第七章 Z— 变换
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
本章主要内容
1,双边 Z变换及其收敛域 ROC。
2,ROC的特征，各类信号的 ROC，零极点图。
4,Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。
3,Z变换的性质,常用信号的 Z变换。
5,用 Z变换表征 LTI系统，系统函数,LTI系统
的 Z变换分析法。
6,单边 Z变换，增量线性系统的分析。
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7.0 引言, ( Introduction )
nn zzHnhz )()( ??
在第 5章，已讨论过复指数信号是一切 LTI系统的
特征函数 其中
( ) ( ) n
n
H z h n z
?
??
? ?
当 ?jez ? 时，上式就是 离散时间傅立叶变换 。
( ) ( )j j n
n
H e h n e??
?
?
? ??
? ?
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Z 变换与拉氏变换相对应，也是离散时间傅立
叶变换的推广。
本章讨论更一般的情况 （即 时），
称为 z 变换 。
?jrez ?
Z 变换的许多性质及其分析方法和基本思想都
与拉氏变换有相似之处。 当然,Z 变换与拉氏变
换也存在着一些重要的差异。
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7.1 双边 Z 变换,( The Z-Transform )
( ) ( ) n
n
X z x n z
?
?
? ? ?
? ?
jz re ??其中 是一个复数 。
一, 定义,
1r? jze ??当, 时，即成为 离散时间傅立叶
变换 。
二,z变换与离散时间傅立叶变换的关系：
])([)()()( nnj
n
nj rnxFernxreXzX ??
?
???
? ??? ? ??
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这表明,的 Z 变换就等于对 做 DTFT。
因此,Z 变换是对 DTFT的推广 。
()xn () nx n r ?
jze??当 即 时,Z变换就成为离散时间傅
立叶变换，故,DTFT是 Z 变换 的特例 。
1r?
由于 在 Z平面上是单位圆，因此也
可以说,DTFT是在单位圆上所做的 Z 变换。
1,jr z e ???
所以,Z变换是离散时间傅立叶变换的推广，它
的适用范围更广，收敛性更强。
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三,Z 变换与拉氏变换的关系：
)()()( nTtnTxtx
n
ap ?? ?
?
???
? )()( nTxnx a?
设 是对连续时间信号 理想采样后而得到
的序列。
)(txa()xn
)(txp
对 做拉氏变换有：
s n T
n
ap enTxsX
?
?
???
?? )()(
)(txa )(txp
??
???
??
n
nTttp )()( ?
对 做 z 变换有：
n
n
a znTxzX
?
?
???
?? )()(
()xn
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( ) ( )sT pzeX z X s???
这表明,采样信号的拉氏变换与采样所得序列的 z
变换之间，本质上是一种映射关系。即通过
将 s平面上的 映射成 z 平面上的 。
sTez ?
)(sX p ()Xz
,Tr e T? ?? ? ? ?
0,1 ; 0,1 ; 0,1r r r? ? ?? ? ? ? ? ?
显然
sTze? jz re ??,由,,将 Z 改写为sj?? ? ?
,? ? ?? ? ?
TT
??? ? ? ? 0,? ? 0??
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四, Z 变换与 DFT的关系：
)(nx
jT?
j?
?
jT??
1
Re
jIm
sTze?
如果 是有限长序列，长度为 N，则其 Z变换为：
?
?
?
??
1
0
)()(
N
n
nznxzX
()xn
此映射关系如图所示：
对 在单位圆上采样可得：()Xz
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??
?
?
?
?
?
? ???
1
0
1
0
2
)()()(
N
n
kn
N
N
n
kn
N
j
Wz WnxenxzX kN
?
)(nx对 做 N点 DFT有：
?
?
?
?
1
0
)()(
N
n
kn
NWnxkX
kNjk
N eWz
zXkX ?2)()( ?? ???
N
?2 这表明,有限长序列的 DFT就是对该序列的 z 变换
在单位圆上以 为间隔采样所得的样本 。这是必然的。
因为在单位圆上的 z变换就是 DTFT，也就是 的频
谱。对 z 变换在单位圆上均匀采样，就是对信号 的频
谱采样，这就是 DFT与频域采样的关系。
2
N
?
()xn
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7.2 Z 变换的收敛域,
( The ROC for the Z-Transform )
1,并非任何信号的 Z 变换都存在。
由于 z变换是一个无穷级数,与 DTFT一样存在着
收敛的问题，这意味着：
2,并非 Z 平面上的任何复数都能使 收敛。
()Xz
()Xz
()Xz
3,Z 平面上那些能使 收敛的点的集合就构成
了 的 ROC。
几个具体的例子：
一, Z 变换的收敛问题,
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例 1,( ) ( )
nx n a u n?
1
0
1()
1
nn
n
X z a z
az
?
?
?
?
??
??
时收敛
za?
当 时 的 DTFT存在。
1a ? ()xn
1()
1
j
jXe ae
?
??? ?
za?
此时,ROC包括了单位圆 。
单位圆
1a
Im
Re
Z平面
例 2,( ) ( )x n u n?
1
0
1()
1
n
n
X z z
z
?
?
?
?
??
??
1z ?
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此时,ROC不包括单位圆,
所以 不能从 简单通过将
得到 。
()Xz
z je? ()jXe ?
Im
Re
Z平面
1
例 3.
( ) ( 1 )nx n a u n? ? ? ?
1
1
() n n n n
nn
X z a z a z
??
??
? ? ? ?
? ? ? ???
1
11
1
11
az
a z az
?
??? ? ??? za?
a 1
Re
Z平面
单位圆
Im
?
?
jez
j zXeX
?? )()(
()Xz当 的收敛域包括单位圆时
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例 4,1
( ) ( ) ( ) 2 ( 1 )2 nnx n u n u n? ? ? ?
1
0
1
1
1
( ) ( ) 2
2
11
1 12
1
2
n n n n
nn
X z z z
z
z
??
??
? ? ? ?
?
?
??
??
?
?
??
2
1/2
Z平面 Im
Re
以上实例说明,不同的信号可能具有相同的 z变换
式，只是 ROC不同,因此 ROC是至关重要的。 只有
z 变换式连同相应的 ROC，才能与信号建立一一对应
的关系。
1 2
2R O C, z??
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例 5.
)1()21()()31()( ???? nununx nn
1
0
11( ) ( ) ( )
32
n n n n
nn
X z z z
??
?
? ? ? ?
????
11
11
1111
32
zz??
??
??
，
一般情况下,的 ROC是 Z 平面上一个以原点
为中心的圆环。
()Xz
2
1
3
1 ?? zROC:
1/2
Z平面Im
Re1/3
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表明该信号的 z变换不存在 。
例 6,)()( nnx ??
( ) ( ) 1n
n
X z n z?
?
?
? ? ?
???
ROC为整个 z平面。
11
11
()
11
11
23
Xz
zz??
??
??
)1()31()()21()( ???? nununx nn
若
1 / 3z ?1 / 2z ?
无公共区域
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二, Z 变换的几何表示 — 零极点图,
(()()
( ) )
i
p
zzNzX z M
D z z
????
??
）
（z
如果 是有理函数：
()Xz
pz
iz
称为零点
称为极点
在 z 平面上标出 的全部零极点，就构成了 零极
点图 。它与实际的 最多只相差一个常数因子。
如果在零极点图上同时标出 ROC，这就是 的几
何表示，除了相差一个常数因子外，它与有理 z 变换
是等价的。
()Xz
()Xz
()Xz
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三, ROC的特征,
由例子可以看出,ROC是由 的极点位置决定
的,ROC有如下几个特征,
()Xz
1,ROC是 z 平面上以原点为中心的环形区域。
由于, 对给定的,
Z变换收敛与否只取决于,而与 无关。
])([)]([ nrnxFnxZ ??
?r
()xn
rz ?
是 z平面上以原点为中心,r为半径的圆，
所以 ROC是以原点为中心的同心圆构成的环域。
2,ROC内无极点。
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3.有限长序列的 ROC是整个有限 z平面，可能不包含
0z? ||z ??和 。
21
2
1
)()( NnNznxzX
N
Nn
n ??? ?
?
?
