第 八 章 相量法
§ 8 - 2 正弦量
§ 8 - 3 相量法的基础
§ 8 - 1 复数
§ 8 - 4 电路定律的相量形式
§ 8 - 1 复数
一, 复数 F表示形式：
) 1(j 为虚数单位??F=a+jb
1、代数形式：
Re[F]=a
取复数 F的实部和虚部用符号表示为：
取复数 F的实部
Im[F]=b 取复数 F的虚部
j?
1?
F
a
b
?
2、三角形式：
F=a+jb
=|F|（ cos ? + jsin ? ）
|F| 为复数的模,?为复数的幅角。
|F|
a=|F|cos ?
b=|F|sin ?
或：
?
?
?
?
?
?
??
a
b
θ
baF
a r c t a n
||
22
3、指数形式,欧拉公式
??? s i njc o sj ??e
=|F| ?
指数形式
F=|F|（ cos ? + jsin ? ）
?jeF?
4、极坐标形式：
?jeFF ?
二 复数运算
则 F1± F2= (a1± a2) +j (b1± b2)
(1)加减运算 —— 代数形式
F1
F2
+1
+j
OF1=a1+jb1 F2=a2+jb2若
+1
+j
O
F1
F2
- F2 F= F
1 -F2
F= F1 +F1
(2) 乘除运算 —— 指数形式或极坐标形式
F1 F2
1j
1
?eF? 2j
2
?eF
)(j
21
21 ?? ?? eFF
所以：
2121 FFFF ?
)()a r g ( 2121 ?? ??FF
乘法：模相乘，角相加；
若 F1=|F1| ? 1, 若 F2=|F2| ? 2
F1 F2 =| F1 | | F2| ? 1?? 2
则
2
1
F
F
2
1
j
2
j
1
?
?
eF
eF
?
)(j
2
1 21 ?? ?? e
F
F
所以：
2
1
2
1
F
F
F
F
? )()a r g ( 21
2
1 ?? ??
F
F
除法：模相除，角相减。
2
1
F
F
2
1
2
1
?
?
? j
j
eF
eF
21
2
1
||
|| θθ
F
F ??
22
11
||
||
θF
θF?
(3) 旋转因子：
A? ej?
aeAA ?j?
任意复数
相当于 A逆时针旋转一个角度 ?,
而模不变。故把 ej? 称为旋转因子。
+1
+j
O
ej???a
A
?
A ej?
复数 ej? =cos? +jsin? =1 ?
复数 ej? =1 ? 是一个模为 1，辐角为 ? 的复数。
一, 正弦量的三要素
在选定的参考方向下，可以用
数学式表达 瞬时值 电流 i(t)：
i(t)=Imcos(w t + ?i )
i
+ _u
w T = 2 ? w = 2 ?/ T = 2 ? f
§ 8 - 2 正弦量
Im,w,?i 这 3个量一确定, 正弦量就完全确定了 。
所以, 称这 3个量为正弦量的三要素 。
二, 相位差,
u(t)=Umcos(w t+? u)
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t)=Imcos(w t+? i)
设
j = (w t+? u)- (w t+? i)
?? u-? i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差 。
则 相位差, j
不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是
随时间变动。
三,周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量
其大小，工程上采用有效值。
电流有效值 I 定义为：
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
有效值也称均方根值 (简记为 rms。 )
1,有效值定义
??
T
tti
T
I
0
2
d e f
d)(1
同样，可定义 电压有效值 U：
??
T
ttu
T
U
0
2
d e f
d)(1
2,正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t + ? i )
tΨtITI T i d m? ?w?
0
22 )(c o s1
m
m
m I
ITI
TI 7 0 7.022
1 2 ?????
II 2?m
最大值与有效值之间有固定的 。2
1,正弦量的相量表示
复函数
)j(e2)( ?w ?? tItA
没有物理意义
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应
的复指数函数：
若对 A(t)取实部：
) c o s (2)](R e [ ΨωtItA ?? 是一个正弦量，有物理意义。
) (c iΨtosIi ?w? 2 )2R e ( ) (j iΨtIe ?? w
)2R e ( j j tΨ eIe i w??
