第三章 信号与系统的时域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
本章主要内容,
1,用 表示,由卷积积分求得 LTI
系统的响应。
()t? ()xt
3,在对信号进行时域分解的情况下，研
究 LTI系统的性质。
()n? ()xn2,用 表示,由卷积和求得 LTI系
统的响应。
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3.0 引言,(Introduction)
基本思想,由于 LTI系统满足齐次性和可加性，如
果能够把任意的输入信号都分解成单元信号的线性
组合，即：
( ) ( )ii
i
x t a x t? ? ( ) ( )iiix n a x n? ?
或
则由系统的线性特性有：
( ) ( )ii
i
y t a y t? ? ( ) ( )ii
i
y n a y n? ?
或
其中 ( ) ( )
iix t y t? ( ) ( )iix n y n?
问题的焦点是 如何将信号分解成单元信号的线性组合。
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问题的实质：
1,研究信号的分解：以什么样的信号作为构成任意
信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性
组合来构成任意信号；
2,如何得到 LTI 系统对基本单元信号的响应。
作为基本单元的信号应满足以下要求：
1,尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示
（构成）尽可能广泛的其它信号；
2.LTI系统对这种信号的响应易于求得。
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3.1 信号的时域分解,
( Decomposition of Signals in Time-Domain )
一, 用 表示连续时间信号,()t?
采用数学中讨论积分的思想。
定义：
()t? ? ? ?
1
?
0
0 t? ? ?
o th e rw is e
()xt
0 ? k? ( 1)k??
t
()xk?
()xt?
则有：
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第 个矩形可表示为：
这些矩形迭加起来就成为阶梯形信号,即：
( ) ( )x k t k? ?? ? ? ? ?k
()xt?
( ) ( ) ( )
k
x t x k t k?
?
??
? ? ?
? ? ? ? ? ??
()tk? ?? ? ? ? ( 1 )
o t h erw i s e
k t k? ? ? ? ?
?
1,
0,
0??,k ??? ( ) ( ),t k t? ? ?? ? ? ? ?
,d???
当 时，
,?? ? 于是,
( ) ( ) ( )x t x t d? ? ? ??
??
???
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表明,任何连续时间信号 都可以被分解成移位
加权的单位冲激信号的线性组合。
()xt
二, 用 表示离散时间信号,()n?
对任何离散时间信号,如果每次从其中取出
一个点，就可以将整个信号拆开来。
()xn
0 1 2
3
4 5-1-3-5-7
n
()xn
1
n
(1 ) ( 1 )xn? ?
0
n
(0 ) ( )xn?
2
n( 2 ) ( 2 )xn? ?
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于是有：
( ) ( ) ( )
k
x n x k n k?
?
? ? ?
???
表明,任何信号 都可以被分解成移位加权的
单位脉冲信号的线性组合。
()xn
每次取出的一个点都可以表示成不同加权、不
同位置的单位脉冲 。
3 n
( 3 ) ( 3 )xn? ? ( ) ( )x k n k? ?
k
n
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3.2 连续时间 LTI系统的时域分析：
( Continuous - time LTI System Analysis in
Time-Domain )
一, 卷积积分, （ The convolution integral）
如果一个线性系统对 的响应为,
则该系统对 的响应可表示为：
()t??? ()ht?
()xt
( ) ( ) ( )y t x h t d????
??
? ?
若,则( ) ( )t h t? ? ( ) ( )t h t? ? ?? ? ?
若系统是时不变的，即：
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于是系统对任意输入 的响应可表示为：()xt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x h t d x t h t? ? ??
??
? ? ??
这表明,LTI系统可以完全由它的单位冲激响应 来
表征。 这种求得系统响应的运算关系称为 卷积积分
（ The convolution integral） 。
()ht
二, 卷积积分的计算,
卷积积分的计算有图解法、解析法和数值解法。
运算过程的实质,参与卷积的两个信号中，一个
不动，另一个反转后随参变量 移动。t
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? 对每一个 的值，将 和 对应相乘，再
计算相乘后曲线所包围的面积。
t ()x? ()ht ??
? 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限往往是
很有用的。
1,解析法,
( ) ( ),0 ;atx t e u t a??? ( ) ( )h t u t?例 1.
0
1
?
()x?
0
1
()ut ??
?
t
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0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
( 1 ) ( )
a
t
a at
y t x t h t x h t d
e u u t d
e d e u t
a
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
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?
?
??
??
? ? ? ?
??
? ? ?
?
?
?
2,图解法：
例 2.
1
)(tx
TT?
t
0
)(th
T
T
t
0
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0
()ht ??
t-T t T-T
?
0
()ht ??
t-T t T-T
?
0
()ht ??
t-T t T-T
?
()x?
()x?
()x?
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t x h t d? ? ????? ? ? ??
1,( ) 0t T y t? ? ?
2
0,Tt? ? ? ()t T T? ? ?
( ) ( )t Ty t t d??????
2211
22t T t T? ? ?
3
0,tT?? ( 0 )T t T? ? ? ?
( ) ( )t
tT
y t t d??
?
??? 21
2 T?
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t-T T-T t0 ?
()x? ()ht ??
t-T tT-T 0 ?
()x? ()ht ??
4 2,T t T?? (0 )t T T? ? ?
( ) ( )T
tT
y t t d??
?
???
21
2 t T t? ? ?
5
2,( )t T t T T? ? ?
( ) 0yt ?
三, 卷积积分的性质,
1,交换律：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
y t x t h t x h t d
x t h d h t x t
? ? ?
? ? ?
?
??
?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
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()xt ()yt
()ht
()ht ()yt
()xt?
表明, 一个单位冲激响应是 的 LTI系统对输入
信号 所产生的响应，与另一个单位冲激响应
是 的 LTI系统对输入信号 所产生的响应
相同。
()ht
()xt
()xt ()ht
2,分配律：
1 2 1 2( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )x t h t h t x t h t x t h t? ? ? ? ? ?
()xt
12( ) ( )h t h t?
12( ) ( ) [ ( ) ( ) ]y t x t h t h t? ? ?
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()xt
1()ht
2()ht
?
()yt
表明,两个 LTI系统并联，
其总的单位冲激响应等
于各个子系统的单位冲
激响应之和。
3, 结合律,
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]x t h t h t x t h t h t? ? ? ? ?