120,0NN??
a,当 时和式中既有 z 的正幂项，又
有 z 的负幂项。 ROC不包括 z=0 和 。
??z
01 ?N
b,当 时，和式中只有 z 的负幂项,ROC不
包括 z＝ 0，但包括 。
??z
02 ?N
c,当 时，和式中只有 z 的正幂项,ROC不
包括,但包括 z＝ 0。
??z
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4,右边序列的 ROC是最外部极点的外部，但可能不
包括 。
??z
1
1( ) ( ),
n
nN
X z x n z N n
?
?
?
? ? ? ??
设 是右边序列,时，()xn
1nN? ( ) 0xn ?
由 有
0 R O Czr??
1
0()
n
nN
x n r
? ?
?
??? 10rr?
，若
11
0
10
1
( ) ( ) ( )nn n
n N n N
rx n r x n r
r
??
??
??
????
则
1
1
0
0
1
( ) ( )n N
nN
rx n r
r
?
?
?
? ? ? ?? 1 R O Czr? ? ?
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当 时，由于 展开式中有若干个 Z 的正
幂项，此时 不能为 。
1 0N ?
z
()Xz
?
5,左边序列的 ROC是最内部极点的内部，但可能
不包括 。0z?
10rr?0 RO Cr ?
若,,则
11
1
1
0
10
1
0
0
1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
NN
nn n
nn
N
n N
n
r
x n r x n r
r
r
x n r
r
??
? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
??
? ? ? ?
??
?
1 R O Cr??
当 时，由于 的展开式中包括有若干 Z
1 0N ? ()Xz
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的负幂项，此时 Z 不能为零。
6,双边序列的 Z 变换如果存在，则 ROC必定是一
个环形区域。
例 1.
0,
()xn ? ?
,0 1,na n N? ? ? 0a?
其它 n
1
11
0
1()
1 ( )
N N N NN
nn
N
n
a z z aX z a z
az z z a
??
?
??
?
??? ? ?
???
极点,za? （一阶）
0z? （ N－ 1阶）
零点,2jkNz ae ?? ( 0,1 1 )kN? ??? ?
R O C, 0z ?
a? a0( 1)N?
? ?jIm z
? ?Re z
( 8)N ?
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在 处，零极点抵消,在有限 z平面内无极点 。za?
例 2,( ),0nx n b b??
( ) ( ) ( 1 )nnx n b u n b u n?? ? ? ?
1
1( ),
1
nb u n z b
bz ????
1
11
1( 1 ),
1
nb u n z b
bz
??
??? ? ? ? ??
在 时，两部分收敛域无公共部分，表明此
时 不存在。
1b?
()Xz
01b?? 时,ROC为 1/b z b??
b
1/b
Z平面Im
Re? ?
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例 3.
11
1()
1(1 ) (1 2 )
3
Xz
zz??
?
??
在有限 Z平面上极点总数与零点总数相同。
? ?
1/3 2
Re
Im
0
(2)
零点：
121,23zz??
0z? （二阶） ?
极点：
若其 ROC为：
1 2z ? 则 为右边序列，且是因果的，但其傅
立叶变换 不存在。
()xn
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2 1
3z ? ()xn
时 是左边序列，且是反因果的，
其傅立叶变换 不存在。
3 1
23 z?? ()xn
时 是双边序列，但其傅立叶变换
存在。
ROC是否包括 是 是否因果的标志。
z ?? ()xn
0z? ()xnROC是否包括,是 是否反因果的标志。
ROC包括单位圆，是 傅立叶变换存在的充分
必要条件。
()xn
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7.3 Z变换的性质, ( Properties of the Z-Transform )
Z变换的许多性质与 DTFT的性质相似，其推论方
法也相同。主要讨论其 ROC的变化，借以揭示信号
在时域与在 Z 域的特性之间的关系。
1,线性：
则
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x n b x n a X z b X z? ? ?
ROC,包括 12RR
11( ) ( )x n X z? 1RO C, R
22( ) ( )x n X z? 2RO C, R
若
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如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，则
ROC可能会扩大。
2,时移：
R O C, R 0z? z ??但在 和 可能会有增删。
( ) ( )x n X z? R O C, R若
00( ) ( ) nx n n X z z ???
则
? 由于信号的时移有可能会改变其因果性，故 ROC
在,或 有可能改变。0z?
z ??
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3,频移：
)()( zXnx ? R O C, R
若
00( ) ( )j n jx n e X z e?? ??? RO C, R
则
零极点位置将旋转一个角度 。
0?
?? ??0 )()1)(( zXnx n ???
当 时，有 零极点旋转 180
??
?
0?
0???Re Re
Im Im
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4,Z域尺度变换,( ) ( )x n X z? R O C, R若
00( ) ( / )
nz x n X z z?
0R O C, zR
则
0z z R??
当 时，即为移频特性。
00 jze ??
zR?
时 收敛，则 时,收敛，
()Xz
0
z R
z
? 0( / )X z z
若 是一般复数 则 的零极点不
仅要将 的零极点逆时针旋转一个角度,而且
在径向有 倍的尺度变化。因此,ROC也有一个
的尺度变换。
0z 000
jz r e ??
0( / )X z z
()Xz 0?
0r 0
||z
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1/2
0 2r ?Re
Im
0?
Re
Im
5,时域反转：
( ) ( )x n X z? R O C, R若
1( ) ( )x n X z ??? R O C,1 / R
(收敛域边界倒置 )则
信号在时域反转，会引起 的零极点分布按倒
量对称发生改变。如果 是 的零 /极点，则
就是 的零 /极点。
()Xz
iz 1/ iz
1()Xz?
()Xz
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即, 与 的 零极点呈共轭倒量对称。()Xz
1()Xz?
例：
()Xz 的 ROC为 13
22z??
则 的 ROC为1()Xz? 2
23 z??
6,时域内插,
1/ iz
iz
iz?
1/ iz?
Re0
jIm
( ) ( )x n X z? ROC, R
()kxn ?
?
()nx k
0
n 为 的整数倍k
其它 n
若
（在序列的每两点之
间插入 k-1个零）
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则
( ) ( )kkx n X z? 1/R O C, kR
( ) ( ) ( ) ( )n rk kkk
nr
X z x n z x r z X z
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ???
7,共轭对称性：
当 是实信号时，,于是有()xn * ( ) ( )x n x n?
**( ) ( )X z X z?
表明：如果 有 复数零极点，必共轭成对出现。()Xz
( ) ( )x n X z? R O C,R
* * *( ) ( )x n X z? R O C,R
若
则
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8,卷积性质：
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x n x n X z X z?? 12RRROC
包括
如果在相乘时出现零极点抵消的情况，则 ROC可
能会扩大。
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
n
nm
x n x n x m x n m z
??
?
? ? ? ? ? ?
? ? ???
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
m
m
x m X z z X z X z
?
?
? ? ?
???
卷积性质是 LTI系统 Z变换分析法的理论基础。
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9,Z域微分,( ) ( )x n X z? ROC, R
()() d X zn x n z
dz??
ROC, R
例 1.
1( ) l n( 1 )X z az ??? za?
2
1
()
1
d X z a z
d z a z
?
?
??
?
利用该性质可以方便地求出某些非有理函数
的反变换或具有高阶极点的 的反变换。
()Xz
()Xz
1
1
1
() ( ) ( 1 ) ( )
1
nd X z a zz a a u n n x n
d z a z
?
?
?? ? ? ? ? ??
1 1( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )nnax n a u n a u n
nn
?? ? ? ? ? ? ? ?
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例 2,1
12() (1 )
azXz
az
?
?? ? za?
1
1?( ) ( )
1
na u n X Z
az ??? ?
za?
2
1 1 2
1()
1 ( 1 )
d a z
d z a z a z
?
??????
1
12
? ()
(1 )
d X z a zz
d z a z
?
??? ?
( ) ( )nx n na u n??
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10,初值定理：
12( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )X z x x z x z??? ? ?() nx n z ?? ??? ? ? ???
证明：
z ?? li m ( ) ( 0 )
z X z x?? ?
时有：当
( 0 ) li m ( )zx X z???
存 在，则：
()xn ( ) ( )x n X z?若 是因果信号，,且 lim ( )
z Xz??
初值定理表明,因果序列的 在 时为有
限值。因此,当 是有理函数，且表示成关于 z 的
多项式之比时，其分子多项式的阶数不能高于分母多
项式的阶数。否则,将是非因果的。
()xn
z ??()Xz
()Xz
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11,终值定理,
推论：
? ? 12( ) ( 0 ) ( 1 ) (2 ) ( 3 )z X z x x x z x z??? ? ? ? ?
