第四章
连续时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
? 连续时间傅里叶级数及其性质
? 连续时间傅里叶变换及其性质
? 周期信号和非周期信号的频谱分析
? 连续时间 LTI系统的频域分析
? 抽样和抽样定理
本章主要内容：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
傅里叶的生平：
?1768年生于法国
?1807年提出“任何周期函数
都可用正弦函数级数表示”
?拉格朗日反对发表
?1822年首次发表在“热的分
析理论”一书中
?1829年狄里赫利第一个给出
收敛条件
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傅里叶最主要的两个贡献 ——
?,周期函数都可以表示为成谐波关系的正弦
函数的加权和” —— 傅里叶的第一个主要
论点。
?“非周期函数都可以用正弦函数的加权积
分表示” —— 傅里叶的第二个主要论点。
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4.0 引言 （ Introduction）
? 时域分析方法的基本思想：
1,将信号在时域分解成 或 的线性组合。()t? ()n?
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2,利用 LTI系统的线性与时不变性，得出系统的
响应可表示为单位冲激响应,或单位脉冲响
应 的线性组合 —— 卷积积分与卷积和 。
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频域分析的基本思想与此相同，即：设法将任意
信号分解成 复指数单元信号 的线性组合，利用 LTI
系统的线性与时不变性求得系统的响应。其响应应
该是系统对复指数单元信号的响应的线性组合。
1,本身简单,以便 LTI系统对它的响应能简便得到。
2,具有普遍性,能够用以构成相当广泛的信号。
? 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足
两个要求：
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4.1 连续时间 LTI系统的特征函数,
( The Eigenfunction of Continuous-time LTI Systems )
?考查 LTI系统对复指数信号 的响应ste
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由时域分析方法，
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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可见 LTI系统对复指数信号的响应是很容易求
得的。说明 符合对单元信号的第一项要求。
特征函数 （ Eigenfunction）
如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以
一个常数，则称该信号是这个系统的 特征函数。
系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数
相对应的 特征值 ( eigenvalue )。
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? 复指数函数 是一切连续时间 LTI系统的特征函
数 。 是系统与复指数信号相对应的特征值。
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? 不同的 LTI系统可能会有不同的特征函数，但 只
有复指数函数才能成为一切 LTI系统的特征函数。
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若,则：
可见，只要能实现将信号分解为 的线性组
合，系统对任何信号的响应就迎刃而解了。
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本章先研究 时的情况。sj??
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4.2 周期信号与连续时间傅里叶级数：
（ Periodic signals & Continuous-time Fourier Series )
成谐波关系的复指数信号集,
其中，每个信号都是以 为周期的，公共周期
为,且该集合中所有信号都是彼此独立的。
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显然 也以 为周期，该级数就是 傅里叶级数 。()xt
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如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，有
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这表明：用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号。
即,连续时间周期信号可以分解成无数多个谐波分量。
一,连续时间傅里叶级数（ CTFS):
（ Continuous-time Fourier Series )
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将级数改写，可得到：
—— 傅里叶级数的三角函数形式。
令 得到 另一种三角函数形式,kkk jbaA ??
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表明, 的 实部是偶函数,的 虚部是奇函数。kA
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对 LTI系统，当输入周期信号时，由于
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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显然,也是一个傅里叶级数表达式,其系数是
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二, 傅里叶级数的系数,
如果以 为周期的信号 可以表示为傅里叶级数,()xt
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三, 频谱的概念,（ Spectral）
研究 中的每一个信号，它们除了成谐波关
系外，每一个信号随时间 的变化规律都是一样
的，差别仅仅是频率不同。
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在傅里叶级数中，各个信号分量（谐 波分量）间
的区别也仅仅是幅度（可以是 复数）和频率不同。
因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用
线段的位置表示相应的频率。
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如：分量 可表示为
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这样绘出的图称为
—— 频谱图
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因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数
时，就可以将 表示为
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…… ……
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频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，也
即 的关系。由于信号的频谱完全代表了信
号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这
种表示信号的方法称为 频域表示法 。
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四, 周期性矩形脉冲信号的频谱,
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周期性矩形脉冲信号的频谱特征：
1,离散性 2,谐波性 3,收敛性
考查周期 和脉冲宽度 改变时频谱的变化：
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1.当 不变，改变 时，随 使占空比减小，
谱线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不
变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。
2,当 改变,不变时，随 使占空比减小，
谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络
主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。
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五, 信号对称性与傅氏级数的关系,
对实信号,有()xt kk AA ?? ?
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则有：
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表明,实信号的偶部对应于 的实部；奇部对应
于 的虚部。
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表明 关于 是奇对称的,且是纯虚数。?
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4.3 非周期信号与连续时间傅立叶变换：
（ Aperiodic signals & Continuous-time Fourier
Transform )
一,从傅里叶级数到傅里叶变换：
在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，
对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信
号的频谱表示，就是这一节要解决的问题。
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于
无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反
过来，如果对任何非周期信号进行周期性延拓，就
一定能形成一个周期信号。
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我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无
穷大时的极限，从而考查连续时间傅里叶级数在 T
趋于无穷时的变化，就应该能够得到对非周期信号
的频域表示方法。
周期性矩形脉冲信号的 傅里叶级数系数为：
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当 增大时，频谱的幅度随 的增大而下降；谱
线间隔随 增大而减小；频谱的包络不变。0
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当 时,周期性矩形脉冲信号将演变成
为非周期的单个矩形脉冲信号。 0T ??
当 时,
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由于 也随 增大而减小，并
最终趋于 0。
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考查 的变化，它在 时应该是有限的。
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于是,我们推断出,当 时,离散的频谱将演
变为连续的频谱。
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与周期信号的傅里叶级数相比较有：
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这表明,周期信号的频谱就是与它相对应的非周
期信号频谱的样本。
根据傅里叶级数表示：
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于是有,1
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此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连
续分布的振幅为 的复指数信号之和。
由于 具有频谱随频
率分布的物理含义，因而称 为 频谱密度函数。
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二, 常用信号的傅里叶变换：
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我们看到,实偶信号的傅里叶变换是实偶函数,此
时可以用一幅图表示信号的频谱。
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这表明 中 包括了所有的频率成分,所有频率
分量的幅度、相位都相同。 因此单位冲激响应
才能完全描述一个 LTI系统的特性,才在信号
与系统分析中具有如此重要的意义。
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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5,矩形脉冲, ()xt? 1,1tT?
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信号之间满足：
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(具有此频率特性的系统
称为 理想低通滤波器 )
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和矩形脉冲的情况相比
较,可以发现,信号在时
域和频域之间存在着一种
对偶关系,
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上例的对偶关系如图,
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同时可以看到,信号在时域和频域之间有一种
相反的关系,即信号在时域脉冲越窄，则其频谱
主瓣越宽，反之亦然。
对上例我们可以想到，如果,则 将
趋于一个冲激。
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
三,信号的带宽,( Bandwidth of Signals )
从信号的频谱，我们已经看到 信号的主要能量
集中于低频分量。事实上,传输信号的系统都
具有自己的频率特性。工程中在传输信号时，也
没有必要把信号的所有频率分量都有效地传输，
而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量
有效传输即可。因此，需要对信号定义带宽。通
常有如下定义带宽的方法,
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以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉
宽乘以带宽等于 C (脉宽带宽积是一个常数 )。这清
楚地反映了频域和时域的相反关系。
1,下降到最大值的 时对应的频率范围,
此时带内信号分量占有信号总能量的 1/2。
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对包络是 形状的频谱，通常定义主瓣宽
度 (即频谱第一个零点内的范围 )为信号带宽。
Sa( )x
2.
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4.4 吉布斯现象,( Gibbs phenomenon )
本节旨在解决信号分解为复指数信号线性组合的
广泛性问题。
一, 傅里叶级数的收敛,
傅里叶级数的收敛有两层含义：
? 是否存在 ; ? 级数是否收敛于,
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用有限个谐波分量近似 时，有：()xt
()xt若 以 为周期0T 0() jk t
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为：
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? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?? ? ? ????
? ?
在均方误差最小的准则下,可以证明：此时
应满足：
kA
?
?
0
00
1 () jk t
k TA x t e dtT
??? ?
—— 这就是傅氏级数的系数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
这表明,在均方误差最小的准则下，傅里叶级
数是对周期信号的最佳近似。
傅里叶级数收敛的两组条件：
1,平方可积条件,如果 则 必存
在 。 功率有限, 一定存在。
0
2()
T x t d t ??? kA
?
()xt ? kA
?
2,Dirichlet 条件,
1) 信号在任何周期内绝对可积
0
()T x t d t ???
2) 信号在任何有限区间内，只有有限个极值点，
且极值为有限值。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
3) 信号在任何有限区间内，只有有限个第一类间
断点。
0
0000
11 ( ) ( )jk t
k TTA x t e d t x t d tTT
??? ? ? ???
?
这两组条件并不完全等价。它们都是 傅里叶
级数收敛的充分条件 。相当广泛的信号都能满
足这两组条件中的一组，因而 用傅里叶级数表
示周期信号具有相当广泛的适用性。
几个不满足 Dirichlet 条件的信号
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
二, 傅里叶变换的收敛：
根据 傅里叶变换与傅里叶级数的关系，可以想到，
傅里叶变换的收敛条件应该和傅里叶级数的收敛条
件相类似。也有相应的两组条件：
1,若 2
()x t d t??? ???
则 存在。()Xj?
