, 电流一样 ） 则称 B,C是
等效的 。
注意对外电路等效不等于内电路一样 。
对于简单电路可通过串联, 并联的方法逐步化简, 达到
简化电路的目的, 最终求得所需要的解 。
对于一些复杂电路, 可通过 △ -Y变换或 Y-△ 变换, 转换
成简单电路, 然后通过简单电路的串, 并联进行简化 。
对于含有电压源, 电流源的电阻电路, 要将电压源短路
,电流源开路, 然后按无源电路求解可得到等效电阻 。
对于含有受控源的电路, 可采用加压求流或加流求压的
方法计算等效电阻 。
对于含源的二端线性网络可采用开路电压除以短路电流
的方法求解等效电阻。
1.电阻的串联
2.电阻的并联
3.电阻的串并联
§ 2-3 电阻的串联和并联
Series Resistors and Parallel Resistors
一、电阻的串联 （ Series Resistors ）
按 KVL,有
u=u1+u2 +…+u n =(R1+R2 +… + Rn)i =Reqi
称 Req为串联电阻的 等效电阻 。图 (a)与 (b)中
u~i关系完全相同，称为 等效变换, 所谓等效是
指,对外等效,，对内显然不等效,
n
k=1其中 Req= u / i = R1+R2 +… + Rn =∑ Rk
电阻的串联
+ u1- +u2- +un-
i? i?
u Req+-
(b)
u
R1 R2 Rn
+
-
(a)
,k=1,2,…n ——电压分配公式
（分压公式）
上式表明：
各串联电阻上的电压与其电阻值成正比。
电阻的串联
串联各电阻上的电压为：
u
R
RiRu
eq
k
kk ??
+ u1- +u2- +un-
i?
u
R1 R2 Rn
+
-
(a)
n个串联电阻 吸收 的总功率
上式表明：
n个串联电阻吸收的总功率等于等效电阻吸收的功率。
电阻的串联
P总 =ui=R1i2 +R2i2 +R3i2+ … + Rni2 = =Req i2 ?
?
n
k
kp
1
二、电阻的并联 （ Parallel Resistors）
按 KCL,有
i= i1 + i2 +…+i n =(G1+G2 +… +Gn) u =Gequ
称 Geq为并联电阻的 等效电导,图 (a)可等效为图 (b).
电阻的 并 联
n
k=1其中 Geq= i / u = G1+G2 +… +Gn = ∑ Gk
?i
1 i2 in
? ?
u+-
(c)
G1 G2 Gn
?
i i Geq
i?
(d)
?
u+-
显然 Geq>Gk,k=1,2,…,n ;
等效电阻 总小于 并联各电阻中任一电阻，且
等效电阻为
电阻的 并 联
neq RRRR
1111
21
???????
keq
k
k
eq
eq RRRGRG ???,
1,1
(c)
G1 G2 Gn
?
i
?i
1 i2 in
? ?
上式表明：
各并联电阻上的电流与其电阻的电导值成正比。
,k=1,2,…n ; —— 电流分配公式
（或分流公式）
电阻的 并 联
并联各电阻上的电流为：
i
G
GuGi
eq
k
kk ??
(c)
G1 G2 Gn
?
i
?i
1 i2 in
? ?+
-u
电阻的 并 联
n个并联电阻吸收的总功率
上式表明,n个并联电阻吸收的总功率等于等效电
阻吸收的功率。
21
21
RR
RRR
eq ??
u
?i
1 i2
?i?
R1 R2+-
当 n=2时，,
111
21 RRR eq
??
iRR RiGG Gi
21
2
21
1
1 ????
iRR RiGG Gi
21
1
21
2
2 ????
p总 =ui=G1u2 +G2u2 +G3u2+ … +G nu2 = =Gequ2?
?
n
k
kp
1
三、电阻的串并联
? ?? ? 1
243
243
1243
)(// R
RRR
RRRRRRRR
eq ???
?????
u
i?
R2
+
-
R1 R
3
R4
§ 2-4 电阻的 Y形连接与 ?形连接的等效变换
Resistor’s Wye-Delta Transformations
1.电阻的 Y形连接
2.电阻的 ?形连接
3.电阻的 Y形连接与 ?形连接的等效变换
三角形 连 接
?形 连 接
?形 连 接
1.电阻的 ?形连接
.