? ?( 1 ) l i m ( ) (0 )zx z X z x??? ? ?
1
0
( ) l i m ( ) ( )
n
nk
z k
x n z X z x k z
?
?
?? ?
????
???? ?
这样即可递推出 的任何一点的值。()xn
()xn ( ) ( ),x n X z?若 是因果信号,()Xz 除了在 z=1
允许有一阶极点外，其余极点均在单位圆内，则有：
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1l i m ( ) l i m ( 1 ) ( )nzx n z X z? ? ???
( 1 ) ( )z X z??
在单位圆上无极点。
证明：
( ) 0,xn ? 0,n? ()Xz 除了在 可以有单
阶极点外，其它极点均在单位圆内，
1z?
11 1
l i m ( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ] n
zz n
z X z x n x n z
?
?
?? ??
? ? ? ??
[ ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( ) ]l i m
m
x x x x x m x m
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
1
l i m ( 1 ) ( )
m
m n
x n x n
?? ??
? ? ??
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l i m ( 1 ) l i m ( )mnx m x n? ? ? ?? ? ?
这表明,如果 有终值存在，则其终值等于
在 处的留数。
()xn ()Xz
1z?
1l i m ( 1 ) ( ) R e s [ ( ),1 ]z z X z X z? ??
Z平面上极点位置与所对应的信号模式之间的关系：
终值定理对 的极点位置的要求，其实就是为
了保证信号确实具有终值。
()Xz
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
7.4 常用信号的 z变换：
( Some Common Z-Transform Pairs )
目的在于利用 z变换的性质从简单信号的 z变换导
出常用信号的 z变换对。
1,)()( mnnx ?? ?
1)( ?n?? ROC：整个 z平面
() mn m z? ?? ? ? ROC：整个有限 z平面
??z
? 当 时，包括,不包括 Z=0。0m ?
? 当 时，包括 z=0，不包括 。??z0m ?
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2.
)1()( ???? nunx
11
1)(
??? znu 1?z
,
z
znu
???? 1)1( 11
1
???? z
1?z
,
1
1
1)1( ?
?
??? z
znu 1?z
11
1)1()(
???????? znunx
1?z
1( ) ( )x n X z ???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
3.
)()( nuanx n?
)()( azXnxa n ?
11
1)(
??? znu
1?z
11
1)(
??? aznxa
n az ?
( ) ( )nx n n a u n?4,由 z域微分性质，有,
1
1 1 2
1( ) ( )
1 ( 1 )
n d azna u n z
dz az az
?
??? ? ???
| | | |za?
5.
0( ) c os ( )x n n u n???
001( ) ( ) ( )
2
j n j nx n e e u n?? ???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
001( ) ( ) ( )
2
jjX z U z e U z e?????? ? ???
1
1( ) ( )
1u n U z z ??? ?
根据 频移特性,
0011
1 / 2 1 / 2
11jje z e z?? ???????
1
0
12
0
1 c o s
1 2 c o s
z
zz
?
?
?
??
??
??
1?z
6.
0( ) c os ( )nx n r n u n???
由 Z域尺度变换特性，只需将上例中 即可/z z r?
1
0
1 2 2
0
1 c o s()
1 2 c o s
rzXz
r z r z
?
?
?
??
???
??
||zr?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
7.5 z反变换,( The Inverse z-Transform )
一, z反变换：
?? ?
?
? dereXrnx njjn ???
2
)(2 1)(
的 z变换就是对 做 DTFT，由 DTFT的
反变换有,
nrnx ?)(()xn
2
1( ) ( )
2
j n j nx n X r e r e d??
?
??? ?
令 jz re ?? jdz jr e d jz d? ????
?当 从 时,Z 沿着 ROC内半径为 r 的圆周
变化一周。
02??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
11( ) ( )
2
n
c
x n X z z d zj? ??? ?
其中 C 是 ROC 中逆时针方向的圆周。
z反变换表明,信号可以在 z域分解为复指数信号
的线性组合，这些复指数分量分布在一个圆周上，
每个复指数分量的幅度为 。
1 ( )
2
Xz dz
jz?
1,部分分式展开法,当 是有理函数时,可表示为
()Xz
二, 反变换的求取：
0 1() 1
i
i i
AX z A
az ??? ??
假定分子与分母同阶
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
步骤, 1,求出 的所有极点 ；
2,将 展开为部分分式；
()Xz ia
()Xz
3,根据总的 ROC，确定每一项的 ROC；
4,利用常用变换 对和 Z变换的 性质，求出每
一项的反变换。
例,1
11
5
3
6()
11
(1 ) (1 )
43
z
Xz
zz
?
??
?
?
??
11
43z??
11
12()
1111
43
Xz
zz??
??
??
第一项的 ROC,| | 1/ 4z ?
第二项的 ROC,| | 1/ 3z ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
11( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( 1 )
43
nnx n u n u n? ? ? ? ?
2,幂级数展开法,（长除法）
( ) ( ) ( 1 )nX z x n z x z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12( 0 ) ( 1 ) 2 ) )( ( nx n zx x z x z?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
展开式中 项的系数即为 。当 是有理
函数时，可以通过长除的方法将其展开为幂级数。
nz?
()xn ()Xz
()Xz由 的定义，将其展开为幂级数，有
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
由于 右边序列 的展开式中应包含无数多个 Z的负
幂项，所以要 按降幂长除 。
由于 左边序列 的展开式中应包含无数多个 Z的正
幂项，所以要 按升幂长除 。
双边序列则先要将其分成两部分，分别对应信号
的右边和左边部分，再分别按上述原则长除。
例, 1
12
1
1
2()
51
1
66
z
Xz
zz
?
??
?
?
??
2
1
3
1 ?? z
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
11
65()
1111
23
Xz
zz??
??
??
对前一项按升幂长除，后一项按降幂长除。
第一项的 ROC,| | 1/ 2z ?
第二项的 ROC,| | 1/ 3z ?
23
1
2
2
23
3
12 24 48
1
16
2
6 12
.....12
.....12 24
..............24
.............24 48
........................48
z z z
z
z
z
zz
z
zz
z
?
? ? ? ?
??
?
?
?
????? ? nn znu )1()21(6
16 ( ) ( 1 )
2
n un? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
12
1
1
1
12
2
55
5
39
1
15
3
5
5
3
5
.....
3
55
.....
39
5
................
9
zz
z
z
z
zz
z
??
?
?
?
??
?
? ? ?
?
?
?
)()31(5 nun
)()31(5)1()21(6)( nununx nn ?????
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
长除法的优点是简单，缺点是当 较复杂
（含多个极点）时，难以得出 的闭式。
()Xz
()xn
()Xz
幂级数展开法适用于求解非有理函数形式
的反变换。此时，只要能将 展开成幂级数，
即可得到相应的反变换。
()Xz
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
7.6 离散时间 LTI系统的 z域分析,（ The Discrete-
Time LTI System Analysis in the z-Domain )
由 z变换的卷积性质有
一, LTI系统的 z域分析：
)()()( nhnxny ??
)()()( zHzXzY ?
ROC包括,
12RR
)(zY
对 做反变换即可得到输出响应 。()yn
()Hz 称为系统的 系统函数 。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
1( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 2 ) ( )
2
nnx n u n h n u n??? ? ? ? ?
??
例,
1
1
()
1
1
2
Xz
z ?
?
?
2
1?z
1
1 1 1 1
1 1 2()
1 1 2 ( 1 2 ) ( 1 )
zHz
z z z z
?
? ? ? ?
?? ? ?
? ? ? ?
2?z
()()
()
YzHz
Xz? ?
?
???
??
n
nznhzH )()(
或
( ) ( ) ( )Y z X z H z?由 可得：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
)21)(1(
2)()()(
11 ?? ???? zzzHzXzY
2?z
11
2 / 3 4 / 3
1 1 2zz??????
24( ) [ ( 2 ) ] ( )
33
ny n u n? ? ? ?