12( ) ( )h t h t?
()xt 12( ) ( ) [ ( ) ( ) ]y t x t h t h t? ? ?
()xt
1()ht 2()ht
1( ) ( )x t h t? 12( ) [ ( ) ( ) ] ( )y t x t h t h t? ? ?
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表明,两个 LTI系统级联时，系统总的单位冲激响
应等于各个子系统单位冲激响应的卷积。
由于卷积满足交换律，因此,系统级联的先后
次序可以调换。
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t h t h t x t h t h t? ? ? ? ?
()xt
()xt
()yt
()yt
1()ht
1()ht
2()ht
2()ht
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产生以上结论的前提条件：
① 系统必须是 LTI系统；
② 所有涉及到的卷积运算必须收敛。
如, ()xt 平方 乘 2 2( ) 2 ( )y t x t?
若交换级联次序，即：
()xt 乘 2 平方 2( ) 4 ( )y t x t?
显然是不等价的。
又如,若 系统都
是 LTI系统。
12( ) ( ) ( 1 ),( ) ( )h t t t h t u t??? ? ? ?
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当 时，
( ) 1xt ?
由于 不收敛，因而也不能交换级联次序。( ) ( )x t u t?
()xt
1()ht 2()ht
( ) 0yt ?0
4, 卷积还有如下性质：
卷积积分满足微分、积分及时移特性：
( ) ( ) ( )x t h t y t??
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]
t t t
x t h t x t h t y t
x d h t x t h d y d? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
① 若,则
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② 若,则( ) ( ) ( )x t h t y t??
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t h t x t h t t y t t? ? ? ? ? ? ?
恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：
)(th
T
T
t
0
tT
T? 0
(1)
(-1)
()xt?
T
T? 0 T
2T t
T?
()yt?
T? T 2T
t
0
()yt
2
2
T
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00
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t t x t
x t t t x t t
?
?
??
? ? ? ?
1 2 1 2( ) ( ) ( )x t t t t x t t t?? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( )x t h t y t??若,
则,
1 2 1 2( ) ( ) ( )x t t h t t y t t t? ? ? ? ? ?
0
( ) ( ) ( )tx t u t x d???? ?
?与 和 的卷积：()t? ()ut
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3.3 离散时间 LTI系统的时域分析,
( Discrete - time LTI System Analysis in
Time-Domain )
一, 卷积和,（ Convolution sum）
如果一个线性系统对 的响应是,
由线性特性就有系统对任何输入 的响应为：
()nk? ? ()
khn
()xn
( ) ( ) ( )k
k
y n x k h n
?
? ? ?
? ?
若系统具有时不变性，即,若,( ) ( )n h n? ?
则
( ) ( )n k h n k? ? ? ?
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因此，只要得到了 LTI系统对 的响应
()n? ()hn
单位脉冲响应 (Impulse Response)，
就可以得到 LTI系统对任何输入信号 的响应：()xn
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k x n h n
?
? ? ?
? ? ??
这表明,一个 LTI系统可以完全由它的单位脉冲
响应来表征。 这种求得系统响应的运算关系称为 卷
积 和 （ The convolution sum） 。
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二, 卷积和的计算,
卷积和的计算有图解法、列表法、解析法（包括
数值解法）。
运算过程：
将一个信号 不动，另一个信号反转成,
再随参变量 移位。在每个 值的情况下，将
与 对应点相乘，再把乘积的各点值累加，得
到 时刻的 。
()xk ()hk?
n n ()xk
()h n k?
n ()yn
例 1.
( ) ( )h n u n?
( ) ( )nx n u n?? 01???
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1
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
()
1
k
kk
nn
k
k
y n x n h n
x k h n k u n k u k
un
?
?
?
?
??
? ? ? ? ? ?
?
?
??
? ? ? ?
?
??
?
??
?
...
0
1
n
k
( ) ( )h n k u n k? ? ?
0
1
k
( ) ( )kx k u k??
...
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例 2.
1 0 4
()
0 o t h e r w i s e
n
xn
???
? ?
?
1,0 6
()
o t h e r w i s e0
n n
hn
?? ? ? ??
? ?
?
0
1
4
()xk
k
0 n6n?
k
() nkh n k ? ???
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① 时，0n?
( ) 0yn ?
② 时，04n??
00
( 1 ) 1
1
()
11
11
nn
n k n k
kk
nn
n
yn ? ? ?
??
?
??
??
??
? ? ?
?
??
??
? ? ?
??
??
③ 时，46n??
0
1
4
()xk
k
n6n?
k
()h n k?
n6n?
k
0
1
4
()xk
k
()h n k?
n6n?
k
0
1
4
()xk
k
()h n k?
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5 4 14
1
0
1()
11
nn
n k n
k
yn ? ? ???
??
? ? ?
?
?
?
??? ? ? ??
④ 时,6 1 0n??
4
6
47
()
1
nk
kn
n
yn ?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
⑤ 时,10n ? ( ) 0yn ?
n6n?
k
0
1
4
()xk ()h n k?
n6n?
k
0
1
4
()xk ()h n k?
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通过图形正确确定反转移位信号的区间表示，对
于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上、下限
是很有用的。
例 3,列表法,
分析卷积和的过程，可以发现：
① 与 所有的各点都要遍乘一次；()xn
()hn
② 在遍乘后，各点相加时，根据
( ) ( )
k
x k h n k
?
? ? ?
??
参与相加的各点都具有 与 的 宗量之
和为 的特点。
()xk ()h n k?
n
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1 0 2 1
1 0 2 1
2 0 4 2
0 0 0 0
3 0 6 3
1 0 2 1
1
2
0
3
1
()hn ()xn
(0)x (1)x (2)x (3)x
( 1)h ?
(0)h
(1)h
(2)h
(3)h
( 1)y ?
(0)y
(1)y
(2)y
(3)y (4)y (5)y (6)y
优点,计算非常简单 。
缺点,① 只适用于两个有限长序列的卷积和；
② 一般情况下，无法写出 的封闭表达式。()yn
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三, 卷积和的性质,
? 卷积和与卷积积分一样，也满足交换律、结合律、
分配律。同时，也满足时移、差分及求和特性。
? 从系统的观点也可以对这些性质作出相同的物理解
释。这些解释也有相同的条件限制。
? 信号与, 的卷积和也有类似的结果：()n? ()un
( ) ( ) ( )y n x n h n? ? ?( ) ( )h n x n?
