第二章 信号与系统
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
2.0 引言, (introduction)
本章旨在讨论信号与系统的基本概念，建立其
相应的数学描述方法，以便利用这种数学描述及其
表示，建立一种信号与系统的分析体系。
2.1 信号的描述与时域变换,
一,信号的表示：
信号可以描述范围极广泛的物理现象。
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? 信号可以分为确知信号与随机信号，也可以分为连
续时间信号与离散时间信号。
? 作为信号分析的基础,本课程只研究确知信号 。
? 确知信号可以表示成一个或几个自变量的函数。
连续时间信号的例子,离散时间信号的例子：
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? 连续时间信号表示为
? 离散时间信号表示为
1,2( ),( ),..x t x t t
12( ),(,),,,x n x n n
? 连续时间信号的自变量在实数域内取值，自变量
连续变化，信号值可以有间断点。
? 离散时间信号的自变量在整数域内取值，自变量
只能取整数，信号值可以在实数域内连续变化。
? 如果将信号值加以量化，则称之为数字信号。
? 离散时间信号也可以从连续时间信号通过提取其
样本而得到。如：
()xt ()x nT
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二, 信号的自变量变换：
由于信号可以表示为自变量的函数，当自变量
变化时，必然会使信号的特性发生相应的改变。
()xt 0()x t t? 当 时，信号向右平移0 0t ? 0t
0 0t ?
时，信号向左平移
0t
1,时移变换,Shift of Signals
0t 0Tt?
A
0 t
A
0 t
A
0 t
()xt 0()x t t? 0()x t t?
0t 0Tt?
T
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()xn ? ?0x n n?
当 时，信号向右平移
0 0n ? 0n
0 0n ?
时，信号向左平移
0||n
0 1 2 3 n 0 1 2 3 4 n
()xn ( 1)xn?
2,反转变换,Reflection of Signals
()xt ()xt? 信号以 为轴做镜像对称。0t?
()xn ()xn? 与连续时间的情况相同。
-1 0 1 2 n
( 1)xn?
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3,尺度变换,Scaling
()xt ()x at
1a? 时 是将 在时间上压缩 a 倍，()x at ()xt
01a?? 时 是将 在时间上扩展 1/a 倍。()x at ()xt
()xt?
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实例,照片放大。
由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因而尺度
变换只对连续时间信号而言。
例如：
()xn (2 )xn
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显然 是从 中依次抽出自变量取偶数时的
各点而构成的。这一过程称为对信号 的 抽取（
decimation） 。对信号 抽取的过程是不可逆的 。
(2 )xn ()xn
()xn
()xn 1 ()xn ? ?
( / 2 )xn
0
n为偶数
n为奇数
0 1 2 3 4 5 6
()xn
2
1 1
2
3
2
n
0 1 2 3 4 5 6
1()xn
2 1 1 2
3
2
n
7 8 9 10 1211
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综合示例,由
做法一：
1( ) ( 3 )
2x t x t??
11( ) ( ) ( 3 )
22x t x t x t? ? ? ?
? 从 到 的过程称为对信号 的 内插
（ interpolation )。对信号 内插的过程是可逆的。
()xn 1 ()xn ()xn
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做法二, 1
( ) ( 3 ) ( 3 )2x t x t x t? ? ?
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三, 奇信号与偶信号：
如果有 则称该信号是偶信号。( ) ( )x t x t??
( ) ( )x n x n?? （镜像偶对称）
对实信号而言：
如果有 则称该信号为奇信号
（镜像奇对称）
( ) ( )x t x t? ? ?
( ) ( )x n x n? ? ?
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如果有 则称该信号为共轭偶信号。
( ) ( )x t x t???
( ) ( )x n x n???
如果有 则称为共轭奇信号。( ) ( )x t x t
?? ? ?
( ) ( )x n x n?? ? ?
对复信号而言：
任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。
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对实信号有：
( ) ( ) ( )eox t x t x t??
1( ) [ ( ) ( ) ]
2e
x t x t x t? ? ?
1( ) [ ( ) ( ) ]
2o
x t x t x t? ? ?
( ) ( ) ( )eox n x n x n??
其中：
1( ) [ ( ) ( ) ]
2e
x n x n x n? ? ?
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ox n x n x n? ? ?
其中：
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对复信号有：
( ) ( ) ( )eox t x t x t??
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ex t x t x t
?? ? ?
1( ) [ ( ) ( ) ]
2o
x t x t x t?? ? ?
( ) ( ) ( )eox n x n x n??
其中：
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ex n x n x n
?? ? ?
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ox n x n x n
?? ? ?
其中：
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例：
四, 周期信号与非周期信号：
周期信号的定义：
( ) ( )x t T x t??
( ) ( )x n N x n??
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满足此关系的正实数（正整数）中最小的一个，称
为信号的基波周期 （ ）。
0T 0N
()x t c?
可视为周期信号，但它的基波周期没有确
定的定义。
()x n c? 可以视为周期信号，其基波周期 。
0 1N ?
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2.2 常用的基本信号,( basic signals )
? 正弦信号
? 指数信号
? 单位阶跃信号
? 符号函数
? 单位冲激和单位脉冲信号
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一,正弦信号,( Sinusoidal signal )
?连续时间正弦信号：
0( ) c o s( )x t A t ?? ? ?
周期信号，基波周期
002/T ???
?离散时间正弦信号：
0( ) c os( )x n A n????
频率 的量纲为弧度（ ）。
0?
rad
?离散时间正弦信号不一定是周期的。
设 具有周期性，则
0( ) c o sx n n??
00c o s c o s ( )n n N?? ?? 0 2Nm???
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即：
0
2
m
N
?
?
?
表明 只有当 是有理数时，信号才是周期的。
0 /2??
? 离散时间信号可以通过
对连续时间信号提取其离
散时刻的样本（即采样）
而得到。 对同一个连续时
间信号以不同的时间间隔
采样，将得到不同的序列。
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二, 指数信号,( Exponential signal )
1,连续时间指数信号：
() atx t C e?