系统函数连同收敛域可以表征 LTI系统，借助于系
统函数的 ROC可以确定系统的因果性，稳定性。
二, 系统函数：
当系统函数是有理函数时，
1,如果系统是因果的，则 ; 可知( ) 0,0h n n?? ()Hz
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
的 ROC一定是最外部极点的外部，且包括 。
??z
2,如果系统稳定，则 绝对可和，也即 存在，
的 ROC一定包括单位圆。
)( ?jeH
()Hz
()hn
3,因果稳定系统的 的全部极点必须在单位圆内。
()Hz
三, 系统函数的求得：
1,由 LCCDE描述的系统：
00
( ) ( )
NM
kk
kk
kk
a Y z z b X z z??
??
???
??
??
???
M
k
k
N
k
k knxbknya
00
)()(
对方程做 z变换有
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
k
N
k
k
k
M
k
k
za
zb
zH
?
?
?
?
?
?
?
0
0)( 由 LCCDE可以 方便地求出 。
()Hz
但由方程并不能确定 ROC，需要依据系统的因果
性，稳定性决定。当方程具有一组全部为零的初始
条件时，系统是线性、因果、时不变的。
2,由方框图描述的系统：
当系统由方框图描述时，可根据方框图列出相应
的方程，进而求得 。()Hz
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
21
21
2
1
1
321
)(
??
??
??
??
?
zz
zz
zH
)2(3)1(2)()2()1()( 21 ????????? nxnxnxnynyny
21?
1z?
()Xz ()Yz1 1
2
31?
1z?
例, ()Wz
121( ) ( ) ( ) ( )
2W z X z z W z z W z
??? ? ?
12( ) ( ) 2 ( ) 3 ( )Y z W z z W z z W z??? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
3,由零极点图描述的系统：
根据零极点图及 ROC可写出一个有理函数的,
最多和实际的 相差一个常数 。
0H
()Hz
()Hz
1
0
11
1
1
2()
11
(1 ) (1 )
23
z
H z H
zz
?
??
?
?
??
，
2
1?z
由零极点图可以写出：
注意原点处的零点。
例, 已知系统的零极点图。
1/2
1/3? Re
Im
1/2?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
7.7 单边 z变换,（ The Unilateral z-Transform )
一, 定义：
11( ) ( )
2
n
c
x n z z dzj ?? ?? ?
n
n
znxz ?
?
?
??
0
)()(? 的单边 z变换()xn
显然，当 是因果信号时，单边 z变换与双边
z变换相同。因此，单边 z变换就是对因果信号所做
的双边 z变换。
()xn
如果信号是非因果的，则 与 不同。)(z? ()Xz
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
例 1,( ) ( )nx n a u n?
1
1()
1Xz az ?? ?
za?
1
1()
1
z
az
? ??
?
显然 ( ) ( )z X z? ?
za?
例 2.
1( ) ( 1 )nx n a u n??? 则
1() 1
zXz
az ?
?
?
1
1
0
()
1
nn
n
az a z
az
?
?
??
?
?
??
??
za?
za?
ROC,但不包括
??z
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
显然 。这是因为 在 的部
分对双边 Z变换起作用，而对单边 Z变换不起作用
所致。
( ) ( )z X z? ? ()xn 0n?
由于单边 z变换的定义式中只包括 z的负幂项，
不含有 z的正幂项，因而单边 z变换的 ROC与因果
信号双边 z变换的 ROC特性相同。即一定是 最
外部极点的外部并且包括, 不可能有其它情
况 。故对单边 z变换 不再强调 ROC。
??z
)(z?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
只有移位特性例外，因为时域的移位可能会改
变信号的因果属性。
二, 单边 Z变换的移位性质：
正由于 的单边 z变换就是 的双边 z
变换,当信号的因果性不改变时，双边 z变换的性
质就是单边 z变换的性质。
()xn ()()x n u n
( ) ( )x n z??
1( 1 ) ( ) ( 1 )x n z z x??? ? ? ?
若
则
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
同理可得：
21( 2 ) ( ) ( 1 ) ( 2 )x n z z z x x???? ? ? ? ? ?
( 1 ) ( ) (0 )x n z z z x?? ? ?
Proof:
( 1 )
01
( 1 ) ( )nm
nm
x n z x m z
??
? ? ?
? ? ?
????
1
0
1
( 1 ) ( )
( ) ( 1 )
m
m
x z x m z
z z x?
?
??
?
?
? ? ?
? ? ?
?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
单边 Z变换在将 LCCDE变换为代数方程时，可以
自动将方程的初始条件引入，因而在解决增量线性
系统问题时特别有用 。
Proof,( 1 )
01
( 1 ) ( )nm
nm
x n z x m z
??
? ? ?
??
????
( 1 )
0
( ) ( 0) ( ) ( 0)m
m
x m z x z z z zx?
?
??
?
? ? ? ??
同理可得：
22( 2 ) ( ) ( 0 ) ( 1 )x n z z z x zx?? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
7.8 利用单边 Z变换分析增量线性系统：
对方程做单边 z变换，并引入初始条件可得：
1
1
1( ) 3 [ ( ) ( 1 ) ] ( )
1z z z y z z?
?
?? ? ? ? ? ? ? ?
1
1()
13Hz z ?? ?
利用单边 z变换可以方便地分析增量线性系统
( ) 3 ( 1 ) ( ),y n y n x n? ? ?
( ) ( ),x n u n? ( 1) 1y ??
例 1：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
1
1 1 1
1
( ) [ ( ) 3 ]
13
( ) 3 3
( ) ( )
1 3 1 3 1 3
zz
z
z
H z z
z z z
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
??
??
? ? ?
零状态响应 零输入响应 零输入响应
＋＋
11
1 / 4 9 / 4
1 1 3zz??????
1 9 1( ) [ ( 3 ) ] ( ) [ 1 9 ( 3 ) ] ( )
4 4 4? ? ? ? ? ? ?
nny n u n u n
21 [1 ( 3 ) ] ( )
4
?? ? ? n un强迫响应 自然响应
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
例 2,)()2(2)1(3)( nxnynyny ?????
)()( nunx ? 1)1( ??y
2
1)2( ??y
对方程两边做单边 z变换，并引入初始条件：
1 2 1( ) 3 [ ( ) ( 1 ) ] 2 [ ( ) ( 1 )
( 2 ) ] ( )
z z z y z z z y
yz ?
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
1
1()
1z z? ?? ?
1
1 2 1 2
( ) 3 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 )()
1 3 2 1 3 2
z y z y yz
z z z z
? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
零状态响应 零输入响应
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
代入初始条件得：
1
1 2 1 1 2
2 2 1()
1 3 2 ( 1 ) ( 1 3 2 )
zz
z z z z z
?
? ? ? ? ?
?? ? ?
? ? ? ? ?
121
1
11 21
4
)1(1
3
21
2
??
?
?? ???
??
?
??
?? zz
z
zz
)(])2(43[)()2(2)( nunnuny nn ?????
11
1)(
??? znu
21
1
21
2
1 )1()1()1
1()(
?
?
?
?
? ???
???
??? z
z
z
zz
zdz
dznnu
这里用到了以下关系：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
例 3,11( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 )
22y n y n y n x n x n? ? ? ? ? ? ?
( ) ( 1 ) ( ),( 1 ) 1,( 2 ) 1nx n u n y y? ? ? ? ? ?
1
21
1
1
( ) ( ) ( 1 )
2
1
( ) ( 1 ) ( 2 )
2
( ) ( ) ( 1 )
z z z y
z z z y y
z z z x??
?
??
?
??? ? ? ? ?
??
??? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ?
对方程两边做单边 z变换有：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
5 1 1( ) ( ) ( )
3 3 2
ny n u n??? ? ?
????
1
1
1 1 1
1
2
5 / 3 1 / 32
11 1
( 1 ) ( 1 ) 1
22
z
zz z z
?
?
? ? ?
?
? ? ?
?? ? ?
1
1()
1z z? ?? ?
1
12
1
12
( 1 ) ( )
()
11
1
22
11
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
22
11
1
22
zz
z
zz
y z y
zz
?
?
??
?
??
?
? ? ?
??
? ? ? ?
??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
本章小结, ( Summary )
1,离散时间信号的双边 z变换表示，及其与 DTFT的
关系，与拉氏变换的关系，与 DFT的关系。
2,双边 z变换的收敛域及其特征，收敛域和信号种类
的关系。
3,双边 z变换的性质。
4,离散时间 LTI系统的 z变换分析。系统特性与系统
函数收敛域的关系。
5,单边 z变换及其性质。
6,利用单边 z变换分析增量线性系统。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
本章主要内容
1,双边 Z变换及其收敛域 ROC。
2,ROC的特征，各类信号的 ROC，零极点图。
4,Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。
3,Z变换的性质,常用信号的 Z变换。
5,用 Z变换表征 LTI系统，系统函数,LTI系统
的 Z变换分析法。
6,单边 Z变换，增量线性系统的分析。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
7.0 引言, ( Introduction )
nn zzHnhz )()( ??
