第六章 拉普拉斯变换
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
1,双边拉普拉斯变换；
2,双边拉普拉斯变换的收敛域；
3,常用信号的拉氏变换；
4,零极点图与系统函数；
5,双边拉普拉斯变换的性质；
6,单边拉普拉斯变换；
7,利用单边拉氏变换分析增量线性系统；
本章基本内容：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.0 引言 (Introduction):
jne?
傅
jte?,()
stesj????,()njzre??
傅里叶分析方法在信号与 LTI系统分析中如此有
用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成
复指数信号的线性组合，而 复指数函数是一切 LTI 系
统的特征函数。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
通过本章及下一章，会看到拉氏变换和 Z变换不仅
具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能适用
于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问
题，而且还能解决傅里叶分析方法不能适用的许多方
面。
拉氏变换与 Z变换的分析方法是傅里叶分析方法的
推广，傅里叶分析是它们的特例 。
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下
一章要讨论的中心问题。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.1 拉普拉斯变换 （ The Laplace Transform）,
ste
复指数信号 是一切连续时间 LTI系统的特征
函数。如果 LTI系统的单位冲激响应为,则系
统对 产生的响应是：
()ht
ste
( ) ( ) sty t H s e?
( ) ( ) stH s h t e dt? ???? ?
其中
当 时，就是连续时间傅里叶变换 。sj??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
一, 定义：
( ) ( ) stX s x t e dt? ?
??
? ?
称为 的 双边拉氏变换 。其中()xt sj?? ? ?
0? ? sj??若, 则,
( ) ( ) jtX j x t e dt? ?????? ?
就是 的傅里叶变换 。()xt
表明,连续时间傅里叶变换是拉氏变换在,
或是在 轴上的特例。
0??
j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
( ) ( ) [ ( ) ]t j t t j tX s x t e e d t x t e e d t???? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
????
[ ( ) ]tx t e ??? F[
由于
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广,的拉
氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合适的
存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号，
在引入 后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不
收敛而它的拉氏变换存在。因此,拉氏变换比傅里叶
变换有更广泛的适用性。
()xt
te ??
() tx t e ?? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
如果 在 收敛，则有：
()Xs sj??
( ) ( ) jtX j x t e dt? ?????? ?
( ) ( )sjX s X j??? ? ?
表明 傅立叶变换就是拉氏变换在 轴上的表现 。j?
由傅立叶反变换有：
1( ) ( )
2
t j tx t e X j e d? ?
?
???
??
? ? ? ??
1
( ) ( )
2
1
()
2
t j t
st
x t X j e e d
X s e d
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ?
??
?
?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
由 得sj?? ? ?
d s jd??
? s?? ? ?? jj??? ? ? ? ?当 从 时,从
1( ) ( )
2
j st
j
x t X s e d s
j
?
??
??
??
?? ? 拉氏反变换
拉氏变换的物理含义：
可以被分解成复振幅为
的复指数信号 的线性组合。
()xt 1 ()
2
X s ds
j?
ste
? ??? ?? dtetxsX st)()( 1( ) ( )2 j st
j
x t X s e ds
j
?
??
??
??
? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.2 拉氏变换的收敛域 ( Region of Convergence ):
一．收敛域 ROC：
)(sX
使 存在的 s 的取值范围称为 的收敛域。)(sX
由于
( ) [ ( ) ],tX s F x t e ???? ROC与 有关，它就是?
tetx ??)(使 绝对可积的那些 的取值范围。这表明
ROC由 决定。]Re[s
?
例 1,)()( tuetx t??
( 1 )
00
()
1
1
t st s t
X s e e dt e dt
s
??
? ? ? ?
??
?
?
??
)1( ???
j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
例 2,)()( tuetx t ??? ?
0 ( 1 )() stX s e dt??
???? ? 1
1
?? s
)1( ???
我们看到：两个不同的信号具有相同的拉氏变换式，
只是它们的 ROC不同。这表明,拉氏变换式连同 ROC
才能与信号建立一一对应的关系。
例 3,)()()( tuetueetx atatta ?? ????
0
0
11() a t s t a t s tX s e e d t e e d t
s a s a
?? ? ?
??
? ? ? ? ?????
( ),( )aa??? ? ?
? 当 a>0 时，这两个积分的收敛
域有共同部分 aa ??? ?
?
j?
1? 0
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
22
1 1 2() aXs
s a s a s a
?? ? ?
? ? ?
此时 存在。
()Xs
? 当 a<0 时，这两个 ROC无公共区域 不存在。
()Xs
例 4,)()( tutx ?
结论,1,拉氏变换虽然是付氏变换的推广，但并非任
何信号的拉氏变换都存在。
2,同时可以看到 ROC通常是一个平行于 轴
的带形区域。
?j
0
1() stX s e d t
s
? ???? 0??
j?
?
aa? 0
?
j?
0
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
例 5,)()( ttx ??
1)()( ?? ????? dtetsX st?
例如：
)()( tuetx t??
11()
11 sj
Xj
js ??
? ? ?
? ? ?
ROC为整个 S平面
?j ()Xj?
( ) ( ) sjX j X s ????
? 当 的 ROC包括 轴时,存在，且有：
()Xs
一般地说，如果 ROC不包含 轴,轴也不是
ROC的边界时,不存在，例如：
?j ?j
()Xj?
?j ()Xj?()Xs? 当 的 ROC不包含 轴时,可能不存在。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
1( ) ( ),( ),( 1 )
1
tx t e u t X s
s ?
?? ? ? ? ? ?
?
由于 ROC不包含 轴，因此 不存在。?j
()Xj?
)()()(
1
k
N
k
kjs asXjX ?????? ?
?
?? ??
?j?j
? 如果 ROC不包含 轴，但 轴是 ROC的边界时，
可以利用冲激函数表示为：
)(sXka
)(sXks)(sX
)(sX
)()( tutx ?,( ) 1 /,X s s? 0;? ? 0??
假定 在 轴上有 N个极点,也即 分母
的根,是 在极点 处的留数,如：
?j
,kksj??
ks
的极点为 s＝ 0，极点处的留数为 1。
是 ROC的边界。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
所以,1
( ) ( )Xj
j
??? ? ? ?
?
二, 拉氏变换的零极点图：
从例子中看到，一般情况下 可以表示为两个多
项式之比，即
()Xs
()
()
()
( ) ( )
i
i
i
i
s
Ns
X s M
D s s
?
?
?
??
?
?
?
分子多项式的根称为 零点,分母多项式的根称为 极点 。
将 的全部零点和极点表示在 S 平面上，就构
成了 零极点图 。
()Xs
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
零极点图及其收敛域可以表示一个,最多
与真实的 相差一个因子 。
因此,零极点图是拉氏变换的图示方法 。
()Xs
()Xs M
三, ROC的特征,
从例子可以归纳出 ROC的以下性质：
1,ROC是 S 平面上平行于 轴的带形区域。
2,在 ROC内无任何极点。
3,时限信号的 ROC是整个 S 平面。
4,右边信号的 ROC是 S 平面内某一条平行于 轴
的直线的右边。
?j
?j
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
0() t
T
x t e dt?? ? ???
若,则
10???
1() t
T x t e dt
?? ??
0 1 0
1 0 0
()
()
()
()
tt
T
Tt
T
x t e e d t
e x t e d t
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
?
1??
也在收敛域内
说明,若 是右边信号,,在 ROC
内，则有 绝对可积，即：
0?
0() tx t e ??
()xt Tt? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
5,左边信号的 ROC是 S 平面内的一条平行于
轴的直线的左边。
j?
10???
0?
说明,若 是左边信号,定义于,在
ROC内，,则
()xt ?(,T??
0 1 01 ()( ) ( )
TT tttx t e d t x t e e d t? ? ?? ? ? ??
? ? ? ?
???
1 0 0() ()
TTte x t e dt? ? ?? ? ?
??
? ? ??
1??
也在收敛域内。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
0
( ) ( )
0
()
1
[ 1 ]
T
at st
T
s a t s a T
X s e e dt
e dt e
sa
??
? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
?
例 1,?
()xt ?
ate?
0 其它
0 tT??
t
6,双边信号的 ROC如果存在，一定是 S 平面内平行
于 轴的带形区域。
j?
j?
有极点 sa??,考查零点，令 () 1s a Te ?? ?
2s a j k
T
?? ? ?得
()Xs
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
显然在 也有一阶零点，由于零极点相抵
消，致使整个 S 平面上无极点。
sa??
当 是有理函数时，其 ROC总是由 的极
点分割的。 ROC必然满足下列规律：
()Xs ()Xs
1,右边信号的 ROC一定是 最右边极点的右边。
2,左边信号的 ROC一定是 最左边极点的左边。
()Xs
()Xs
3,双边信号的 ROC可以是任意两相邻极点之间的 带
形区域 。
例 2.
2
1 1 1()
3 2 1 2Xs s s s s? ? ?? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
j?
1?2?
?
R e [ ] 2s ??
R e [ ] 1s ??
2 R e [ ] 1s? ? ? ? ()xt
()xt
()xt
1,ROC,此时 是
右边信号 。
2,ROC,此时 是
左边信号 。
3,ROC,此时
是 双边信号 。
可以形成三种 ROC：
()Xs
的极点：
()Xs 1,2ss? ? ? ?
? 根据极点分布和 ROC的特征，可以判断信号的种类。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.3 拉氏变换的性质：
( Properties of the Laplace Transform )
? 拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。
这里只着重于 ROC的讨论。
1,线性 （ Linearity ）,
若
11( ) ( ),x t X s? 1RO C, R
22( ) ( ),x t X s? 2RO C, R
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x t b x t a X s b X s? ? ?
则
ROC, 至少是 12RR
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
1
12( ) 1,
11
sXs
ss
?? ? ?
??
R O C, 1? ??
2
1( ),
1Xs s
??
?
R O C, 1? ??
? ?12( ) ( ) 1x t x t t?? ? ?而, ROC为整个 S平面。
? 当 与 无交集时，表明 不存在。
1R 2R ()Xs
2,时移性质（ Time Shifting）：
例, ? ? ? ?
1 () tx t t e u t? ??? ? ?2
() tx t e u t???
( ) ( ),x t X s? ROC, R
00( ) ( ),stx t t X s e ???
ROC不变
若
则
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
j?
j?
例, ? ?
( ),tx t e u t?? 1( ),
1Xs s? ?
1? ??
? ?23 1( ) ( 2 ) 3ttx t e e u t X s s??? ? ? ? ? ?
显然 R O C, 3? ??
表明 的 ROC是将 的 ROC
平移了一个 。
0()X s s? ()Xs
0Re[ ]s
3,S域平移（ Shifting in the s-Domain）：
0ReRO C ],[Rs?0 0( ) ( ),stx t e X s s??
( ) ( ),x t X s? R O C, R
若 则，
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
例,
? ? 1( ) ( ),1tx t e u t X s s?? ? ? ?1? ??
? ?2()
2
12
( ),
1 21
2
tt
x e u t
Xs
ss
?
?
??
??
1R O C,
2? ??
4,时域尺度变换 （ Time Scaling）,
ROC, R( ) ( ),x t X s?
1( ) ( )sx at X
aa?
R O C, aR
若
则
当 时 收敛，当 时Re[]saR???R?? R?()sXaRe[]sa()Xs
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
( ) ( ),x t X s? ? ? R O C, R?特例：
即，若信号在时域尺度变换，拉氏变换的 ROC在
S平面上作相反的尺度变换。
例,
1
1( ),
1Xs s? ?
1,? ??
? ? ? ?2
1( ),
23
sXs
ss
??
??
2,? ??
12 1RR ?? ? ?
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x t x t X s X s??
ROC,12RR包括
11( ) ( ),x t X s? 1RO C, R
22( ) ( ),x t X s? 2RO C, R
若
则
5,卷积性质 （ Convolution Property）：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
? ? ? ?12
1( ) ( ),
23X s X s ss? ??
2,? ??
ROC扩大
)()( 21 sXsX当 有零极点抵消时,ROC可能会扩大。
6,时域微分,（ Differentiation in the Time Domain）
() ( ),d x t s X s
dt ?
( ) ( ),x t X s? ROC, R
ROC包括 R,有可能扩大。
若
则
当 在 s＝ 0有一阶极点，且该极点位于 ROC边界
上时,由于 s 的引入将消去该极点，从而使 ROC扩大。
()Xs
卷积特性是 LTI系统复频域分析的理论基础。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
例, 1
( ) ( ) ( ) 1tx t e u t X s s?? ? ? ?( 1)? ??
例, 1
( ) ( ) ( )x t u t X s s? ? ?( 0)? ?
( ) ( ) 1x t t?? ??
ROC,整个 S平面
7,时域积分,（ Integration in the Time Domain ）
1( ) ( )t x d X s
s???? ??
ROC：包括 ( 0 )R ? ?
( ) ( ) ( )t x d x t u t???? ??? ( ) 1 /u t s? ( 0)? ?
() 1sxt s? ? ? ( 1)? ??
（ ROC不变 )
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
)()( sXtx ? ROC,R
?
)(1)( sXsdcxt ??
??
?
,ROC包括 ( 0 )R ? ?
如果 在 s=0 有零点，则由于零极点相抵消，
ROC可能会扩大。
()Xs
()xt?
t
0
-1
-1 1 2
1
0-1 1 2
1 ()xt
t
例,
)]2()1([)]()1([)( ???????? tututututx
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
)(1)1(1)( 2 sss eesestx ?? ?????
?
)1(1)( 22 sss eeestx ?? ????
)1)(1(1 22 ss ees ????
在 s=0有二阶零点与二阶极点相抵消，因此,ROC
为整个 S平面。
8,s域微分,（ Differentiation in the s-Domain）
( ) ( )x t X s?
ROC,R
若
ds
sdXttx )()( ?? ROC:R则
()xt?
t
0
-1
-1 1 2
1
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
ds
sdX )( 只会造成阶数的提高,不会改变极点的位置，
所以 ROC不变。
2
11( ) [ ] ( 1 )
1 ( 1 )
tt e u t
ss
?? ?? ? ? ? ?
??
1( ) ( 1 )
1
te u t
s ?
? ? ? ?
?
例,
2
11 ()
()
d
s a ds s a????
( ) ( )atx t te u t???
R O C, a? ?? 求 ()xt
2
1()
()Xs sa? ?
例,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
9,s域积分,（ Integration in the s- Domain ）
111
1)()( d t d setxdssX ts
ss
?? ?
??
? ? ?? ?
dtdsetx s ts 11)( ?? ? ????? 1 () stx t e d tt? ?
??
? ?
?? )(1 txt 11 )( dssXs??
1
1( ) ( )
stX s x t e d t? ?
??? ?
证,
( ) ( ) R O C,x t X s R?
11 )()(
1 dssXtx
t s?
?? ROC,R
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
10,初值定理,（ The Initial-Value Theorem )
)(lim ssXs ?? )(lim)0( ssXx s ??? ?
且 存在，则
若因果信号 在 t＝ 0无奇异函数,)()( sXtx ?()xt
0t ? ( ) 0xt ?
( ) ( ) ( )x t x t u t??
时,且在 不包含奇异函数。0t ?证：
将 在 展开为 Telory级数有：
()xt 0t ??
2
()( ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) ( )
2!
n
nttx t x x t x x u t
n
? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ?
??
??
对两边进行拉氏变换：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
)0()(lim ??? ? xssXs
()
21
1 1 1( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )n
nX s x x xs s s
? ? ?
??? ? ? ? ?
()
1
0
1( 0 )n
n
n
x
s
?
?
?
?
? ?
)(lim ssXs ??
)(lim ssXs ??
条件 存在，意味着 在 不包含
冲激及其导数，在 确有初值存在。
初值可通过 S域的 求得，而不需要求
的反变换。
()xt
0t?