C,a为实数
? 对周期性连续时间信号采样，所得到的序列不一
定是周期的。 只有当信号的基波周期 与采样间隔
之比 是有理数时，采样所得到的序列才具有
周期性。
0T
sT 0 / sTT
C 0a?
0
t
()xt
C 0a?
0
()xt
t
1,实指数信号：
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2,周期性复指数信号：
01,C a j? ? ?
0 00( ) c os si njtx t e t j t?? ? ? ? ?
基波周期
002/T ???
，实部、虚部均为正弦信号。
显然，
00
0
1c o s
2
j t j tt e e? ? ???? ? ?
??
3,成谐波关系的复指数信号集：
? ?0() jk tk te? ?? 0,1,2,k ? ? ? ???
此信号集中的每一个信号都是周期的，其周期为
。所有信号的公共周期为 。
每个信号的频率都是 的整数倍。02 / | |kTk??? 002 / | |T ???
0?
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4,复指数信号：
0| |,jC C e a j? ?? ? ? ?
0()( ) | | jttx t C e e ?? ???
? ? 0R e ( ) | | c o s ( )tx t C e t? ?? ? ?
? ? 0I m ( ) | | s i n ( )tx t C e t? ?? ? ?
实部和虚部都是按指数规律变化的正弦振荡。
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2,离散时间指数信号,() nx n C ??
1,实指数信号：,C ? 为实数
01??? 1??
10?? ? ? 1? ??
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2,复指数信号：
01,jCe ????
0() jnx n e ??
与
0() jtx t e ??
形式相同
但该信号不一定是周期的。 只有在 是有理数
时才具有周期性。 0
/2??
当 时，满足此关系的 与 中，
必有一组是无公因子的，此时的 即为信号的
基波周期 。
0
2
m
N
?
?
? m N
N
0N
基波频率
0
0
2Nm?
?
?0
0
2
B Nm
??? ??
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3,成谐波关系的复指数信号集：
2
()
jk n
N
k ne
?
?
??
? ??
??
0,1,2,k ? ? ? ???
基波周期,基波频率 。N 2/N?
由于 22()( ) ( )j k N n jk nNN
k N kn e e n
??
??
?
? ? ? ?
表明该信号集中的信号并不都是独立的，其中只有
个独立的谐波分量。N
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4,一般的复指数信号,
0| |,jjC C e re ?? ???
0()( ) | | jnnx n C r e ?? ??
? ? 0R e ( ) | | c o s ( )nx n C r n????
? ? 0I m ( ) | | s i n ( )nx n C r n????
实部、虚部都是按指数规律变化的正弦振荡。
1r?
1r?
1r?
振幅按指数规律增长
振幅按指数规律衰减
正弦振荡
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1r?
1r?
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信号 和 的比较tje
0? nje 0?
? 频率相差 的整数倍
时,信号相同
? 仅当 时
才是周期的
? 基波频率
? 基波周期：
? 不同，信号不同
? 对任何 信号都是
周期的
? 基波频率
? 基波周期：
?20?
0? 0
2 m
N
?? ?
0
0
2
T
??? 02
Nm
?? ?
0T
N
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离散时间信号的频率有效范围只有 。高频对
应于 的奇数倍处，低频对应于 的偶数倍处。
2?
??
( ) c o s ( / 2 )x n n?? ( ) c o s ( )x n n?? ( ) c o s ( 3 / 2 )x n n??
( ) c o s (0 ) 1x n n? ? ? ( ) c o s ( / 8 )x n n?? ( ) c o s ( / 4 )x n n??
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三, 单位阶跃,( Unit step )
1,连续时间单位阶跃：
()ut ? ?
1,
0,
0t?
0t?
1
0
()ut
t
( ) c o s (7 / 4 )x n n?? ( ) c o s (1 5 / 8 )x n n?? ( ) c o s ( 2 )x n n??
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2,离散时间单位阶跃：
()un ? ?
1,
0,
0n?
0n?
()un
n
1
0
….
)()()( ???? tututG )()()( 01 ????? tuttutG
? ?
?单位阶跃的应用：
()Gt
1 ()Gt
t t
0t
1 1
0 0
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)]()([)( 0ttutuetf t ??? ? ()ft
t
0t
0
1
( ) ( 1 ) [ ( ) ( ) ] ( 1 ) [ ( ) ( ) ]ttx t u t u t u t u t????? ? ? ? ? ? ? ?
()xt
???
t
1
在信号表示中也有同样的用途。()un
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四, 符号函数：
?
?
?
??
?
?
)0(1
)0(1
)s gn(
t
t
t
定义：
sgn( )t
t
1
-1
0符号函数与单位阶跃的关系：
s g n ( ) ( ) ( )t u t u t? ? ?
s g n ( ) 2 ( ) 1t u t??
sg n ( ) 2 ( )d ttdt ??
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五, 单位脉冲与单位冲激, (Unit impulse )
1,单位脉冲,
?()n? ?
1,
，
0n?
0 0n ?
()n? 具有提取信号 中某一点的样值的作用。()xn
( ) ( ) (0 ) ( )x n n x n???
()n? ()un与 之间的关系：
( ) ( ) ( 1 )n u n u n? ? ? ?
一次差分
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )x n n n x n n n??? ? ?
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00
( ) ( ) ( )
n
kk
u n k n k??
?
??
? ? ??? 1
()nk? ?
n
k
0
2,单位冲激：
定义的不严密性：由于 在 不连续，因而在
该处不可导。
()() d u tt
dt
? ? ( ) ( )tu t d? ? ???? ?
()ut 0t?
定义：
采用极限的思想
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定义 ()ut
? 1
0 ?
()ut?
t
? 0
()ut? ()ut
()() d u tt
dt?
?
? ? 0
1
?
?
t
()t??
认为
0lim?? ( ) ( )tt??? ?
()t? 可视为一个面积始终为 1的矩
形，当其宽度趋于零时的极限。
显然当 时
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()t?
表示为 （ 1）
0
()t?
t
0
0()tt? ?
0t
t
（ 1）
矩形的面积称为 冲激强度 。
( ) 1t dt???? ??