复常数
ieII ?
?
?? j iIe ?? j
称 为正弦量 i(t) 对应的相量。?I
) s i n (2j) c o s (2 ΨtItI ???? w?w
iΨI?
§ 8 - 3 相量法的基础
) c o s (2)( iΨtIti ?? w
)θtc o s (U)t(u ?w? 2
iΨII ??
称 为正弦量 i(t) 对应的相量。
iΨII ?
?
??? UU
2、用正弦波形和有向线段表示正弦量
?i
３,相量图 (相量和复数一样可以在平面上用向量表示 )：
) (c o s2)( itωIti ???
)()( θtUtu ?w? c o s2
? 不同频率的相量不能画在一张向量图上 。?
?U
?I
iΨII ??
??? UU
将正弦量与相量建立起对应关系这实际上是一种变
换思想, 由时域变换到频域：
时域：在变量是时间函数条件下研究网络, 以时间为
自变量分析电路 。
频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频
率为自变量分析电路。
相量法,将正弦时间函数, 变换, 为相量后再进行分析,
属于频域分析 。
一, 电阻 时域形式：
相应的相量形式：
相量模型
)c o s (2)( iRR ΨtIti ?w?
)()( tRitu RR ?
§ 8 - 4 电路定律的相量形式
若：
)( ti R
)( tu R R
R
RI
?
RU
?
iR ΨRI?
有：
uR ΨU
RR RIU ? iu ???
有效值关系 相位关系
RR IRU ?? ?
( uR,iR同相 )
RU
?
RI
?
?u ?i=
RR IRU ?? ? 或,RR UGI ?? ?
二, 电感 时域形式：
)c o s (2)( iLL ψtIti ?w?
L
i
Lu
L
t
tiLtu L
L d
d )()( ?
若：
相应的相量形式：
2
?????
iu
有效值关系
相位关系
LL ILU
?? ? wj
或：
uL ΨU
2
???
iL Ψω L I
LL ω L IU ?
LI
?
LU
? Ljw
( uL 超前 iL90° )
LU
?
LI
?
?i
相量模型
LL ULI
??
? wj 1 LL UB
?? j
LL IX
?? j
BL=-1/wL, 感纳, 单位为 S (同电导 )
XL=w L，称为感抗，单位为 ?(欧姆 )
时域形式：
相量形式：
)c o s (2)( uCC ΨtUtu ?w?
相量模型
若：
t
tuCti C
C d
d )()( ?CC
u
Ci
CI
?
CU
?
Cjw
1
uCC ΨUU ?
?
iCC ΨII ?
?
CC UCI
?? ? wj
iC ΨI
2
???
uC Ψω C U
或,CC I
CU
??
? wj 1
三,电容
CU
?
CI
?
?u
iC ΨI
2
???
uC Ψω C U
CC ω C UI ? CC IωCU
1?或：
2
?????
ui
( iC 超前 uL90° )
有效值关系：
相位关系：
B C = w C,称为容纳，单位为 S
频率和容抗成反比,w ? 0,|XC|? ? 直流开路 (隔直 )
w
|XC|
令 XC=-1/w C,称为容抗，单位为 ?(欧姆 )
w ??,|XC|? 0 高频短路 (旁路作用 )
CC UCI
?? ? wj
CC UB
?? j
CC ICU
??
? wj 1 CC IX
?? j
四、线性受控源
ku
0?ki
ju
ji
VCCS（电压控制的电流源）
kj gui ? 相量形式,kj UgI
?? ?
kU
?
0?
?
kI
jU
?
jI
?