.
..
.
..
.
.
..
.
.,
星形 连 接
Y形 连 接
T形 连 接
2.电阻的 Y形连接
.
.
..
.
..
..
.
.
.
.,.
?i1
R1
R3 R2
i3? ?i2
?i'1
i31? ?i12
R31 R23 R12
i'3? ?i23 ?i'2
设对应端子间的电压 u12,u23,u31相同，如
3.电阻的 Y形连接与 ?形连接的等效变换
.
.,
.
.,
③ ②
①
③ ②
①
.,
.
.
321 iii ???i1=,i2=,i3=,则 Y形与 Δ 形 连接 互为等效,
对 Y形, u12 =R1i1-R2i2,u23 =R2i2-R3i3,i1+i2+i3 =0 (1)
对 Δ 形,
Y形连接与 ?形连接的等效变换
,,,233131223231121 iiiiiiiii ?????????
(2)
23
23
31
31
3
12
12
23
23
2
31
31
12
12
1,,R
u
R
ui
R
u
R
ui
R
u
R
ui ?????????
?i1
R1
R3 R2
i3? ?i2
?i'1
i31? ?i12
R31 R23 R12
i'3? ?i23 ?i'2
.
.,
.
.,
③ ②
①
③ ②
①
.,
.
.
i1 = R3 u12- R2 u31R
1R2+R2R3+R3R1 R1R2+R2R3+R3R1
i2 = R1 u23 - R3 u12 R
1R2+R2R3+R3R1 R1R2+R2R3+R3R1
i3 = R2 u31 - R1 u23R
1R2+R2R3+R3R1 R1R2+R2R3+R3R1对照上 式和 (2)式
R12 = R1R2+R2R3+R3R1
R23 = R1R2+R2R3+R3R1
R31= R1R2+R2R3+R3R1
R1
R3
R2
R1 = R31R12
R2 = R12R23
R3 = R23R31
R12+R23+R31
R12+R23+R31
R12+R23+R31
Δ ?Y
∏ ?T
Y?Δ
T?∏
Y形连接与 ?形连接的等效变换
联立求解 (1)式得
23
23
31
31
3
12
12
23
23
2
31
31
12
12
1,,R
u
R
ui
R
u
R
ui
R
u
R
ui ?????????
若 R1=R2=R3=RY，
则 R12=R23=R31=R?，
R? = 3RY
Y形连接与 ?形连接的等效变换
Δ ?Y
∏ ?T
Y?Δ
T?∏
?
?
?
31
23
12
R
R
R
2
133221
1
133221
3
133221
R
RRRRRR
R
RRRRRR
R
RRRRRR
??
??
??
?
?
?
3
2
1
R
R
R
312312
3123
312312
2312
312312
1231
RRR
RR
RRR
RR
RRR
RR
??
??
??
Y形连接与 ?形连接的等效变换
?
Req ?
?
?
??
? 1?
1?
1?
2?2?
2?
例 2-1 求等效电阻 Req
§ 2-5 电压源、电流源的串联和并联
Series and Parallel Sources
一、电压源的串联
二、电压源的并联
三、电流源的并联
四,电流源的串联
五,电压源、电流源及电阻的串联和并联
一,n个电压源的串联
uS = ? uSkn
k=1
二、电压源的并联
若 uS1 = uS2=uS 不允许
uS1 ?uS2
电压源、电流源的串联和并联
1 uS1 uS2 uSn 2+ - + - + - 1 uS 2+ -
+
-
+
-
uS1 uS2
1
2
+
- uS
1
2
三,n个电流源的并联
iS = ? iSkn
k=1
四,电流源的串联
若 iS1 =iS2=iS 不允许
iS1 ? iS2
电压源、电流源的串联和并联
1 iS 2
?
1 iS1 iS2 2
??
iS1 iS2 iSn? ? ?
1
2
iS?
1
2
五,电压源、电流源及电阻的串联和并联
i ? i1 u ? u1
电压源、电流源的串联和并联
i+
-
?
uSiS
? +
-
u
?+
-
i+
-
uS uR
+
-
+
-
uS
iS
?
u
i?