在第 5章，已讨论过复指数信号是一切 LTI系统的
特征函数 其中
( ) ( ) n
n
H z h n z
?
??
? ?
当 ?jez ? 时，上式就是 离散时间傅立叶变换 。
( ) ( )j j n
n
H e h n e??
?
?
? ??
? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
Z 变换与拉氏变换相对应，也是离散时间傅立
叶变换的推广。
本章讨论更一般的情况 （即 时），
称为 z 变换 。
?jrez ?
Z 变换的许多性质及其分析方法和基本思想都
与拉氏变换有相似之处。 当然,Z 变换与拉氏变
换也存在着一些重要的差异。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
7.1 双边 Z 变换,( The Z-Transform )
( ) ( ) n
n
X z x n z
?
?
? ? ?
? ?
jz re ??其中 是一个复数 。
一, 定义,
1r? jze ??当, 时，即成为 离散时间傅立叶
变换 。
二,z变换与离散时间傅立叶变换的关系：
])([)()()( nnj
n
nj rnxFernxreXzX ??
?
???
? ??? ? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
这表明,的 Z 变换就等于对 做 DTFT。
因此,Z 变换是对 DTFT的推广 。
()xn () nx n r ?
jze??当 即 时,Z变换就成为离散时间傅
立叶变换，故,DTFT是 Z 变换 的特例 。
1r?
由于 在 Z平面上是单位圆，因此也
可以说,DTFT是在单位圆上所做的 Z 变换。
1,jr z e ???
所以,Z变换是离散时间傅立叶变换的推广，它
的适用范围更广，收敛性更强。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
三,Z 变换与拉氏变换的关系：
)()()( nTtnTxtx
n
ap ?? ?
?
???
? )()( nTxnx a?
设 是对连续时间信号 理想采样后而得到
的序列。
)(txa()xn
)(txp
对 做拉氏变换有：
s n T
n
ap enTxsX
?
?
???
?? )()(
)(txa )(txp
??
???
??
n
nTttp )()( ?
对 做 z 变换有：
n
n
a znTxzX
?
?
???
?? )()(
()xn
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
( ) ( )sT pzeX z X s???
这表明,采样信号的拉氏变换与采样所得序列的 z
变换之间，本质上是一种映射关系。即通过
将 s平面上的 映射成 z 平面上的 。
sTez ?
)(sX p ()Xz
,Tr e T? ?? ? ? ?
0,1 ; 0,1 ; 0,1r r r? ? ?? ? ? ? ? ?
显然
sTze? jz re ??,由,,将 Z 改写为sj?? ? ?
,? ? ?? ? ?
TT
??? ? ? ? 0,? ? 0??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
四, Z 变换与 DFT的关系：
)(nx
jT?
j?
?
jT??
1
Re
jIm
sTze?
如果 是有限长序列，长度为 N，则其 Z变换为：
?
?
?
??
1
0
)()(
N
n
nznxzX
()xn
此映射关系如图所示：
对 在单位圆上采样可得：()Xz
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
??
?
?
?
?
?
? ???
1
0
1
0
2
)()()(
N
n
kn
N
N
n
kn
N
j
Wz WnxenxzX kN
?
)(nx对 做 N点 DFT有：
?
?
?
?
1
0
)()(
N
n
kn
NWnxkX
kNjk
N eWz
zXkX ?2)()( ?? ???
N
?2 这表明,有限长序列的 DFT就是对该序列的 z 变换
在单位圆上以 为间隔采样所得的样本 。这是必然的。
因为在单位圆上的 z变换就是 DTFT，也就是 的频
谱。对 z 变换在单位圆上均匀采样，就是对信号 的频
谱采样，这就是 DFT与频域采样的关系。
2
N
?
()xn
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
7.2 Z 变换的收敛域,
( The ROC for the Z-Transform )
1,并非任何信号的 Z 变换都存在。
由于 z变换是一个无穷级数,与 DTFT一样存在着
收敛的问题，这意味着：
2,并非 Z 平面上的任何复数都能使 收敛。
()Xz
()Xz
()Xz
3,Z 平面上那些能使 收敛的点的集合就构成
了 的 ROC。
几个具体的例子：
一, Z 变换的收敛问题,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
例 1,( ) ( )
nx n a u n?
1
0
1()
1
nn
n
X z a z
az
?
?
?
?
??
??
时收敛
za?
当 时 的 DTFT存在。
1a ? ()xn
1()
1
j
jXe ae
?
??? ?
za?
此时,ROC包括了单位圆 。
单位圆
1a
Im
Re
Z平面
例 2,( ) ( )x n u n?
1
0
1()
1
n
n
X z z
z
?
?
?
?
??
??
1z ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
此时,ROC不包括单位圆,
所以 不能从 简单通过将
得到 。
()Xz
z je? ()jXe ?
Im
Re
Z平面
1
例 3.
( ) ( 1 )nx n a u n? ? ? ?
1
1
() n n n n
nn
X z a z a z
??
??
? ? ? ?
? ? ? ???
1
11
1
11
az
a z az
?
??? ? ??? za?
a 1
Re
Z平面
单位圆
Im
?
?
jez
j zXeX
?? )()(
()Xz当 的收敛域包括单位圆时
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
例 4,1
( ) ( ) ( ) 2 ( 1 )2 nnx n u n u n? ? ? ?
1
0
1
1
1
( ) ( ) 2
2
11
1 12
1
2
n n n n
nn
X z z z
z
z
??
??
? ? ? ?
?
?
??
??
?
?
??
2
1/2
Z平面 Im
Re
以上实例说明,不同的信号可能具有相同的 z变换
式，只是 ROC不同,因此 ROC是至关重要的。 只有
z 变换式连同相应的 ROC，才能与信号建立一一对应
的关系。
1 2
2R O C, z??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
例 5.
)1()21()()31()( ???? nununx nn
1
0
11( ) ( ) ( )
32
n n n n
nn
X z z z
??
?
? ? ? ?
????
11
11
1111
32
zz??
??
??
，
一般情况下,的 ROC是 Z 平面上一个以原点
为中心的圆环。
()Xz
2
1
3
1 ?? zROC:
1/2
Z平面Im
Re1/3
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
表明该信号的 z变换不存在 。
例 6,)()( nnx ??
( ) ( ) 1n
n
X z n z?
?
?
? ? ?
???
ROC为整个 z平面。
11
11
()
11
11
23
Xz
zz??
??
??
)1()31()()21()( ???? nununx nn
若
1 / 3z ?1 / 2z ?
无公共区域
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
二, Z 变换的几何表示 — 零极点图,
(()()
( ) )
i
p
zzNzX z M
D z z
????
??
）
（z
如果 是有理函数：
()Xz
pz
iz
称为零点
称为极点
在 z 平面上标出 的全部零极点，就构成了 零极
点图 。它与实际的 最多只相差一个常数因子。
如果在零极点图上同时标出 ROC，这就是 的几
何表示，除了相差一个常数因子外，它与有理 z 变换
是等价的。
()Xz
()Xz
()Xz
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
三, ROC的特征,
由例子可以看出,ROC是由 的极点位置决定
的,ROC有如下几个特征,
()Xz
1,ROC是 z 平面上以原点为中心的环形区域。
由于, 对给定的,
Z变换收敛与否只取决于,而与 无关。
])([)]([ nrnxFnxZ ??
?r
()xn
rz ?
是 z平面上以原点为中心,r为半径的圆，
所以 ROC是以原点为中心的同心圆构成的环域。
2,ROC内无极点。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
3.有限长序列的 ROC是整个有限 z平面，可能不包含
0z? ||z ??和 。
21
2
1
)()( NnNznxzX
N
Nn
n ??? ?
?
?