这表明,所有能量有限的信号其傅里叶变换一定存在。
2,Dirichlet 条件,
a,绝对可积条件
()x t dt??? ???
b,在任何有限区间内,只有有限个极值点，
且极值为有限值。
()xt
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c,在任何有限区间内,()xt 只有有限个第 1类间断点。
这些条件只是 傅里叶变换存在的充分条件,这两
组条件并不等价。
例如,是平方可积的，但是并不绝对可积。Sint
t
都不满足绝对可积，但傅里叶变换存在。
( ),ut
Sgn( )t
三, 吉布斯现象：
满足 Dirichlet条件的信号，其傅里叶级数是如何收
敛于 的。特别当 具有间断点时，在间断点
附近，如何收敛于？
()xt ()xt
()xt
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1898年 Michelson在用谐波分析仪研究周期信号时，
发现了意想不到的情况：对方波信号，用各个谐波
叠加时，在信号的间断点处始终存在振荡和超量，
并不随所取谐波分量的增加而有所减小。
1N? 3N?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
7N? 19N ?
100N ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
1899 年 Gibbs 解释了这一现象。
傅氏级数在信号的连续点处收敛于信号本身，
在间断点处收敛于间断点左右极限的平均值。用
有限项傅氏级数表示有间断点的信号时，在间断
点附近不可避免的会出现振荡和超量。超量的幅
度不会随项数的增加而减少。只是随着项数的增
多，振荡频率变高，向间断点处压缩，从而使它
所占有的能量逐步减少。
这正是由于 傅里叶级数是在均方误差最小的准则
下对信号的最佳近似 所导致的必然结果。
Gibbs现象表明：
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?()ut
1
0
t
1/2
()ut对非周期信号也是如此。以 为例：
1
1
1? ( ) ( )
2
jtu t U j e d
?
??? ? ?
???
将 在 处截断，则有()Uj?
1?
被截断后的频谱为：
? ( ) ( ) ( )U j U j W j? ? ? ? ?()Wj??
1,
0,
1||? ? ?
1||? ? ?
1 1 1
1
si n si n() ttwt
tt??
? ? ???
?
? ( ) ( ) ( )u t u t w t??在时域：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
?()ut
?
1
1.09
0.5
0
??
1xt??
11
1
sin? () t tu t d t
t???
????
??
11
0
1 s i n 1 1 s i n
2
ttxxd x d x
xx??
??
??
? ? ???
定义正弦积分：
0
s i nS i ( ) xxd ? ?
?? ?
则：
1
1? ( ) S i( )
2u t t? ? ?
正是这一原因，导
致了 Gibbs现象的产
生。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ）
到此为止,周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号
用傅里叶变换表示, 在涉及周期信号通过 LTI系统时,
会给分析带来不便,由于周期信号不满足 Dirichlet 条件,
因而不能直接从定义出发,建立其傅里叶变换表示。
0
0
1
( ) ( )
2
()
jt
jtjt
x t X j e d
e d e
?
?
?
?
??
?
??
??
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。
0( ) 2 ( )Xj ??? ? ? ? ?
考查 所对应的信号
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
若,则
0() jk tx t e ?? 0( ) 2 ( )X j k??? ? ? ? ?
于是当周期信号表示为傅里叶级数时：
0() jk t
k
k
x t A e
?
?
? ? ?
? ?
?
0( ) 2 ( )k
k
X j A k??
?
? ? ?
? ? ? ? ??
?
例 1：
00
0
1( ) S i n [ ]
2
j t j tx t t e e
j
? ? ?? ? ? ?
这表明,周期信号的傅里叶变换由一系列冲激组
成，每一个冲激分别位于信号各次谐波的频率处,
其强度正比于傅里叶级数的系数 。
kA
?
00( ) [ ( ) ( ) ]Xj j
? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
()Xj?
0??
0?
j
??
j
?
?
0
00
0
1( ) c o s [ ]
2
j t j tx t t e e? ? ?? ? ? ?
例 2：
00( ) [ ( ) ( ) ]Xj ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
()Xj?
? ?
0?? 0?
?
0
例 3：
( ) ( )
n
x t t n T?
?
? ? ?
???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
2/ 2 / 2
/ 2 / 2
1 1 1( ) ( )TT j k tTt e d t t d t
T T T
?
??
?
??
? ? ???kA
?
22( ) ( )
k
X j kTT???
?
? ? ?
? ? ? ??
TT? 2T2T? 0
()xt
t
1
()Xj?
0
2
T
?
2
T
??
2T?
?
( ) ( )
n
x t t n T?
?
? ? ?
??? 22( ) ( )
k
X j kTT???
?
? ? ?
? ? ? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
例 4：周期性矩形脉冲：
1
0
0
2
2 s i n ( )
2
( ) ( )
k
kT
T
X j k
kT
?
?
?
?
? ? ?
? ? ? ??
1T1T?
0
1
()xt
t
1
01
1
00
2s in
22
S a ( )k
Tk
TT
A k T
T T k
?
?
?
??
()Xj?
0
2
T
?
1
0
21
2
T
T ?
?
0
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.6 连续时间傅里叶变换的性质：
（ Properties of the Continuous-Time
Fourier Transform）
讨论连续时间傅里叶变换的性质，旨在通过这
些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系。
同时掌握和运用这些性质可以简化傅里叶变换对
的求取。
1,线性,（ linearity）
则,( ) ( ) ( ) ( )a x t b y t a X j b Y j? ? ? ? ?
( ) ( ),( ) ( )x t X j y t Y j? ? ? ?若
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2,时移,（ Time Shifting）
则,
00( ) ( ) jtx t t X j e ??? ? ?
这表明,信号的时移只影响它的相频特性，其相
频特性会增加一个线性相移。
( ) ( )x t X j??若
3,共轭对称性, (conjugate and symmetry)
若 ( ) ( )x t X j??
则 **( ) ( )x t X j? ? ?
由
( ) ( ) jtX j x t e dt? ?????? ? **( ) ( ) jtX j x t e d t? ????? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
所以
**( ) ( ) jtX j x t e dt? ??
??
? ? ? ?
即
**( ) ( )x t X j? ? ?
1 若 是实信号,则
()xt *( ) ( )x t x t?
于是有,
*( ) ( )X j X j? ? ? ?
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]X j X j? ? ? ?即 实部是偶函数
?若 则可得
( ) R e [ ( ) ] I m [ ( ) ]X j X j j X j? ? ? ? ?
虚部是奇函数I m [ ( ) ] I m [ ( ) ]X j X j? ? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
?若
()( ) ( ) j X jX j X j e ?? ? ?则可得出
( ) ( )X j X j? ? ? ? ( ) ( )X j X j? ? ? ? ?
即,模是偶函数，相位是奇函数。
? 如果 ( ) ( )x t x t?? 即信号是偶函数，则
( ) ( ) jtX j x t e dt? ?????? ?
( ) ( ) ( )j t jx t e d t x e d t X j???? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
表明,偶信号的傅里叶变换是偶函数。
*( ) ( )X j X j? ? ? ?
所以又因为
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
? 若 即信号是奇函数，同样可以得出：( ) ( )x t x t? ? ?
*( ) ( )X j X j? ? ?
表明,是实函数 。()Xj?
( ) ( )X j X j? ? ? ? ?表明,是奇函数()Xj?
*( ) ( )X j X j? ? ? ?表明,是虚函数()Xj?
? 若 ( ) ( ) ( )
eox t x t x t??
则有
( ) ( ) ( )eoX j X j jX j? ? ? ? ?
( ) ( )eeX j x t?? ( ) Re [ ( ) ]eX j X j? ? ?
( ) ( )oojX j x t?? ( ) I m [ ( ) ]oX j X j? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4,时域微分与积分,（ differential & integral ）
() ()d x t j X j
dt ? ? ?
(可将微分运算转变为代数运算 )
(将 1
( ) ( )2 jtx t X j e d? ? ?
??
? ? ??
两边对 微分即可证明 )t
由时域积分特性从, 也可得到,( ) 1t? ?
1( ) ( )ut
j ??? ? ??
1( ) ( ) ( 0) ( )t x d X j X
j? ? ? ??? ? ? ? ??? —— 时域积分特性
( ) ( )x t X j?? 则若
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
5,时域和频域的尺度变换,（ Scaling）
当 时,有1a ?? ( ) ( )x t X j? ? ? ?
尺度变换特性表明,信号如果在时域扩展 a 倍，
则其带宽相应压缩 a 倍，反之亦然。 这从理论上
证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的
脉宽带宽积等于常数的结论。
6,对偶性,（ Duality）
若 ( ) ( )x t X j?? 则 ( ) 2 ( )X jt x?? ? ?
( ) ( )x t X j?? 则,1( ) ( )x a t X j
aa
??若
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
由
( ) ( ) jtX j x t e dt? ?????? ?
得
1( ) ( ) 2 ( )
2
j t j tX j t x e d x e d?
?
?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ???
根据 ( ) ( )x t X j? ? ? ?
得
0 0( ) [ ( ) ]jtx t e X j? ? ? ? ?
这就是 移频特性
例如, 由 有对偶关系
利用 时移特性 有
再次对偶有
( ) ( )x t X j?? ( ) 2 ( )X jt x?? ? ?
00[ ( )] 2 ( ) jtX j t t x e? ??? ? ? ?
0 02 ( ) 2 [ ( ) ]jtx t e X j?? ??? ? ? ? ? ?
由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
也可由对偶性从时域微分特性得出 频域微分特性：
( ) ( )djtx t X jd? ? ??
( ) ( )x t X j?? ( ) 2 ( )X jt x?? ? ?由对偶性
利用 时域微分特性 有
( ) 2 ( )d X jt j xdt ?? ? ??
再次对偶得
2 ( ) 2 ( )
()
djtx t X j
d
?? ? ? ? ?
??
由
( ) ( )x t X j? ? ? ?
有
( ) ( )djtx t X jd? ? ??
—— 频域微分特性
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
由时域积分特性，可对偶出 频域积分特性,
( ) ( )x t X j?? ( ) 2 ( )X jt x?? ? ?由对偶性
利用 时域积分特性 有
()( ) 2 [ ( 0) ( ) ]t xX j d x
j? ? ? ? ???