R
iS
? +
-
u
i?
iS
? +
-
u
i?
iS
?
u
i?+
-
+
-
+
-
uS
i?
u
i+
-
uS u+
-
?
?i
1
?i
1
?i
1
+
-
u1
+
-
u1
+
-
u1
1.实际电源的两种模型
2.电源等效变换的条件
§ 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
Source Transformation
对 (a)
对 (b)
或 uS=RiS =(1/G)iS,R=1/G
则当 u相同时，有 i=i' 即 (a)(b)就 a,b端子完全等效,
等效变换的条件
§ 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
Guiiii SGS ?????
,Rui SS ? G=1/R如令
R
u
R
u
R
uu
R
ui SSR ?????
RGR
ui S
S
1,??
GRRiu SS
1,??
i?+
-
u
-
+u
S
(a)
+
-
a
b
R 外电
路 iS
a
b(b)
?
G
外
电
路
i'?
u
? +
-
(1)电压源和电阻的串联 ?电流源和电阻的并联；
(2)电流源 iS和电压源 uS的参考方向；
(3)受控源与电阻的组合也可进行等效变换,但要
注意控制量。
注,
§ 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
uS
(a)
+
-
a
b
R 外电
路
RGR
ui S
S
1,??
GRRiu SS
1,??
电源等效变换
iS
a
b(b)
?
G
外
电
路
例 2-2 用等效变换的方法求 i 。
6V
+
-
i
2? 2?6A
? ?
7?
2?
2A
?
§ 2-7 输入电阻 (Input Resistance)
一,端口
定义,一个网络向外引出一对端子，这
对端子可与外部电源或其它电路相接。
如果一个一端口内部仅含电阻，则可以求得
它的等效电阻。如果一端口内部除电阻以外还含
有受控源，但不含任何独立源，可以证明，不论
内部如何复杂，输入电阻为端口电压与端口电流
之比，因此，定义此一端口 N0的输入电阻 Rin为
端口的输入电阻也就是端口的等效电阻，
但两者的含意有区别。 求端口等效电阻的一般方
法称为电压、电流法。即在端口加以电压源 u，
然后求出端口电流 i,Rin = u / i；或在端口加以电
流源 i,然后求出端口电压 u,Rin = u/ i 。
输入电阻
i
uR
in ?
?
N0 Rin N0 Rin i
? +
-
uu
i
+
-
?
2.计算方法,
(1)一端口内部仅含电阻
应用电阻的串、并联和 Y —?变换等
方法求得的等效电阻即为输入电阻
eqin RR ?
(2)一端口内部含电阻、受控源，
但不含独立源 (用定义求解 )。
A.在端口加电压源 us，然后求
出电流源 i;
B.在端口加电流源 is，然后求
出电压 u.
i
uR s
in ?
s
in i
uR ?
例 2-3
§ 2-7 输入电阻
? ?? ? 1
243
243
1243
)(// R
RRR
RRRRRRRRR
eqin ???
??????
u
i?
R2
+
-
R1 R
3
R4 i
uR
in ?
?
例 2-4
解：
u
RRR
u
R
u
R
ui )1)1(1(μ
21221
????????
21
1
)1(
1
1
RR
i
u
R i
???
???
21
21
)1(1)1(1 GGRRuiG i ?? ???????
求端口处的输入电阻
解,uiiuiuiiuiu
2
513)42)
2((1)2(42)2( ?????????????
Ω 〕(726?? iuR i
例 2-5 求端口处的输入电阻
第
四
讲
小
结
1.电阻的串联
2.电阻的 并 联
3.电阻的 Y形连接与 ?形连接的等效变换
4.实际电源的两种模型及其等效变换
21
21
RR
RRR
eq ??