()Xs
0t?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
11,终值定理,（ The Final-Value Theorem )
00 0 0
() ( ) ( ) ( )s t s t s t s td x t e d t e d x t x t e s e x t d t
dt ?? ? ?
? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?
是因果信号，且在 无奇异函数,
()xt 0t ?证,
除了在 可以有一阶极点外，其它极点
均在 S的左半平面（即保证 有终值）。
()Xs 0s?
()xt
若因果信号,且在 无奇异函数,
除在 s＝ 0可以有一阶极点外，其余极点均在 S
平面的左半面。
( ) ( )x t X s?
0li m ( ) li m ( )tsx t s X s? ? ??
()Xs
则
0t ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
的实部 可以大于零，从而有s? ?
0( ) ( 0 )
stx t e x
?
? ? ???
0
() ( 0 ) ( )std x t e d t x s X s
dt?
? ??? ? ? ??
当 时，
00
() ( ) l i m ( ) (0 )st
t
d x t e d t d x t x t x
dt??
?? ??
??
? ? ???
0s?
0l i m ( ) l i m ( )tsx t s X s? ? ???
故 的 ROC中必包含 轴。()sX s
j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
极点在 S平面的分布与终值的关系：
?j
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.4 常用信号的拉氏变换：
( Some Laplace Transform Pairs )
)(t?
由 或 的拉氏变换出发，利用拉氏变换的性
质，可以求出许多常用信号的拉氏变换。
()ut
1,)()( tutx ???
s
tu 1)( ? ( 0)? ? stu 1)( ??? ??? 尺度
( 0)? ?
s
tu 1)( ???? ( 0)? ?
2.
)()( tuetx at??
stu
1)( ? 由 S域平移有 1()ate u t
sa
? ?
?
()a? ??
( 0)? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
3.
( ) ( )atx t e u t?? ? ?
s
tu 1)( ? ( 0)? ?
1()ut
s
? ? ? ( 0)? ?
由 S域平移有, 1
()ate u t
sa
?? ? ?
?
()a? ??
)()()( tuetuetx atat ??? ?
22
1 1 2() aXs
s a s a s a
?? ? ?
? ? ?
()aa?? ? ?
astue
at
??
? 1)(
astue
at
????
1)(()a? ?? ()a? ?
( ) 0atx t e a???，4.
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
22
1 1 2() sXs
s a s a s a???? ? ?
()aa?? ? ?
偶信号 偶函数()Xs
奇信号 奇函数
()Xs
5.
( ) c o s ( )cx t t u t? ? ?
1( ) ( ) ( )
2
ccj t j tx t e e u t? ? ???
22
1 1 1( ) ( )
2 c c c
sXs
s j s j s
? ? ?
? ? ? ? ? ?
( 0)? ?
)()()( tuetuetx atat ??? ? 奇信号（ a>0）若
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
1( ) ( ) ( )
2
ccj t j tx t e e u t
j
? ? ???
( ) sin ( )cx t t u t? ? ?
22
1 1 1( ) ( )
2
c
c c c
Xs
j s j s j s
?? ? ?
? ? ? ? ? ?
( 0)? ?
6,( ) c os ( )at
cx t e t u t
?? ? ?
由 5.再次利用 s域平移性质可得,
22() ()
c
saXs
sa
??
? ? ?
()a? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
astue
at
??
? 1)( ()a? ?? 由 s域微分性质有,
2
11( ) ( )
()
at dte u t
d s s a s a
? ? ? ?
??
()a? ??
2
3
11()
2 ( )
att e u t
sa
? ?
?
()a? ??
7.
11( ) ( )
( 1 ) !
n a tx t t e u t
n
???
?
111 ()
( 1 ) ! ( )
n a t
nt e u tn s a
????
??
()a? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
当 a=0时，有：
111()
( 1 ) !
n
nt u tns
? ?
?
( 0)? ?
0 T t
T 0
()xt
例 1.
0 T 2T
T
t
……
()xt
)()(
0
0 nTtxtx
n
?? ?
?
?
)]()([)(0 Ttututtx ???
0 ( ) ( ) ( ) ( )x t u t u t T T t T?? ? ? ? ? ?
0 T t
1 0
()xt?
（ T）
0
1? ( ) (1 )s T s TX s e T e
s
??? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
0 2
1( ) ( 1 )s T s TTX s e e
ss
??? ? ?
0
0
0
()( ) ( )
1
n s T
sT
n
XsX s X s e
e
?
?
?
?
??
??
( 0)? ?
)1(1 sT
sT
Te
s
e
s
?
?
???
（括号中第一项无极点）
例 2.
)(tf
包络函数 te?
1 2
t
0
0()ft
t
0 1 2
0
0
( ) ( 2 ) t
n
f t f t n e
?
?
?
? ? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
0 ( ) ( ) 2 ( 1 ) ( 2 )f t u t u t u t? ? ? ? ?
22
00 2
00
11
( 2 ) ( ) ( 1 )
1
1)
(1
s n s
s
nn
s
s
f t n F s e e
se
e
se
??
??
?
??
?
?
? ? ? ?
?
?
?
??
??
（
）
22
0
11( ) ( 1 2 ) ( 1 )s s sF s e e e
ss
? ? ?? ? ? ? ?
(ROC为整个 s平面 )
( 1 )
( 1 )
1 (1 )
( 1 ) (1 )
s
s
e
se
??
??
?
??
0
0
( 2 ) t
n
f t n e
?
?
?
? ? ?? ( 1)? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.5 拉氏反变换,（ The Inverse Laplace Transform )
当 是有理函数时，通常利用部分分式展开法
做拉氏反变换。
()Xs
)(
)()(
sD
sNsX ? )(sN
若,当 的阶数低于 的
阶数时，称为有理真分式。可直接将其展开成部分分
式。当 的阶数大于或等于 的阶数时，先
长除，再将余式展开成部分分式。
)(sD)(sN
)(sD
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
各分式均只有一个极点，其 ROC不是该极点的右
边就是它的左边。确定的原则是 各分式 ROC的公共
部分应符合 ROC的要求。
()Xs
1
()
N
i
i i
AXs
ss?
?
??
此时,可展开为()Xs
对其每一项分别做反变换即可得到 。()xt
部分分式展开法是做拉氏反变换的主要方法。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
例：
32
8 1 6()
9 2 3 1 5
sXs
s s s
??
? ? ?
( 1)? ??
8 1 6()
( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) 1 3 5
s A B CXs
s s s s s s
?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1
1
8 1 6( ) ( 1 ) 3
( 3 ) ( 5 )
s
s
sA X s s
ss
??
??
?? ? ? ? ?
??
3
3
8 1 6( ) ( 3 ) 1 0
( 1 ) ( 5 )
s
s
sB X s s
ss
??
??
?? ? ? ?
??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
5
5
8 1 6( ) ( 5 ) 7
( 1 ) ( 3 )
s
s
sC X s s
ss
??
??
?? ? ? ? ?
??
)()7103()( 53 tueeetx ttt ??? ?????
当 有复数极点、重阶极点时，部分分式的展
开见教材附录。
()Xs
3 1 0 7()
1 3 5Xs s s s
??? ? ?
? ? ?
1??? 3??? 5???
( 1)? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
)()()( thtxty ??
一．复频域分析法：
6.6 连续时间 LIT系统的复频域分析：
( Continuous-Time LTI System Analysis in s-Domain )
)()()( sHsXsY ? R O C, 1 2RR包括
ROC,R1 R2
若系统稳定,的 ROC包括 轴，当 s＝ 时，
即有
?j?j
( ) ( ) ( )Y j X j H j? ? ? ?
这就是频域分析法。 是 系统的频率响应 。()Hj?
()Hs
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
)(sH
称为 系统函数。
()( ) ( ) ; ( )
()
YsH s h t H s
Xs
??
1,由 LCCDE描述的系统,
二．系统函数的计算：
k
kM
k
kk
kN
k
k dt
txdb
dt
tyda )()(
00
??