1 2 1 2( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )x n h n h n x n h n x n h n? ? ? ? ? ?
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]x n h n h n x n h n h n? ? ? ? ?
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00
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x n n x n
x n n n x n n
?
?
??
? ? ? ?
1 2 1 2( ) ( ) ( )x n n n n x n n n?? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( )x n h n y n??
若,
则,
1 2 1 2( ) ( ) ( )x n n h n n y n n n? ? ? ? ? ?
? ?00( ) ( ) ( ) ( ) ( )x n h n h n n y n y n n? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n
k k k
x n h k x k h n y k
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
0
( ) ( ) ( )
n
k
x n u n x k
?
?? ?
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3.4 LTI系统的性质,
( The Properties of LTI Systems )
1,记忆性：
LTI系统可以由它的单位冲激 /脉冲响应来表征，
因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）
都应在其单位冲激 /脉冲响应中有所体现。
根据, 如果系统是无
记忆的，则在任何时刻, 都只能和 时刻
的输入有关，即和式中只能有 时的一项为非
零，因此必须有：
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
?
? ? ?
???
()yn
kn?
nn
( ) 0,h n k k n? ? ?
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即,
( ) 0,0h n n??
? 无记忆系统的单位脉冲响应为, ( ) ( )
( ) ( )
h n k n
h t k t
?
?
?
?
此时,, 当 时是 恒等系统。( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x n h n k x n
x t h t k x t
??
??
1k?
如果 LTI系统的单位冲激 /脉冲响应不满足上述要
求，则系统是记忆的。
2,可逆性,
如果 LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且
该逆系统也是 LTI系统，它们级联起来构成一个恒等
系统。
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()xt ()xt
()ht ()gt
例如,延时器 是可逆的 LTI系统，其,
其逆系统是,显然有,0
( ) ( )h t t t???
0( ) ( )g t t t???
00( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t g t t t t t t? ? ?? ? ? ? ? ?
累加器是可逆的 LTI系统，其,其
逆系统是,显然也有：
( ) ( )h n u n?
( ) ( ) ( 1 )g n n n??? ? ?
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( 1 ) ]
( ) ( 1 ) ( )
h n g n u n n n
u n u n n
??
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
因此有, ( ) ( ) ( )h n g n n???( ) ( ) ( )h t g t t???
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3,因果性：
由,当 LTI系统是因果系统时，
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
?
? ? ?
???
n在任何时刻, 都只能取决于 时刻及其以前的
输入，和式中所有 的项都必须为零。即：
()yn n
kn?
( ) 0,h n k k n? ? ?
( ) 0,0h n n??
或
对连续时间系统，则有：
( ) 0,0h t t??
? 单位脉冲 /冲激响应因果，是 LTI系统具有因果性
的 充分必要条件 。
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4,稳定性：
可知,
()
n
hn
?
? ? ?
???
对连续时间系统，相应有 ()h t dt?
??
???
这是 LTI系统稳定的 充分必要条件 。
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
?
? ? ?
???
若 有界，则,若系统稳定，则
必有界，由
()xn ()x n k A?? ()yn
根据稳定性的定义，由,
( ) ( ) ( )
k
y n h k x n k
?
? ? ?
???
( ) ( ) ( )
kk
h k x n k A h k
??
? ? ? ? ? ?
? ? ???
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5,LTI系统的单位阶跃响应,
在工程实际中，也常用 单位阶跃响应 来描述 LTI
系统。单位阶跃响应就是系统对 或 所产
生的响应。即,
()ut ()un
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
s t u t h t
s n u n h n
??
??
( ) ( ) ( ) ( )t ds t h d h t s tdt??
??
???
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )
n
k
s n h k h n s n s n
? ? ?
? ? ? ??
单位阶跃响应与单位冲激响应的关系,
单位阶跃响应可以通过实验测得。
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3.5 LTI系统的微分和差分方程描述,
( The LTI Systems Described by Differential
and Difference Equations )
一, 连续时间 LTI系统的微分方程描述,
可以用线性常系数微分方程（ Linear Constant -
Coefficient Differential Equation ）描述相当广泛
的一类连续时间 LTI系统。分析这类 LTI系统，就
是要求解线性常系数微分方程。
00
( ) ( ),kkNM
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt??
???,kkab
均为常数
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求解该微分方程，通常是求出一个特解
和通解,于是
()pyt
()hyt ( ) ( ) ( )phy t y t y t??
欲求得齐次解，可根据齐次方程建立一个特征方程：
0
0
N
k
k
k
a ?
?
??
,求出其特征根 。
在特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形式为：
1
( ),k
N
t
hk
k
y t C e ?
?
? ?
其中 是待定系数。
kC
()hyt
0
() 0kN
k k
k
d y ta
dt?
??
通解 是齐次方程 的解。
()pyt ()xt
特解 是与输入 同类型的函数；
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要确定系数,需要有一组条件，称为 附加条件 。
kC
仅从确定待定系数 的角度来看，这一组附加条
件可以是任意的，包括附加条件的值以及给出附加
条件的时刻都可以是任意的。
kC
当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满足
系统零输入 — 零输出的特性。
系统在没有输入即 时，微分方程就蜕变成
齐次方程。因而描述线性系统的微分方程其齐次解
必须为零，即所有的 都为零。这就要求确定待定
系数所需的一组附加条件的值必须全部为零，即 具
有零附加条件, LCCDE才能描述线性系统 。
( ) 0xt ?
kC
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当这组零附加条件在信号加入的时刻给出时，
LCCDE描述的系统不仅是 线性的,也是 因果的 和
时不变的 。
结论,LCCDE连同一组全部为零的初始条件可以描
述一个 LTI因果系统 。
如果一个因果的 LTI系统由 LCCDE描述（方程
具有零初始条件），就称该系统 初始是静止的 或 最
初是松弛的 。
( 1 )( 0 ) 0,( 0 ) 0,,( 0 ) 0Ny y y ??? ? ?
这组条件是,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
如果 LCCDE具有一组非零的初始条件，则可以证
明它所描述的系统是 增量线性的 。
二, 离散时间 LTI系统的差分方程描述,
? 一般的线性常系数差分方程 （ LCCDE） 可表示
为：
00
( ) ( )
NM
kk
kk
a y n k b x n k
??