120,0NN??
a,当 时和式中既有 z 的正幂项，又
有 z 的负幂项。 ROC不包括 z=0 和 。
??z
01 ?N
b,当 时，和式中只有 z 的负幂项,ROC不
包括 z＝ 0，但包括 。
??z
02 ?N
c,当 时，和式中只有 z 的正幂项,ROC不
包括,但包括 z＝ 0。
??z
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
4,右边序列的 ROC是最外部极点的外部，但可能不
包括 。
??z
1
1( ) ( ),
n
nN
X z x n z N n
?
?
?
? ? ? ??
设 是右边序列,时，()xn
1nN? ( ) 0xn ?
由 有
0 R O Czr??
1
0()
n
nN
x n r
? ?
?
??? 10rr?
，若
11
0
10
1
( ) ( ) ( )nn n
n N n N
rx n r x n r
r
??
??
??
????
则
1
1
0
0
1
( ) ( )n N
nN
rx n r
r
?
?
?
? ? ? ?? 1 R O Czr? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
当 时，由于 展开式中有若干个 Z 的正
幂项，此时 不能为 。
1 0N ?
z
()Xz
?
5,左边序列的 ROC是最内部极点的内部，但可能
不包括 。0z?
10rr?0 RO Cr ?
若,,则
11
1
1
0
10
1
0
0
1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
NN
nn n
nn
N
n N
n
r
x n r x n r
r
r
x n r
r
??
? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
??
? ? ? ?
??
?
1 R O Cr??
当 时，由于 的展开式中包括有若干 Z
1 0N ? ()Xz
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
的负幂项，此时 Z 不能为零。
6,双边序列的 Z 变换如果存在，则 ROC必定是一
个环形区域。
例 1.
0,
()xn ? ?
,0 1,na n N? ? ? 0a?
其它 n
1
11
0
1()
1 ( )
N N N NN
nn
N
n
a z z aX z a z
az z z a
??
?
??
?
??? ? ?
???
极点,za? （一阶）
0z? （ N－ 1阶）
零点,2jkNz ae ?? ( 0,1 1 )kN? ??? ?
R O C, 0z ?
a? a0( 1)N?
? ?jIm z
? ?Re z
( 8)N ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
在 处，零极点抵消,在有限 z平面内无极点 。za?
例 2,( ),0nx n b b??
( ) ( ) ( 1 )nnx n b u n b u n?? ? ? ?
1
1( ),
1
nb u n z b
bz ????
1
11
1( 1 ),
1
nb u n z b
bz
??
??? ? ? ? ??
在 时，两部分收敛域无公共部分，表明此
时 不存在。
1b?
()Xz
01b?? 时,ROC为 1/b z b??
b
1/b
Z平面Im
Re? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
例 3.
11
1()
1(1 ) (1 2 )
3
Xz
zz??
?
??
在有限 Z平面上极点总数与零点总数相同。
? ?
1/3 2
Re
Im
0
(2)
零点：
121,23zz??
0z? （二阶） ?
极点：
若其 ROC为：
1 2z ? 则 为右边序列，且是因果的，但其傅
立叶变换 不存在。
()xn
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
2 1
3z ? ()xn
时 是左边序列，且是反因果的，
其傅立叶变换 不存在。
3 1
23 z?? ()xn
时 是双边序列，但其傅立叶变换
存在。
ROC是否包括 是 是否因果的标志。
z ?? ()xn
0z? ()xnROC是否包括,是 是否反因果的标志。
ROC包括单位圆，是 傅立叶变换存在的充分
必要条件。
()xn
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
7.3 Z变换的性质, ( Properties of the Z-Transform )
Z变换的许多性质与 DTFT的性质相似，其推论方
法也相同。主要讨论其 ROC的变化，借以揭示信号
在时域与在 Z 域的特性之间的关系。
1,线性：
则
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x n b x n a X z b X z? ? ?
ROC,包括 12RR
11( ) ( )x n X z? 1RO C, R
22( ) ( )x n X z? 2RO C, R
若
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，则
ROC可能会扩大。
2,时移：
R O C, R 0z? z ??但在 和 可能会有增删。
( ) ( )x n X z? R O C, R若
00( ) ( ) nx n n X z z ???
则
? 由于信号的时移有可能会改变其因果性，故 ROC
在,或 有可能改变。0z?
z ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
3,频移：
)()( zXnx ? R O C, R
若
00( ) ( )j n jx n e X z e?? ??? RO C, R
则
零极点位置将旋转一个角度 。
0?
?? ??0 )()1)(( zXnx n ???
当 时，有 零极点旋转 180
??
?
0?
0???Re Re
Im Im
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
4,Z域尺度变换,( ) ( )x n X z? R O C, R若
00( ) ( / )
nz x n X z z?
0R O C, zR
则
0z z R??
当 时，即为移频特性。
00 jze ??
zR?
时 收敛，则 时,收敛，
()Xz
0
z R
z
? 0( / )X z z
若 是一般复数 则 的零极点不
仅要将 的零极点逆时针旋转一个角度,而且
在径向有 倍的尺度变化。因此,ROC也有一个
的尺度变换。
0z 000
jz r e ??
0( / )X z z
()Xz 0?
0r 0
||z
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
1/2
0 2r ?Re
Im
0?
Re
Im
5,时域反转：
( ) ( )x n X z? R O C, R若
1( ) ( )x n X z ??? R O C,1 / R
(收敛域边界倒置 )则
信号在时域反转，会引起 的零极点分布按倒
量对称发生改变。如果 是 的零 /极点，则
就是 的零 /极点。
()Xz
iz 1/ iz
1()Xz?
()Xz
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
即, 与 的 零极点呈共轭倒量对称。()Xz
1()Xz?
例：
()Xz 的 ROC为 13
22z??
则 的 ROC为1()Xz? 2
23 z??
6,时域内插,
1/ iz
iz
iz?
1/ iz?
Re0
jIm
( ) ( )x n X z? ROC, R
()kxn ?
?
()nx k
0
n 为 的整数倍k
其它 n
若
（在序列的每两点之
间插入 k-1个零）
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
则
( ) ( )kkx n X z? 1/R O C, kR
( ) ( ) ( ) ( )n rk kkk
nr
X z x n z x r z X z
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ???
7,共轭对称性：
当 是实信号时，,于是有()xn * ( ) ( )x n x n?
**( ) ( )X z X z?
表明：如果 有 复数零极点，必共轭成对出现。()Xz
( ) ( )x n X z? R O C,R
* * *( ) ( )x n X z? R O C,R
若
则
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
8,卷积性质：
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x n x n X z X z?? 12RRROC
包括
如果在相乘时出现零极点抵消的情况，则 ROC可
能会扩大。
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
n
nm
x n x n x m x n m z
??
?
? ? ? ? ? ?
? ? ???
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
m
m
x m X z z X z X z
?
?
? ? ?
???
卷积性质是 LTI系统 Z变换分析法的理论基础。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
9,Z域微分,( ) ( )x n X z? ROC, R
()() d X zn x n z
dz??
ROC, R
例 1.
1( ) l n( 1 )X z az ??? za?
2
1
()
1
d X z a z
d z a z
?
?
??
?
利用该性质可以方便地求出某些非有理函数
的反变换或具有高阶极点的 的反变换。
()Xz
()Xz
1
1
1
() ( ) ( 1 ) ( )
1
nd X z a zz a a u n n x n
d z a z
?
?
?? ? ? ? ? ??
1 1( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )nnax n a u n a u n
nn
?? ? ? ? ? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
例 2,1
12() (1 )
azXz
az
?
?? ? za?
1
1?( ) ( )
1
na u n X Z
az ??? ?
za?
2
1 1 2
1()
1 ( 1 )
d a z
d z a z a z
?
??????
1
12
? ()
(1 )
d X z a zz
d z a z
?
??? ?
( ) ( )nx n na u n??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
10,初值定理：
12( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )X z x x z x z??? ? ?() nx n z ?? ??? ? ? ???
证明：
z ?? li m ( ) ( 0 )
z X z x?? ?
时有：当
( 0 ) li m ( )zx X z???
存 在，则：
()xn ( ) ( )x n X z?若 是因果信号，,且 lim ( )
z Xz??
初值定理表明,因果序列的 在 时为有
限值。因此,当 是有理函数，且表示成关于 z 的
多项式之比时，其分子多项式的阶数不能高于分母多
项式的阶数。否则,将是非因果的。
()xn
z ??()Xz
()Xz
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
11,终值定理,
推论：
? ? 12( ) ( 0 ) ( 1 ) (2 ) ( 3 )z X z x x x z x z??? ? ? ? ?