??
?
对微分方程
)()(
00
sXsbsYsa k
M
k
k
k
N
k
k ??
??
?
两边做拉氏变换
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
k
N
k
k
k
M
k
k
sa
sb
sH
?
?
?
??
0
0)( 是一个关于 S 的 有理函数。
由方程得到的,并未给定 ROC，需要借助于
系统的因果性或稳定性来确定 ROC。
)(sH
()Hj?
?j
? 如果系统稳定，则 存在,的 ROC必定包
含 轴。
)(sH
? 如果系统是因果的，则 是右边信号,的
ROC必为最右边极点的右边。
()ht )(sH
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
? 对系统函数是有理函数的 因果、稳定系统,其
的 全部极点必须在 s 平面的左半平面 。
)(sH
()
1
se
Hs
s
?
?
1???
)1()( )1( ?? ?? tueth t
? 若系统函数是 非有理函数,此结论的逆命题不一定
成立。如：, ROC是最右边极
点的右边，但
系统是非因果的。
2,由零极点图描述的系统,
可由零极点图得出,最多差一个常数因子，
如果 已知，则该常数可以确定。
)(sH
(0)H
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
例：某连续时间 LTI因果系统的零极点图如下：
的 ROC可由系统的因果性、稳定性确定。)(sH
?j
?
1?2?
( 1)? ??ROC:
3
()
2()
( 1 ) ( 2)
s
H s M
ss
?
?
??
由零极点图可写出：
若已知,则可得 于是
(0) 1H ? 2,M ?
2
2 3 1 1()
3 2 1 2
sHs
s s s s
?? ? ?
? ? ? ?
3,由方框图描述的系统：
方框图与 LCCDE是可以互相转换的，可以由方框图
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
。然后再根据系统的因果、稳定性确定 ROC。
写出 LCCDE进而得出,也可直接由方框图写出)(sH
)(sH
例：若已知图示系统是因果的
)(tx )(ty? ?2 1()s Y s 1()sY s
1
2
3?
5?
6?
1()Ys
)()(2)(3)( 1211 sYsssYsYsY ???? （ 1）
（ 2） )(6)(5)()(
1112 sYssYsXsYs ???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
由（ 2）得
65
)()(
21 ??? ss
sXsY
代入（ 1）得：
)(65 32)( 2
2
sXss sssY ??? ???
65
32)(
2
2
??
????
ss
sssH 2???
对于由方框图描述的系统，通常总是分别对两个
加法器的输出端列写方程。然后设法消去所设的中
间变量，得到一个输入 — 输出方程，进而可得出系
统函数。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.7 单边拉氏变换：
（ The Unilateral Laplace Transform )
一, 定义：
dtetxs st? ? ???
0
)()(?
dses
j
tx stj? ??
??
? ?
?
?
?
)(
2
1)(
单边拉氏变换
单边拉氏变换 与双边拉氏变换的区别仅在于积分
下限。下限可以取 0、, 。 习惯上通常取,这样
可以包括 在 t＝ 0有奇异函数的情况。
?0?0 ?0
()xt
单边拉氏变换与双边拉氏变换的关系：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
1）单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例，即：因
果信号的双边拉氏变换。
2）若两个信号 在 t>0 时相同，但 t<0 时不同，就
会有相同的单边拉氏变换和不同的双边拉氏变换。
除了时域微分、时域积分及时延性质略有不同外，
二, 单边拉氏变换的性质：
3） ROC:由于单边拉氏变换就是因果信号的双边拉
氏变换，所以 ROC一定是最右边极点的右边，可以
不必特殊强调。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
其余性质均与双边拉氏变换相同。
1,时域微分,（ Differentiation in the Time Domain）
)0()( ??? xss ?
000
( ) ( ) ( )s t s t s td x t e d t x t e s x t e d tdt ????? ?? ? ?????
证：
2
32
( ) ( ) ( 0 ) ( 0 )
( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
x t s s s x x
x t s s s x s x x
?
?
??
? ? ?
?? ?? ? ?
??? ? ??? ? ? ?
同理依次可推得：
)()( stx ?? )0()()( ???? xsstx ?
若 则
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
2,时域积分,（ Integration in the Time Domain ）
011( ) ( ) ( )t x d s x d
ss? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
????
0
0
( ) ( ) ( )ttx d x d x d? ? ? ? ? ?
?
?? ? ? ???? ? ?
0
0 0 0( ) ( ) ( ( ) )
tt s t s tx d x d e d t x d e d t? ? ? ? ? ??
? ? ?
????
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
0
000
11( ) ( ) ( )st t stex d x d x t e d t
s s s? ? ? ?
?
???
? ?
??
??
? ? ?? ? ?
011( ) ( )x d s
ss? ? ?
?
??
???
证明：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
3,时延性质,（ Time Shifting）
当 是因果信号时，单边拉氏变换的时延特性
与双边拉氏变换时一致。
()xt
不是因果信号时，()xt
0
0
()
00 0( ) ( ) ( )
stst
t
x t t x t t e d t x e d?????? ???
?
? ? ? ???
00
0
0 ( ) ( )
0
( ) ( )s t s t
t
x e d x e d??? ? ? ?
?
?
?? ? ? ?
?
????
00
00( ) ( )
tst sts e x t t e d t?
?
? ?? ? ??
( ) ( ) ( )x t u t s??
000( ) ( ) ( ) stx t t u t t s e? ?? ? ?
则
0( 0)t ?
若 ( ) ( )x t s??即单边变换
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.8 利用单边拉氏变换分析增量线性系统,
? 单边拉氏变换特别适合于分析由 LCCDE描述的增
量线性系统。
例, 某 LTI系统由微分方程描述
解,对方程两边做单边拉氏变换：
2 2( ) (0 ) (0 ) 3 [ ( ) (0 ) ] 2 ( )s s s y y s s y s
s
? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ???
(0 ) 3,y ? ? (0 ) 5y ?? ?? 求响应 ()yt
2
2
( ) ( )3 2 ( ) ( ),d y t d y t y t x t
d t d t? ? ?
( ) 2 ( )x t u t?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
代入 (0 ) 3,y ? ? (0 ) 5y ?? ?? 可得
2 2 2
3 ( 3 ) 5 2
()
3 2 3 2 ( 3 2 )
s
s
s s s s s s s
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
零输入响应 零状态响应
2
22
3 4 2 3 4 2()
3 2 ( 3 2) ( 1 ) ( 2)
s s ss
s s s s s s s s
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
2
3 4 1 2()
3 2 1 2zi
ss
s s s s
?? ? ? ?
? ? ? ?
可得 零输入响应：
2( ) ( 2 ) ( )ttziy t e e u t????
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
2( ) ( 1 3 ) ( )tty t e e u t??? ? ? ?
其中，第一项为 强迫响应,其它为 自然响应 。
零状态响应：
2
2 1 2 1()
( 3 2 ) 1 2zs s s s s s s s? ? ? ? ?? ? ? ?
2( ) ( 1 2 ) ( )ttzsy t e e u t??? ? ?
1 1 3
12s s s? ? ???
23 4 2
() ( 1 ) ( 2)sss s s s???? ??
系统的全响应：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
由系统框图求出系统函数 H(s),再列出微分方
程进行求解。
1）由电路列出微分方程。
2）对方程进行单边拉氏变换，带入初始条件求解 。
? 对于由电路描述的系统，通常按以下步骤：
? 对于由方框图描述的系统：
? 对于由 h(t) 描述的系统：
L C C D EsHth ?? )()(
由 然后按微分方程
描述系统的情况求解。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
本章小结：（ Summary ）
? 拉氏变换是傅氏变换的推广，它可以将微分方程
变换为代数方程，在 LTI系统分析中特别有用。
? ROC是双边拉氏变换中十分重要的概念。
? 零极点图是拉氏变换的几何表示，广泛应用于工
程实际中。
? 单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。
? 单边拉氏变换被广泛用于分析增量线性系统 。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
1,双边拉普拉斯变换；
2,双边拉普拉斯变换的收敛域；
3,常用信号的拉氏变换；
4,零极点图与系统函数；
5,双边拉普拉斯变换的性质；
6,单边拉普拉斯变换；
7,利用单边拉氏变换分析增量线性系统；
本章基本内容：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.0 引言 (Introduction):
jne?
