第五章 离散时间信
号与系统的频域分析
x
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
? 注释,
? CFS ( the Continuous-time Fourier Series ):
连续时间傅立叶级数
? DFS ( the Discrete-time Fourier Series ):
离散时间傅立叶级数
? CTFT ( the Continuous -Time Fourier
Transforms ),连续时间傅立叶变换
? DTFT ( the Discrete -Time Fourier
Transforms ),离散时间傅立叶变换
5.0 引言,( introduction )
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
? 本章采用与上一章相同的方法研究离散时
间信号与系统的傅立叶分析。可以看到，离
散时间的频域分析与连续时间的频域分析既
有许多相似的地方，也存在一些重要区别。
? 抓住它们之间的相似之处与掌握其差别，
对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有
重要意义。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
离散时间信号与系统分析的历史并不比连续时
间信号与系统分析的历史短。但由于模拟器件的制
造技术发展的更早、更快，以致在很长一段时间里，
离散时间信号与系统的分析发展得比较缓慢，主要
限于数值分析和对时间序列的分析。
20世纪四、五十年代，数字技术和计算机的出现
极大地推动了离散时间信号与系统的研究。但由于
缺乏快速算法，其发展仍受到很大制约。六十年代
中期,Cooley和 Tukey提出 FFT算法后，这一领域
得到了飞速的发展。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
基本思路与内容：
? 复指数函数 是一切 系统的特征函数。LTInz
? 以此为基础建立离散时间周期信号与非周期信号
的频域表示。
? 离散傅立叶变换（ DFT）及其快速算法（ FFT ）。
LTI? 系统的频域分析。
? DTFT的性质 —— 信号时域特性与频域特性的关系。
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5.1 离散时间 LTI系统的特征函数
(The Eigenfunctions of Discrete-Time LTI
Systems)
由时域分析法：
)(*)()( nhnxny ?
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k
knzkh )(
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k
kn zkhz )(
)( zHz n?
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相对应 的 特征值
LTI
)(nh
()ynnz
( ) ( ) k
k
H z h k z
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这表明,是一切离散时间 LTI系统的特征函数。nz
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k
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kk zanx )( ?
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k
n
kkk zzHany )()(
其中 z 是一个复数,。jz re ??
? 如果 则
? 以 为基本信号单元，将信号 表示为
的线性组合即为 信号的频域分解 。
nje ?()xnnje ?
nje ? 也是离散时间 LTI系统的特征函数。
显然
? 当 时，,1r? jze ??
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5.2 周期信号与离散时间傅立叶级数
( Periodic Signals & Discrete-time Fourier Series )
成谐波关系的复指数信号集
N 为基波周期,中只有 N 个是独立的。
? ?
2jk n
N
k ne
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()k n?
显然,是以 N为周期的。这表明 可以用 N个谐
波分量来表示周期序列,这种表示就是 DFS。
()xn
? 将其中所有独立的复指数信号线性组合起来，表示
信号时只需要 N 项。
221
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k k N
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
一, DFS：
1,级数中 只有 N个独立的成谐波关系的复指数分量。
2,k只需取相继的 N个整数，如,k=0,1,… N-1,等等。
实部偶对称，虚部奇对称；
模 偶对称，相位奇对称。
也称为 DFS的系数或频谱系数。
kA
g
若 为实序列，对 可推得：()xn
kA
g
? 若 以 N 为周期，则
称为 的离散时间傅立叶级数。
()xn 2() jk nN
k
kN
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()xn
g
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
二, DFS的系数,
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对 求和：n 22 ()
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由 两边同乘以,得2
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
DFS
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? ?
g
g
这表明,离散时间周期序列的频谱是以 为周期的。
通常 是复数，绘制频谱时要分别以 和幅角表
示，即 幅度频谱 和 相位频谱 。
N
kA ||kA
g g
k k rNAA ??
很显然,gg
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
三, 周期性矩形脉冲信号的频谱：
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N N N
j k j k j k
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g
显然 的包络具有 的形状。sin
sin
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
k
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1N N?