? ?( 1 ) l i m ( ) (0 )zx z X z x??? ? ?
1
0
( ) l i m ( ) ( )
n
nk
z k
x n z X z x k z
?
?
?? ?
????
???? ?
这样即可递推出 的任何一点的值。()xn
()xn ( ) ( ),x n X z?若 是因果信号,()Xz 除了在 z=1
允许有一阶极点外，其余极点均在单位圆内，则有：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
1l i m ( ) l i m ( 1 ) ( )nzx n z X z? ? ???
( 1 ) ( )z X z??
在单位圆上无极点。
证明：
( ) 0,xn ? 0,n? ()Xz 除了在 可以有单
阶极点外，其它极点均在单位圆内，
1z?
11 1
l i m ( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ] n
zz n
z X z x n x n z
?
?
?? ??
? ? ? ??
[ ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( ) ]l i m
m
x x x x x m x m
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
1
l i m ( 1 ) ( )
m
m n
x n x n
?? ??
? ? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
l i m ( 1 ) l i m ( )mnx m x n? ? ? ?? ? ?
这表明,如果 有终值存在，则其终值等于
在 处的留数。
()xn ()Xz
1z?
1l i m ( 1 ) ( ) R e s [ ( ),1 ]z z X z X z? ??
Z平面上极点位置与所对应的信号模式之间的关系：
终值定理对 的极点位置的要求，其实就是为
了保证信号确实具有终值。
()Xz
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
7.4 常用信号的 z变换：
( Some Common Z-Transform Pairs )
目的在于利用 z变换的性质从简单信号的 z变换导
出常用信号的 z变换对。
1,)()( mnnx ?? ?
1)( ?n?? ROC：整个 z平面
() mn m z? ?? ? ? ROC：整个有限 z平面
??z
? 当 时，包括,不包括 Z=0。0m ?
? 当 时，包括 z=0，不包括 。??z0m ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
2.
)1()( ???? nunx
11
1)(
??? znu 1?z
,
z
znu
???? 1)1( 11
1
???? z
1?z
,
1
1
1)1( ?
?
??? z
znu 1?z
11
1)1()(
???????? znunx
1?z
1( ) ( )x n X z ???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
3.
)()( nuanx n?
)()( azXnxa n ?
11
1)(
??? znu
1?z
11
1)(
??? aznxa
n az ?
( ) ( )nx n n a u n?4,由 z域微分性质，有,
1
1 1 2
1( ) ( )
1 ( 1 )
n d azna u n z
dz az az
?
??? ? ???
| | | |za?
5.
0( ) c os ( )x n n u n???
001( ) ( ) ( )
2
j n j nx n e e u n?? ???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
001( ) ( ) ( )
2
jjX z U z e U z e?????? ? ???
1
1( ) ( )
1u n U z z ??? ?
根据 频移特性,
0011
1 / 2 1 / 2
11jje z e z?? ???????
1
0
12
0
1 c o s
1 2 c o s
z
zz
?
?
?
??
??
??
1?z
6.
0( ) c os ( )nx n r n u n???
由 Z域尺度变换特性，只需将上例中 即可/z z r?
1
0
1 2 2
0
1 c o s()
1 2 c o s
rzXz
r z r z
?
?
?
??
???
??
||zr?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
7.5 z反变换,( The Inverse z-Transform )
一, z反变换：
?? ?
?
? dereXrnx njjn ???
2
)(2 1)(
的 z变换就是对 做 DTFT，由 DTFT的
反变换有,
nrnx ?)(()xn
2
1( ) ( )
2
j n j nx n X r e r e d??
?
??? ?
令 jz re ?? jdz jr e d jz d? ????
?当 从 时,Z 沿着 ROC内半径为 r 的圆周
变化一周。
02??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
11( ) ( )
2
n
c
x n X z z d zj? ??? ?
其中 C 是 ROC 中逆时针方向的圆周。
z反变换表明,信号可以在 z域分解为复指数信号
的线性组合，这些复指数分量分布在一个圆周上，
每个复指数分量的幅度为 。
1 ( )
2
Xz dz
jz?
1,部分分式展开法,当 是有理函数时,可表示为
()Xz
二, 反变换的求取：
0 1() 1
i
i i
AX z A
az ??? ??
假定分子与分母同阶
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
步骤, 1,求出 的所有极点 ；
2,将 展开为部分分式；
()Xz ia
()Xz
3,根据总的 ROC，确定每一项的 ROC；
4,利用常用变换 对和 Z变换的 性质，求出每
一项的反变换。
例,1
11
5
3
6()
11
(1 ) (1 )
43
z
Xz
zz
?
??
?
?
??
11
43z??
11
12()
1111
43
Xz
zz??
??
??
第一项的 ROC,| | 1/ 4z ?
第二项的 ROC,| | 1/ 3z ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
11( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( 1 )
43
nnx n u n u n? ? ? ? ?
2,幂级数展开法,（长除法）
( ) ( ) ( 1 )nX z x n z x z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12( 0 ) ( 1 ) 2 ) )( ( nx n zx x z x z?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
展开式中 项的系数即为 。当 是有理
函数时，可以通过长除的方法将其展开为幂级数。
nz?
()xn ()Xz
()Xz由 的定义，将其展开为幂级数，有
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
由于 右边序列 的展开式中应包含无数多个 Z的负
幂项，所以要 按降幂长除 。
由于 左边序列 的展开式中应包含无数多个 Z的正
幂项，所以要 按升幂长除 。
双边序列则先要将其分成两部分，分别对应信号
的右边和左边部分，再分别按上述原则长除。
例, 1
12
1
1
2()
51
1
66
z
Xz
zz
?
??
?
?
??
2
1
3
1 ?? z
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
11
65()
1111
23
Xz
zz??
??
??
对前一项按升幂长除，后一项按降幂长除。
第一项的 ROC,| | 1/ 2z ?
第二项的 ROC,| | 1/ 3z ?
23
1
2
2
23
3
12 24 48
1
16
2
6 12
.....12
.....12 24
..............24
.............24 48
........................48
z z z
z
z
z
zz
z
zz
z
?
? ? ? ?
??
?
?
?
????? ? nn znu )1()21(6
16 ( ) ( 1 )
2
n un? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
12
1
1
1
12
2
55
5
39
1
15
3
5
5
3
5
.....
3
55
.....
39
5
................
9
zz
z
z
z
zz
z
??
?
?
?
??
?
? ? ?
?
?
?
)()31(5 nun
)()31(5)1()21(6)( nununx nn ?????
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
长除法的优点是简单，缺点是当 较复杂
（含多个极点）时，难以得出 的闭式。
()Xz
()xn
()Xz
幂级数展开法适用于求解非有理函数形式
的反变换。此时，只要能将 展开成幂级数，
即可得到相应的反变换。
()Xz
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
7.6 离散时间 LTI系统的 z域分析,（ The Discrete-
Time LTI System Analysis in the z-Domain )
由 z变换的卷积性质有
一, LTI系统的 z域分析：
)()()( nhnxny ??
)()()( zHzXzY ?
ROC包括,
12RR
)(zY
对 做反变换即可得到输出响应 。()yn
()Hz 称为系统的 系统函数 。
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1( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 2 ) ( )
2
nnx n u n h n u n??? ? ? ? ?
??
例,
1
1
()
1
1
2
Xz
z ?
?
?
2
1?z
1
1 1 1 1
1 1 2()
1 1 2 ( 1 2 ) ( 1 )
zHz
z z z z
?
? ? ? ?
?? ? ?
? ? ? ?
2?z
()()
()
YzHz
Xz? ?
?
???
??
n
nznhzH )()(
或
( ) ( ) ( )Y z X z H z?由 可得：
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)21)(1(
2)()()(
11 ?? ???? zzzHzXzY
2?z
11
2 / 3 4 / 3
1 1 2zz??????
24( ) [ ( 2 ) ] ( )
33
ny n u n? ? ? ?