??? ? ?
??
再次对偶
()2 [ ( 0 ) ( ) ] 2 ( )xt x t X j d
jt? ? ? ? ? ?
??
??
? ?? ?
() ( 0 ) ( ) ( )xt x t X j d
jt ? ? ? ?
?
??
??? ?
由 ( ) ( )x t X j? ? ? ?有
频域积分特性
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
7,Parseval 定理,
若 ( ) ( )x t X j?? 则
221( ) ( )
2x t d t X j d?
??
? ? ? ?
? ? ???
在傅里叶级数中有：
这表明,信号的能量既可以在时域求得，也可以在
频域求得。由于 表示了信号能量在频域的分
布，因而称其为, 能量谱密度, 函数。
2()Xj?
0
22
0
1 | ( ) | | |
kT
k
x t dt AT
?
? ??
? ??
2||kA 被称为 功率谱
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
8,卷积特性,（ Convolution Property）
若 ( ) ( )x t X j?? ( ) ( )h t H j??
则
( ) * ( ) ( ) ( )x t h t X j H j? ? ?
卷积特性的存在，使对 LTI系统在频域进行分析成
为可能。本质上，卷积特性成立正是因为复指数信
号是 LTI系统的特征函数。
9,调制特性,( Modulation Property )
若
11( ) ( )x t X j?? 22
( ) ( )x t X j??
则
1 2 1 2
1( ) ( ) ( ) ( )
2x t x t X j X j?? ? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
利用对偶性可以从 卷积特性 得出 调制特性,
11( ) 2 ( )X jt x?? ??
11( ) ( )x t X j??
22( ) 2 ( )X jt x?? ? ?
22( ) ( )x t X j??
21 2 1 2( ) ( ) 4 ( ) ( )X jt X jt x x?? ? ? ? ? ?
由卷积特性,
1 2 1 2
1( ) ( ) ( ) ( )
2x t x t X j X j?? ? ? ? ? ?
2 1 2 1 24 ( ) ( ) 2 ( ) ( )x t x t X j X j??? ? ? ? ? ? ? ? ?
再对偶,
两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制
另一个信号的幅度，这就是 幅度调制 。其中一个信号
称为 载波,另一个是 调制信号 。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.7 连续时间 LTI系统的频域分析,
( Analysis for the Continuous-Time LTI Systems
in Frequency-Domain )
一, LTI系统的频域分析,
由时域分析法, ( ) ( ) ( )y t x t h t??
根据卷积特性，在频域有, ( ) ( ) ( )Y j X j H j? ? ? ?
? 频域分析的步骤：
1.由 得出 。()xt
()Xj?
2,根据系统描述求出 。()Hj?
3,求出,
()Yj? ( ) ( ) ( )Y j X j H j? ? ? ?
4,做反变换，求出 。()yt
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
由于 的傅氏变换 就是频率为 的复指
数信号 通过 LTI系统时，系统对输入信号在幅
度上产生的影响，所以称为系统的 频率响应 。
()ht ()Hj? ?
jte ?
二, 系统的频率响应：
鉴于 与 是一一对应的，因而 LTI系统可
以由其频率响应完全表征。并非任何系统的
都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于
对稳定系统。
()ht ()Hj?
()Hj?
? 很容易得出：
系统级联时，频率响应相乘；系统并联时，频率
响应相加。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
1()Hj? 2()Hj?
1()ht 2()ht
12( ) ( ) ( )H j H j H j? ? ? ?
2()Hj?
1()Hj?
+
12( ) ( ) ( )H j H j H j? ? ? ? ?
? 对由 LCCDE描述的 LTI系统：
00
( ) ( )kkNN
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt??
???
对 LCCDE两边进行傅里叶变换有：
00
( ) ( ) ( ) ( )
NN
kk
kk
kk
a j Y j b j X j
??
? ? ? ? ???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
0
0
()
()
()
()
()
N
k
k
k
N
k
k
k
bj
Yj
Hj
Xj
aj
?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
?
是 有理函数 。
三, 信号的不失真传输条件：
()( ) | ( ) | XjX j X j e ?? ? ?
幅度失真,由于 改变所引起的失真。
相位失真,由于 改变所引起的失真。
| ( ) |Xj?
()Xj?
? 在不同的应用场合，对幅度失真和相位失真
有不同的要求，表现出不同的敏感程度。
? 在声音传输中，主要关注幅度失真；在图象、
图形传输中主要关注相位失真。
swf
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
如果
0( ) ( ) ( )x t y t k x t t? ? ?
则认为传输中未发生失真。此时，有：
0( ) ( ) jtY j k X j e ??? ? ?
即
0() jtH j k e ????
| ( ) |H j k?? 0()H j t? ? ? ?
表明,系统的幅频特性应为常数，相频特性应呈线性。
由于物理可实现的系统，其幅频特性与相频特性是
相互制约的，严格说来，失真是不可避免的。工程应
用中只能在信号带宽内尽量满足这一要求。并且在不
同的应用场合，应对 幅度失真 和 相位失真 提出不同的
要求，在二者之间作出恰当折衷。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
四, 理想低通滤波器,
()Hj?
?
c?c??
0
1
|| c? ? ?
|| c? ? ?
滤波器的通带
滤波器的阻带
c?
滤波器的截止频率
s in( ) s in ( )c c c
lp
tth t c
t? ? ?
? ? ???
显然,是非因果的 。
这表明理想低通滤波器
是 物理不可实现的 。
()lpht
一切理想滤波器都是非因果的，物理不可实现的。
t
c
?
?
c
?
?()
lpht
0
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.8 幅度调制, ( Amplitude Modulation )
? 一般的 通信系统 总是由以下环节组成,
调制 是指用一个信号去控制另一个信号的某一个参量
的过程。被控制的信号称为 载波 ( Carrier Wave ),控
制信号称为 调制信号 ( Modulation Signal )。
变
换
器 发送系统
信道 接收系统
变
换
器
消息 信号 信号 消息
调制 解调
幅度调制是最简单、也是应用最广泛的调制方式。
?在通信系统中 调制 与 解调 是基本的技术。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
在幅度调制中，视载波的不同，有 正弦幅度调制
和 脉冲幅度调制 。
一, DSB( Double-Side Band )调制与同步解调,
幅度调制的数学模型是乘法器。 为 调制信号
(基带信号 ),为 载波, 为 已调信号 。
当 时称为 正弦幅度调制。
()xt
( ) ( ) ( )y t x t c t?
( ) c os( )cc t t ?? ? ?
()ct
()xt
()ct
()yt
()xtcos
ct?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
从已调信号恢复调制信号的过程称为 解调 。
若 ( ) ( ) c o s
cy t x t t??
则 ? ?
? ? ? ?? ?
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
cc
cc
Y j X j
X j X j
? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
()Xj?
M?M??
?
上边带下边带
这种调制在 中保留了 的上、下两个
边带，因此称为 双边带正弦幅度调制 。
()Xj?()Yj?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
()Xj?
()Cj?
()Yj?
M?M??
?
?
?
c?c??
c?c?? cM? ? ?cM? ??cM?? ? ? cM?? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
表明, 对基带信号进行正弦幅度调制，就等于
在频域将基带信号的频谱搬移到载频的位置。
为了接收端能从 恢复成,要求频谱搬
移过程中不发生频谱重叠。
为此，应满足：
1, 必须带限于
2,
()yt ()xt
()xt M?
cM? ? ?
同步解调,( Synchronous demodulation )
将 再次与同频载波相乘 有：()yt
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2( ) ( ) c os ( ) c os
11
( ) ( ) c os 2
22
cc
c
w t y t t x t t
x t x t t
? ? ? ?
? ? ?
cos ct?
()Hj?
在频域有：
? ? ? ?? ?1( ) ( ) ( )2 ccW j Y j Y j? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ?11 ( ) ( 2 ) ( 2 )24 ccX j X j X j? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
显然，只要滤掉第二项即可实现对 的恢复。
()xt
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?
?
?
()Yj?
()Cj?
()Wj? ()Hj?
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1/2
1/2
2 c?2 c?? 2 cM? ? ?2 cM? ??WW? M?M??
1/4 1/4
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
载波相位的影响,
假定调制时的载波
解调时的载波
1 ( ) c o s( ),ccc t t ?? ? ?
2 ( ) c o s( )ccc t t ?? ? ?
,则
( ) ( ) c os( ) c os( )
11
( ) c os( ) ( ) c os( 2 )
22
c c c c
c c c c c
w t x t t t
x t x t t
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c o s ( )cc???
是一个常数。此时，可以通过前面
讨论的解调系统实现解调。
当 不随时间变化，而且 时,
cc???
2cc
???? ? ?
当 时，不能实现解调。
2cc
???? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
可见，必须要求 调制和解调时所使用的 载波不仅
要严格同频，而且要相位同步 (以保证相位差
与时间无关 )。这种解调方法称为 同步解调 。
cc???
技术实现的关键,
采用频率合成技术以保证载波的频率准确度和频
率稳定度；采用锁相技术以保证相位同步。
这种解调方式只适用于点对点的通信。
二, AM调制与包络解调,( Envelope Demodulation )
要想从已调信号的包络解调出原基带信号，必须要
求已调信号的包络完全保留基带信号的形状，即要求
调制信号始终非负 。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
为此，要在 DSB调制方案中加入足够大的载波分量。
cos ct?
? ?( ) ( ) c o s cy t A x t t? ? ?
m a x()A x t?
当 时，已调信号的包络与调制信号相同。
只需通过简单的 包络检波器 即可实现从已调信号中解
调出 。
()xt
11
cM
RCff??
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这种调制方式被称为 标准的 AM调制 。
包络解调付出的代价 是发送功率的浪费。因为加
入的载波并不携带任何有用信息，这部分功率的发
射对有用信息的传输是无用的。
如果,定义 为 调制指数,
显然 。在不对称调制的情况下，
m a x()x t K?