当 不变,时，频谱的包络形状不变，只是
幅度减小，谱线间隔变密。
当 改变,不变时，由于 的包络有
的形状，而,可知其包络形状一定发生变
化。当 时，包络的第一个零点会远离原点从而
使频谱主瓣变宽。这一点也与连续时间周期矩形脉冲
的情况类似。周期序列的频谱也具有 离散性、谐波性,
在 区间考查时，也具有 收敛性 。不同的是，
离散时间周期信号的频谱具有 周期性 。
1N N kA
sin
sin
x
x
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121N? ??
1N ?
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g
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
三, DFS的收敛,
DFS表明：周期序列 可以而且只能 分解成 N 个独立
的复指数谐波分量。
解释,以 N 为周期的序列在时域只有 N 个独立的值，即
该序列一个周期内各点的值。 DFS的系数 也是以 N
为周期的，也只有 N个独立的值。因此，从本质上讲，
DFS就是将序列在时域的 N个独立值变换为频域的 N个
独立值。
kA
g
DFS是一个有限项的级数，确定 的关系式也
是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生
Gibbs现象。
kA
g
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只要在频域取够 N个分量，就一定能完全恢复成原
信号，因此 DFS不存在收敛问题。只要取够了 N个分
量，级数将完全收敛于,而不会出现 Gibbs 现
象。
()xn
连续时间周期信号在一个周期内有无数多个独立的
值，因而 CFS的系数 也有无数多个独立值。当只
取有限个谐波分量时，不可能恢复原信号。随着所取
谐波数量的增加，近似程度越来越高，在最小均方误
差准则下考虑极限情况时，就自然产生了收敛问题和
Gibbs现象。
kA
g
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
k
k
k
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N
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N
N
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1 2
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N
N
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?
5.3 非周期信号与离散时间傅立叶变换,
(Aperiodic Signals & Discrete-Time Fourier Transform)
一．从傅氏级数到傅氏变换,
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另一方面，任何周期信号都可以看成是一个非周期
信号周期延拓的结果。如果 是一个以 为周期
的信号,是它的一个周期，则有：
()xn
()xn% N
在讨论周期性矩形脉冲信号的频谱时，已经看到：
当周期信号的周期 N 增大时，频谱的谱线间隔变小，
谱线变密。在时域，当 时，周期信号将变
为非周期信号，离散频谱将变为连续频谱。
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( ) ( )
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
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对周期信号 由 DFS有,()xn%
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当 在一个周期范围内改变时,在 范围变化，
所以积分区间是 。
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将其与 表达式比较有：g
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2
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表明,离散时间序列可以分解为频率在 区间上
分布的、幅度为 的复指数分量的
线性组合。
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2?
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?
? deeXnx njj??
2
)(21)(
???? ?? njj enxeX ?? )()(
DTFT
对
结论：
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二, DTFT的收敛问题：
当序列是无限长序列时，由于 表达式是无
穷项级数，当然会存在收敛问题。
)jXe ?（
)jXe?（
2,()
n
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???
2.若 则级数以均方误差最小准则收
敛于 。
( ),
n
xn
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???
)jXe?（
)jXe?（
1,若 则 存在，且级数一致收
敛于 。
收敛条件有两组：
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? 当以部分复指数分量之和近似信号时，会出现起
伏和振荡；但随着 的振荡频率变高，起
伏幅度趋小 ;
,( )W x n? %
W ??
? 当 时，振荡与起伏将完全消失，不会出
现吉伯斯 ( Gibbs )现象，也不存在收敛问题。
? 绝对可和与平方可和并不是等价的。 例如：
平方可和但并不绝对可和。
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
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二, 常用信号的离散时间傅立叶变换,
通常 是复函数，它的模和相位,
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
)()1()( nuanuanx nn ???? ?
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由图可以看到,
时，低通特性,单调指数衰减()xn01a??
时，高通特性,摆动指数衰减()xn10a? ? ?
( ),0 1nx n a a? ? ?2.
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
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可以得出结论, 实偶序列 实偶函数
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3,矩形脉冲,
当
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时,
有同样的结论, 实偶信号 实偶函数
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两点比较,
1,与对应的周期信号比较,
显然有
2,与对应的连续时间信号比较,
关系成立。
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如图所示,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
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如图所示,
5,频域均匀冲激串,
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
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6,理想低通滤波器：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1 s i n()
2
jn Wnh n e d
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? ?
?
???
?
???
具有 函数的形式,系统是非因果的 。()hn sinc
7,符号函数,
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1,
0,
-1,
0n?