R12 = R1R2+R2R3+R3R1
R23 = R1R2+R2R3+R3R1
R31= R1R2+R2R3+R3R1
R1
R3
R2
R1 = R31R12
R2 = R12R23
R3 = R23R31
R12+R23+R31
R12+R23+R31
R12+R23+R31
Δ ?Y
∏ ?T
Y?Δ
T?∏
neq RRRR
1111
21
???????
neq RRRR ??????? 21
?uS=RiS,R=1/G iS =uS/R,G=1/R
第
二
章
小
结
“等效变换, 在电路理论中是很重要的观念，电
路等效变换的方法是电路问题分析中经常使用的方
法。 所谓两个电路是互为等效的，是指（ 1）两个
结构参数不同的电路在端子上有相同的电压、电流
关系，因而可以互相代换；（ 2）代换的效果是不
改变外电路（或电路中未被代换的部分）中的电压、
电流和功率。
由此得出电路等效变换的条件是相互代换的两
部分电路具有相同的伏安特性。等效的对象是外接
电路（或电路未变化部分）中的电压、电流和功率。
等效变换的目的是简化电路，方便地求出需要求的
结果。
深刻地理解“等效变换”的思想，熟练掌握
“等效变换”的方法在电路分析中是重要的。
所谓两个电路是互为等效的，
是指（ 1）两个结构参数不同的电路
在端子上有相同的电压、电流关系，
因而可以互相代换；（ 2）代换的效
果是不改变外电路（或电路中未被代
换的部分）中的电压、电流和功率。
由此得出电路等效变换的条件是
相互代换的两部分电路具有相同的伏
安特性。等效的对象是外接电路（或
电路未变化部分）中的电压、电流和
功率。等效变换的目的是简化电路，
方便地求出需要求的结果。
第
二
章
内
容
提
要
1.电阻的串联
2.电阻的 并 联
3.电阻的 Y形连接与 ?形连接的等效变换
4.实际电源的两种模型及其等效变换
21
21
RR
RRR
eq ??
R12 = R1R2+R2R3+R3R1
R23 = R1R2+R2R3+R3R1
R31= R1R2+R2R3+R3R1
R1
R3
R2
R1 = R31R12
R2 = R12R23
R3 = R23R31
R12+R23+R31
R12+R23+R31
R12+R23+R31
Δ ?Y
∏ ?T
Y?Δ
T?∏
neq RRRR
1111
21
???????
neq RRRR ??????? 21
?uS=RiS,R=1/G iS =uS/R G=1/R
一些家用电器将电能转换成热能或其他能量，
电阻器 常常是不可缺少的，这些装置包括导线、
灯泡、电热器、电炉、电烤箱以及扩音器等。
1.照明系统
灯泡并联
应 用
2.直流电表的设计
灯泡串联
例 2-5 求 uab,i 。
习题课
2? 3?a
2V+
-
i
?
+ -
1?
10A
4V
1V 4??? ?
?
?
??
b
例 2-6 已知（ 1）若 R=4?,求 U1 ;
（ 2）若 U1 = -4V 求 R 。
习题课
2? 2AR
?
?
? ?
?
U1
2U1?
+ -
?3A
例 2-7 元件 X可能是独立电压源、独立电流源
电阻之一，问 X可能是哪个元件？
习题课
-2A
2?10V+
-
?
4A
X
3?
4?
?
?
5A
?
? ? ?
例 2-8 求等效电阻 Rab 。
习题课
a ?
??
?
R1
R2
b
R1
R1
R2 R2
求等效电阻 Rab 。
a
b
?
?
?
?
?
?
?
?
思考题
1.设计分压器。
+
-
R1
R3
R4
R2
10V
?
?
? +
-
+
-
+
-2V
5V
8V
?
已知 R1为 1k ?，试确定
R2 R3及 R4的值。
2.设计多量程的伏特表。
如图，表头相当于一个
电阻 R0＝ 1k ?，满幅
电流（最大允许电流）
I0＝ 50?A。
R1 R3R2
100V
+ -
? ?
10V1V
K
+ -R0,I0?
?