/KA
01m??
m
m a x
a
AAm
A
?? 称为 上调幅指数 ；
m in
b
AAm
A
?? 称为 下调幅指数 ；
在对称调制时，
m a x m in
m a x m in
ab
AAm m m
AA
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?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
c?? c?0
?
AA
2
A 2A
A
当调制信号是单音正弦时，在 的情况下，
已调信号的频谱：
特例
1m ?
此时，已调信号的平均功率是载波功率的 1.5 倍，
而这些功率中真正用于传输有用信息的边带功率只
是载波功率的 1/2，只占整个已调信号功率的 1/3。
已调信号的最大峰值等于载波峰值的 2倍，这要求
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发射机的峰值功率容限是载波功率的 4 倍，发射机
的效率是很低的。
m a x
1.5 3 37.5%
48
c
c
P
P
? ? ? ?
从功率利用的角度,越大越好；从包络检波的
效果来看,越小越好。因此，在包络解调中，通
常折衷地取 。
m
m
0,5 0,8m ?
三, 频分复用 FDM,(Frequency Division Multiplexing)
? 信道具有相应的频率特性，不同信道对不同频段
的信号具有最佳传输特性。
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? 信道具有比信号带宽大得多的频带。
频分复用可以大大提高信道资源的利用率。
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cos bt?
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? 对频分多路复用信号解调时，首先要 解复用 。
从复用信号的频谱中利用带通滤波器滤出所需
的一路信号，然后对该路信号进行解调。
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1()Hj? 2()Hj?
a?a??
WW?
cos at?
四, PAM调制与时分复用：
当载波是脉冲串时，称
为 脉冲幅度调制,( Pulse
Amplitude Modulation )。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
只要 的最高频率 满足,()xt
M?
2 2 /M T???
即可保证在 中不发生频谱的重叠,可以用理
想低通滤波器从已调信号中解调出 。
()Yj?
()xt
时分复用的思想,
脉冲串载波的情况下能否解调出,与脉宽
无关，从时域角度看，在一个周期内可以为每一路
信号分配一个时隙，依次传送多路信号。
()xt ?
W低通的截止频率 要满足,
2
MMW T
?? ? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
时分多路复用 TDM,( Time Division Multiplexing )
? 在脉冲串载波的每个周期里，依次为各路信号分配
一个相应的时隙，在该时隙内传送这一路信号。只要
各路信号的时隙彼此不重叠，就可以实现多路信号的
同时传送。在接收端通过循回检测实现解复用。
? TDM制式与脉冲宽度无关，在极限情况下，可以使
0??,此时载波脉冲变为均匀冲激串，这就是对
信号在时域采样的情况。
? 随着 的减小，为保证一定的抗噪声性能，需要
增大载波脉冲的幅度。
?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.9 连续时间信号的时域采样,（ Sampling )
在日常生活中，常可以看到用离散时间信号表示
连续时间信号的例子。如传真的照片、电视屏幕的
画面、电影胶片等等，这些都表明连续时间信号与
离散时间信号之间存在着密切的联系。在一定条件
下，可以用离散时间信号代替连续时间信号而并不
丢失原来信号所包含的信息。
几个实际例子：
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例 1,一幅新闻照片
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
局部放大后的图片：
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例 2,另一幅新闻照片：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
局部放大后的图片：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
例 3,CCD芯片的光显微图：
m?
mm
CCD芯片用 VLSI技术制造。被分为许多微小区，
每个小区的尺寸为 13*11 （ 对应一个象素），在
10*9.3 面积上有 500*582 个象素。
当光成象在 CCD芯片
上时，就在这些空间离
散的象素点上被采样，
而生成了离散时间图象
信号。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
研究连续时间信号与离散时间信号之间的关系主要
包括,
1,在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的离
散时间样本来代替而不致丢失原有的信息。
2,如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地恢
复成原来的连续时间信号。
一, 采样定理 ( Theorem of Sampling )
在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的过
程称为 采样 。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
? 一维连续时间信号采样的例子：
在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信号
采样所得到的样本序列不能唯一地确定原来的连续
时间信号。
对同一个连续时间信号，当采样间隔不同时也会
得到不同的样本序列。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
? 采样的数学模型：
()xt ()pxt
()pt
在时域，
( ) ( ) ( )px t x t p t?
在频域,
1( ) ( ) ( )
2p
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? 冲激串采样 (理想采样 ):
( ) ( )
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( ) ( )
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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t
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(0)x
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在频域，由于
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n
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所以
2
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??? 称为采样频率。
可见,在时域对连续时间信号进行冲激串采样，就相
当于在频域将信号的频谱以 为周期进行延拓。
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信
号，就意味着要能从 中不失真地分离
出 。这就要求 在周期性延拓时不能
发生频谱的混叠。为此必须要求,
1,必须是带限的，最高频率分量为 。
2,采样间隔 (周期 )不能是任意的，必须保证
采样频率, 。
()pXj?
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()pXj?
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s?? M
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1
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sM? ? ?此时可由以下系统实现信号的恢复：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
()xt
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()pt
()Hj? ()rxt
0
c?? c?
()Hj?
T
?
对带限于最高频率 的连续时间信号,如果
以 的频率进行理想采样，则 可以唯一
的由其样本 确定。
M? ()xt
2sM? ? ? ()xt
()x nT
? Nyquist 采样定理,
? 在工程实际应用中，理想滤波器是不可实现的。而
非理想滤波器一定有过渡带，因此 实际采样时,必
须大于 ； 低通滤波器的截止频率必须满足,2
M?
s?
()M c s M? ? ? ? ? ? ?，并具有 倍的通带增益。T
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
二, 信号的内插恢复：
若 是理想低通的单位冲激响应，则
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p
n
x t x t h t x n T t n T h t?
?
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( ) ( )
n
x n T h t n T
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???
这表明,理想内插时，以理想低通滤波器的单位
冲激响应为内插函数。
Si n Si n( ) Si n c ( )c c c c c
c
T T t th t t T
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?
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()
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???
???
这种内插称为 时域中的带限内插。
三, 欠采样与频谱混叠,（ Under Sampling & Aliasing）
如果采样时，不满足采样定理的要求，就一定会
使 的频谱在周期性延拓的过程中出现 频谱混叠
的现象。
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
1
T
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此时，即使通过理想低通也不会得到原信号。但
是无论怎样，恢复所得的信号 与原信号 在
采样点上将具有相同的值。
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例,
0( ) c osx t t??
的频谱
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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当 时,
产生频谱混叠。
0( ) c o s( )rsx t t? ? ? ?
恢复的信号为
的频谱
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?
T
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
从用样本代替信号的角度出发，出现欠采样的情
况是工程应用中不希望的。
欠采样的某些应用,
显然，当 时,t nT?
0( ) c o s( )rsx n T n T? ? ? ?
00c o s c o s Sin Sinssn T n T n T n T? ? ? ? ? ? ? ?
0c os ( )nT x nT? ? ? 2/s T???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
1,采样示波器,
2,频闪测速,
旋转圆盘
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频闪器
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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1 2 3 4
0
4
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.10 频域采样,（ Sampling in Frequency Domain )
采样的本质是将连续变量的函数离散化。因此，
在频域也可以对连续的频谱进行采样。这一过程与
时域采样是完全对偶的。
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在时域有：
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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这表明,对信号的频谱在频域理想采样，相当于在时
域将信号以 为周期无限延拓。
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
要使频域采样的样本能完全代表原信号，就必须保
证周期性延拓时，不发生信号的重叠。为此要求：
1.信号 必须时限于 。()xt
MT
2.
0
22
MT
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即
0
2
MMTT
???
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此时，可以通过矩形窗从周期性延拓的信号中截取
出原信号。
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0| | /t ???
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
在频域，从频谱的样本重建连续频谱的 频域时限
内插 过程是 以矩形窗的频谱作为内插函数 实现的。
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kX j X k?
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??应该指出：
带限信号一定不时限；时限信号一定不带限。 因
此，对带限信号在频域采样时，频谱的样本不能代
表原信号。对时限信号在时域采样，情况也是如此。
0( ) 2 sin c ( / )Wj ?? ? ? ?
内插函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
小结,（ Summary )
本章主要讨论了以下问题：
1,建立了连续时间周期信号与非周期信号的频域描
述方法 —— 傅里叶级数与傅里叶变换。
2,通过傅立叶变换性质的讨论，研究了信号时域特
性与频域特性的关系。
3,对连续时间 LTI系统建立了频域分析的方法。讨论
了信号传输中的失真及不失真传输条件。
4,应用频域分析的方法，讨论了通信中的幅度调制。
5,作为连续时间与离散时间信号的桥梁，讨论了信号
的时域和频域采样。
连续时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
? 连续时间傅里叶级数及其性质
? 连续时间傅里叶变换及其性质
? 周期信号和非周期信号的频谱分析
? 连续时间 LTI系统的频域分析
? 抽样和抽样定理
本章主要内容：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
傅里叶的生平：
?1768年生于法国
?1807年提出“任何周期函数
都可用正弦函数级数表示”
?拉格朗日反对发表
?1822年首次发表在“热的分
析理论”一书中
?1829年狄里赫利第一个给出
收敛条件
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
傅里叶最主要的两个贡献 ——
?,周期函数都可以表示为成谐波关系的正弦
函数的加权和” —— 傅里叶的第一个主要
论点。
?“非周期函数都可以用正弦函数的加权积
分表示” —— 傅里叶的第二个主要论点。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.0 引言 （ Introduction）
? 时域分析方法的基本思想：
1,将信号在时域分解成 或 的线性组合。()t? ()n?