0n?
0n?
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将其视为下列信号的极限,
( ) ( ),( 1 )nna u n a u n a?? ? ?
于是有,
2
1 1 2 s i n
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a e a e a a??
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当 时，可得到,1a ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
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??
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实、奇信号 虚、奇频谱
8,单位阶跃的频谱,
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.2 周期信号的 DTFT:
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对连续时间信号，有 由此
推断对离散时间信号或许有相似的情况。
但由于 DTFT一定是以 2? 为周期的，因此，频
域的冲激应该是周期性的冲激串,
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k
k? ? ? ? ?
?
? ??
??? （）
对其做反变换有：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
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jn
k
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可见：
xn（）%因此，周期信号 可表示为 DTFT：
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
可以看出与连续时间傅立叶变换中的形式是完
全一致的。
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1
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22
2 ( ) 2 ( )
2
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例 1.
不一定是周期的，当
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?? ? 时才是周期的。
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
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比较,与连续时间均匀冲激串的情况一致,
( ) ( )
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例 2,均匀脉冲串
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1
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.5 离散时间傅立叶变换的性质,
( The Properties of the DTFT )
)()()()( 2121 ?? jj ebXeaXnbxnax ???
DTFT也有很多与 CTFT类似的性质，当然也有某
些明显的差别 。
通过对 DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时
域和频域特性之间的关系。
)()( )2( ???? jjj eXeXeXnx ?? ?），（）（ 则若
1,周期性 (periodic):
比较,这是与 CTFT不同的。
2,线性 (linearity):
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
3,共轭对称性 (symmetry properties):
)()(),()( ** ?? jj eXnxeXnx ???若 则
由此可进一步得到以下结论,
R e ( ) R e ( )
I m ( ) I m ( )
( ) ( )
( ) ( )
jj
jj
jj
jj
X e X e
X e X e
X e X e
X e X e
??
??
??
??
?
?
?
?
? ? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
? ? ? ????
? ? ? ??
? ?
?
?
???
?
RR
)()(),()( ** ???? jjjj eXeXeXeX ?? ??? 即
1.若
)(nx 是实信号,则 )()(* nxnx ?
因此,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
* ( ) ( ) ( ) ( )jx n x n x n X e ??? ? ?
2,若 )(nx 是实偶信号,则 ),()( nxnx ??
),()()(* ??? jjj eXeXeX ?? ?
于是有,
即,是实偶函数。)(
?jeX
)()(),()( * nxnxnxnx ????3,若 是实奇信号,则)(nx
),()()(* ??? jjj eXeXeX ??? ?
于是有,
表明, 是虚奇函数。)( ?jeX
( ) ( ) ( )
( ) R e ( ) ( ) I m ( )
eo
jj
eo
x n x n x n
x n X e x n j X e??
??
? ? ? ???? ? ? ?
，
4,若 则
说明,这些结论与连续时间情况下完全一致。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
4,时移 (shifting):
00( ) ( ) jnjx n n X e e ?? ???
若
则
( ) ( ),jx n X e ??
表明：信号在时域平移不改变幅频特性，只产生线
性的附加相移。
??
?
??
?
???
?
??
?
?
????
)2()()(
1
1
)(
)()1()1()(
0 keXeX
e
kx
eXenxnx
jj
j
n
k
jj
?????
?
??
5,时域差分与求和 (differencing and summation):
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
?
?
?
???
?
???
??
?
??
??
k
j
n
k
k
e
nu
nknu
)2(
1
1
)(
1)()()(
????
??
?
例,
6,时域 内插 与频域尺度变换 (interpolation):
?
?
??
，0
),/(
)(
knx
nx k
定义, 为 的整数倍其他n k
n
）?je ??1(
可看出 在 DTFT中 相当于 CTFT中的 j?
说明,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
( ) ( )jkkx n X e ???
表明, 信号的特性在时域与频域之间存在一种相反
的关系。
()
( ) ( ) ( )
( ) ( )
j j n j r k
k k k
nr
j r k jk
r
X e x n e x rk e
x r e X e
? ? ?
??
??
??
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
??
??
??
?
时间反转 特性( ) ( )jx n X e ????
当 K= -1时,据此可得,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
7,频域微分特性：
)()( ?jeXnx ?