? ? ???
()pyn ()hyn
与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个
特解 和通解即齐次解 来进行，其过程与
解微分方程一样。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
? 要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组附加
条件。同样地，当 LCCDE具有一组 全部为零的初始
条件 时，所描述的 系统是线性、因果、时不变的 。
? 无论微分方程还是差分方程，由于其特解都与
输入信号具有相同的函数形式，也就是说它是完全
由输入决定的，因而特解所对应的这一部分响应称
为 受迫响应 或 强迫响应 。齐次解所对应的部分由于
与输入信号无关，也称为系统的 自然响应 。
? 增量线性系统的响应有零状态响应和零输入响应。
零输入响应 与输入信号无关，因此 属于自然响应 。
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零状态响应 既与输入信号有关，也与系统特性有关，
因而它 包含了受迫响应，也包含有一部分自然响应。
? 线性常系数差分方程还可以采用 迭代 的方法求
解，将方程改写为：
010
1( ) ( ) ( )MN
kk
kk
y n b x n k a y n k
a ??
??? ? ? ?
??????
可以看出，要求出,不仅要知道所有的,
还要知道,这就是一组
初始条件，由此可以得出 。进而，又可以通过
(0)y ()xn
( 1 ),( 2 ),,( )y y y N? ? ?
(0)y
( 0 ),( 1 ),,( 1 )y y y N? ? ?,求得,(1)y ???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
依此类推可求出所有 时的解。0n?
? 若将方程改写为：
1
00
1( ) ( ) ( )MN
kk
kkN
y n N b x n k a y n k
a
?
??
??? ? ? ? ?
??????
则可由 求得,进而由
和 求得,依此可
推出 时的解。
( 1 ),( 2 ),,( )y y y N(0)y
( 1 ),( 2 ),,( 1 )y y y N ?( 1)y ? ????
(0)y
0n?
? 由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为
递归方程 （ recursive equation） 。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
? FIR与 IIR系统,
00
( ) ( )
NM
kk
kk
a y n k b x n k
??
? ? ???
若,则方程变为：0,0
kak??
00
1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
M
k
k
y n b x n k
a
y n x n h n
?
??
??
?
此时方程无须递推。
0,( ) / 0kh n b a k M? ? ?
显然,为有限长序列，此时方程描述的系统称为
FIR ( Finite Impulse Response )系统 。
()hn
若 时,不全为零，则方程为递推型,为
无限长，称为 IIR( Infinite Impulse Response )系统 。
0k ? ka ()hn
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? LTI系统的方框图表示,
系统分析的一个重要目的是为了设计并实现满足
要求的系统，其实质就是完成系统模型所包括的各
种运算。利用基本运算单元来表示系统模型的运算
功能，就形成了系统的模拟框图。它有助于系统的
分析、模拟仿真、设计与实现。
1 离散时间 LTI系统的方框图表示,
由 可看出：
方程中包括三种基本运算,乘系数、相加、移位 。
010
1( ) ( ) ( )MN
kk
kk
y n b x n k a y n k
a ??
??? ? ? ?
??????
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
这些运算可用以下符号表示,
a
?
a
b
ab? D()xn ( 1)xn?
令,则
0
( ) ( )
M
k
k
w n b x n k
?
???
10
1( ) ( ) ( )N
k
k
y n w n a y n k
a ?
??? ? ?
?????
可得图,
直接 Ⅰ 型
D
D
D
?
?
?
?
()xn ()wn0b
1b
2b
1Mb ?
Mb
D
D
D
?
?
?
?
()wn ()yn01/a
1a?
2a?
1Na ??
Na?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
将其级联起来，就成为 LCCDE 描述的系统，它
具有与差分方程完全相同的运算功能。显然，作为
两个级联的系统，可以调换其级联的次序，并将移
位单元合并，得到：
直接 Ⅱ 型
D
D
D
?
?
?
?
?
?
?
?
()xn ()yn0b
1b
2b
1Nb?
Nb
01/a
1a?
2a?
1Na ??
Na?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
连续时间 LTI系统的方框图表示,2
但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对
误差及噪声极为灵敏，工程上通常使用 积分器 而不
用微分器。
00
( ) ( )kkNN
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt?? ???
由 看出它也包括三种基本
运算,微分、相加、乘系数 。
对此积分方程完全按照前面差分方程的办法即可有：
( ) ( )
00
( ) ( )
NN
k N k k N k
kk
a y t b x t??
??
???
将方程两边同时积分 N 次，即可得到一个积分方程：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
1
( ) ( )
00
1( ) ( ) ( )NN
k N k k N k
kkN
y t b x t a y t
a
?
??
??
????
??????
()wt
直接 Ⅰ 型
()wt ()yt1/ Na
?
?
?
?
1Na ??
2Na ??
1a?
0a?
?
?
?
?
?
?
?
()xt ()wt
Nb
1Nb?
2Nb ?
1b
0b
?
?
?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
直接 Ⅱ 型
通过交换级联次序，合并积分器可得 直接 Ⅱ 型,
?
?
?
?
?
?
?
?
()xt ()yt1/ Na
1Na ??
2Na ??
1a?
0a?
Nb
1Nb?
2Nb ?
1b
0b
?
?
?
不同的结构会在设计和实现一个系统时带来不同
的影响：如在系统的成本、灵敏度、误差及调试难
度等方面都会有差异 。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
3.6 小结 （ Summary）
本章主要讨论了以下内容：
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k
x n x k n k
x t x t d
?
? ? ? ?
?
? ? ?
?
??
??
??
?
?
1,信号的时域分解,
2,LTI系统的时域分析 —— 卷积积分与卷积和 ;
( ) ( )h t h n,( ) ( )s t s n、
3,LTI系统的描述方法,
① 用 或 描述 LTI系统；
② 用 LCCDE连同零初始条件描述 LTI系统 ；
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
4,LTI系统的特性与 的关系,
① 记忆性、因果性、稳定性、可逆性与
的关系；
② 系统级联、并联时,与各子系统的关
系。
( ) ( )h t h n、
()ht,()hn
( ) ( )h t h n、
③ 用系统方框图描述系统（等同于 LCCDE 描述 ）。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
本章主要内容,
1,用 表示,由卷积积分求得 LTI
系统的响应。
()t? ()xt
3,在对信号进行时域分解的情况下，研
究 LTI系统的性质。
()n? ()xn2,用 表示,由卷积和求得 LTI系
统的响应。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
3.0 引言,(Introduction)
基本思想,由于 LTI系统满足齐次性和可加性，如
果能够把任意的输入信号都分解成单元信号的线性
组合，即：
( ) ( )ii
i
x t a x t? ? ( ) ( )iiix n a x n? ?