()ht
()hn
2,利用 LTI系统的线性与时不变性，得出系统的
响应可表示为单位冲激响应,或单位脉冲响
应 的线性组合 —— 卷积积分与卷积和 。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
频域分析的基本思想与此相同，即：设法将任意
信号分解成 复指数单元信号 的线性组合，利用 LTI
系统的线性与时不变性求得系统的响应。其响应应
该是系统对复指数单元信号的响应的线性组合。
1,本身简单,以便 LTI系统对它的响应能简便得到。
2,具有普遍性,能够用以构成相当广泛的信号。
? 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足
两个要求：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.1 连续时间 LTI系统的特征函数,
( The Eigenfunction of Continuous-time LTI Systems )
?考查 LTI系统对复指数信号 的响应ste
( ) ( )ste h t y t??
由时域分析方法，
()( ) ( ) ( ) ( )s t s t s s ty t e h d e h e d H s e??? ? ? ?????
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( ) ( ) stH s h t e dt? ???? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
ste
可见 LTI系统对复指数信号的响应是很容易求
得的。说明 符合对单元信号的第一项要求。
特征函数 （ Eigenfunction）
如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以
一个常数，则称该信号是这个系统的 特征函数。
系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数
相对应的 特征值 ( eigenvalue )。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
? 复指数函数 是一切连续时间 LTI系统的特征函
数 。 是系统与复指数信号相对应的特征值。
ste
()Hs
? 不同的 LTI系统可能会有不同的特征函数，但 只
有复指数函数才能成为一切 LTI系统的特征函数。
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若,则：
可见，只要能实现将信号分解为 的线性组
合，系统对任何信号的响应就迎刃而解了。
ste
本章先研究 时的情况。sj??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.2 周期信号与连续时间傅里叶级数：
（ Periodic signals & Continuous-time Fourier Series )
成谐波关系的复指数信号集,
其中，每个信号都是以 为周期的，公共周期
为,且该集合中所有信号都是彼此独立的。
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显然 也以 为周期，该级数就是 傅里叶级数 。()xt
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如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，有
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
这表明：用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号。
即,连续时间周期信号可以分解成无数多个谐波分量。
一,连续时间傅里叶级数（ CTFS):
（ Continuous-time Fourier Series )
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若 是实信号，则,( ) ( )x t x t??()xt
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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将级数改写，可得到：
—— 傅里叶级数的三角函数形式。
令 得到 另一种三角函数形式,kkk jbaA ??
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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由, 和 推得,kk AA ?? ? ??
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表明,的 模是偶函数,的 相角是奇函数。
,k k k ka a b b??? ? ?
kkk jbaA ??
?
kk AA ?? ?
??由,和 推得：
kA
?
表明, 的 实部是偶函数,的 虚部是奇函数。kA
?
对 LTI系统，当输入周期信号时，由于
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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tje 0? tjeH 0)( 0 ??
tjke 0? tjkekH 0)( 0 ??
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k
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k
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显然,也是一个傅里叶级数表达式,其系数是
)( 0?kHA k
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二, 傅里叶级数的系数,
如果以 为周期的信号 可以表示为傅里叶级数,()xt
0T
dtethkH tjk??? ??? ?? 0)()( 0其中,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
三, 频谱的概念,（ Spectral）
研究 中的每一个信号，它们除了成谐波关
系外，每一个信号随时间 的变化规律都是一样
的，差别仅仅是频率不同。
()k t?
t
在傅里叶级数中，各个信号分量（谐 波分量）间
的区别也仅仅是幅度（可以是 复数）和频率不同。
因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用
线段的位置表示相应的频率。
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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如：分量 可表示为
0jte ?
这样绘出的图称为
—— 频谱图
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0
1c o s ( )
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j t j tt e e? ? ?? ? ?
因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数
时，就可以将 表示为
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0A
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2A?
1A?
?
…… ……
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，也
即 的关系。由于信号的频谱完全代表了信
号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这
种表示信号的方法称为 频域表示法 。
kA
?
?
kA ?
四, 周期性矩形脉冲信号的频谱,
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0
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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T k T T T T
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其中 s in
S a ( ) xx x? s ins in c ( ) xx x???
根据 可绘出 的频谱图。 称为 占空比 。()xt
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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不变 时
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
周期性矩形脉冲信号的频谱特征：
1,离散性 2,谐波性 3,收敛性
考查周期 和脉冲宽度 改变时频谱的变化：
0T 12T
1.当 不变，改变 时，随 使占空比减小，
谱线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不
变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。
2,当 改变,不变时，随 使占空比减小，
谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络
主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。
1T
1T?0T
0T?
1T
0T
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
五, 信号对称性与傅氏级数的关系,
对实信号,有()xt kk AA ?? ?
??
1 若 ( ) ( )x t x t?? 则：
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k k k
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表明 关于 是偶对称的；
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kA
k
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kkAA ???
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
3
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则有：
eo( ),( )kkx t a x t jb??
表明,实信号的偶部对应于 的实部；奇部对应
于 的虚部。
kA
kA?
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2 若 ( ) ( )x t x t? ? ? 则：
kkAA ???
?? ??
kkAA???
表明 关于 是奇对称的,且是纯虚数。?
kA
k
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022
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2
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.3 非周期信号与连续时间傅立叶变换：
（ Aperiodic signals & Continuous-time Fourier
Transform )
一,从傅里叶级数到傅里叶变换：
在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，
对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信
号的频谱表示，就是这一节要解决的问题。
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于
无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反
过来，如果对任何非周期信号进行周期性延拓，就
一定能形成一个周期信号。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无
穷大时的极限，从而考查连续时间傅里叶级数在 T
趋于无穷时的变化，就应该能够得到对非周期信号
的频域表示方法。
周期性矩形脉冲信号的 傅里叶级数系数为：
011
0 0 1
s i n2
k
kTTA
T k T
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?
?
当 增大时，频谱的幅度随 的增大而下降；谱
线间隔随 增大而减小；频谱的包络不变。0
T 0T
0T
0
0
2
T
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
当 时,周期性矩形脉冲信号将演变成
为非周期的单个矩形脉冲信号。 0T ??
当 时,
0
0
2,d
T
?? ? ? ? 0k ? ? ?0T ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
由于 也随 增大而减小，并
最终趋于 0。
011
0 0 1
s i n2
k
kTTA
T k T
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0T
考查 的变化，它在 时应该是有限的。
0 kTA
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0T ??
于是,我们推断出,当 时,离散的频谱将演
变为连续的频谱。
0T ??
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如果令 则有
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
与周期信号的傅里叶级数相比较有：
0
0
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kA X jkT??
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这表明,周期信号的频谱就是与它相对应的非周
期信号频谱的样本。
根据傅里叶级数表示：
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0
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0
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
当 时，
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于是有,1
( ) ( )2 jtx t X j e d? ? ?
??
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此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连
续分布的振幅为 的复指数信号之和。
由于 具有频谱随频
率分布的物理含义，因而称 为 频谱密度函数。
1 ()
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0 0 0
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
二, 常用信号的傅里叶变换：
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22
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
2,( ),0atx t e a???
我们看到,实偶信号的傅里叶变换是实偶函数,此
时可以用一幅图表示信号的频谱。
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3,( ) ( )x t t??
( ) ( ) 1jtX j t e d t?? ????? ? ??
0
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t
这表明 中 包括了所有的频率成分,所有频率
分量的幅度、相位都相同。 因此单位冲激响应
才能完全描述一个 LTI系统的特性,才在信号
与系统分析中具有如此重要的意义。
()t?
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0
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
5,矩形脉冲, ()xt? 1,1tT?
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显然，和对应的周期
信号之间满足：
0
0
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1T
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12T
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
(具有此频率特性的系统
称为 理想低通滤波器 )
()Xj?
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W? W
1
0
和矩形脉冲的情况相比
较,可以发现,信号在时
域和频域之间存在着一种
对偶关系,
1 S i n
()
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S a ( ) S i nc ( )
W
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W
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
上例的对偶关系如图,
1T1T?
0
()xt 1
t
1T
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0
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1
0
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t
0
12T
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()Xj?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
同时可以看到,信号在时域和频域之间有一种
相反的关系,即信号在时域脉冲越窄，则其频谱
主瓣越宽，反之亦然。
对上例我们可以想到，如果,则 将
趋于一个冲激。
W ?? ()xt
7,若,则有( ) 1xt ? ( ) 2 ( ),Xj ??? ? ?
因为 11
()22W jt
W
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所以
( ) 1 2 ( )xt ??? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
三,信号的带宽,( Bandwidth of Signals )
从信号的频谱，我们已经看到 信号的主要能量
集中于低频分量。事实上,传输信号的系统都
具有自己的频率特性。工程中在传输信号时，也
没有必要把信号的所有频率分量都有效地传输，
而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量
有效传输即可。因此，需要对信号定义带宽。通
常有如下定义带宽的方法,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉
宽乘以带宽等于 C (脉宽带宽积是一个常数 )。这清
楚地反映了频域和时域的相反关系。
1,下降到最大值的 时对应的频率范围,
此时带内信号分量占有信号总能量的 1/2。
()X ? 1/ 2
对包络是 形状的频谱，通常定义主瓣宽
度 (即频谱第一个零点内的范围 )为信号带宽。
Sa( )x
2.
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.4 吉布斯现象,( Gibbs phenomenon )
本节旨在解决信号分解为复指数信号线性组合的
广泛性问题。
一, 傅里叶级数的收敛,
傅里叶级数的收敛有两层含义：
? 是否存在 ; ? 级数是否收敛于,
kA
?
()xt
用有限个谐波分量近似 时，有：()xt
()xt若 以 为周期0T 0() jk t
k
k
x t A e
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? ?
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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Nk
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? ?
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误差为 ( ) ( ) ( )
NNe t x t x t??
以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为：
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22
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k N k N
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T
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? ? ? ?? ? ? ????
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在均方误差最小的准则下,可以证明：此时
应满足：
kA
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?
0
00
1 () jk t
k TA x t e dtT
??? ?