()() jdX enx n j
d
?
???
() ()j jn
n
d X e j n x n e
d
?
?
?
?
? ??
?? ?
( ) ( )j j n
n
X e x n e??
?
?
? ? ?
? ?Q
8,卷积特性 (convolution):
称为 系统的频率特性。()jHe?
若 则( ) ( ) * ( ),y n x n h n?
( ) ( ) ( ),j j jY e X e H e? ? ??
卷积特性是对 LTI系统进行频域分析的理论基础。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
例,求和特性的证明：
( ) ( ) ( )
n
k
x k x n u n
? ? ?
???Q
1( ) ( 2 )
1 j k
u n k
e ?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ?
()
n
k
xk
? ? ?
?? 0() ( ) ( 2 )
1
j
j
j
k
Xe X e k
e
?
? ? ? ? ?
?
?
? ??
??
? ?
由卷积特性可得,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1 ()jXe ?
由于 和 都是以 为周期的，
因此上述卷积称为 周期卷积 。
?22 ()jXe ?
12
1( ) ( ) ( )
2
j j jY e X e X e? ? ?
???
记为,
()
122
1( ) ( ) ( )
2
j j jY e X e X e d? ? ? ?
?
?? ?? ?
12( ) ( ) ( ),y n x n x n??
如果 则
9,调制特性：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
0
02 ( 2 )
jn
k
ek? ? ? ? ? ?
?
? ??
? ? ??Q
移频特性
0() jnx n e ?
的频谱：例,移频特性
0
1 ( ) 2 ( 2 )
2
j
k
X e k? ? ? ? ? ??
?
? ??
? ? ??0() jnx n e ?
周期卷积与普通卷积的区别仅在于积分区间是
一个周期，卷积的结果也是周期性的。
由调制特性可得,
0
2 ()
00 ( ) ( ) ( )
jjX e d X e? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ??
即,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
?
?
???
???????
k
jnjn keCenc )2(2)()1()( ???????
)()()(
)()(
2
1
)()(
2
1
)(
)(
2
0
)(
2
??
?
?
??
?
?
???
????
?
?
?
?
?
???
?
??
?
?
jj
jj
jjj
eXdeX
deCeX
eCeXeY
( ) ( 1) ncn ??
例, )()()( ncnxny ??
)(nx
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
0
)( ?jeY
1
?? ? ?0
? ?
)( ?jeC
?? ?0
?
? ?
?2 ?2
)( ?jeX
?? ?M?? M?
?
0
? ?
1
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
?? ?
?
??? ?
? ?
? 2
22
)(
2
1)( deXnx j
n
10,Parseval 定理,
2)( ?jeX 称为 的 能量谱密度函数)(nx
221 ()
k
n N k N
x n A
N ? ? ? ? ? ?
???
比较, 在 DFS中,有
?
称为周期信号的 功率谱 。2
kA
?
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11,对偶性,
一, 离散时间傅立叶级数的对偶,
对离散时间周期序列有,
22 1
( ),( )
jk n jk n
NN
kk
k N n N
x n A e A x n e
N
?? ?
?? ? ?? ?
????
??
kA
由于 本身也是以 N为周期的序列，当然也可以
将其展开成 DFS形式,即,
2211
( ) ( )
j k n j k n
NN
kn
n N k N
A x n e A x k e
NN
??
?? ? ?? ?
? ? ? ???
或
将 记为 有：
nA ()an
1( ) ( )a n x k
N??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
利用对偶性可以很方便地将 DFS在时域得到的性
质对偶到频域，得到频域相应的性质。
),(1 kxN ?
这表明 序列的 DFS系数就是()an
( ) ( )
1
( ) ( )
D F S
k
D F S
x n a k A
a n x k
N
? ??? ?
? ??? ?
即,
例 1,从时移到频移：
1( ) ( ) ( ) ( )x n a k a n x k
N
? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
0
2
0
1( ) ( ) j k nNa n n x k e
N
??
? ? ?
2
2
11
( ) ( )
( ) ( )
j M n
N
j M n
N
x n e a k M
NN
x n e a k M
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
利用 时移性质 有,
由对偶性有,
2
( ) ( )
( ) ( )
j M n
N
x n a k
x n e a k M
?
? ? ?