或
则由系统的线性特性有：
( ) ( )ii
i
y t a y t? ? ( ) ( )ii
i
y n a y n? ?
或
其中 ( ) ( )
iix t y t? ( ) ( )iix n y n?
问题的焦点是 如何将信号分解成单元信号的线性组合。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
问题的实质：
1,研究信号的分解：以什么样的信号作为构成任意
信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性
组合来构成任意信号；
2,如何得到 LTI 系统对基本单元信号的响应。
作为基本单元的信号应满足以下要求：
1,尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示
（构成）尽可能广泛的其它信号；
2.LTI系统对这种信号的响应易于求得。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
3.1 信号的时域分解,
( Decomposition of Signals in Time-Domain )
一, 用 表示连续时间信号,()t?
采用数学中讨论积分的思想。
定义：
()t? ? ? ?
1
?
0
0 t? ? ?
o th e rw is e
()xt
0 ? k? ( 1)k??
t
()xk?
()xt?
则有：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
第 个矩形可表示为：
这些矩形迭加起来就成为阶梯形信号,即：
( ) ( )x k t k? ?? ? ? ? ?k
()xt?
( ) ( ) ( )
k
x t x k t k?
?
??
? ? ?
? ? ? ? ? ??
()tk? ?? ? ? ? ( 1 )
o t h erw i s e
k t k? ? ? ? ?
?
1,
0,
0??,k ??? ( ) ( ),t k t? ? ?? ? ? ? ?
,d???
当 时，
,?? ? 于是,
( ) ( ) ( )x t x t d? ? ? ??
??
???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
表明,任何连续时间信号 都可以被分解成移位
加权的单位冲激信号的线性组合。
()xt
二, 用 表示离散时间信号,()n?
对任何离散时间信号,如果每次从其中取出
一个点，就可以将整个信号拆开来。
()xn
0 1 2
3
4 5-1-3-5-7
n
()xn
1
n
(1 ) ( 1 )xn? ?
0
n
(0 ) ( )xn?
2
n( 2 ) ( 2 )xn? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
于是有：
( ) ( ) ( )
k
x n x k n k?
?
? ? ?
???
表明,任何信号 都可以被分解成移位加权的
单位脉冲信号的线性组合。
()xn
每次取出的一个点都可以表示成不同加权、不
同位置的单位脉冲 。
3 n
( 3 ) ( 3 )xn? ? ( ) ( )x k n k? ?
k
n
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
3.2 连续时间 LTI系统的时域分析：
( Continuous - time LTI System Analysis in
Time-Domain )
一, 卷积积分, （ The convolution integral）
如果一个线性系统对 的响应为,
则该系统对 的响应可表示为：
()t??? ()ht?
()xt
( ) ( ) ( )y t x h t d????
??
? ?
若,则( ) ( )t h t? ? ( ) ( )t h t? ? ?? ? ?
若系统是时不变的，即：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
于是系统对任意输入 的响应可表示为：()xt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x h t d x t h t? ? ??
??
? ? ??
这表明,LTI系统可以完全由它的单位冲激响应 来
表征。 这种求得系统响应的运算关系称为 卷积积分
（ The convolution integral） 。
()ht
二, 卷积积分的计算,
卷积积分的计算有图解法、解析法和数值解法。
运算过程的实质,参与卷积的两个信号中，一个
不动，另一个反转后随参变量 移动。t
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
? 对每一个 的值，将 和 对应相乘，再
计算相乘后曲线所包围的面积。
t ()x? ()ht ??
? 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限往往是
很有用的。
1,解析法,
( ) ( ),0 ;atx t e u t a??? ( ) ( )h t u t?例 1.
0
1
?
()x?
0
1
()ut ??
?
t
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
( 1 ) ( )
a
t
a at
y t x t h t x h t d
e u u t d
e d e u t
a
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
??
?
?
??
??
? ? ? ?
??
? ? ?
?
?
?
2,图解法：
例 2.
1
)(tx
TT?
t
0
)(th
T
T
t
0
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
0
()ht ??
t-T t T-T
?
0
()ht ??
t-T t T-T
?
0
()ht ??
t-T t T-T
?
()x?
()x?
()x?
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t x h t d? ? ????? ? ? ??
1,( ) 0t T y t? ? ?
2
0,Tt? ? ? ()t T T? ? ?
( ) ( )t Ty t t d??????
2211
22t T t T? ? ?
3
0,tT?? ( 0 )T t T? ? ? ?
( ) ( )t
tT
y t t d??
?
??? 21
2 T?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
t-T T-T t0 ?
()x? ()ht ??
t-T tT-T 0 ?
()x? ()ht ??
4 2,T t T?? (0 )t T T? ? ?
( ) ( )T
tT
y t t d??
?
???
21
2 t T t? ? ?
5
2,( )t T t T T? ? ?
( ) 0yt ?
三, 卷积积分的性质,
1,交换律：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
y t x t h t x h t d
x t h d h t x t
? ? ?
? ? ?
?
??
?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
()xt ()yt
()ht
()ht ()yt
()xt?
表明, 一个单位冲激响应是 的 LTI系统对输入
信号 所产生的响应，与另一个单位冲激响应
是 的 LTI系统对输入信号 所产生的响应
相同。
()ht
()xt
()xt ()ht
2,分配律：
1 2 1 2( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )x t h t h t x t h t x t h t? ? ? ? ? ?
()xt
12( ) ( )h t h t?
12( ) ( ) [ ( ) ( ) ]y t x t h t h t? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
()xt
1()ht
2()ht
?
()yt
表明,两个 LTI系统并联，
其总的单位冲激响应等
于各个子系统的单位冲
激响应之和。
3, 结合律,
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]x t h t h t x t h t h t? ? ? ? ?