0
( ) ( ) ( )tu t d t d? ? ? ? ? ??
??
? ? ???
()t? 也具有提取连续时间信号样本的作用。
显然有：
( ) ( ) (0 ) ( )x t t x t???
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0 0 0( ) ( ) ( ) ( )x t t t x t t t??? ? ?
( 0 ) ( ) ( 0 ) ( )x t x t??? ?0lim??
0
t
?
1 (0)x
?
(0 ) ( )xt? ?
()t? 与 的关系：()ut
()() d u tt
dt
? ?
0
()t???
t
（ 1）
?
0
()td? ? ?????
( ) ( )tu t d? ? ?
??
? ?
可用于描述能量有限但作用时间极短的物理现象。()t?
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2.3 奇异函数, ( singularity functions )
0 ?
1
?
t
()t??
0 ? 2?
1
?
t
( ) ( ) ( )r t t t??? ? ???
0 2? 4?
1
?
t
( ) ( )r t r t???
前边在定义 时，采用了极限的思想，将其看
成面积始终为 1 的矩形在宽度趋于 0 时的极限。但
这样的定义仍然是不严密的，因为可以发现有很多
不同的信号在极限的意义下具有相同的属性。
()t?
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0
1
?
t
? ?1
t
e u t? ??
sin t
t
?
?
?
0
1
?
?
t
这表明 是一个非常规函数，被称为 奇异函数
或 广义函数 。对它的定义通常采用在积分运算下所
表现的特性来描述。
()t?
一, 及其性质：()t?
( 0) ( ) ( )x x t t dt??
??
? ?
定义 ()xt 在 连续0t?
积分意义下的定义
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性质：
1 令 则有：( ) 1xt ?
( ) 1t dt???? ??
0( ) 1t t d t?
?
?? ???
2 由定义可得
( ) ( ) ( 0) ( 0) ( )x t t dt x x t dt????
? ? ? ?
????
( ) ( ) ( 0 ) ( )x t t x t????
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )x t t t x t t t??? ? ?
3 若 ()x t t? 则有：
( ) 0tt? ?
同理有：
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4 若
12( ) ( )tx t tx t?
则有：
12( ) ( ) ( )x t x t k t???
5 ( ) ( )x t x t??若 则有：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t d t x t t d t x t t d t? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
( ) ( ) ( ) ( )x t t x t t??? ? ?
( ) ( )tt???? 表明 是偶函数。()t?
6 1
( ) ( ) ( ) ( )x t a t d t x daa ?? ? ? ???
? ? ? ?
???
11( 0 ) ( ) ( )x x t t d t
aa ?
?
??
?? ? ( 0 )a ?
1( ) ( ) ( ) ( )x t a t d t x d
aa
?? ? ? ???
? ? ? ?
????
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11( 0 ) ( ) ( )x x t t d t
aa
??
??
? ? ? ? ?( 0)a ?
1( ) ( )
||
a t t
a
????
二, 的微分与积分,()t?
? 定义
( ) ( ) ( 0 )x t t d t x??
??
?? ???
0
t
(1)
( 1)?
1()ut
()t?? 称为 单位冲激偶 ( Unit doublet )
也用 表示。
1()ut
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1
( ) 1xt ?令 则有,( ) 0t d t??
??
? ??
2 ( ) ( )x t x t? ? ?若 则有：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t d t x t t d t x t t d t? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
( ) ( ) ( ) ( )x t t x t t????? ? ? ?
( ) ( )tt????? ? ? 表明 是奇函数。()t??
3
? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d x t t x t t x t tdt ? ? ?????
(0 ) ( ) ( ) ( ) (0 ) ( )x t x t t x t? ? ?? ? ?? ? ?
( ) ( ) (0 ) ( ) (0 ) ( )x t t x t x t? ? ?? ? ?? ? ?
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4
( ) ( )t t t??? ??
由 可得：3
2 ( ) 0tt? ? ?
若,则有：
2212( ) ( )t x t t x t?
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x t x t k t k t?? ?? ? ?
? 高阶导数：
()
0( ) ( ) ( 1 ) ( ) |
n
nn
tn
dx t t d t x t
dt
?
?
??? ???
? 积分：
( ) ( )t t dt u t?
??
??
2 ( ) ( ) ( )
tu t u t d t tu t
? ?????
?
??????
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显然,已经是一个常规的函数了。
2 ()ut?
1
( ) ( ) ( )
( 1 ) !
nt
n
n
n
t
u t d d d u t
n
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???
个
个
2.4 系统的描述：
( Representation of Systems )
一, 系统的模型,（ The modle of systems )
系统是由一些相互联系，相互依赖的事物组成
的具有一定功能的整体。
系统可以看成对信号进行某种变换的过程，要
分析一个系统，首先要建立系统的模型。
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R L
C()et
()it
例：
从实际物理问题抽象出描述输入 — 输出关系或
物理特性的数学模型。一般有输入 — 输出描述和
状态空间描述两种。
2
2
( ) ( )()d i t d e tdiL C R C i t C
d t d tdt ? ? ?
2()i t X?
1()cu t X?
()cut
21X C X?
1 2 2 ()X LX R X e t? ? ?
?
电路方程：
状态变量：
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12
1XX
C?
2 1 2
11 ()RX X X e t
L L L
? ? ? ?
?
即：
— 状态方程
2()i t X?
— 输出方程
一般的矩阵形式为：
X A X B e
Y C X D e
??
??
其中 为参数矩阵。A,B,C,D
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
二, 系统的表示,( Representation of Systems )
? 系统 对输入信号的作用，其本质就是对输入信
号进行某种变换或运算。
? 连续时间系统是把连续时间输入信号变换成连续
时间输出信号的系统。
? 离散时间系统是把离散时间输入信号变换成离散
时间输出信号的系统。
连续时间系统()xt ()yt 离散时间系统()xn ()yn
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? 系统对信号的变换功能是通过系统模型中包含的
各种数学运算来实现的。
? 系统模型中的基本运算：
()xt ()ax t
a
()xt ()x t T?T
D()xn ( 1)xn ? ?()xt ()t xd??