傅
jte?,()
stesj????,()njzre??
傅里叶分析方法在信号与 LTI系统分析中如此有
用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成
复指数信号的线性组合，而 复指数函数是一切 LTI 系
统的特征函数。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
通过本章及下一章，会看到拉氏变换和 Z变换不仅
具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能适用
于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问
题，而且还能解决傅里叶分析方法不能适用的许多方
面。
拉氏变换与 Z变换的分析方法是傅里叶分析方法的
推广，傅里叶分析是它们的特例 。
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下
一章要讨论的中心问题。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.1 拉普拉斯变换 （ The Laplace Transform）,
ste
复指数信号 是一切连续时间 LTI系统的特征
函数。如果 LTI系统的单位冲激响应为,则系
统对 产生的响应是：
()ht
ste
( ) ( ) sty t H s e?
( ) ( ) stH s h t e dt? ???? ?
其中
当 时，就是连续时间傅里叶变换 。sj??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
一, 定义：
( ) ( ) stX s x t e dt? ?
??
? ?
称为 的 双边拉氏变换 。其中()xt sj?? ? ?
0? ? sj??若, 则,
( ) ( ) jtX j x t e dt? ?????? ?
就是 的傅里叶变换 。()xt
表明,连续时间傅里叶变换是拉氏变换在,
或是在 轴上的特例。
0??
j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
( ) ( ) [ ( ) ]t j t t j tX s x t e e d t x t e e d t???? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
????
[ ( ) ]tx t e ??? F[
由于
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广,的拉
氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合适的
存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号，
在引入 后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不
收敛而它的拉氏变换存在。因此,拉氏变换比傅里叶
变换有更广泛的适用性。
()xt
te ??
() tx t e ?? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
如果 在 收敛，则有：
()Xs sj??
( ) ( ) jtX j x t e dt? ?????? ?
( ) ( )sjX s X j??? ? ?
表明 傅立叶变换就是拉氏变换在 轴上的表现 。j?
由傅立叶反变换有：
1( ) ( )
2
t j tx t e X j e d? ?
?
???
??
? ? ? ??
1
( ) ( )
2
1
()
2
t j t
st
x t X j e e d
X s e d
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ?
??
?
?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
由 得sj?? ? ?
d s jd??
? s?? ? ?? jj??? ? ? ? ?当 从 时,从
1( ) ( )
2
j st
j
x t X s e d s
j
?
??
??
??
?? ? 拉氏反变换
拉氏变换的物理含义：
可以被分解成复振幅为
的复指数信号 的线性组合。
()xt 1 ()
2
X s ds
j?
ste
? ??? ?? dtetxsX st)()( 1( ) ( )2 j st
j
x t X s e ds
j
?
??
??
??
? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.2 拉氏变换的收敛域 ( Region of Convergence ):
一．收敛域 ROC：
)(sX
使 存在的 s 的取值范围称为 的收敛域。)(sX
由于
( ) [ ( ) ],tX s F x t e ???? ROC与 有关，它就是?
tetx ??)(使 绝对可积的那些 的取值范围。这表明
ROC由 决定。]Re[s
?
例 1,)()( tuetx t??
( 1 )
00
()
1
1
t st s t
X s e e dt e dt
s
??
? ? ? ?
??
?
?
??
)1( ???
j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
例 2,)()( tuetx t ??? ?
0 ( 1 )() stX s e dt??
???? ? 1
1
?? s
)1( ???
我们看到：两个不同的信号具有相同的拉氏变换式，
只是它们的 ROC不同。这表明,拉氏变换式连同 ROC
才能与信号建立一一对应的关系。
例 3,)()()( tuetueetx atatta ?? ????
0
0
11() a t s t a t s tX s e e d t e e d t
s a s a
?? ? ?
??
? ? ? ? ?????
( ),( )aa??? ? ?
? 当 a>0 时，这两个积分的收敛
域有共同部分 aa ??? ?
?
j?
1? 0
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
22
1 1 2() aXs
s a s a s a
?? ? ?
? ? ?
此时 存在。
()Xs
? 当 a<0 时，这两个 ROC无公共区域 不存在。
()Xs
例 4,)()( tutx ?
结论,1,拉氏变换虽然是付氏变换的推广，但并非任
何信号的拉氏变换都存在。
2,同时可以看到 ROC通常是一个平行于 轴
的带形区域。
?j
0
1() stX s e d t
s
? ???? 0??
j?
?
aa? 0
?
j?
0
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
例 5,)()( ttx ??
1)()( ?? ????? dtetsX st?
例如：
)()( tuetx t??
11()
11 sj
Xj
js ??
? ? ?
? ? ?
ROC为整个 S平面
?j ()Xj?
( ) ( ) sjX j X s ????
? 当 的 ROC包括 轴时,存在，且有：
()Xs
一般地说，如果 ROC不包含 轴,轴也不是
ROC的边界时,不存在，例如：
?j ?j
()Xj?
?j ()Xj?()Xs? 当 的 ROC不包含 轴时,可能不存在。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
1( ) ( ),( ),( 1 )
1
tx t e u t X s
s ?
?? ? ? ? ? ?
?
由于 ROC不包含 轴，因此 不存在。?j
()Xj?
)()()(
1
k
N
k
kjs asXjX ?????? ?
?
?? ??
?j?j
? 如果 ROC不包含 轴，但 轴是 ROC的边界时，
可以利用冲激函数表示为：
)(sXka
)(sXks)(sX
)(sX
)()( tutx ?,( ) 1 /,X s s? 0;? ? 0??
假定 在 轴上有 N个极点,也即 分母
的根,是 在极点 处的留数,如：
?j
,kksj??
ks
的极点为 s＝ 0，极点处的留数为 1。
是 ROC的边界。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
所以,1
( ) ( )Xj
j
??? ? ? ?
?
二, 拉氏变换的零极点图：
从例子中看到，一般情况下 可以表示为两个多
项式之比，即
()Xs
()
()
()
( ) ( )
i
i
i
i
s
Ns
X s M
D s s
?
?
?
??
?
?
?
分子多项式的根称为 零点,分母多项式的根称为 极点 。
将 的全部零点和极点表示在 S 平面上，就构
成了 零极点图 。
()Xs
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
零极点图及其收敛域可以表示一个,最多
与真实的 相差一个因子 。
因此,零极点图是拉氏变换的图示方法 。
()Xs
()Xs M
三, ROC的特征,
从例子可以归纳出 ROC的以下性质：
1,ROC是 S 平面上平行于 轴的带形区域。
2,在 ROC内无任何极点。
3,时限信号的 ROC是整个 S 平面。
4,右边信号的 ROC是 S 平面内某一条平行于 轴
的直线的右边。
?j
?j
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
0() t
T
x t e dt?? ? ???
若,则
10???
1() t
T x t e dt
?? ??
0 1 0
1 0 0
()
()
()
()
tt
T
Tt
T
x t e e d t
e x t e d t
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
?
1??
也在收敛域内
说明,若 是右边信号,,在 ROC
内，则有 绝对可积，即：
0?
0() tx t e ??
()xt Tt? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
5,左边信号的 ROC是 S 平面内的一条平行于
轴的直线的左边。
j?
10???
0?
说明,若 是左边信号,定义于,在
ROC内，,则
()xt ?(,T??
0 1 01 ()( ) ( )
TT tttx t e d t x t e e d t? ? ?? ? ? ??
? ? ? ?
???
1 0 0() ()
TTte x t e dt? ? ?? ? ?
??
? ? ??
1??
也在收敛域内。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
0
( ) ( )
0
()
1
[ 1 ]
T
at st
T
s a t s a T
X s e e dt
e dt e
sa
??
? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
?
例 1,?
()xt ?
ate?
0 其它
0 tT??
t
6,双边信号的 ROC如果存在，一定是 S 平面内平行
于 轴的带形区域。
j?
j?
有极点 sa??,考查零点，令 () 1s a Te ?? ?
2s a j k
T
?? ? ?得
()Xs
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
显然在 也有一阶零点，由于零极点相抵
消，致使整个 S 平面上无极点。
sa??
当 是有理函数时，其 ROC总是由 的极
点分割的。 ROC必然满足下列规律：
()Xs ()Xs
1,右边信号的 ROC一定是 最右边极点的右边。
2,左边信号的 ROC一定是 最左边极点的左边。
()Xs
()Xs
3,双边信号的 ROC可以是任意两相邻极点之间的 带
形区域 。
例 2.
2
1 1 1()
3 2 1 2Xs s s s s? ? ?? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
j?
1?2?
?
R e [ ] 2s ??
R e [ ] 1s ??
2 R e [ ] 1s? ? ? ? ()xt
()xt
()xt
1,ROC,此时 是
右边信号 。
2,ROC,此时 是
左边信号 。
3,ROC,此时
是 双边信号 。
可以形成三种 ROC：
()Xs
的极点：
()Xs 1,2ss? ? ? ?
? 根据极点分布和 ROC的特征，可以判断信号的种类。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.3 拉氏变换的性质：
( Properties of the Laplace Transform )
? 拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。
这里只着重于 ROC的讨论。
1,线性 （ Linearity ）,
若
11( ) ( ),x t X s? 1RO C, R
22( ) ( ),x t X s? 2RO C, R
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x t b x t a X s b X s? ? ?
则
ROC, 至少是 12RR
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
1
12( ) 1,
11
sXs
ss
?? ? ?
??
R O C, 1? ??
2
1( ),
1Xs s
??
?
R O C, 1? ??
? ?12( ) ( ) 1x t x t t?? ? ?而, ROC为整个 S平面。
? 当 与 无交集时，表明 不存在。
1R 2R ()Xs
2,时移性质（ Time Shifting）：
例, ? ? ? ?
1 () tx t t e u t? ??? ? ?2
() tx t e u t???
( ) ( ),x t X s? ROC, R
00( ) ( ),stx t t X s e ???
ROC不变
若
则
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
j?
j?
例, ? ?
( ),tx t e u t?? 1( ),
1Xs s? ?
1? ??
? ?23 1( ) ( 2 ) 3ttx t e e u t X s s??? ? ? ? ? ?
显然 R O C, 3? ??
表明 的 ROC是将 的 ROC
平移了一个 。
0()X s s? ()Xs
0Re[ ]s
3,S域平移（ Shifting in the s-Domain）：
0ReRO C ],[Rs?0 0( ) ( ),stx t e X s s??
( ) ( ),x t X s? R O C, R
若 则，
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
例,
? ? 1( ) ( ),1tx t e u t X s s?? ? ? ?1? ??
? ?2()
2
12
( ),
1 21
2
tt
x e u t
Xs
ss
?
?
??
??
1R O C,
2? ??
4,时域尺度变换 （ Time Scaling）,
ROC, R( ) ( ),x t X s?
1( ) ( )sx at X
aa?
R O C, aR
若
则
当 时 收敛，当 时Re[]saR???R?? R?()sXaRe[]sa()Xs
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
( ) ( ),x t X s? ? ? R O C, R?特例：
即，若信号在时域尺度变换，拉氏变换的 ROC在
S平面上作相反的尺度变换。
例,
1
1( ),
1Xs s? ?
1,? ??
? ? ? ?2
1( ),
23
sXs
ss
??
??
2,? ??
12 1RR ?? ? ?
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x t x t X s X s??
ROC,12RR包括
11( ) ( ),x t X s? 1RO C, R
22( ) ( ),x t X s? 2RO C, R
若
则
5,卷积性质 （ Convolution Property）：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
? ? ? ?12
1( ) ( ),
23X s X s ss? ??
2,? ??
ROC扩大
)()( 21 sXsX当 有零极点抵消时,ROC可能会扩大。
6,时域微分,（ Differentiation in the Time Domain）
() ( ),d x t s X s
dt ?
( ) ( ),x t X s? ROC, R
ROC包括 R,有可能扩大。
若
则
当 在 s＝ 0有一阶极点，且该极点位于 ROC边界
上时,由于 s 的引入将消去该极点，从而使 ROC扩大。
()Xs
卷积特性是 LTI系统复频域分析的理论基础。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
例, 1
( ) ( ) ( ) 1tx t e u t X s s?? ? ? ?( 1)? ??
例, 1
( ) ( ) ( )x t u t X s s? ? ?( 0)? ?
( ) ( ) 1x t t?? ??
ROC,整个 S平面
7,时域积分,（ Integration in the Time Domain ）
1( ) ( )t x d X s
s???? ??
ROC：包括 ( 0 )R ? ?
( ) ( ) ( )t x d x t u t???? ??? ( ) 1 /u t s? ( 0)? ?
() 1sxt s? ? ? ( 1)? ??
（ ROC不变 )
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
)()( sXtx ? ROC,R
?
)(1)( sXsdcxt ??
??
?
,ROC包括 ( 0 )R ? ?
如果 在 s=0 有零点，则由于零极点相抵消，
ROC可能会扩大。
()Xs
()xt?
t
0
-1
-1 1 2
1
0-1 1 2
1 ()xt
t
例,
)]2()1([)]()1([)( ???????? tututututx
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
)(1)1(1)( 2 sss eesestx ?? ?????
?
)1(1)( 22 sss eeestx ?? ????
)1)(1(1 22 ss ees ????
在 s=0有二阶零点与二阶极点相抵消，因此,ROC
为整个 S平面。
8,s域微分,（ Differentiation in the s-Domain）
( ) ( )x t X s?
ROC,R
若
ds
sdXttx )()( ?? ROC:R则
()xt?
t
0
-1
-1 1 2
1
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
ds
sdX )( 只会造成阶数的提高,不会改变极点的位置，
所以 ROC不变。
2
11( ) [ ] ( 1 )
1 ( 1 )
tt e u t
ss
?? ?? ? ? ? ?
??
1( ) ( 1 )
1
te u t
s ?
? ? ? ?
?
例,
2
11 ()
()
d
s a ds s a????
( ) ( )atx t te u t???
R O C, a? ?? 求 ()xt
2
1()
()Xs sa? ?
例,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
9,s域积分,（ Integration in the s- Domain ）
111
1)()( d t d setxdssX ts
ss
?? ?
??
? ? ?? ?
dtdsetx s ts 11)( ?? ? ????? 1 () stx t e d tt? ?
??
? ?
?? )(1 txt 11 )( dssXs??
1
1( ) ( )
stX s x t e d t? ?
??? ?
证,
( ) ( ) R O C,x t X s R?
11 )()(
1 dssXtx
t s?
?? ROC,R
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
10,初值定理,（ The Initial-Value Theorem )
)(lim ssXs ?? )(lim)0( ssXx s ??? ?
且 存在，则
若因果信号 在 t＝ 0无奇异函数,)()( sXtx ?()xt
0t ? ( ) 0xt ?
( ) ( ) ( )x t x t u t??
时,且在 不包含奇异函数。0t ?证：
将 在 展开为 Telory级数有：
()xt 0t ??
2
()( ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) ( )
2!
n
nttx t x x t x x u t
n
? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ?
??
??
对两边进行拉氏变换：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
)0()(lim ??? ? xssXs
()
21
1 1 1( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )n
nX s x x xs s s
? ? ?
??? ? ? ? ?
()
1
0
1( 0 )n
n
n
x
s
?
?
?
?
? ?
)(lim ssXs ??
)(lim ssXs ??
条件 存在，意味着 在 不包含
冲激及其导数，在 确有初值存在。
初值可通过 S域的 求得，而不需要求
的反变换。
()xt
0t?