12( ) ( )h t h t?
()xt 12( ) ( ) [ ( ) ( ) ]y t x t h t h t? ? ?
()xt
1()ht 2()ht
1( ) ( )x t h t? 12( ) [ ( ) ( ) ] ( )y t x t h t h t? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
表明,两个 LTI系统级联时，系统总的单位冲激响
应等于各个子系统单位冲激响应的卷积。
由于卷积满足交换律，因此,系统级联的先后
次序可以调换。
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t h t h t x t h t h t? ? ? ? ?
()xt
()xt
()yt
()yt
1()ht
1()ht
2()ht
2()ht
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
产生以上结论的前提条件：
① 系统必须是 LTI系统；
② 所有涉及到的卷积运算必须收敛。
如, ()xt 平方 乘 2 2( ) 2 ( )y t x t?
若交换级联次序，即：
()xt 乘 2 平方 2( ) 4 ( )y t x t?
显然是不等价的。
又如,若 系统都
是 LTI系统。
12( ) ( ) ( 1 ),( ) ( )h t t t h t u t??? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
当 时，
( ) 1xt ?
由于 不收敛，因而也不能交换级联次序。( ) ( )x t u t?
()xt
1()ht 2()ht
( ) 0yt ?0
4, 卷积还有如下性质：
卷积积分满足微分、积分及时移特性：
( ) ( ) ( )x t h t y t??
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]
t t t
x t h t x t h t y t
x d h t x t h d y d? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
① 若,则
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
② 若,则( ) ( ) ( )x t h t y t??
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t h t x t h t t y t t? ? ? ? ? ? ?
恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：
)(th
T
T
t
0
tT
T? 0
(1)
(-1)
()xt?
T
T? 0 T
2T t
T?
()yt?
T? T 2T
t
0
()yt
2
2
T
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
00
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t t x t
x t t t x t t
?
?
??
? ? ? ?
1 2 1 2( ) ( ) ( )x t t t t x t t t?? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( )x t h t y t??若,
则,
1 2 1 2( ) ( ) ( )x t t h t t y t t t? ? ? ? ? ?
0
( ) ( ) ( )tx t u t x d???? ?
?与 和 的卷积：()t? ()ut
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
3.3 离散时间 LTI系统的时域分析,
( Discrete - time LTI System Analysis in
Time-Domain )
一, 卷积和,（ Convolution sum）
如果一个线性系统对 的响应是,
由线性特性就有系统对任何输入 的响应为：
()nk? ? ()
khn
()xn
( ) ( ) ( )k
k
y n x k h n
?
? ? ?
? ?
若系统具有时不变性，即,若,( ) ( )n h n? ?
则
( ) ( )n k h n k? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
因此，只要得到了 LTI系统对 的响应
()n? ()hn
单位脉冲响应 (Impulse Response)，
就可以得到 LTI系统对任何输入信号 的响应：()xn
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k x n h n
?
? ? ?
? ? ??
这表明,一个 LTI系统可以完全由它的单位脉冲
响应来表征。 这种求得系统响应的运算关系称为 卷
积 和 （ The convolution sum） 。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
二, 卷积和的计算,
卷积和的计算有图解法、列表法、解析法（包括
数值解法）。
运算过程：
将一个信号 不动，另一个信号反转成,
再随参变量 移位。在每个 值的情况下，将
与 对应点相乘，再把乘积的各点值累加，得
到 时刻的 。
()xk ()hk?
n n ()xk
()h n k?
n ()yn
例 1.
( ) ( )h n u n?
( ) ( )nx n u n?? 01???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
1
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
()
1
k
kk
nn
k
k
y n x n h n
x k h n k u n k u k
un
?
?
?
?
??
? ? ? ? ? ?
?
?
??
? ? ? ?
?
??
?
??
?
...
0
1
n
k
( ) ( )h n k u n k? ? ?
0
1
k
( ) ( )kx k u k??
...
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
例 2.
1 0 4
()
0 o t h e r w i s e
n
xn
???
? ?
?
1,0 6
()
o t h e r w i s e0
n n
hn
?? ? ? ??
? ?
?
0
1
4
()xk
k
0 n6n?
k
() nkh n k ? ???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
① 时，0n?
( ) 0yn ?
② 时，04n??
00
( 1 ) 1
1
()
11
11
nn
n k n k
kk
nn
n
yn ? ? ?
??
?
??
??
??
? ? ?
?
??
??
? ? ?
??
??
③ 时，46n??
0
1
4
()xk
k
n6n?
k
()h n k?
n6n?
k
0
1
4
()xk
k
()h n k?
n6n?
k
0
1
4
()xk
k
()h n k?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
5 4 14
1
0
1()
11
nn
n k n
k
yn ? ? ???
??
? ? ?
?
?
?
??? ? ? ??
④ 时,6 1 0n??
4
6
47
()
1
nk
kn
n
yn ?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
⑤ 时,10n ? ( ) 0yn ?
n6n?
k
0
1
4
()xk ()h n k?
n6n?
k
0
1
4
()xk ()h n k?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
通过图形正确确定反转移位信号的区间表示，对
于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上、下限
是很有用的。
例 3,列表法,
分析卷积和的过程，可以发现：
① 与 所有的各点都要遍乘一次；()xn
()hn
② 在遍乘后，各点相加时，根据
( ) ( )
k
x k h n k
?
? ? ?
??
参与相加的各点都具有 与 的 宗量之
和为 的特点。
()xk ()h n k?
n
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
1 0 2 1
1 0 2 1
2 0 4 2
0 0 0 0
3 0 6 3
1 0 2 1
1
2
0
3
1
()hn ()xn
(0)x (1)x (2)x (3)x
( 1)h ?
(0)h
(1)h
(2)h
(3)h
( 1)y ?
(0)y
(1)y
(2)y
(3)y (4)y (5)y (6)y
优点,计算非常简单 。
缺点,① 只适用于两个有限长序列的卷积和；
② 一般情况下，无法写出 的封闭表达式。()yn
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三, 卷积和的性质,
? 卷积和与卷积积分一样，也满足交换律、结合律、
分配律。同时，也满足时移、差分及求和特性。
? 从系统的观点也可以对这些性质作出相同的物理解
释。这些解释也有相同的条件限制。
? 信号与, 的卷积和也有类似的结果：()n? ()un
( ) ( ) ( )y n x n h n? ? ?( ) ( )h n x n?