???
a
b
ab
a
b
ab?
? 系统表示方法：
1,用方程表示。 2,用电路图表示。 3,用方框图表示。
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三,系统的互联, ( interconnection of systems )
1,级联,( cascade interconnection )
1 2
2,并联,( parallel interconnection )
1
2
3,反馈联结,（ feedback interconnection )
1
2
_
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2.5 系统的性质,( Properties of systems )
1,即时系统与动态系统 ( 记忆与无记忆系统 )
( memory system and memoryless system )
? 即时系统 (无记忆系统 )：
在任何时刻系统的输出只与该时刻的输入
有关,而与该时刻以前或以后的输入无关。
( ) ( ) ;y n k x n?
( ) s i n ( ) ;y t x t? 2( ) ( ) ;y n x n? ??????
? 即时系统的特例,
例, 全电阻网络 ; ( ) ( ) ;y t k x t?
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恒等系统,( identity system )
( ) ( )y t x t? ( ) ( )y n x n?
? 动态系统 (记忆系统 ):( systems with memory )
它的输出不仅与当前时刻的输入有关,也与其它
时刻的输入有关。
例,
? ??? t dxty ?? )()( ?
???
?
n
k
kxny )()(
)1()( ?? txty ( ) ( ) ( 1 )y n x n x n? ? ? ??????
都是记忆系统 。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
2.可逆性与逆系统,
( Invertibility and inverse system )
如果系统对任何不同的输入都能产生不同的输
出，即输入与输出一一对应，则系统是可逆的。
如果系统对两个或两个以上不同的输入产生相同
的输出，则系统是不可逆的 ( noninvertible )。
例,
0)( ?ty)()( 2 txty ? )2()( nxny ?
)()( 2 nxny ? )1()()( ??? nxnxny
1
2
( ) ( )
( ) ( 1 )
x n n
x n n
?
?
?
??
显然对 都有
( ) 0yn ?
系统不可逆。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
? 判断系统是否可逆一般是困难的。
? 如果一个系统与另一个系统级联后 构成一个恒等
系统,则后者是前者的逆系统 ( inverse system )。
例,
)()( 0nnxny ??
? ??? t dxty ?? )()(
?
???
?
n
k
kxny )()(
)1()()( ??? nxnxny
)()( txty ??
)()( 0nnxny ??
( ) ( )y t a x t? 1( ) ( )y t x t
a?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
在任何时刻，系统的输出都只与该时刻以及该时刻
以前的输入有关，而与该时刻以后的输入无关，则系
统是因果的 ( causal )。如果系统在某时刻的输出与以
后的输入有关，则系统是非因果的 ( noncausal )。
? 一切物理可实现的连续时间系统都是因果的。
? 一切即时系统 (无记忆 )都是因果的。
3,因果性,( casusality )
( ) ( 1 ) ;y t x t??
( ) ( )y n x n? ? ???
( ) ( ) ( 1 ) ;y n x n x n? ? ?
都是非因果系统。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
? 在非实时处理的情况下，可以通过先存储、后
处理，实现离散时间的非因果系统。
如果一个系统当输入有界时，输出也有界，则该
系统是稳定的 （ stable )，否则，该系统是不稳定的
( unstable )。
例如,R,C; R,L,C电路均为稳定系统；
4,稳定性,( stability )
( ) ( )
n
k
y n x k
? ??
? ? ( ) ( )
ty t x d??
??
? ?
均为不稳定系统。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
? 系统的稳定性在系统分析和系统综合中具有重
要意义。
5,时变与时不变系统：
( Time-invariant and time-varying system )
如果一个系统当输入有一个时间上的平移时，输
出也产生相同的平移，除此之外无任何其它变化，
则系统是时不变的 (time-invariant )，否则系统是时
变的 ( time-varying )。
即若,( ) ( )x t y t?
00( ) ( )x t t y t t? ? ?
则系统是时不变的。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
检验方法：
? 令 根据系统模型确定 。
1( ) ( ),x t x t? 1()yt
? 令 根据系统模型确定 。
2 1 0( ) ( ),x t x t t?? 2 ()yt
? 检验 是否等于 。
2 ()yt 10()y t t?
6,线性,( linearity )
如果一个系统既满足叠加性，同时又满足齐次性，
则该系统为线性系统 ( linear system )。
? 线性系统所对应的方程一定是线性方程，但反过
来未必成立。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
例如：
( ) ( ) 2y t k x t?? 是线性方程，
但由于不满足齐次性和可加性，系统不是线性的。
? 线性系统一定满足 零输入 — 零输出 的特性。 即：线
性系统在没有输入信号加入时，一定不能有输出产生。
7,增量线性系统,( incrementally linear system )
? 有一种工程中广泛应用的系统，虽然其输入与输
出之间不满足线性关系，但输入的增量与输出的增
量呈线性关系，这类系统称为增量线性系统。
例如：
( ) ( ) 2y t k x t??