相量模型
五,基尔霍夫定律的相量形式
0)( ?? tu
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行
计算 。 因此, 在正弦电流电路中, KCL和 KVL可用相应
的相量形式表示：
上式表明：流入某一结点的所有电流用相量表示时
仍满足 KCL；而任一回路所有支路电压用用相量表示时
仍满足 KVL。
? ? 0)( ti ? ?? 0I
? ?? 0U
§ 8 - 2 正弦量
§ 8 - 3 相量法的基础
§ 8 - 1 复数
§ 8 - 4 电路定律的相量形式
§ 8 - 1 复数
一, 复数 F表示形式：
) 1(j 为虚数单位??F=a+jb
1、代数形式：
Re[F]=a
取复数 F的实部和虚部用符号表示为：
取复数 F的实部
Im[F]=b 取复数 F的虚部
j?
1?
F
a
b
?
2、三角形式：
F=a+jb
=|F|（ cos ? + jsin ? ）
|F| 为复数的模,?为复数的幅角。
|F|
a=|F|cos ?
b=|F|sin ?
或：
?
?
?
?
?
?
??
a
b
θ
baF
a r c t a n
||
22
3、指数形式,欧拉公式
??? s i njc o sj ??e
=|F| ?
指数形式
F=|F|（ cos ? + jsin ? ）
?jeF?
4、极坐标形式：
?jeFF ?
二 复数运算
则 F1± F2= (a1± a2) +j (b1± b2)
(1)加减运算 —— 代数形式
F1
F2
+1
+j
OF1=a1+jb1 F2=a2+jb2若
+1
+j
O
F1
F2
- F2 F= F
1 -F2
F= F1 +F1
(2) 乘除运算 —— 指数形式或极坐标形式
F1 F2
1j
1
?eF? 2j
2
?eF
)(j
21
21 ?? ?? eFF
所以：
2121 FFFF ?
)()a r g ( 2121 ?? ??FF
乘法：模相乘，角相加；
若 F1=|F1| ? 1, 若 F2=|F2| ? 2
F1 F2 =| F1 | | F2| ? 1?? 2
则
2
1
F
F
2
1
j
2
j
1
?
?
eF
eF
?
)(j
2
1 21 ?? ?? e
F
F
所以：
2
1
2
1
F
F
F
F
? )()a r g ( 21
2
1 ?? ??
F
F
除法：模相除，角相减。
2
1
F
F
2
1
2
1
?
?
? j
j
eF
eF
21
2
1
||
|| θθ
F
F ??
22
11
||
||
θF
θF?
(3) 旋转因子：
A? ej?
aeAA ?j?
任意复数
相当于 A逆时针旋转一个角度 ?,
而模不变。故把 ej? 称为旋转因子。
+1
+j
O
ej???a
A
?
A ej?
复数 ej? =cos? +jsin? =1 ?
复数 ej? =1 ? 是一个模为 1，辐角为 ? 的复数。
一, 正弦量的三要素
在选定的参考方向下，可以用
数学式表达 瞬时值 电流 i(t)：
i(t)=Imcos(w t + ?i )
i
+ _u
w T = 2 ? w = 2 ?/ T = 2 ? f
§ 8 - 2 正弦量
Im,w,?i 这 3个量一确定, 正弦量就完全确定了 。
所以, 称这 3个量为正弦量的三要素 。
二, 相位差,
u(t)=Umcos(w t+? u)
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t)=Imcos(w t+? i)
设
j = (w t+? u)- (w t+? i)
?? u-? i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差 。
则 相位差, j
不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是
随时间变动。
三,周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量
其大小，工程上采用有效值。
电流有效值 I 定义为：
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
有效值也称均方根值 (简记为 rms。 )
1,有效值定义
??
T
tti
T
I
0
2
d e f
d)(1
同样，可定义 电压有效值 U：
??
T
ttu
T
U
0
2
d e f
d)(1
2,正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t + ? i )
tΨtITI T i d m? ?w?
0
22 )(c o s1
m
m
m I
ITI
TI 7 0 7.022
1 2 ?????
II 2?m
最大值与有效值之间有固定的 。2
1,正弦量的相量表示
复函数
)j(e2)( ?w ?? tItA
没有物理意义
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应
的复指数函数：
若对 A(t)取实部：
) c o s (2)](R e [ ΨωtItA ?? 是一个正弦量，有物理意义。
) (c iΨtosIi ?w? 2 )2R e ( ) (j iΨtIe ?? w
)2R e ( j j tΨ eIe i w??