1 2 1 2( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )x n h n h n x n h n x n h n? ? ? ? ? ?
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]x n h n h n x n h n h n? ? ? ? ?
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00
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x n n x n
x n n n x n n
?
?
??
? ? ? ?
1 2 1 2( ) ( ) ( )x n n n n x n n n?? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( )x n h n y n??
若,
则,
1 2 1 2( ) ( ) ( )x n n h n n y n n n? ? ? ? ? ?
? ?00( ) ( ) ( ) ( ) ( )x n h n h n n y n y n n? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n
k k k
x n h k x k h n y k
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
0
( ) ( ) ( )
n
k
x n u n x k
?
?? ?
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3.4 LTI系统的性质,
( The Properties of LTI Systems )
1,记忆性：
LTI系统可以由它的单位冲激 /脉冲响应来表征，
因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）
都应在其单位冲激 /脉冲响应中有所体现。
根据, 如果系统是无
记忆的，则在任何时刻, 都只能和 时刻
的输入有关，即和式中只能有 时的一项为非
零，因此必须有：
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
?
? ? ?
???
()yn
kn?
nn
( ) 0,h n k k n? ? ?
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即,
( ) 0,0h n n??
? 无记忆系统的单位脉冲响应为, ( ) ( )
( ) ( )
h n k n
h t k t
?
?
?
?
此时,, 当 时是 恒等系统。( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x n h n k x n
x t h t k x t
??
??
1k?
如果 LTI系统的单位冲激 /脉冲响应不满足上述要
求，则系统是记忆的。
2,可逆性,
如果 LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且
该逆系统也是 LTI系统，它们级联起来构成一个恒等
系统。
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()xt ()xt
()ht ()gt
例如,延时器 是可逆的 LTI系统，其,
其逆系统是,显然有,0
( ) ( )h t t t???
0( ) ( )g t t t???
00( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t g t t t t t t? ? ?? ? ? ? ? ?
累加器是可逆的 LTI系统，其,其
逆系统是,显然也有：
( ) ( )h n u n?
( ) ( ) ( 1 )g n n n??? ? ?
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( 1 ) ]
( ) ( 1 ) ( )
h n g n u n n n
u n u n n
??
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
因此有, ( ) ( ) ( )h n g n n???( ) ( ) ( )h t g t t???
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3,因果性：
由,当 LTI系统是因果系统时，
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
?
? ? ?
???
n在任何时刻, 都只能取决于 时刻及其以前的
输入，和式中所有 的项都必须为零。即：
()yn n
kn?
( ) 0,h n k k n? ? ?
( ) 0,0h n n??
或
对连续时间系统，则有：
( ) 0,0h t t??
? 单位脉冲 /冲激响应因果，是 LTI系统具有因果性
的 充分必要条件 。
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4,稳定性：
可知,
()
n
hn
?
? ? ?
???
对连续时间系统，相应有 ()h t dt?
??
???
这是 LTI系统稳定的 充分必要条件 。
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
?
? ? ?
???
若 有界，则,若系统稳定，则
必有界，由
()xn ()x n k A?? ()yn
根据稳定性的定义，由,
( ) ( ) ( )
k
y n h k x n k
?
? ? ?
???
( ) ( ) ( )
kk
h k x n k A h k
??
? ? ? ? ? ?
? ? ???
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5,LTI系统的单位阶跃响应,
在工程实际中，也常用 单位阶跃响应 来描述 LTI
系统。单位阶跃响应就是系统对 或 所产
生的响应。即,
()ut ()un
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
s t u t h t
s n u n h n
??
??
( ) ( ) ( ) ( )t ds t h d h t s tdt??
??
???
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )
n
k
s n h k h n s n s n
? ? ?
? ? ? ??
单位阶跃响应与单位冲激响应的关系,
单位阶跃响应可以通过实验测得。
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3.5 LTI系统的微分和差分方程描述,
( The LTI Systems Described by Differential
and Difference Equations )
一, 连续时间 LTI系统的微分方程描述,
可以用线性常系数微分方程（ Linear Constant -
Coefficient Differential Equation ）描述相当广泛
的一类连续时间 LTI系统。分析这类 LTI系统，就
是要求解线性常系数微分方程。
00
( ) ( ),kkNM
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt??
???,kkab
均为常数
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求解该微分方程，通常是求出一个特解
和通解,于是
()pyt
()hyt ( ) ( ) ( )phy t y t y t??
欲求得齐次解，可根据齐次方程建立一个特征方程：
0
0
N
k
k
k
a ?
?
??
,求出其特征根 。
在特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形式为：
1
( ),k
N
t
hk
k
y t C e ?
?
? ?
其中 是待定系数。
kC
()hyt
0
() 0kN
k k
k
d y ta
dt?
??
通解 是齐次方程 的解。
()pyt ()xt
特解 是与输入 同类型的函数；
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要确定系数,需要有一组条件，称为 附加条件 。
kC
仅从确定待定系数 的角度来看，这一组附加条
件可以是任意的，包括附加条件的值以及给出附加
条件的时刻都可以是任意的。
kC
当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满足
系统零输入 — 零输出的特性。
系统在没有输入即 时，微分方程就蜕变成
齐次方程。因而描述线性系统的微分方程其齐次解
必须为零，即所有的 都为零。这就要求确定待定
系数所需的一组附加条件的值必须全部为零，即 具
有零附加条件, LCCDE才能描述线性系统 。
( ) 0xt ?
kC
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当这组零附加条件在信号加入的时刻给出时，
LCCDE描述的系统不仅是 线性的,也是 因果的 和
时不变的 。
结论,LCCDE连同一组全部为零的初始条件可以描
述一个 LTI因果系统 。
如果一个因果的 LTI系统由 LCCDE描述（方程
具有零初始条件），就称该系统 初始是静止的 或 最
初是松弛的 。
( 1 )( 0 ) 0,( 0 ) 0,,( 0 ) 0Ny y y ??? ? ?
这组条件是,
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如果 LCCDE具有一组非零的初始条件，则可以证
明它所描述的系统是 增量线性的 。
二, 离散时间 LTI系统的差分方程描述,
? 一般的线性常系数差分方程 （ LCCDE） 可表示
为：
00
( ) ( )
NM
kk
kk
a y n k b x n k
??