就是增量线性系统。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
? 任何一个增量线性系统都可以等效成一个线性系
统加上一个与输入无关的响应。
线性系统()xt
()yt
0 ()yt
()rt
零状态响应
零输入响应
全响应
? 如果零输入响应为零，则系统是线性的。此时，
也称 系统最初是松弛的 或 系统是静止的 。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
? 建立了信号与系统的数学描述方法。
? 讨论了信号自变量变换对信号的影响。
? 介绍了作为信号分析基础的基本信号：复指数信
号,正弦信号，单位冲激与单位阶跃信号。
? 讨论了离散时间正弦信号 的 周期性问题。
? 定义并讨论了系统的六大基本特性及互联方式。
? 讨论了奇异函数。
本章小结,( summary )
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
因为在工程实际中相当广泛的一类系统其数学建模
可以用一个线性时不变 （ Linear Time - Invariant ）
系统来描述。而且基于线性和时不变性，为系统分析
建立一套完整的、普遍适用的方法提供了可能。因此
线性时不变 ( LTI )系统将成为本课程所研究的对象。
作业, 2.11 a,d,f; 2.12 c,d,g,i;
2.13 b,f,h; 2.16 ; 2.18; 2.21;
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
2.0 引言, (introduction)
本章旨在讨论信号与系统的基本概念，建立其
相应的数学描述方法，以便利用这种数学描述及其
表示，建立一种信号与系统的分析体系。
2.1 信号的描述与时域变换,
一,信号的表示：
信号可以描述范围极广泛的物理现象。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
? 信号可以分为确知信号与随机信号，也可以分为连
续时间信号与离散时间信号。
? 作为信号分析的基础,本课程只研究确知信号 。
? 确知信号可以表示成一个或几个自变量的函数。
连续时间信号的例子,离散时间信号的例子：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
? 连续时间信号表示为
? 离散时间信号表示为
1,2( ),( ),..x t x t t
12( ),(,),,,x n x n n
? 连续时间信号的自变量在实数域内取值，自变量
连续变化，信号值可以有间断点。
? 离散时间信号的自变量在整数域内取值，自变量
只能取整数，信号值可以在实数域内连续变化。
? 如果将信号值加以量化，则称之为数字信号。
? 离散时间信号也可以从连续时间信号通过提取其
样本而得到。如：
()xt ()x nT
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二, 信号的自变量变换：
由于信号可以表示为自变量的函数，当自变量
变化时，必然会使信号的特性发生相应的改变。
()xt 0()x t t? 当 时，信号向右平移0 0t ? 0t
0 0t ?
时，信号向左平移
0t
1,时移变换,Shift of Signals
0t 0Tt?
A
0 t
A
0 t
A
0 t
()xt 0()x t t? 0()x t t?
0t 0Tt?
T
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
()xn ? ?0x n n?
当 时，信号向右平移
0 0n ? 0n
0 0n ?
时，信号向左平移
0||n
0 1 2 3 n 0 1 2 3 4 n
()xn ( 1)xn?
2,反转变换,Reflection of Signals
()xt ()xt? 信号以 为轴做镜像对称。0t?
()xn ()xn? 与连续时间的情况相同。
-1 0 1 2 n
( 1)xn?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
3,尺度变换,Scaling
()xt ()x at
1a? 时 是将 在时间上压缩 a 倍，()x at ()xt
01a?? 时 是将 在时间上扩展 1/a 倍。()x at ()xt
()xt?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
实例,照片放大。
由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因而尺度
变换只对连续时间信号而言。
例如：
()xn (2 )xn
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
显然 是从 中依次抽出自变量取偶数时的
各点而构成的。这一过程称为对信号 的 抽取（
decimation） 。对信号 抽取的过程是不可逆的 。
(2 )xn ()xn
()xn
()xn 1 ()xn ? ?
( / 2 )xn
0
n为偶数
n为奇数
0 1 2 3 4 5 6
()xn
2
1 1
2
3
2
n
0 1 2 3 4 5 6
1()xn
2 1 1 2
3
2
n
7 8 9 10 1211
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
综合示例,由
做法一：
1( ) ( 3 )
2x t x t??
11( ) ( ) ( 3 )
22x t x t x t? ? ? ?
? 从 到 的过程称为对信号 的 内插
（ interpolation )。对信号 内插的过程是可逆的。
()xn 1 ()xn ()xn
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
做法二, 1
( ) ( 3 ) ( 3 )2x t x t x t? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
三, 奇信号与偶信号：
如果有 则称该信号是偶信号。( ) ( )x t x t??
( ) ( )x n x n?? （镜像偶对称）
对实信号而言：
如果有 则称该信号为奇信号
（镜像奇对称）
( ) ( )x t x t? ? ?
( ) ( )x n x n? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
如果有 则称该信号为共轭偶信号。
( ) ( )x t x t???
( ) ( )x n x n???
如果有 则称为共轭奇信号。( ) ( )x t x t
?? ? ?
( ) ( )x n x n?? ? ?
对复信号而言：
任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
对实信号有：
( ) ( ) ( )eox t x t x t??
1( ) [ ( ) ( ) ]
2e
x t x t x t? ? ?
1( ) [ ( ) ( ) ]
2o
x t x t x t? ? ?
( ) ( ) ( )eox n x n x n??
其中：
1( ) [ ( ) ( ) ]
2e
x n x n x n? ? ?
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ox n x n x n? ? ?
其中：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
对复信号有：
( ) ( ) ( )eox t x t x t??
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ex t x t x t
?? ? ?
1( ) [ ( ) ( ) ]
2o
x t x t x t?? ? ?
( ) ( ) ( )eox n x n x n??
其中：
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ex n x n x n
?? ? ?
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ox n x n x n
?? ? ?
其中：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
例：
四, 周期信号与非周期信号：
周期信号的定义：
( ) ( )x t T x t??
( ) ( )x n N x n??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
满足此关系的正实数（正整数）中最小的一个，称
为信号的基波周期 （ ）。
0T 0N
()x t c?
可视为周期信号，但它的基波周期没有确
定的定义。
()x n c? 可以视为周期信号，其基波周期 。
0 1N ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
2.2 常用的基本信号,( basic signals )
? 正弦信号
? 指数信号
? 单位阶跃信号
? 符号函数
? 单位冲激和单位脉冲信号
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
一,正弦信号,( Sinusoidal signal )
?连续时间正弦信号：
0( ) c o s( )x t A t ?? ? ?
周期信号，基波周期
002/T ???
?离散时间正弦信号：
0( ) c os( )x n A n????
频率 的量纲为弧度（ ）。
0?
rad
?离散时间正弦信号不一定是周期的。
设 具有周期性，则
0( ) c o sx n n??
00c o s c o s ( )n n N?? ?? 0 2Nm???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
即：
0
2
m
N
?
?
?
表明 只有当 是有理数时，信号才是周期的。
0 /2??
? 离散时间信号可以通过
对连续时间信号提取其离
散时刻的样本（即采样）
而得到。 对同一个连续时
间信号以不同的时间间隔
采样，将得到不同的序列。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
二, 指数信号,( Exponential signal )
1,连续时间指数信号：
() atx t C e?