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2－ 5
2－ 8
2－ 9
2－ 10
2－ 11
2－ 12
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第二章
作业：
Introduction
?时不变线性电路（简称线性电路）
?线性电阻性电路（简称电阻电路）
?直流电路
由时不变元件组成的电路, 称为时不变线性电路 。 元件特
性随时间而改变的电路, 称为时变电路 。 含独立源 （ 独立电
压源, 独立电流源 ） 的电路称为含源或有源电路 。 包含有受
控元件的电路为有受控源电路 。 电路特性呈线性规律变化的
称为线性电路 。 即电路可分为时变, 非时变, 含源, 无源,
有受控, 无受控, 线性, 非线性等分法 。 无源元件均为线性
电阻的电路称为线性电阻电路 。 独立源均为直流电源的电路
称为直流电路 。 前四章为直流线性电阻电路分析 。
本章讨论的是电阻的等效变换和串、并联等效以及电阻的
△ -Y变换；电压源、电流源的串联、并联及等效变换；输入
电阻的计算等，是电路分析的基础。本章的正确理解以及熟
练运用对后续课程非常重要。
等效变换：将电路中的某一部分简化，并用简
化后的电路替代原电路。
§ 2-2 电路的等效变换
Equivalent Resistive Circuits
两等效电路, 其外特性完全相同 。 等效是针对外电路而
言的 。 设有 B,C两电路, 当分别与另一 A电路相连, A电路
效果一样 （ 即 A电路呈现的电压, 电流一样 ） 则称 B,C是
等效的 。
注意对外电路等效不等于内电路一样 。
对于简单电路可通过串联, 并联的方法逐步化简, 达到
简化电路的目的, 最终求得所需要的解 。
对于一些复杂电路, 可通过 △ -Y变换或 Y-△ 变换, 转换
成简单电路, 然后通过简单电路的串, 并联进行简化 。
对于含有电压源, 电流源的电阻电路, 要将电压源短路
,电流源开路, 然后按无源电路求解可得到等效电阻 。
对于含有受控源的电路, 可采用加压求流或加流求压的
方法计算等效电阻 。
对于含源的二端线性网络可采用开路电压除以短路电流
的方法求解等效电阻。
1.电阻的串联
2.电阻的并联
3.电阻的串并联
§ 2-3 电阻的串联和并联
Series Resistors and Parallel Resistors
一、电阻的串联 （ Series Resistors ）
按 KVL,有
u=u1+u2 +…+u n =(R1+R2 +… + Rn)i =Reqi
称 Req为串联电阻的 等效电阻 。图 (a)与 (b)中
u~i关系完全相同，称为 等效变换, 所谓等效是
指,对外等效,，对内显然不等效,
n
k=1其中 Req= u / i = R1+R2 +… + Rn =∑ Rk
电阻的串联
+ u1- +u2- +un-
i? i?
u Req+-
(b)
u
R1 R2 Rn
+
-
(a)
,k=1,2,…n ——电压分配公式
（分压公式）
上式表明：
各串联电阻上的电压与其电阻值成正比。
电阻的串联
串联各电阻上的电压为：
u
R
RiRu
eq
k
kk ??
+ u1- +u2- +un-
i?
u
R1 R2 Rn
+
-
(a)
n个串联电阻 吸收 的总功率
上式表明：
n个串联电阻吸收的总功率等于等效电阻吸收的功率。
电阻的串联
P总 =ui=R1i2 +R2i2 +R3i2+ … + Rni2 = =Req i2 ?
?
n
k
kp
1
二、电阻的并联 （ Parallel Resistors）
按 KCL,有
i= i1 + i2 +…+i n =(G1+G2 +… +Gn) u =Gequ
称 Geq为并联电阻的 等效电导,图 (a)可等效为图 (b).
电阻的 并 联
n
k=1其中 Geq= i / u = G1+G2 +… +Gn = ∑ Gk
?i
1 i2 in
? ?
u+-
(c)
G1 G2 Gn
?
i i Geq
i?
(d)
?
u+-
显然 Geq>Gk,k=1,2,…,n ;
等效电阻 总小于 并联各电阻中任一电阻，且
等效电阻为
电阻的 并 联
neq RRRR
1111
21
???????
keq
k
k
eq
eq RRRGRG ???,
1,1
(c)
G1 G2 Gn
?
i
?i
1 i2 in
? ?
上式表明：
各并联电阻上的电流与其电阻的电导值成正比。
,k=1,2,…n ; —— 电流分配公式
（或分流公式）
电阻的 并 联
并联各电阻上的电流为：
i
G
GuGi
eq
k
kk ??
(c)
G1 G2 Gn
?
i
?i
1 i2 in
? ?+
-u
电阻的 并 联
n个并联电阻吸收的总功率
上式表明,n个并联电阻吸收的总功率等于等效电
阻吸收的功率。
21
21
RR
RRR
eq ??
u
?i
1 i2
?i?