—— 这就是傅氏级数的系数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
这表明,在均方误差最小的准则下，傅里叶级
数是对周期信号的最佳近似。
傅里叶级数收敛的两组条件：
1,平方可积条件,如果 则 必存
在 。 功率有限, 一定存在。
0
2()
T x t d t ??? kA
?
()xt ? kA
?
2,Dirichlet 条件,
1) 信号在任何周期内绝对可积
0
()T x t d t ???
2) 信号在任何有限区间内，只有有限个极值点，
且极值为有限值。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
3) 信号在任何有限区间内，只有有限个第一类间
断点。
0
0000
11 ( ) ( )jk t
k TTA x t e d t x t d tTT
??? ? ? ???
?
这两组条件并不完全等价。它们都是 傅里叶
级数收敛的充分条件 。相当广泛的信号都能满
足这两组条件中的一组，因而 用傅里叶级数表
示周期信号具有相当广泛的适用性。
几个不满足 Dirichlet 条件的信号
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
二, 傅里叶变换的收敛：
根据 傅里叶变换与傅里叶级数的关系，可以想到，
傅里叶变换的收敛条件应该和傅里叶级数的收敛条
件相类似。也有相应的两组条件：
1,若 2
()x t d t??? ???
则 存在。()Xj?
这表明,所有能量有限的信号其傅里叶变换一定存在。
2,Dirichlet 条件,
a,绝对可积条件
()x t dt??? ???
b,在任何有限区间内,只有有限个极值点，
且极值为有限值。
()xt
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
c,在任何有限区间内,()xt 只有有限个第 1类间断点。
这些条件只是 傅里叶变换存在的充分条件,这两
组条件并不等价。
例如,是平方可积的，但是并不绝对可积。Sint
t
都不满足绝对可积，但傅里叶变换存在。
( ),ut
Sgn( )t
三, 吉布斯现象：
满足 Dirichlet条件的信号，其傅里叶级数是如何收
敛于 的。特别当 具有间断点时，在间断点
附近，如何收敛于？
()xt ()xt
()xt
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
1898年 Michelson在用谐波分析仪研究周期信号时，
发现了意想不到的情况：对方波信号，用各个谐波
叠加时，在信号的间断点处始终存在振荡和超量，
并不随所取谐波分量的增加而有所减小。
1N? 3N?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
7N? 19N ?
100N ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
1899 年 Gibbs 解释了这一现象。
傅氏级数在信号的连续点处收敛于信号本身，
在间断点处收敛于间断点左右极限的平均值。用
有限项傅氏级数表示有间断点的信号时，在间断
点附近不可避免的会出现振荡和超量。超量的幅
度不会随项数的增加而减少。只是随着项数的增
多，振荡频率变高，向间断点处压缩，从而使它
所占有的能量逐步减少。
这正是由于 傅里叶级数是在均方误差最小的准则
下对信号的最佳近似 所导致的必然结果。
Gibbs现象表明：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
?()ut
1
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1/2
()ut对非周期信号也是如此。以 为例：
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1
1? ( ) ( )
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???
将 在 处截断，则有()Uj?
1?
被截断后的频谱为：
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1,
0,
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1||? ? ?
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si n si n() ttwt
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定义正弦积分：
0
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则：
1
1? ( ) S i( )
2u t t? ? ?
正是这一原因，导
致了 Gibbs现象的产
生。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ）
到此为止,周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号
用傅里叶变换表示, 在涉及周期信号通过 LTI系统时,
会给分析带来不便,由于周期信号不满足 Dirichlet 条件,
因而不能直接从定义出发,建立其傅里叶变换表示。
0
0
1
( ) ( )
2
()
jt
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x t X j e d
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这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。
0( ) 2 ( )Xj ??? ? ? ? ?
考查 所对应的信号
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
若,则
0() jk tx t e ?? 0( ) 2 ( )X j k??? ? ? ? ?
于是当周期信号表示为傅里叶级数时：
0() jk t
k
k
x t A e
?
?
? ? ?
? ?
?
0( ) 2 ( )k
k
X j A k??
?
? ? ?
? ? ? ? ??
?
例 1：
00
0
1( ) S i n [ ]
2
j t j tx t t e e
j
? ? ?? ? ? ?
这表明,周期信号的傅里叶变换由一系列冲激组
成，每一个冲激分别位于信号各次谐波的频率处,
其强度正比于傅里叶级数的系数 。
kA
?
00( ) [ ( ) ( ) ]Xj j
? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
()Xj?
0??
0?
j
??
j
?
?
0
00
0
1( ) c o s [ ]
2
j t j tx t t e e? ? ?? ? ? ?
例 2：
00( ) [ ( ) ( ) ]Xj ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
()Xj?
? ?
0?? 0?
?
0
例 3：
( ) ( )
n
x t t n T?
?
? ? ?
???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
2/ 2 / 2
/ 2 / 2
1 1 1( ) ( )TT j k tTt e d t t d t
T T T
?
??
?
??
? ? ???kA
?
22( ) ( )
k
X j kTT???
?
? ? ?
? ? ? ??
TT? 2T2T? 0
()xt
t
1
()Xj?
0
2
T
?
2
T
??
2T?
?
( ) ( )
n
x t t n T?
?
? ? ?
??? 22( ) ( )
k
X j kTT???
?
? ? ?
? ? ? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
例 4：周期性矩形脉冲：
1
0
0
2
2 s i n ( )
2
( ) ( )
k
kT
T
X j k
kT
?
?
?
?
? ? ?
? ? ? ??
1T1T?
0
1
()xt
t
1
01
1
00
2s in
22
S a ( )k
Tk
TT
A k T
T T k
?
?
?
??
()Xj?
0
2
T
?
1
0
21
2
T
T ?
?
0
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.6 连续时间傅里叶变换的性质：
（ Properties of the Continuous-Time
Fourier Transform）
讨论连续时间傅里叶变换的性质，旨在通过这
些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系。
同时掌握和运用这些性质可以简化傅里叶变换对
的求取。
1,线性,（ linearity）
则,( ) ( ) ( ) ( )a x t b y t a X j b Y j? ? ? ? ?
( ) ( ),( ) ( )x t X j y t Y j? ? ? ?若
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
2,时移,（ Time Shifting）
则,
00( ) ( ) jtx t t X j e ??? ? ?
这表明,信号的时移只影响它的相频特性，其相
频特性会增加一个线性相移。
( ) ( )x t X j??若
3,共轭对称性, (conjugate and symmetry)
若 ( ) ( )x t X j??
则 **( ) ( )x t X j? ? ?
由
( ) ( ) jtX j x t e dt? ?????? ? **( ) ( ) jtX j x t e d t? ????? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
所以
**( ) ( ) jtX j x t e dt? ??
??
? ? ? ?
即
**( ) ( )x t X j? ? ?
1 若 是实信号,则
()xt *( ) ( )x t x t?
于是有,
*( ) ( )X j X j? ? ? ?
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]X j X j? ? ? ?即 实部是偶函数
?若 则可得
( ) R e [ ( ) ] I m [ ( ) ]X j X j j X j? ? ? ? ?
虚部是奇函数I m [ ( ) ] I m [ ( ) ]X j X j? ? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
?若
()( ) ( ) j X jX j X j e ?? ? ?则可得出
( ) ( )X j X j? ? ? ? ( ) ( )X j X j? ? ? ? ?
即,模是偶函数，相位是奇函数。
? 如果 ( ) ( )x t x t?? 即信号是偶函数，则
( ) ( ) jtX j x t e dt? ?????? ?
( ) ( ) ( )j t jx t e d t x e d t X j???? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
表明,偶信号的傅里叶变换是偶函数。
*( ) ( )X j X j? ? ? ?
所以又因为
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
? 若 即信号是奇函数，同样可以得出：( ) ( )x t x t? ? ?
*( ) ( )X j X j? ? ?
表明,是实函数 。()Xj?
( ) ( )X j X j? ? ? ? ?表明,是奇函数()Xj?
*( ) ( )X j X j? ? ? ?表明,是虚函数()Xj?
? 若 ( ) ( ) ( )
eox t x t x t??
则有
( ) ( ) ( )eoX j X j jX j? ? ? ? ?
( ) ( )eeX j x t?? ( ) Re [ ( ) ]eX j X j? ? ?
( ) ( )oojX j x t?? ( ) I m [ ( ) ]oX j X j? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4,时域微分与积分,（ differential & integral ）
() ()d x t j X j
dt ? ? ?
(可将微分运算转变为代数运算 )
(将 1
( ) ( )2 jtx t X j e d? ? ?
??
? ? ??
两边对 微分即可证明 )t
由时域积分特性从, 也可得到,( ) 1t? ?
1( ) ( )ut
j ??? ? ??
1( ) ( ) ( 0) ( )t x d X j X
j? ? ? ??? ? ? ? ??? —— 时域积分特性
( ) ( )x t X j?? 则若
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
5,时域和频域的尺度变换,（ Scaling）
当 时,有1a ?? ( ) ( )x t X j? ? ? ?
尺度变换特性表明,信号如果在时域扩展 a 倍，
则其带宽相应压缩 a 倍，反之亦然。 这从理论上
证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的
脉宽带宽积等于常数的结论。
6,对偶性,（ Duality）
若 ( ) ( )x t X j?? 则 ( ) 2 ( )X jt x?? ? ?
( ) ( )x t X j?? 则,1( ) ( )x a t X j
aa
??若
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
由
( ) ( ) jtX j x t e dt? ?????? ?
得
1( ) ( ) 2 ( )
2
j t j tX j t x e d x e d?
?
?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ???
根据 ( ) ( )x t X j? ? ? ?
得
0 0( ) [ ( ) ]jtx t e X j? ? ? ? ?