C,a为实数
? 对周期性连续时间信号采样，所得到的序列不一
定是周期的。 只有当信号的基波周期 与采样间隔
之比 是有理数时，采样所得到的序列才具有
周期性。
0T
sT 0 / sTT
C 0a?
0
t
()xt
C 0a?
0
()xt
t
1,实指数信号：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
2,周期性复指数信号：
01,C a j? ? ?
0 00( ) c os si njtx t e t j t?? ? ? ? ?
基波周期
002/T ???
，实部、虚部均为正弦信号。
显然，
00
0
1c o s
2
j t j tt e e? ? ???? ? ?
??
3,成谐波关系的复指数信号集：
? ?0() jk tk te? ?? 0,1,2,k ? ? ? ???
此信号集中的每一个信号都是周期的，其周期为
。所有信号的公共周期为 。
每个信号的频率都是 的整数倍。02 / | |kTk??? 002 / | |T ???
0?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
4,复指数信号：
0| |,jC C e a j? ?? ? ? ?
0()( ) | | jttx t C e e ?? ???
? ? 0R e ( ) | | c o s ( )tx t C e t? ?? ? ?
? ? 0I m ( ) | | s i n ( )tx t C e t? ?? ? ?
实部和虚部都是按指数规律变化的正弦振荡。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
2,离散时间指数信号,() nx n C ??
1,实指数信号：,C ? 为实数
01??? 1??
10?? ? ? 1? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
2,复指数信号：
01,jCe ????
0() jnx n e ??
与
0() jtx t e ??
形式相同
但该信号不一定是周期的。 只有在 是有理数
时才具有周期性。 0
/2??
当 时，满足此关系的 与 中，
必有一组是无公因子的，此时的 即为信号的
基波周期 。
0
2
m
N
?
?
? m N
N
0N
基波频率
0
0
2Nm?
?
?0
0
2
B Nm
??? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
3,成谐波关系的复指数信号集：
2
()
jk n
N
k ne
?
?
??
? ??
??
0,1,2,k ? ? ? ???
基波周期,基波频率 。N 2/N?
由于 22()( ) ( )j k N n jk nNN
k N kn e e n
??
??
?
? ? ? ?
表明该信号集中的信号并不都是独立的，其中只有
个独立的谐波分量。N
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
4,一般的复指数信号,
0| |,jjC C e re ?? ???
0()( ) | | jnnx n C r e ?? ??
? ? 0R e ( ) | | c o s ( )nx n C r n????
? ? 0I m ( ) | | s i n ( )nx n C r n????
实部、虚部都是按指数规律变化的正弦振荡。
1r?
1r?
1r?
振幅按指数规律增长
振幅按指数规律衰减
正弦振荡
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
1r?
1r?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
信号 和 的比较tje
0? nje 0?
? 频率相差 的整数倍
时,信号相同
? 仅当 时
才是周期的
? 基波频率
? 基波周期：
? 不同，信号不同
? 对任何 信号都是
周期的
? 基波频率
? 基波周期：
?20?
0? 0
2 m
N
?? ?
0
0
2
T
??? 02
Nm
?? ?
0T
N
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
离散时间信号的频率有效范围只有 。高频对
应于 的奇数倍处，低频对应于 的偶数倍处。
2?
??
( ) c o s ( / 2 )x n n?? ( ) c o s ( )x n n?? ( ) c o s ( 3 / 2 )x n n??
( ) c o s (0 ) 1x n n? ? ? ( ) c o s ( / 8 )x n n?? ( ) c o s ( / 4 )x n n??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
三, 单位阶跃,( Unit step )
1,连续时间单位阶跃：
()ut ? ?
1,
0,
0t?
0t?
1
0
()ut
t
( ) c o s (7 / 4 )x n n?? ( ) c o s (1 5 / 8 )x n n?? ( ) c o s ( 2 )x n n??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
2,离散时间单位阶跃：
()un ? ?
1,
0,
0n?
0n?
()un
n
1
0
….
)()()( ???? tututG )()()( 01 ????? tuttutG
? ?
?单位阶跃的应用：
()Gt
1 ()Gt
t t
0t
1 1
0 0
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
)]()([)( 0ttutuetf t ??? ? ()ft
t
0t
0
1
( ) ( 1 ) [ ( ) ( ) ] ( 1 ) [ ( ) ( ) ]ttx t u t u t u t u t????? ? ? ? ? ? ? ?
()xt
???
t
1
在信号表示中也有同样的用途。()un
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四, 符号函数：
?
?
?
??
?
?
)0(1
)0(1
)s gn(
t
t
t
定义：
sgn( )t
t
1
-1
0符号函数与单位阶跃的关系：
s g n ( ) ( ) ( )t u t u t? ? ?
s g n ( ) 2 ( ) 1t u t??
sg n ( ) 2 ( )d ttdt ??
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五, 单位脉冲与单位冲激, (Unit impulse )
1,单位脉冲,
?()n? ?
1,
，
0n?
0 0n ?
()n? 具有提取信号 中某一点的样值的作用。()xn
( ) ( ) (0 ) ( )x n n x n???
()n? ()un与 之间的关系：
( ) ( ) ( 1 )n u n u n? ? ? ?
一次差分
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )x n n n x n n n??? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
00
( ) ( ) ( )
n
kk
u n k n k??
?
??
? ? ??? 1
()nk? ?
n
k
0
2,单位冲激：
定义的不严密性：由于 在 不连续，因而在
该处不可导。
()() d u tt
dt
? ? ( ) ( )tu t d? ? ???? ?
()ut 0t?
定义：
采用极限的思想
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
定义 ()ut
? 1
0 ?
()ut?
t
? 0
()ut? ()ut
()() d u tt
dt?
?
? ? 0
1
?
?
t
()t??
认为
0lim?? ( ) ( )tt??? ?
()t? 可视为一个面积始终为 1的矩
形，当其宽度趋于零时的极限。
显然当 时
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
()t?
表示为 （ 1）
0
()t?
t
0
0()tt? ?
0t
t
（ 1）
矩形的面积称为 冲激强度 。
( ) 1t dt???? ??