R1 R2+-
当 n=2时，,
111
21 RRR eq
??
iRR RiGG Gi
21
2
21
1
1 ????
iRR RiGG Gi
21
1
21
2
2 ????
p总 =ui=G1u2 +G2u2 +G3u2+ … +G nu2 = =Gequ2?
?
n
k
kp
1
三、电阻的串并联
? ?? ? 1
243
243
1243
)(// R
RRR
RRRRRRRR
eq ???
?????
u
i?
R2
+
-
R1 R
3
R4
§ 2-4 电阻的 Y形连接与 ?形连接的等效变换
Resistor’s Wye-Delta Transformations
1.电阻的 Y形连接
2.电阻的 ?形连接
3.电阻的 Y形连接与 ?形连接的等效变换
三角形 连 接
?形 连 接
?形 连 接
1.电阻的 ?形连接
.
.
..
.
..
.
.
..
.
.,
星形 连 接
Y形 连 接
T形 连 接
2.电阻的 Y形连接
.
.
..
.
..
..
.
.
.
.,.
?i1
R1
R3 R2
i3? ?i2
?i'1
i31? ?i12
R31 R23 R12
i'3? ?i23 ?i'2
设对应端子间的电压 u12,u23,u31相同，如
3.电阻的 Y形连接与 ?形连接的等效变换
.
.,
.
.,
③ ②
①
③ ②
①
.,
.
.
321 iii ???i1=,i2=,i3=,则 Y形与 Δ 形 连接 互为等效,
对 Y形, u12 =R1i1-R2i2,u23 =R2i2-R3i3,i1+i2+i3 =0 (1)
对 Δ 形,
Y形连接与 ?形连接的等效变换
,,,233131223231121 iiiiiiiii ?????????
(2)
23
23
31
31
3
12
12
23
23
2
31
31
12
12
1,,R
u
R
ui
R
u
R
ui
R
u
R
ui ?????????
?i1
R1
R3 R2
i3? ?i2
?i'1
i31? ?i12
R31 R23 R12
i'3? ?i23 ?i'2
.
.,
.
.,
③ ②
①
③ ②
①
.,
.
.
i1 = R3 u12- R2 u31R
1R2+R2R3+R3R1 R1R2+R2R3+R3R1
i2 = R1 u23 - R3 u12 R
1R2+R2R3+R3R1 R1R2+R2R3+R3R1
i3 = R2 u31 - R1 u23R
1R2+R2R3+R3R1 R1R2+R2R3+R3R1对照上 式和 (2)式
R12 = R1R2+R2R3+R3R1
R23 = R1R2+R2R3+R3R1
R31= R1R2+R2R3+R3R1
R1
R3
R2
R1 = R31R12
R2 = R12R23
R3 = R23R31
R12+R23+R31
R12+R23+R31
R12+R23+R31
Δ ?Y
∏ ?T
Y?Δ
T?∏
Y形连接与 ?形连接的等效变换
联立求解 (1)式得
23
23
31
31
3
12
12
23
23
2
31
31
12
12
1,,R
u
R
ui
R
u
R
ui
R
u
R
ui ?????????
若 R1=R2=R3=RY，
则 R12=R23=R31=R?，
R? = 3RY
Y形连接与 ?形连接的等效变换
Δ ?Y
∏ ?T
Y?Δ
T?∏
?
?
?
31
23
12
R
R
R
2
133221
1
133221
3
133221
R
RRRRRR
R
RRRRRR
R
RRRRRR
??
??
??
?
?
?
3
2
1
R
R
R
312312
3123
312312
2312
312312
1231
RRR
RR
RRR
RR
RRR
RR
??
??
??
Y形连接与 ?形连接的等效变换
?
Req ?
?
?
??
? 1?
1?
1?
2?2?
2?
例 2-1 求等效电阻 Req
§ 2-5 电压源、电流源的串联和并联
Series and Parallel Sources
一、电压源的串联
二、电压源的并联
三、电流源的并联
四,电流源的串联
五,电压源、电流源及电阻的串联和并联
一,n个电压源的串联
uS = ? uSkn
k=1
二、电压源的并联
若 uS1 = uS2=uS 不允许
uS1 ?uS2
电压源、电流源的串联和并联
1 uS1 uS2 uSn 2+ - + - + - 1 uS 2+ -
+
-
+
-
uS1 uS2
1
2
+
- uS
1
2
三,n个电流源的并联
iS = ? iSkn
k=1
四,电流源的串联
若 iS1 =iS2=iS 不允许
iS1 ? iS2
电压源、电流源的串联和并联
1 iS 2
?