这就是 移频特性
例如, 由 有对偶关系
利用 时移特性 有
再次对偶有
( ) ( )x t X j?? ( ) 2 ( )X jt x?? ? ?
00[ ( )] 2 ( ) jtX j t t x e? ??? ? ? ?
0 02 ( ) 2 [ ( ) ]jtx t e X j?? ??? ? ? ? ? ?
由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
也可由对偶性从时域微分特性得出 频域微分特性：
( ) ( )djtx t X jd? ? ??
( ) ( )x t X j?? ( ) 2 ( )X jt x?? ? ?由对偶性
利用 时域微分特性 有
( ) 2 ( )d X jt j xdt ?? ? ??
再次对偶得
2 ( ) 2 ( )
()
djtx t X j
d
?? ? ? ? ?
??
由
( ) ( )x t X j? ? ? ?
有
( ) ( )djtx t X jd? ? ??
—— 频域微分特性
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
由时域积分特性，可对偶出 频域积分特性,
( ) ( )x t X j?? ( ) 2 ( )X jt x?? ? ?由对偶性
利用 时域积分特性 有
()( ) 2 [ ( 0) ( ) ]t xX j d x
j? ? ? ? ???
??? ? ?
??
再次对偶
()2 [ ( 0 ) ( ) ] 2 ( )xt x t X j d
jt? ? ? ? ? ?
??
??
? ?? ?
() ( 0 ) ( ) ( )xt x t X j d
jt ? ? ? ?
?
??
??? ?
由 ( ) ( )x t X j? ? ? ?有
频域积分特性
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
7,Parseval 定理,
若 ( ) ( )x t X j?? 则
221( ) ( )
2x t d t X j d?
??
? ? ? ?
? ? ???
在傅里叶级数中有：
这表明,信号的能量既可以在时域求得，也可以在
频域求得。由于 表示了信号能量在频域的分
布，因而称其为, 能量谱密度, 函数。
2()Xj?
0
22
0
1 | ( ) | | |
kT
k
x t dt AT
?
? ??
? ??
2||kA 被称为 功率谱
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
8,卷积特性,（ Convolution Property）
若 ( ) ( )x t X j?? ( ) ( )h t H j??
则
( ) * ( ) ( ) ( )x t h t X j H j? ? ?
卷积特性的存在，使对 LTI系统在频域进行分析成
为可能。本质上，卷积特性成立正是因为复指数信
号是 LTI系统的特征函数。
9,调制特性,( Modulation Property )
若
11( ) ( )x t X j?? 22
( ) ( )x t X j??
则
1 2 1 2
1( ) ( ) ( ) ( )
2x t x t X j X j?? ? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
利用对偶性可以从 卷积特性 得出 调制特性,
11( ) 2 ( )X jt x?? ??
11( ) ( )x t X j??
22( ) 2 ( )X jt x?? ? ?
22( ) ( )x t X j??
21 2 1 2( ) ( ) 4 ( ) ( )X jt X jt x x?? ? ? ? ? ?
由卷积特性,
1 2 1 2
1( ) ( ) ( ) ( )
2x t x t X j X j?? ? ? ? ? ?
2 1 2 1 24 ( ) ( ) 2 ( ) ( )x t x t X j X j??? ? ? ? ? ? ? ? ?
再对偶,
两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制
另一个信号的幅度，这就是 幅度调制 。其中一个信号
称为 载波,另一个是 调制信号 。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.7 连续时间 LTI系统的频域分析,
( Analysis for the Continuous-Time LTI Systems
in Frequency-Domain )
一, LTI系统的频域分析,
由时域分析法, ( ) ( ) ( )y t x t h t??
根据卷积特性，在频域有, ( ) ( ) ( )Y j X j H j? ? ? ?
? 频域分析的步骤：
1.由 得出 。()xt
()Xj?
2,根据系统描述求出 。()Hj?
3,求出,
()Yj? ( ) ( ) ( )Y j X j H j? ? ? ?
4,做反变换，求出 。()yt
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
由于 的傅氏变换 就是频率为 的复指
数信号 通过 LTI系统时，系统对输入信号在幅
度上产生的影响，所以称为系统的 频率响应 。
()ht ()Hj? ?
jte ?
二, 系统的频率响应：
鉴于 与 是一一对应的，因而 LTI系统可
以由其频率响应完全表征。并非任何系统的
都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于
对稳定系统。
()ht ()Hj?
()Hj?
? 很容易得出：
系统级联时，频率响应相乘；系统并联时，频率
响应相加。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
1()Hj? 2()Hj?
1()ht 2()ht
12( ) ( ) ( )H j H j H j? ? ? ?
2()Hj?
1()Hj?
+
12( ) ( ) ( )H j H j H j? ? ? ? ?
? 对由 LCCDE描述的 LTI系统：
00
( ) ( )kkNN
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt??
???
对 LCCDE两边进行傅里叶变换有：
00
( ) ( ) ( ) ( )
NN
kk
kk
kk
a j Y j b j X j
??
? ? ? ? ???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
0
0
()
()
()
()
()
N
k
k
k
N
k
k
k
bj
Yj
Hj
Xj
aj
?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
?
是 有理函数 。
三, 信号的不失真传输条件：
()( ) | ( ) | XjX j X j e ?? ? ?
幅度失真,由于 改变所引起的失真。
相位失真,由于 改变所引起的失真。
| ( ) |Xj?
()Xj?
? 在不同的应用场合，对幅度失真和相位失真
有不同的要求，表现出不同的敏感程度。
? 在声音传输中，主要关注幅度失真；在图象、
图形传输中主要关注相位失真。
swf
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
如果
0( ) ( ) ( )x t y t k x t t? ? ?
则认为传输中未发生失真。此时，有：
0( ) ( ) jtY j k X j e ??? ? ?
即
0() jtH j k e ????
| ( ) |H j k?? 0()H j t? ? ? ?
表明,系统的幅频特性应为常数，相频特性应呈线性。
由于物理可实现的系统，其幅频特性与相频特性是
相互制约的，严格说来，失真是不可避免的。工程应
用中只能在信号带宽内尽量满足这一要求。并且在不
同的应用场合，应对 幅度失真 和 相位失真 提出不同的
要求，在二者之间作出恰当折衷。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
四, 理想低通滤波器,
()Hj?
?
c?c??
0
1
|| c? ? ?
|| c? ? ?
滤波器的通带
滤波器的阻带
c?
滤波器的截止频率
s in( ) s in ( )c c c
lp
tth t c
t? ? ?
? ? ???
显然,是非因果的 。
这表明理想低通滤波器
是 物理不可实现的 。
()lpht
一切理想滤波器都是非因果的，物理不可实现的。
t
c
?
?
c
?
?()
lpht
0
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
4.8 幅度调制, ( Amplitude Modulation )
? 一般的 通信系统 总是由以下环节组成,
调制 是指用一个信号去控制另一个信号的某一个参量
的过程。被控制的信号称为 载波 ( Carrier Wave ),控
制信号称为 调制信号 ( Modulation Signal )。
变
换
器 发送系统
信道 接收系统
变
换
器
消息 信号 信号 消息
调制 解调
幅度调制是最简单、也是应用最广泛的调制方式。
?在通信系统中 调制 与 解调 是基本的技术。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
在幅度调制中，视载波的不同，有 正弦幅度调制
和 脉冲幅度调制 。
一, DSB( Double-Side Band )调制与同步解调,
幅度调制的数学模型是乘法器。 为 调制信号
(基带信号 ),为 载波, 为 已调信号 。
当 时称为 正弦幅度调制。
()xt
( ) ( ) ( )y t x t c t?
( ) c os( )cc t t ?? ? ?
()ct
()xt
()ct
()yt
()xtcos
ct?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
从已调信号恢复调制信号的过程称为 解调 。
若 ( ) ( ) c o s
cy t x t t??
则 ? ?
? ? ? ?? ?
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
cc
cc
Y j X j
X j X j
? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
()Xj?
M?M??
?
上边带下边带
这种调制在 中保留了 的上、下两个
边带，因此称为 双边带正弦幅度调制 。
()Xj?()Yj?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
()Xj?
()Cj?
()Yj?
M?M??
?
?
?
c?c??
c?c?? cM? ? ?cM? ??cM?? ? ? cM?? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
表明, 对基带信号进行正弦幅度调制，就等于
在频域将基带信号的频谱搬移到载频的位置。
为了接收端能从 恢复成,要求频谱搬
移过程中不发生频谱重叠。
为此，应满足：
1, 必须带限于
2,
()yt ()xt
()xt M?
cM? ? ?
同步解调,( Synchronous demodulation )
将 再次与同频载波相乘 有：()yt
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
2( ) ( ) c os ( ) c os
11
( ) ( ) c os 2
22
cc
c
w t y t t x t t
x t x t t
? ? ? ?
? ? ?
cos ct?
()Hj?
在频域有：
? ? ? ?? ?1( ) ( ) ( )2 ccW j Y j Y j? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ?11 ( ) ( 2 ) ( 2 )24 ccX j X j X j? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
显然，只要滤掉第二项即可实现对 的恢复。
()xt
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
?
?
?
()Yj?
()Cj?
()Wj? ()Hj?
c? cM? ??cM? ??c??cM?? ? ? cM?? ? ?
c?c??
()? ()?
1/2
1/2
2 c?2 c?? 2 cM? ? ?2 cM? ??WW? M?M??
1/4 1/4
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
载波相位的影响,
假定调制时的载波
解调时的载波
1 ( ) c o s( ),ccc t t ?? ? ?
2 ( ) c o s( )ccc t t ?? ? ?
,则
( ) ( ) c os( ) c os( )
11
( ) c os( ) ( ) c os( 2 )
22
c c c c
c c c c c
w t x t t t
x t x t t
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
c o s ( )cc???
是一个常数。此时，可以通过前面
讨论的解调系统实现解调。
当 不随时间变化，而且 时,
cc???