0
( ) ( ) ( )tu t d t d? ? ? ? ? ??
??
? ? ???
()t? 也具有提取连续时间信号样本的作用。
显然有：
( ) ( ) (0 ) ( )x t t x t???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )x t t t x t t t??? ? ?
( 0 ) ( ) ( 0 ) ( )x t x t??? ?0lim??
0
t
?
1 (0)x
?
(0 ) ( )xt? ?
()t? 与 的关系：()ut
()() d u tt
dt
? ?
0
()t???
t
（ 1）
?
0
()td? ? ?????
( ) ( )tu t d? ? ?
??
? ?
可用于描述能量有限但作用时间极短的物理现象。()t?
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2.3 奇异函数, ( singularity functions )
0 ?
1
?
t
()t??
0 ? 2?
1
?
t
( ) ( ) ( )r t t t??? ? ???
0 2? 4?
1
?
t
( ) ( )r t r t???
前边在定义 时，采用了极限的思想，将其看
成面积始终为 1 的矩形在宽度趋于 0 时的极限。但
这样的定义仍然是不严密的，因为可以发现有很多
不同的信号在极限的意义下具有相同的属性。
()t?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
0
1
?
t
? ?1
t
e u t? ??
sin t
t
?
?
?
0
1
?
?
t
这表明 是一个非常规函数，被称为 奇异函数
或 广义函数 。对它的定义通常采用在积分运算下所
表现的特性来描述。
()t?
一, 及其性质：()t?
( 0) ( ) ( )x x t t dt??
??
? ?
定义 ()xt 在 连续0t?
积分意义下的定义
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
性质：
1 令 则有：( ) 1xt ?
( ) 1t dt???? ??
0( ) 1t t d t?
?
?? ???
2 由定义可得
( ) ( ) ( 0) ( 0) ( )x t t dt x x t dt????
? ? ? ?
????
( ) ( ) ( 0 ) ( )x t t x t????
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )x t t t x t t t??? ? ?
3 若 ()x t t? 则有：
( ) 0tt? ?
同理有：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
4 若
12( ) ( )tx t tx t?
则有：
12( ) ( ) ( )x t x t k t???
5 ( ) ( )x t x t??若 则有：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t d t x t t d t x t t d t? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
( ) ( ) ( ) ( )x t t x t t??? ? ?
( ) ( )tt???? 表明 是偶函数。()t?
6 1
( ) ( ) ( ) ( )x t a t d t x daa ?? ? ? ???
? ? ? ?
???
11( 0 ) ( ) ( )x x t t d t
aa ?
?
??
?? ? ( 0 )a ?
1( ) ( ) ( ) ( )x t a t d t x d
aa
?? ? ? ???
? ? ? ?
????
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
11( 0 ) ( ) ( )x x t t d t
aa
??
??
? ? ? ? ?( 0)a ?
1( ) ( )
||
a t t
a
????
二, 的微分与积分,()t?
? 定义
( ) ( ) ( 0 )x t t d t x??
??
?? ???
0
t
(1)
( 1)?
1()ut
()t?? 称为 单位冲激偶 ( Unit doublet )
也用 表示。
1()ut
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
1
( ) 1xt ?令 则有,( ) 0t d t??
??
? ??
2 ( ) ( )x t x t? ? ?若 则有：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t d t x t t d t x t t d t? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
( ) ( ) ( ) ( )x t t x t t????? ? ? ?
( ) ( )tt????? ? ? 表明 是奇函数。()t??
3
? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d x t t x t t x t tdt ? ? ?????
(0 ) ( ) ( ) ( ) (0 ) ( )x t x t t x t? ? ?? ? ?? ? ?
( ) ( ) (0 ) ( ) (0 ) ( )x t t x t x t? ? ?? ? ?? ? ?
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4
( ) ( )t t t??? ??
由 可得：3
2 ( ) 0tt? ? ?
若,则有：
2212( ) ( )t x t t x t?
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x t x t k t k t?? ?? ? ?
? 高阶导数：
()
0( ) ( ) ( 1 ) ( ) |
n
nn
tn
dx t t d t x t
dt
?
?
??? ???
? 积分：
( ) ( )t t dt u t?
??
??
2 ( ) ( ) ( )
tu t u t d t tu t
? ?????
?
??????
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显然,已经是一个常规的函数了。
2 ()ut?
1
( ) ( ) ( )
( 1 ) !
nt
n
n
n
t
u t d d d u t
n
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???
个
个
2.4 系统的描述：
( Representation of Systems )
一, 系统的模型,（ The modle of systems )
系统是由一些相互联系，相互依赖的事物组成
的具有一定功能的整体。
系统可以看成对信号进行某种变换的过程，要
分析一个系统，首先要建立系统的模型。
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R L
C()et
()it
例：
从实际物理问题抽象出描述输入 — 输出关系或
物理特性的数学模型。一般有输入 — 输出描述和
状态空间描述两种。
2
2
( ) ( )()d i t d e tdiL C R C i t C
d t d tdt ? ? ?
2()i t X?
1()cu t X?
()cut
21X C X?
1 2 2 ()X LX R X e t? ? ?
?
电路方程：
状态变量：
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12
1XX
C?
2 1 2
11 ()RX X X e t
L L L
? ? ? ?
?
即：
— 状态方程
2()i t X?
— 输出方程
一般的矩阵形式为：
X A X B e
Y C X D e
??
??
其中 为参数矩阵。A,B,C,D
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
二, 系统的表示,( Representation of Systems )
? 系统 对输入信号的作用，其本质就是对输入信
号进行某种变换或运算。
? 连续时间系统是把连续时间输入信号变换成连续
时间输出信号的系统。
? 离散时间系统是把离散时间输入信号变换成离散
时间输出信号的系统。
连续时间系统()xt ()yt 离散时间系统()xn ()yn
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? 系统对信号的变换功能是通过系统模型中包含的
各种数学运算来实现的。
? 系统模型中的基本运算：
()xt ()ax t
a
()xt ()x t T?T
D()xn ( 1)xn ? ?()xt ()t xd??
???
a
b
ab
a
b
ab?