()Xs
0t?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
11,终值定理,（ The Final-Value Theorem )
00 0 0
() ( ) ( ) ( )s t s t s t s td x t e d t e d x t x t e s e x t d t
dt ?? ? ?
? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?
是因果信号，且在 无奇异函数,
()xt 0t ?证,
除了在 可以有一阶极点外，其它极点
均在 S的左半平面（即保证 有终值）。
()Xs 0s?
()xt
若因果信号,且在 无奇异函数,
除在 s＝ 0可以有一阶极点外，其余极点均在 S
平面的左半面。
( ) ( )x t X s?
0li m ( ) li m ( )tsx t s X s? ? ??
()Xs
则
0t ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
的实部 可以大于零，从而有s? ?
0( ) ( 0 )
stx t e x
?
? ? ???
0
() ( 0 ) ( )std x t e d t x s X s
dt?
? ??? ? ? ??
当 时，
00
() ( ) l i m ( ) (0 )st
t
d x t e d t d x t x t x
dt??
?? ??
??
? ? ???
0s?
0l i m ( ) l i m ( )tsx t s X s? ? ???
故 的 ROC中必包含 轴。()sX s
j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
极点在 S平面的分布与终值的关系：
?j
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.4 常用信号的拉氏变换：
( Some Laplace Transform Pairs )
)(t?
由 或 的拉氏变换出发，利用拉氏变换的性
质，可以求出许多常用信号的拉氏变换。
()ut
1,)()( tutx ???
s
tu 1)( ? ( 0)? ? stu 1)( ??? ??? 尺度
( 0)? ?
s
tu 1)( ???? ( 0)? ?
2.
)()( tuetx at??
stu
1)( ? 由 S域平移有 1()ate u t
sa
? ?
?
()a? ??
( 0)? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
3.
( ) ( )atx t e u t?? ? ?
s
tu 1)( ? ( 0)? ?
1()ut
s
? ? ? ( 0)? ?
由 S域平移有, 1
()ate u t
sa
?? ? ?
?
()a? ??
)()()( tuetuetx atat ??? ?
22
1 1 2() aXs
s a s a s a
?? ? ?
? ? ?
()aa?? ? ?
astue
at
??
? 1)(
astue
at
????
1)(()a? ?? ()a? ?
( ) 0atx t e a???，4.
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
22
1 1 2() sXs
s a s a s a???? ? ?
()aa?? ? ?
偶信号 偶函数()Xs
奇信号 奇函数
()Xs
5.
( ) c o s ( )cx t t u t? ? ?
1( ) ( ) ( )
2
ccj t j tx t e e u t? ? ???
22
1 1 1( ) ( )
2 c c c
sXs
s j s j s
? ? ?
? ? ? ? ? ?
( 0)? ?
)()()( tuetuetx atat ??? ? 奇信号（ a>0）若
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
1( ) ( ) ( )
2
ccj t j tx t e e u t
j
? ? ???
( ) sin ( )cx t t u t? ? ?
22
1 1 1( ) ( )
2
c
c c c
Xs
j s j s j s
?? ? ?
? ? ? ? ? ?
( 0)? ?
6,( ) c os ( )at
cx t e t u t
?? ? ?
由 5.再次利用 s域平移性质可得,
22() ()
c
saXs
sa
??
? ? ?
()a? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
astue
at
??
? 1)( ()a? ?? 由 s域微分性质有,
2
11( ) ( )
()
at dte u t
d s s a s a
? ? ? ?
??
()a? ??
2
3
11()
2 ( )
att e u t
sa
? ?
?
()a? ??
7.
11( ) ( )
( 1 ) !
n a tx t t e u t
n
???
?
111 ()
( 1 ) ! ( )
n a t
nt e u tn s a
????
??
()a? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
当 a=0时，有：
111()
( 1 ) !
n
nt u tns
? ?
?
( 0)? ?
0 T t
T 0
()xt
例 1.
0 T 2T
T
t
……
()xt
)()(
0
0 nTtxtx
n
?? ?
?
?
)]()([)(0 Ttututtx ???
0 ( ) ( ) ( ) ( )x t u t u t T T t T?? ? ? ? ? ?
0 T t
1 0
()xt?
（ T）
0
1? ( ) (1 )s T s TX s e T e
s
??? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
0 2
1( ) ( 1 )s T s TTX s e e
ss
??? ? ?
0
0
0
()( ) ( )
1
n s T
sT
n
XsX s X s e
e
?
?
?
?
??
??
( 0)? ?
)1(1 sT
sT
Te
s
e
s
?
?
???
（括号中第一项无极点）
例 2.
)(tf
包络函数 te?
1 2
t
0
0()ft
t
0 1 2
0
0
( ) ( 2 ) t
n
f t f t n e
?
?
?
? ? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
0 ( ) ( ) 2 ( 1 ) ( 2 )f t u t u t u t? ? ? ? ?
22
00 2
00
11
( 2 ) ( ) ( 1 )
1
1)
(1
s n s
s
nn
s
s
f t n F s e e
se
e
se
??
??
?
??
?
?
? ? ? ?
?
?
?
??
??
（
）
22
0
11( ) ( 1 2 ) ( 1 )s s sF s e e e
ss
? ? ?? ? ? ? ?
(ROC为整个 s平面 )
( 1 )
( 1 )
1 (1 )
( 1 ) (1 )
s
s
e
se
??
??
?
??
0
0
( 2 ) t
n
f t n e
?
?
?
? ? ?? ( 1)? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.5 拉氏反变换,（ The Inverse Laplace Transform )
当 是有理函数时，通常利用部分分式展开法
做拉氏反变换。
()Xs
)(
)()(
sD
sNsX ? )(sN
若,当 的阶数低于 的
阶数时，称为有理真分式。可直接将其展开成部分分
式。当 的阶数大于或等于 的阶数时，先
长除，再将余式展开成部分分式。
)(sD)(sN
)(sD
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
各分式均只有一个极点，其 ROC不是该极点的右
边就是它的左边。确定的原则是 各分式 ROC的公共
部分应符合 ROC的要求。
()Xs
1
()
N
i
i i
AXs
ss?
?
??
此时,可展开为()Xs
对其每一项分别做反变换即可得到 。()xt
部分分式展开法是做拉氏反变换的主要方法。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
例：
32
8 1 6()
9 2 3 1 5
sXs
s s s
??
? ? ?
( 1)? ??
8 1 6()
( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) 1 3 5
s A B CXs
s s s s s s
?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1
1
8 1 6( ) ( 1 ) 3
( 3 ) ( 5 )
s
s
sA X s s
ss
??
??
?? ? ? ? ?
??
3
3
8 1 6( ) ( 3 ) 1 0
( 1 ) ( 5 )
s
s
sB X s s
ss
??
??
?? ? ? ?
??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
5
5
8 1 6( ) ( 5 ) 7
( 1 ) ( 3 )
s
s
sC X s s
ss
??
??
?? ? ? ? ?
??
)()7103()( 53 tueeetx ttt ??? ?????
当 有复数极点、重阶极点时，部分分式的展
开见教材附录。
()Xs
3 1 0 7()
1 3 5Xs s s s
??? ? ?
? ? ?
1??? 3??? 5???
( 1)? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
)()()( thtxty ??
一．复频域分析法：
6.6 连续时间 LIT系统的复频域分析：
( Continuous-Time LTI System Analysis in s-Domain )
)()()( sHsXsY ? R O C, 1 2RR包括
ROC,R1 R2
若系统稳定,的 ROC包括 轴，当 s＝ 时，
即有
?j?j
( ) ( ) ( )Y j X j H j? ? ? ?
这就是频域分析法。 是 系统的频率响应 。()Hj?
()Hs
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
)(sH
称为 系统函数。
()( ) ( ) ; ( )
()
YsH s h t H s
Xs
??
1,由 LCCDE描述的系统,
二．系统函数的计算：
k
kM
k
kk
kN
k
k dt
txdb
dt
tyda )()(
00
??