复常数
ieII ?
?
?? j iIe ?? j
称 为正弦量 i(t) 对应的相量。?I
) s i n (2j) c o s (2 ΨtItI ???? w?w
iΨI?
§ 8 - 3 相量法的基础
) c o s (2)( iΨtIti ?? w
)θtc o s (U)t(u ?w? 2
iΨII ??
称 为正弦量 i(t) 对应的相量。
iΨII ?
?
??? UU
2、用正弦波形和有向线段表示正弦量
?i
３,相量图 (相量和复数一样可以在平面上用向量表示 )：
) (c o s2)( itωIti ???
)()( θtUtu ?w? c o s2
? 不同频率的相量不能画在一张向量图上 。?
?U
?I
iΨII ??
??? UU
将正弦量与相量建立起对应关系这实际上是一种变
换思想, 由时域变换到频域：
时域：在变量是时间函数条件下研究网络, 以时间为
自变量分析电路 。
频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频
率为自变量分析电路。
相量法,将正弦时间函数, 变换, 为相量后再进行分析,
属于频域分析 。
一, 电阻 时域形式：
相应的相量形式：
相量模型
)c o s (2)( iRR ΨtIti ?w?
)()( tRitu RR ?
§ 8 - 4 电路定律的相量形式
若：
)( ti R
)( tu R R
R
RI
?
RU
?
iR ΨRI?
有：
uR ΨU
RR RIU ? iu ???
有效值关系 相位关系
RR IRU ?? ?
( uR,iR同相 )
RU
?
RI
?
?u ?i=
RR IRU ?? ? 或,RR UGI ?? ?
二, 电感 时域形式：
)c o s (2)( iLL ψtIti ?w?
L
i
Lu
L
t
tiLtu L
L d
d )()( ?
若：
相应的相量形式：
2
?????
iu
有效值关系
相位关系
LL ILU
?? ? wj
或：
uL ΨU
2
???
iL Ψω L I
LL ω L IU ?
LI
?
LU
? Ljw
( uL 超前 iL90° )
LU
?
LI
?
?i
相量模型
LL ULI
??
? wj 1 LL UB
?? j
LL IX
?? j
BL=-1/wL, 感纳, 单位为 S (同电导 )
XL=w L，称为感抗，单位为 ?(欧姆 )
时域形式：
相量形式：
)c o s (2)( uCC ΨtUtu ?w?
相量模型
若：
t
tuCti C
C d
d )()( ?CC
u
Ci
CI
?
CU
?
Cjw
1
uCC ΨUU ?
?
iCC ΨII ?
?
CC UCI
?? ? wj
iC ΨI
2
???
uC Ψω C U
或,CC I
CU
??
? wj 1
三,电容
CU
?
CI
?
?u
iC ΨI
2
???
uC Ψω C U
CC ω C UI ? CC IωCU
1?或：
2
?????
ui
( iC 超前 uL90° )
有效值关系：
相位关系：
B C = w C,称为容纳，单位为 S
频率和容抗成反比,w ? 0,|XC|? ? 直流开路 (隔直 )
w
|XC|
令 XC=-1/w C,称为容抗，单位为 ?(欧姆 )
w ??,|XC|? 0 高频短路 (旁路作用 )
CC UCI
?? ? wj
CC UB
?? j
CC ICU
??
? wj 1 CC IX
?? j
四、线性受控源
ku
0?ki
ju
ji
VCCS（电压控制的电流源）
kj gui ? 相量形式,kj UgI
?? ?
kU
?
0?
?
kI
jU
?
jI
?
相量模型
五,基尔霍夫定律的相量形式
0)( ?? tu
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行
计算 。 因此, 在正弦电流电路中, KCL和 KVL可用相应
的相量形式表示：
上式表明：流入某一结点的所有电流用相量表示时
仍满足 KCL；而任一回路所有支路电压用用相量表示时
仍满足 KVL。
? ? 0)( ti ? ?? 0I
? ?? 0U