? 系统表示方法：
1,用方程表示。 2,用电路图表示。 3,用方框图表示。
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三,系统的互联, ( interconnection of systems )
1,级联,( cascade interconnection )
1 2
2,并联,( parallel interconnection )
1
2
3,反馈联结,（ feedback interconnection )
1
2
_
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2.5 系统的性质,( Properties of systems )
1,即时系统与动态系统 ( 记忆与无记忆系统 )
( memory system and memoryless system )
? 即时系统 (无记忆系统 )：
在任何时刻系统的输出只与该时刻的输入
有关,而与该时刻以前或以后的输入无关。
( ) ( ) ;y n k x n?
( ) s i n ( ) ;y t x t? 2( ) ( ) ;y n x n? ??????
? 即时系统的特例,
例, 全电阻网络 ; ( ) ( ) ;y t k x t?
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恒等系统,( identity system )
( ) ( )y t x t? ( ) ( )y n x n?
? 动态系统 (记忆系统 ):( systems with memory )
它的输出不仅与当前时刻的输入有关,也与其它
时刻的输入有关。
例,
? ??? t dxty ?? )()( ?
???
?
n
k
kxny )()(
)1()( ?? txty ( ) ( ) ( 1 )y n x n x n? ? ? ??????
都是记忆系统 。
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2.可逆性与逆系统,
( Invertibility and inverse system )
如果系统对任何不同的输入都能产生不同的输
出，即输入与输出一一对应，则系统是可逆的。
如果系统对两个或两个以上不同的输入产生相同
的输出，则系统是不可逆的 ( noninvertible )。
例,
0)( ?ty)()( 2 txty ? )2()( nxny ?
)()( 2 nxny ? )1()()( ??? nxnxny
1
2
( ) ( )
( ) ( 1 )
x n n
x n n
?
?
?
??
显然对 都有
( ) 0yn ?
系统不可逆。
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? 判断系统是否可逆一般是困难的。
? 如果一个系统与另一个系统级联后 构成一个恒等
系统,则后者是前者的逆系统 ( inverse system )。
例,
)()( 0nnxny ??
? ??? t dxty ?? )()(
?
???
?
n
k
kxny )()(
)1()()( ??? nxnxny
)()( txty ??
)()( 0nnxny ??
( ) ( )y t a x t? 1( ) ( )y t x t
a?
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在任何时刻，系统的输出都只与该时刻以及该时刻
以前的输入有关，而与该时刻以后的输入无关，则系
统是因果的 ( causal )。如果系统在某时刻的输出与以
后的输入有关，则系统是非因果的 ( noncausal )。
? 一切物理可实现的连续时间系统都是因果的。
? 一切即时系统 (无记忆 )都是因果的。
3,因果性,( casusality )
( ) ( 1 ) ;y t x t??
( ) ( )y n x n? ? ???
( ) ( ) ( 1 ) ;y n x n x n? ? ?
都是非因果系统。
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? 在非实时处理的情况下，可以通过先存储、后
处理，实现离散时间的非因果系统。
如果一个系统当输入有界时，输出也有界，则该
系统是稳定的 （ stable )，否则，该系统是不稳定的
( unstable )。
例如,R,C; R,L,C电路均为稳定系统；
4,稳定性,( stability )
( ) ( )
n
k
y n x k
? ??
? ? ( ) ( )
ty t x d??
??
? ?
均为不稳定系统。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
? 系统的稳定性在系统分析和系统综合中具有重
要意义。
5,时变与时不变系统：
( Time-invariant and time-varying system )
如果一个系统当输入有一个时间上的平移时，输
出也产生相同的平移，除此之外无任何其它变化，
则系统是时不变的 (time-invariant )，否则系统是时
变的 ( time-varying )。
即若,( ) ( )x t y t?
00( ) ( )x t t y t t? ? ?
则系统是时不变的。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
检验方法：
? 令 根据系统模型确定 。
1( ) ( ),x t x t? 1()yt
? 令 根据系统模型确定 。
2 1 0( ) ( ),x t x t t?? 2 ()yt
? 检验 是否等于 。
2 ()yt 10()y t t?
6,线性,( linearity )
如果一个系统既满足叠加性，同时又满足齐次性，
则该系统为线性系统 ( linear system )。
? 线性系统所对应的方程一定是线性方程，但反过
来未必成立。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
例如：
( ) ( ) 2y t k x t?? 是线性方程，
但由于不满足齐次性和可加性，系统不是线性的。
? 线性系统一定满足 零输入 — 零输出 的特性。 即：线
性系统在没有输入信号加入时，一定不能有输出产生。
7,增量线性系统,( incrementally linear system )
? 有一种工程中广泛应用的系统，虽然其输入与输
出之间不满足线性关系，但输入的增量与输出的增
量呈线性关系，这类系统称为增量线性系统。
例如：
( ) ( ) 2y t k x t??
就是增量线性系统。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
? 任何一个增量线性系统都可以等效成一个线性系
统加上一个与输入无关的响应。
线性系统()xt
()yt
0 ()yt
()rt
零状态响应
零输入响应
全响应
? 如果零输入响应为零，则系统是线性的。此时，
也称 系统最初是松弛的 或 系统是静止的 。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
? 建立了信号与系统的数学描述方法。
? 讨论了信号自变量变换对信号的影响。
? 介绍了作为信号分析基础的基本信号：复指数信
号,正弦信号，单位冲激与单位阶跃信号。
? 讨论了离散时间正弦信号 的 周期性问题。
? 定义并讨论了系统的六大基本特性及互联方式。
? 讨论了奇异函数。
本章小结,( summary )
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第二章：信号与系统
因为在工程实际中相当广泛的一类系统其数学建模
可以用一个线性时不变 （ Linear Time - Invariant ）
系统来描述。而且基于线性和时不变性，为系统分析
建立一套完整的、普遍适用的方法提供了可能。因此
线性时不变 ( LTI )系统将成为本课程所研究的对象。
作业, 2.11 a,d,f; 2.12 c,d,g,i;
2.13 b,f,h; 2.16 ; 2.18; 2.21;