1 iS1 iS2 2
??
iS1 iS2 iSn? ? ?
1
2
iS?
1
2
五,电压源、电流源及电阻的串联和并联
i ? i1 u ? u1
电压源、电流源的串联和并联
i+
-
?
uSiS
? +
-
u
?+
-
i+
-
uS uR
+
-
+
-
uS
iS
?
u
i?
R
iS
? +
-
u
i?
iS
? +
-
u
i?
iS
?
u
i?+
-
+
-
+
-
uS
i?
u
i+
-
uS u+
-
?
?i
1
?i
1
?i
1
+
-
u1
+
-
u1
+
-
u1
1.实际电源的两种模型
2.电源等效变换的条件
§ 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
Source Transformation
对 (a)
对 (b)
或 uS=RiS =(1/G)iS,R=1/G
则当 u相同时，有 i=i' 即 (a)(b)就 a,b端子完全等效,
等效变换的条件
§ 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
Guiiii SGS ?????
,Rui SS ? G=1/R如令
R
u
R
u
R
uu
R
ui SSR ?????
RGR
ui S
S
1,??
GRRiu SS
1,??
i?+
-
u
-
+u
S
(a)
+
-
a
b
R 外电
路 iS
a
b(b)
?
G
外
电
路
i'?
u
? +
-
(1)电压源和电阻的串联 ?电流源和电阻的并联；
(2)电流源 iS和电压源 uS的参考方向；
(3)受控源与电阻的组合也可进行等效变换,但要
注意控制量。
注,
§ 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
uS
(a)
+
-
a
b
R 外电
路
RGR
ui S
S
1,??
GRRiu SS
1,??
电源等效变换
iS
a
b(b)
?
G
外
电
路
例 2-2 用等效变换的方法求 i 。
6V
+
-
i
2? 2?6A
? ?
7?
2?
2A
?
§ 2-7 输入电阻 (Input Resistance)
一,端口
定义,一个网络向外引出一对端子，这
对端子可与外部电源或其它电路相接。
如果一个一端口内部仅含电阻，则可以求得
它的等效电阻。如果一端口内部除电阻以外还含
有受控源，但不含任何独立源，可以证明，不论
内部如何复杂，输入电阻为端口电压与端口电流
之比，因此，定义此一端口 N0的输入电阻 Rin为
端口的输入电阻也就是端口的等效电阻，
但两者的含意有区别。 求端口等效电阻的一般方
法称为电压、电流法。即在端口加以电压源 u，
然后求出端口电流 i,Rin = u / i；或在端口加以电
流源 i,然后求出端口电压 u,Rin = u/ i 。
输入电阻
i
uR
in ?
?
N0 Rin N0 Rin i
? +
-
uu
i
+
-
?
2.计算方法,
(1)一端口内部仅含电阻
应用电阻的串、并联和 Y —?变换等
方法求得的等效电阻即为输入电阻
eqin RR ?
(2)一端口内部含电阻、受控源，
但不含独立源 (用定义求解 )。
A.在端口加电压源 us，然后求
出电流源 i;
B.在端口加电流源 is，然后求
出电压 u.
i
uR s
in ?
s
in i
uR ?
例 2-3
§ 2-7 输入电阻
? ?? ? 1
243
243
1243
)(// R
RRR
RRRRRRRRR
eqin ???
??????
u
i?
R2
+
-
R1 R
3
R4 i
uR
in ?
?
例 2-4
解：
u
RRR
u
R
u
R
ui )1)1(1(μ
21221
????????
21
1
)1(
1
1
RR
i
u
R i
???
???
21
21
)1(1)1(1 GGRRuiG i ?? ???????
求端口处的输入电阻
解,uiiuiuiiuiu
2
513)42)
2((1)2(42)2( ?????????????
Ω 〕(726?? iuR i
例 2-5 求端口处的输入电阻
第
四
讲
小
结
1.电阻的串联
2.电阻的 并 联
3.电阻的 Y形连接与 ?形连接的等效变换
4.实际电源的两种模型及其等效变换
21
21
RR
RRR
eq ??