??
?
对微分方程
)()(
00
sXsbsYsa k
M
k
k
k
N
k
k ??
??
?
两边做拉氏变换
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
k
N
k
k
k
M
k
k
sa
sb
sH
?
?
?
??
0
0)( 是一个关于 S 的 有理函数。
由方程得到的,并未给定 ROC，需要借助于
系统的因果性或稳定性来确定 ROC。
)(sH
()Hj?
?j
? 如果系统稳定，则 存在,的 ROC必定包
含 轴。
)(sH
? 如果系统是因果的，则 是右边信号,的
ROC必为最右边极点的右边。
()ht )(sH
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
? 对系统函数是有理函数的 因果、稳定系统,其
的 全部极点必须在 s 平面的左半平面 。
)(sH
()
1
se
Hs
s
?
?
1???
)1()( )1( ?? ?? tueth t
? 若系统函数是 非有理函数,此结论的逆命题不一定
成立。如：, ROC是最右边极
点的右边，但
系统是非因果的。
2,由零极点图描述的系统,
可由零极点图得出,最多差一个常数因子，
如果 已知，则该常数可以确定。
)(sH
(0)H
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
例：某连续时间 LTI因果系统的零极点图如下：
的 ROC可由系统的因果性、稳定性确定。)(sH
?j
?
1?2?
( 1)? ??ROC:
3
()
2()
( 1 ) ( 2)
s
H s M
ss
?
?
??
由零极点图可写出：
若已知,则可得 于是
(0) 1H ? 2,M ?
2
2 3 1 1()
3 2 1 2
sHs
s s s s
?? ? ?
? ? ? ?
3,由方框图描述的系统：
方框图与 LCCDE是可以互相转换的，可以由方框图
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
。然后再根据系统的因果、稳定性确定 ROC。
写出 LCCDE进而得出,也可直接由方框图写出)(sH
)(sH
例：若已知图示系统是因果的
)(tx )(ty? ?2 1()s Y s 1()sY s
1
2
3?
5?
6?
1()Ys
)()(2)(3)( 1211 sYsssYsYsY ???? （ 1）
（ 2） )(6)(5)()(
1112 sYssYsXsYs ???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
由（ 2）得
65
)()(
21 ??? ss
sXsY
代入（ 1）得：
)(65 32)( 2
2
sXss sssY ??? ???
65
32)(
2
2
??
????
ss
sssH 2???
对于由方框图描述的系统，通常总是分别对两个
加法器的输出端列写方程。然后设法消去所设的中
间变量，得到一个输入 — 输出方程，进而可得出系
统函数。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.7 单边拉氏变换：
（ The Unilateral Laplace Transform )
一, 定义：
dtetxs st? ? ???
0
)()(?
dses
j
tx stj? ??
??
? ?
?
?
?
)(
2
1)(
单边拉氏变换
单边拉氏变换 与双边拉氏变换的区别仅在于积分
下限。下限可以取 0、, 。 习惯上通常取,这样
可以包括 在 t＝ 0有奇异函数的情况。
?0?0 ?0
()xt
单边拉氏变换与双边拉氏变换的关系：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
1）单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例，即：因
果信号的双边拉氏变换。
2）若两个信号 在 t>0 时相同，但 t<0 时不同，就
会有相同的单边拉氏变换和不同的双边拉氏变换。
除了时域微分、时域积分及时延性质略有不同外，
二, 单边拉氏变换的性质：
3） ROC:由于单边拉氏变换就是因果信号的双边拉
氏变换，所以 ROC一定是最右边极点的右边，可以
不必特殊强调。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
其余性质均与双边拉氏变换相同。
1,时域微分,（ Differentiation in the Time Domain）
)0()( ??? xss ?
000
( ) ( ) ( )s t s t s td x t e d t x t e s x t e d tdt ????? ?? ? ?????
证：
2
32
( ) ( ) ( 0 ) ( 0 )
( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
x t s s s x x
x t s s s x s x x
?
?
??
? ? ?
?? ?? ? ?
??? ? ??? ? ? ?
同理依次可推得：
)()( stx ?? )0()()( ???? xsstx ?
若 则
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
2,时域积分,（ Integration in the Time Domain ）
011( ) ( ) ( )t x d s x d
ss? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
????
0
0
( ) ( ) ( )ttx d x d x d? ? ? ? ? ?
?
?? ? ? ???? ? ?
0
0 0 0( ) ( ) ( ( ) )
tt s t s tx d x d e d t x d e d t? ? ? ? ? ??
? ? ?
????
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
0
000
11( ) ( ) ( )st t stex d x d x t e d t
s s s? ? ? ?
?
???
? ?
??
??
? ? ?? ? ?
011( ) ( )x d s
ss? ? ?
?
??
???
证明：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
3,时延性质,（ Time Shifting）
当 是因果信号时，单边拉氏变换的时延特性
与双边拉氏变换时一致。
()xt
不是因果信号时，()xt
0
0
()
00 0( ) ( ) ( )
stst
t
x t t x t t e d t x e d?????? ???
?
? ? ? ???
00
0
0 ( ) ( )
0
( ) ( )s t s t
t
x e d x e d??? ? ? ?
?
?
?? ? ? ?
?
????
00
00( ) ( )
tst sts e x t t e d t?
?
? ?? ? ??
( ) ( ) ( )x t u t s??
000( ) ( ) ( ) stx t t u t t s e? ?? ? ?
则
0( 0)t ?
若 ( ) ( )x t s??即单边变换
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
6.8 利用单边拉氏变换分析增量线性系统,
? 单边拉氏变换特别适合于分析由 LCCDE描述的增
量线性系统。
例, 某 LTI系统由微分方程描述
解,对方程两边做单边拉氏变换：
2 2( ) (0 ) (0 ) 3 [ ( ) (0 ) ] 2 ( )s s s y y s s y s
s
? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ???
(0 ) 3,y ? ? (0 ) 5y ?? ?? 求响应 ()yt
2
2
( ) ( )3 2 ( ) ( ),d y t d y t y t x t
d t d t? ? ?
( ) 2 ( )x t u t?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
代入 (0 ) 3,y ? ? (0 ) 5y ?? ?? 可得
2 2 2
3 ( 3 ) 5 2
()
3 2 3 2 ( 3 2 )
s
s
s s s s s s s
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
零输入响应 零状态响应
2
22
3 4 2 3 4 2()
3 2 ( 3 2) ( 1 ) ( 2)
s s ss
s s s s s s s s
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
2
3 4 1 2()
3 2 1 2zi
ss
s s s s
?? ? ? ?
? ? ? ?
可得 零输入响应：
2( ) ( 2 ) ( )ttziy t e e u t????
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
2( ) ( 1 3 ) ( )tty t e e u t??? ? ? ?
其中，第一项为 强迫响应,其它为 自然响应 。
零状态响应：
2
2 1 2 1()
( 3 2 ) 1 2zs s s s s s s s? ? ? ? ?? ? ? ?
2( ) ( 1 2 ) ( )ttzsy t e e u t??? ? ?
1 1 3
12s s s? ? ???
23 4 2
() ( 1 ) ( 2)sss s s s???? ??
系统的全响应：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
由系统框图求出系统函数 H(s),再列出微分方
程进行求解。
1）由电路列出微分方程。
2）对方程进行单边拉氏变换，带入初始条件求解 。
? 对于由电路描述的系统，通常按以下步骤：
? 对于由方框图描述的系统：
? 对于由 h(t) 描述的系统：
L C C D EsHth ?? )()(
由 然后按微分方程
描述系统的情况求解。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换
本章小结：（ Summary ）
? 拉氏变换是傅氏变换的推广，它可以将微分方程
变换为代数方程，在 LTI系统分析中特别有用。
? ROC是双边拉氏变换中十分重要的概念。
? 零极点图是拉氏变换的几何表示，广泛应用于工
程实际中。
? 单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。
? 单边拉氏变换被广泛用于分析增量线性系统 。