系统函数连同收敛域可以表征 LTI系统，借助于系
统函数的 ROC可以确定系统的因果性，稳定性。
二, 系统函数：
当系统函数是有理函数时，
1,如果系统是因果的，则 ; 可知( ) 0,0h n n?? ()Hz
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的 ROC一定是最外部极点的外部，且包括 。
??z
2,如果系统稳定，则 绝对可和，也即 存在，
的 ROC一定包括单位圆。
)( ?jeH
()Hz
()hn
3,因果稳定系统的 的全部极点必须在单位圆内。
()Hz
三, 系统函数的求得：
1,由 LCCDE描述的系统：
00
( ) ( )
NM
kk
kk
kk
a Y z z b X z z??
??
???
??
??
???
M
k
k
N
k
k knxbknya
00
)()(
对方程做 z变换有
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k
N
k
k
k
M
k
k
za
zb
zH
?
?
?
?
?
?
?
0
0)( 由 LCCDE可以 方便地求出 。
()Hz
但由方程并不能确定 ROC，需要依据系统的因果
性，稳定性决定。当方程具有一组全部为零的初始
条件时，系统是线性、因果、时不变的。
2,由方框图描述的系统：
当系统由方框图描述时，可根据方框图列出相应
的方程，进而求得 。()Hz
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21
21
2
1
1
321
)(
??
??
??
??
?
zz
zz
zH
)2(3)1(2)()2()1()( 21 ????????? nxnxnxnynyny
21?
1z?
()Xz ()Yz1 1
2
31?
1z?
例, ()Wz
121( ) ( ) ( ) ( )
2W z X z z W z z W z
??? ? ?
12( ) ( ) 2 ( ) 3 ( )Y z W z z W z z W z??? ? ?
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3,由零极点图描述的系统：
根据零极点图及 ROC可写出一个有理函数的,
最多和实际的 相差一个常数 。
0H
()Hz
()Hz
1
0
11
1
1
2()
11
(1 ) (1 )
23
z
H z H
zz
?
??
?
?
??
，
2
1?z
由零极点图可以写出：
注意原点处的零点。
例, 已知系统的零极点图。
1/2
1/3? Re
Im
1/2?
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7.7 单边 z变换,（ The Unilateral z-Transform )
一, 定义：
11( ) ( )
2
n
c
x n z z dzj ?? ?? ?
n
n
znxz ?
?
?
??
0
)()(? 的单边 z变换()xn
显然，当 是因果信号时，单边 z变换与双边
z变换相同。因此，单边 z变换就是对因果信号所做
的双边 z变换。
()xn
如果信号是非因果的，则 与 不同。)(z? ()Xz
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例 1,( ) ( )nx n a u n?
1
1()
1Xz az ?? ?
za?
1
1()
1
z
az
? ??
?
显然 ( ) ( )z X z? ?
za?
例 2.
1( ) ( 1 )nx n a u n??? 则
1() 1
zXz
az ?
?
?
1
1
0
()
1
nn
n
az a z
az
?
?
??
?
?
??
??
za?
za?
ROC,但不包括
??z
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显然 。这是因为 在 的部
分对双边 Z变换起作用，而对单边 Z变换不起作用
所致。
( ) ( )z X z? ? ()xn 0n?
由于单边 z变换的定义式中只包括 z的负幂项，
不含有 z的正幂项，因而单边 z变换的 ROC与因果
信号双边 z变换的 ROC特性相同。即一定是 最
外部极点的外部并且包括, 不可能有其它情
况 。故对单边 z变换 不再强调 ROC。
??z
)(z?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
只有移位特性例外，因为时域的移位可能会改
变信号的因果属性。
二, 单边 Z变换的移位性质：
正由于 的单边 z变换就是 的双边 z
变换,当信号的因果性不改变时，双边 z变换的性
质就是单边 z变换的性质。
()xn ()()x n u n
( ) ( )x n z??
1( 1 ) ( ) ( 1 )x n z z x??? ? ? ?
若
则
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同理可得：
21( 2 ) ( ) ( 1 ) ( 2 )x n z z z x x???? ? ? ? ? ?
( 1 ) ( ) (0 )x n z z z x?? ? ?
Proof:
( 1 )
01
( 1 ) ( )nm
nm
x n z x m z
??
? ? ?
? ? ?
????
1
0
1
( 1 ) ( )
( ) ( 1 )
m
m
x z x m z
z z x?
?
??
?
?
? ? ?
? ? ?
?
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单边 Z变换在将 LCCDE变换为代数方程时，可以
自动将方程的初始条件引入，因而在解决增量线性
系统问题时特别有用 。
Proof,( 1 )
01
( 1 ) ( )nm
nm
x n z x m z
??
? ? ?
??
????
( 1 )
0
( ) ( 0) ( ) ( 0)m
m
x m z x z z z zx?
?
??
?
? ? ? ??
同理可得：
22( 2 ) ( ) ( 0 ) ( 1 )x n z z z x zx?? ? ? ?
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7.8 利用单边 Z变换分析增量线性系统：
对方程做单边 z变换，并引入初始条件可得：
1
1
1( ) 3 [ ( ) ( 1 ) ] ( )
1z z z y z z?
?
?? ? ? ? ? ? ? ?
1
1()
13Hz z ?? ?
利用单边 z变换可以方便地分析增量线性系统
( ) 3 ( 1 ) ( ),y n y n x n? ? ?
( ) ( ),x n u n? ( 1) 1y ??
例 1：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
1
1 1 1
1
( ) [ ( ) 3 ]
13
( ) 3 3
( ) ( )
1 3 1 3 1 3
zz
z
z
H z z
z z z
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
??
??
? ? ?
零状态响应 零输入响应 零输入响应
＋＋
11
1 / 4 9 / 4
1 1 3zz??????
1 9 1( ) [ ( 3 ) ] ( ) [ 1 9 ( 3 ) ] ( )
4 4 4? ? ? ? ? ? ?
nny n u n u n
21 [1 ( 3 ) ] ( )
4
?? ? ? n un强迫响应 自然响应
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例 2,)()2(2)1(3)( nxnynyny ?????
)()( nunx ? 1)1( ??y
2
1)2( ??y
对方程两边做单边 z变换，并引入初始条件：
1 2 1( ) 3 [ ( ) ( 1 ) ] 2 [ ( ) ( 1 )
( 2 ) ] ( )
z z z y z z z y
yz ?
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
1
1()
1z z? ?? ?
1
1 2 1 2
( ) 3 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 )()
1 3 2 1 3 2
z y z y yz
z z z z
? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
零状态响应 零输入响应
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代入初始条件得：
1
1 2 1 1 2
2 2 1()
1 3 2 ( 1 ) ( 1 3 2 )
zz
z z z z z
?
? ? ? ? ?
?? ? ?
? ? ? ? ?
121
1
11 21
4
)1(1
3
21
2
??
?
?? ???
??
?
??
?? zz
z
zz
)(])2(43[)()2(2)( nunnuny nn ?????
11
1)(
??? znu
21
1
21
2
1 )1()1()1
1()(
?
?
?
?
? ???
???
??? z
z
z
zz
zdz
dznnu
这里用到了以下关系：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
例 3,11( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 )
22y n y n y n x n x n? ? ? ? ? ? ?
( ) ( 1 ) ( ),( 1 ) 1,( 2 ) 1nx n u n y y? ? ? ? ? ?
1
21
1
1
( ) ( ) ( 1 )
2
1
( ) ( 1 ) ( 2 )
2
( ) ( ) ( 1 )
z z z y
z z z y y
z z z x??
?
??
?
??? ? ? ? ?
??
??? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ?
对方程两边做单边 z变换有：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
5 1 1( ) ( ) ( )
3 3 2
ny n u n??? ? ?
????
1
1
1 1 1
1
2
5 / 3 1 / 32
11 1
( 1 ) ( 1 ) 1
22
z
zz z z
?
?
? ? ?
?
? ? ?
?? ? ?
1
1()
1z z? ?? ?
1
12
1
12
( 1 ) ( )
()
11
1
22
11
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
22
11
1
22
zz
z
zz
y z y
zz
?
?
??
?
??
?
? ? ?
??
? ? ? ?
??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第七章,Z变换
本章小结, ( Summary )
1,离散时间信号的双边 z变换表示，及其与 DTFT的
关系，与拉氏变换的关系，与 DFT的关系。
2,双边 z变换的收敛域及其特征，收敛域和信号种类
的关系。
3,双边 z变换的性质。
4,离散时间 LTI系统的 z变换分析。系统特性与系统
函数收敛域的关系。
5,单边 z变换及其性质。
6,利用单边 z变换分析增量线性系统。