? ? ???
()pyn ()hyn
与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个
特解 和通解即齐次解 来进行，其过程与
解微分方程一样。
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? 要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组附加
条件。同样地，当 LCCDE具有一组 全部为零的初始
条件 时，所描述的 系统是线性、因果、时不变的 。
? 无论微分方程还是差分方程，由于其特解都与
输入信号具有相同的函数形式，也就是说它是完全
由输入决定的，因而特解所对应的这一部分响应称
为 受迫响应 或 强迫响应 。齐次解所对应的部分由于
与输入信号无关，也称为系统的 自然响应 。
? 增量线性系统的响应有零状态响应和零输入响应。
零输入响应 与输入信号无关，因此 属于自然响应 。
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零状态响应 既与输入信号有关，也与系统特性有关，
因而它 包含了受迫响应，也包含有一部分自然响应。
? 线性常系数差分方程还可以采用 迭代 的方法求
解，将方程改写为：
010
1( ) ( ) ( )MN
kk
kk
y n b x n k a y n k
a ??
??? ? ? ?
??????
可以看出，要求出,不仅要知道所有的,
还要知道,这就是一组
初始条件，由此可以得出 。进而，又可以通过
(0)y ()xn
( 1 ),( 2 ),,( )y y y N? ? ?
(0)y
( 0 ),( 1 ),,( 1 )y y y N? ? ?,求得,(1)y ???
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依此类推可求出所有 时的解。0n?
? 若将方程改写为：
1
00
1( ) ( ) ( )MN
kk
kkN
y n N b x n k a y n k
a
?
??
??? ? ? ? ?
??????
则可由 求得,进而由
和 求得,依此可
推出 时的解。
( 1 ),( 2 ),,( )y y y N(0)y
( 1 ),( 2 ),,( 1 )y y y N ?( 1)y ? ????
(0)y
0n?
? 由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为
递归方程 （ recursive equation） 。
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? FIR与 IIR系统,
00
( ) ( )
NM
kk
kk
a y n k b x n k
??
? ? ???
若,则方程变为：0,0
kak??
00
1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
M
k
k
y n b x n k
a
y n x n h n
?
??
??
?
此时方程无须递推。
0,( ) / 0kh n b a k M? ? ?
显然,为有限长序列，此时方程描述的系统称为
FIR ( Finite Impulse Response )系统 。
()hn
若 时,不全为零，则方程为递推型,为
无限长，称为 IIR( Infinite Impulse Response )系统 。
0k ? ka ()hn
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? LTI系统的方框图表示,
系统分析的一个重要目的是为了设计并实现满足
要求的系统，其实质就是完成系统模型所包括的各
种运算。利用基本运算单元来表示系统模型的运算
功能，就形成了系统的模拟框图。它有助于系统的
分析、模拟仿真、设计与实现。
1 离散时间 LTI系统的方框图表示,
由 可看出：
方程中包括三种基本运算,乘系数、相加、移位 。
010
1( ) ( ) ( )MN
kk
kk
y n b x n k a y n k
a ??
??? ? ? ?
??????
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这些运算可用以下符号表示,
a
?
a
b
ab? D()xn ( 1)xn?
令,则
0
( ) ( )
M
k
k
w n b x n k
?
???
10
1( ) ( ) ( )N
k
k
y n w n a y n k
a ?
??? ? ?
?????
可得图,
直接 Ⅰ 型
D
D
D
?
?
?
?
()xn ()wn0b
1b
2b
1Mb ?
Mb
D
D
D
?
?
?
?
()wn ()yn01/a
1a?
2a?
1Na ??
Na?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
将其级联起来，就成为 LCCDE 描述的系统，它
具有与差分方程完全相同的运算功能。显然，作为
两个级联的系统，可以调换其级联的次序，并将移
位单元合并，得到：
直接 Ⅱ 型
D
D
D
?
?
?
?
?
?
?
?
()xn ()yn0b
1b
2b
1Nb?
Nb
01/a
1a?
2a?
1Na ??
Na?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
连续时间 LTI系统的方框图表示,2
但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对
误差及噪声极为灵敏，工程上通常使用 积分器 而不
用微分器。
00
( ) ( )kkNN
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt?? ???
由 看出它也包括三种基本
运算,微分、相加、乘系数 。
对此积分方程完全按照前面差分方程的办法即可有：
( ) ( )
00
( ) ( )
NN
k N k k N k
kk
a y t b x t??
??
???
将方程两边同时积分 N 次，即可得到一个积分方程：
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1
( ) ( )
00
1( ) ( ) ( )NN
k N k k N k
kkN
y t b x t a y t
a
?
??
??
????
??????
()wt
直接 Ⅰ 型
()wt ()yt1/ Na
?
?
?
?
1Na ??
2Na ??
1a?
0a?
?
?
?
?
?
?
?
()xt ()wt
Nb
1Nb?
2Nb ?
1b
0b
?
?
?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
直接 Ⅱ 型
通过交换级联次序，合并积分器可得 直接 Ⅱ 型,
?
?
?
?
?
?
?
?
()xt ()yt1/ Na
1Na ??
2Na ??
1a?
0a?
Nb
1Nb?
2Nb ?
1b
0b
?
?
?
不同的结构会在设计和实现一个系统时带来不同
的影响：如在系统的成本、灵敏度、误差及调试难
度等方面都会有差异 。
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3.6 小结 （ Summary）
本章主要讨论了以下内容：
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k
x n x k n k
x t x t d
?
? ? ? ?
?
? ? ?
?
??
??
??
?
?
1,信号的时域分解,
2,LTI系统的时域分析 —— 卷积积分与卷积和 ;
( ) ( )h t h n,( ) ( )s t s n、
3,LTI系统的描述方法,
① 用 或 描述 LTI系统；
② 用 LCCDE连同零初始条件描述 LTI系统 ；
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第三章：信号与系统的时域分析
4,LTI系统的特性与 的关系,
① 记忆性、因果性、稳定性、可逆性与
的关系；
② 系统级联、并联时,与各子系统的关
系。
( ) ( )h t h n、
()ht,()hn
( ) ( )h t h n、
③ 用系统方框图描述系统（等同于 LCCDE 描述 ）。