2cc
???? ? ?
当 时，不能实现解调。
2cc
???? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
可见，必须要求 调制和解调时所使用的 载波不仅
要严格同频，而且要相位同步 (以保证相位差
与时间无关 )。这种解调方法称为 同步解调 。
cc???
技术实现的关键,
采用频率合成技术以保证载波的频率准确度和频
率稳定度；采用锁相技术以保证相位同步。
这种解调方式只适用于点对点的通信。
二, AM调制与包络解调,( Envelope Demodulation )
要想从已调信号的包络解调出原基带信号，必须要
求已调信号的包络完全保留基带信号的形状，即要求
调制信号始终非负 。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
为此，要在 DSB调制方案中加入足够大的载波分量。
cos ct?
? ?( ) ( ) c o s cy t A x t t? ? ?
m a x()A x t?
当 时，已调信号的包络与调制信号相同。
只需通过简单的 包络检波器 即可实现从已调信号中解
调出 。
()xt
11
cM
RCff??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
这种调制方式被称为 标准的 AM调制 。
包络解调付出的代价 是发送功率的浪费。因为加
入的载波并不携带任何有用信息，这部分功率的发
射对有用信息的传输是无用的。
如果,定义 为 调制指数,
显然 。在不对称调制的情况下，
m a x()x t K?
/KA
01m??
m
m a x
a
AAm
A
?? 称为 上调幅指数 ；
m in
b
AAm
A
?? 称为 下调幅指数 ；
在对称调制时，
m a x m in
m a x m in
ab
AAm m m
AA
?? ? ?
?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
c?? c?0
?
AA
2
A 2A
A
当调制信号是单音正弦时，在 的情况下，
已调信号的频谱：
特例
1m ?
此时，已调信号的平均功率是载波功率的 1.5 倍，
而这些功率中真正用于传输有用信息的边带功率只
是载波功率的 1/2，只占整个已调信号功率的 1/3。
已调信号的最大峰值等于载波峰值的 2倍，这要求
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
发射机的峰值功率容限是载波功率的 4 倍，发射机
的效率是很低的。
m a x
1.5 3 37.5%
48
c
c
P
P
? ? ? ?
从功率利用的角度,越大越好；从包络检波的
效果来看,越小越好。因此，在包络解调中，通
常折衷地取 。
m
m
0,5 0,8m ?
三, 频分复用 FDM,(Frequency Division Multiplexing)
? 信道具有相应的频率特性，不同信道对不同频段
的信号具有最佳传输特性。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
? 信道具有比信号带宽大得多的频带。
频分复用可以大大提高信道资源的利用率。
cos at?
cos bt?
cos ct?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
()aXj?
?
0
1M?1M??
()bXj?
?
0
2M?2M??
()cXj?
?
0
3M?3M??
?
()Yj?
0
a? b? c?a??b??c??
? 对频分多路复用信号解调时，首先要 解复用 。
从复用信号的频谱中利用带通滤波器滤出所需
的一路信号，然后对该路信号进行解调。
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1()Hj? 2()Hj?
a?a??
WW?
cos at?
四, PAM调制与时分复用：
当载波是脉冲串时，称
为 脉冲幅度调制,( Pulse
Amplitude Modulation )。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
s i nc( )
s i n
s i n
k
Ak
TT
k
T
T
k
T
k
T
k
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
()Xj?
()Cj?
()Yj?
?
?
?
M?M??
1
2/T??
2/T?2/T??
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M?M??
2
MT
? ??2
MT
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2( ) 2 ( )
k
k
C j A kT???
?
? ? ?
? ? ? ??
1
( ) ( ) ( )
2
2
()k
k
Y j X j C j
A X j k
T
?
??
? ??
? ? ? ? ?
??
? ? ???
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
只要 的最高频率 满足,()xt
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即可保证在 中不发生频谱的重叠,可以用理
想低通滤波器从已调信号中解调出 。
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()xt
时分复用的思想,
脉冲串载波的情况下能否解调出,与脉宽
无关，从时域角度看，在一个周期内可以为每一路
信号分配一个时隙，依次传送多路信号。
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W低通的截止频率 要满足,
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时分多路复用 TDM,( Time Division Multiplexing )
? 在脉冲串载波的每个周期里，依次为各路信号分配
一个相应的时隙，在该时隙内传送这一路信号。只要
各路信号的时隙彼此不重叠，就可以实现多路信号的
同时传送。在接收端通过循回检测实现解复用。
? TDM制式与脉冲宽度无关，在极限情况下，可以使
0??,此时载波脉冲变为均匀冲激串，这就是对
信号在时域采样的情况。
? 随着 的减小，为保证一定的抗噪声性能，需要
增大载波脉冲的幅度。
?
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4.9 连续时间信号的时域采样,（ Sampling )
在日常生活中，常可以看到用离散时间信号表示
连续时间信号的例子。如传真的照片、电视屏幕的
画面、电影胶片等等，这些都表明连续时间信号与
离散时间信号之间存在着密切的联系。在一定条件
下，可以用离散时间信号代替连续时间信号而并不
丢失原来信号所包含的信息。
几个实际例子：
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例 1,一幅新闻照片
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局部放大后的图片：
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例 2,另一幅新闻照片：
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局部放大后的图片：
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例 3,CCD芯片的光显微图：
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mm
CCD芯片用 VLSI技术制造。被分为许多微小区，
每个小区的尺寸为 13*11 （ 对应一个象素），在
10*9.3 面积上有 500*582 个象素。
当光成象在 CCD芯片
上时，就在这些空间离
散的象素点上被采样，
而生成了离散时间图象
信号。
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研究连续时间信号与离散时间信号之间的关系主要
包括,
1,在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的离
散时间样本来代替而不致丢失原有的信息。
2,如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地恢
复成原来的连续时间信号。
一, 采样定理 ( Theorem of Sampling )
在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的过
程称为 采样 。
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? 一维连续时间信号采样的例子：
在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信号
采样所得到的样本序列不能唯一地确定原来的连续
时间信号。
对同一个连续时间信号，当采样间隔不同时也会
得到不同的样本序列。
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? 采样的数学模型：
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在时域，
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在频域,
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? 冲激串采样 (理想采样 ):
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
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所以
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可见,在时域对连续时间信号进行冲激串采样，就相
当于在频域将信号的频谱以 为周期进行延拓。
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信
号，就意味着要能从 中不失真地分离
出 。这就要求 在周期性延拓时不能
发生频谱的混叠。为此必须要求,
1,必须是带限的，最高频率分量为 。
2,采样间隔 (周期 )不能是任意的，必须保证
采样频率, 。
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sM? ? ?此时可由以下系统实现信号的恢复：
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()Hj?
T
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对带限于最高频率 的连续时间信号,如果
以 的频率进行理想采样，则 可以唯一
的由其样本 确定。
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()x nT
? Nyquist 采样定理,
? 在工程实际应用中，理想滤波器是不可实现的。而
非理想滤波器一定有过渡带，因此 实际采样时,必
须大于 ； 低通滤波器的截止频率必须满足,2
M?
s?
()M c s M? ? ? ? ? ? ?，并具有 倍的通带增益。T
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二, 信号的内插恢复：
若 是理想低通的单位冲激响应，则
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x t x t h t x n T t n T h t?
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这表明,理想内插时，以理想低通滤波器的单位
冲激响应为内插函数。
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这种内插称为 时域中的带限内插。
三, 欠采样与频谱混叠,（ Under Sampling & Aliasing）
如果采样时，不满足采样定理的要求，就一定会
使 的频谱在周期性延拓的过程中出现 频谱混叠
的现象。
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此时，即使通过理想低通也不会得到原信号。但
是无论怎样，恢复所得的信号 与原信号 在
采样点上将具有相同的值。
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例,
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的频谱
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当 时,
产生频谱混叠。
0( ) c o s( )rsx t t? ? ? ?
恢复的信号为
的频谱
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
从用样本代替信号的角度出发，出现欠采样的情
况是工程应用中不希望的。
欠采样的某些应用,
显然，当 时,t nT?
0( ) c o s( )rsx n T n T? ? ? ?
00c o s c o s Sin Sinssn T n T n T n T? ? ? ? ? ? ? ?
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1,采样示波器,
2,频闪测速,
旋转圆盘
0?
s?
频闪器
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1 2 3 4
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4
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4.10 频域采样,（ Sampling in Frequency Domain )
采样的本质是将连续变量的函数离散化。因此，
在频域也可以对连续的频谱进行采样。这一过程与
时域采样是完全对偶的。
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在时域有：
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这表明,对信号的频谱在频域理想采样，相当于在时
域将信号以 为周期无限延拓。
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
要使频域采样的样本能完全代表原信号，就必须保
证周期性延拓时，不发生信号的重叠。为此要求：
1.信号 必须时限于 。()xt
MT
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即
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此时，可以通过矩形窗从周期性延拓的信号中截取
出原信号。
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第四章：连续时间信号与系统的频域分析
在频域，从频谱的样本重建连续频谱的 频域时限
内插 过程是 以矩形窗的频谱作为内插函数 实现的。
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??应该指出：
带限信号一定不时限；时限信号一定不带限。 因
此，对带限信号在频域采样时，频谱的样本不能代
表原信号。对时限信号在时域采样，情况也是如此。
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内插函数
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小结,（ Summary )
本章主要讨论了以下问题：
1,建立了连续时间周期信号与非周期信号的频域描
述方法 —— 傅里叶级数与傅里叶变换。
2,通过傅立叶变换性质的讨论，研究了信号时域特
性与频域特性的关系。
3,对连续时间 LTI系统建立了频域分析的方法。讨论
了信号传输中的失真及不失真传输条件。
4,应用频域分析的方法，讨论了通信中的幅度调制。
5,作为连续时间与离散时间信号的桥梁，讨论了信号
的时域和频域采样。