R12 = R1R2+R2R3+R3R1
R23 = R1R2+R2R3+R3R1
R31= R1R2+R2R3+R3R1
R1
R3
R2
R1 = R31R12
R2 = R12R23
R3 = R23R31
R12+R23+R31
R12+R23+R31
R12+R23+R31
Δ ?Y
∏ ?T
Y?Δ
T?∏
neq RRRR
1111
21
???????
neq RRRR ??????? 21
?uS=RiS,R=1/G iS =uS/R,G=1/R
第
二
章
小
结
“等效变换, 在电路理论中是很重要的观念，电
路等效变换的方法是电路问题分析中经常使用的方
法。 所谓两个电路是互为等效的，是指（ 1）两个
结构参数不同的电路在端子上有相同的电压、电流
关系，因而可以互相代换；（ 2）代换的效果是不
改变外电路（或电路中未被代换的部分）中的电压、
电流和功率。
由此得出电路等效变换的条件是相互代换的两
部分电路具有相同的伏安特性。等效的对象是外接
电路（或电路未变化部分）中的电压、电流和功率。
等效变换的目的是简化电路，方便地求出需要求的
结果。
深刻地理解“等效变换”的思想，熟练掌握
“等效变换”的方法在电路分析中是重要的。
所谓两个电路是互为等效的，
是指（ 1）两个结构参数不同的电路
在端子上有相同的电压、电流关系，
因而可以互相代换；（ 2）代换的效
果是不改变外电路（或电路中未被代
换的部分）中的电压、电流和功率。
由此得出电路等效变换的条件是
相互代换的两部分电路具有相同的伏
安特性。等效的对象是外接电路（或
电路未变化部分）中的电压、电流和
功率。等效变换的目的是简化电路，
方便地求出需要求的结果。
第
二
章
内
容
提
要
1.电阻的串联
2.电阻的 并 联
3.电阻的 Y形连接与 ?形连接的等效变换
4.实际电源的两种模型及其等效变换
21
21
RR
RRR
eq ??
R12 = R1R2+R2R3+R3R1
R23 = R1R2+R2R3+R3R1
R31= R1R2+R2R3+R3R1
R1
R3
R2
R1 = R31R12
R2 = R12R23
R3 = R23R31
R12+R23+R31
R12+R23+R31
R12+R23+R31
Δ ?Y
∏ ?T
Y?Δ
T?∏
neq RRRR
1111
21
???????
neq RRRR ??????? 21
?uS=RiS,R=1/G iS =uS/R G=1/R
一些家用电器将电能转换成热能或其他能量，
电阻器 常常是不可缺少的，这些装置包括导线、
灯泡、电热器、电炉、电烤箱以及扩音器等。
1.照明系统
灯泡并联
应 用
2.直流电表的设计
灯泡串联
例 2-5 求 uab,i 。
习题课
2? 3?a
2V+
-
i
?
+ -
1?
10A
4V
1V 4??? ?
?
?
??
b
例 2-6 已知（ 1）若 R=4?,求 U1 ;
（ 2）若 U1 = -4V 求 R 。
习题课
2? 2AR
?
?
? ?
?
U1
2U1?
+ -
?3A
例 2-7 元件 X可能是独立电压源、独立电流源
电阻之一，问 X可能是哪个元件？
习题课
-2A
2?10V+
-
?
4A
X
3?
4?
?
?
5A
?
? ? ?
例 2-8 求等效电阻 Rab 。
习题课
a ?
??
?
R1
R2
b
R1
R1
R2 R2
求等效电阻 Rab 。
a
b
?
?
?
?
?
?
?
?
思考题
1.设计分压器。
+
-
R1
R3
R4
R2
10V
?
?
? +
-
+
-
+
-2V
5V
8V
?
已知 R1为 1k ?，试确定
R2 R3及 R4的值。
2.设计多量程的伏特表。
如图，表头相当于一个
电阻 R0＝ 1k ?，满幅
电流（最大允许电流）
I0＝ 50?A。
R1 R3R2
100V
+ -
? ?
10V1V
K
+ -R0,I0?
?
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2－ 1
2－ 5
2－ 8
2－ 9
2－ 10
2－ 11
2－ 12
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第二章
作业：