? ? ?,即是 频移特性
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1 2 1 2
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a n b n x k x k N x k x k
N N N? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12
12
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
mN
mN
x n x n a m b k m
NN
x n x n a m b k m a k b k
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
例 2:由卷积特性到相乘特性：
由 时域卷积性质,
由对偶性,
12( ) ( ) kkx n x n A B N? ? ? ?( ),( )nnA a n B b n??
12
11( ) ( ) ( ) ( )a n x k b n x k
NN? ? ? ?
时域相乘性质
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
二, DTFT与 CFS间的对偶,
( ) ( ) ( )j j n j
n
X e x n e X e? ? ?
?
?
? ? ?
? ?
由 知 是一个以 ?2
为周期的连续函数,
?? ?
?
? deeXnx njj??
2
)(2 1)(
),( jteX 则可将其表示为 CFS:
若在时域构造一个以 为周期的连续时间信号?2
2
1( ),( )
2
jt jk t jt jk t
kk
k
X e A e A X e e dt
??
?
?
? ? ?
??? ?
()kA x k??kA
比较 和 的表达式可以看出)(nx
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
( ) ( )
( ) ( )
D T F T j
C F Sjt
x n X e
X e x k
?? ???
? ??? ?
若
则
这表明,
利用这一对偶关系，可以将 DTFT的若干特性对
偶到 CFS中去，或者反之。
例,从 CFS的时域微分到 DTFT的频域微分：
2() C F S
k
d x t j k A
d t T
?? ??? CFS的 时域微分特性
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
)()(
2)()(
2
)(
?
?
?
?
j
C F Sjt
eX
d
d
nj n x
Tkj k xkkx
T
jeX
dt
d
??
?????? ??? ），（
( ) ( ),( ) ( )D T F T C F Sj jtx n X e X e x k?? ??? ? ??? ?
若 则
)()()()(
)()()()(
2211
2211
kxeXkxeX
eXnxeXnx
C F SjtC F Sjt
jD T F TjD T F T
??? ????? ??
?? ???? ?? ??
例,从 CFS的卷积特性到 DTFT的相乘特性：
DTFT的 频域微分特性
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) ( ),( 2 )CFSjt jtX e X e x k x k T??? ? ??? ? ? ?
由 CFS的卷积特性：
12( ) * ( ) kkx t x t TA B?
)()(
2
1
)()(
)()()()(2
2121
2121
??
??
?
?
jjD T F T
jjD T F T
eXeXnxnx
eXeXnxnx
??? ??
??? ??
由对偶性有：
DTFT的相乘特性
可以将对偶关系归纳为如下图表,
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C F S连续时间傅立叶级数
() kx t A?
离散、非周期连续、周期 ??
D F S离散时间傅立叶级数
() kx n A?
离散、周期 离散、周期
连续、非周期连续、非周期 ??
C T F T连续时间傅立叶变换
( ) ( )
( ) 2 ( )
x t X j
X jt x?
??
? ? ?
D T F T离散时间傅立叶变换
)()( ?jeXnx ?
连续、周期离散、非周期 ??
12()
kA X j kTT
??
21
()jkNkA X eN
?
?
)()( ?jD T F T eXnx ?? ??
)()( kxeX C F Sjt ??? ??
1 ()
nA x kN??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
说明,
时域 频域
?
?
?
?
连续 非周期
离散 周期
周期 离散
非周期 连续
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.6 离散傅立叶变换（ DFT）,
( Discrete Fourier Transform )
可以认为时域 N点有限长序列与频域 N点有限长序
列之间有一种变换关系，这种关系就称为 DFT。
? 离散时间傅立叶变换是连续函数。为了在频域进
行数字处理，需要将其离散化，即需要一种时域离
散、频域也离散的关系,DFS正满足这一点。
kA
? DFS的本质是将时域 N个独立的点变换为频域 N
个独立的点，将一个周期序列取主周期，即得 N点
有限长序列，对 取其主周期也是 N个独立的点。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
一, 从 DFS到 DFT：
若 为有限长序列，将其周期性延拓成以 为周
期的序列 则：
()xn N
()xn
?
?
???
??
k
kNnxnx )()(~ ( ) ( ( ) ) Nx n x n?
或表示为
若
()NRn ? ?
1,0 1nN? ? ?
0,o th e r w is e
则：
( ) ( ) ( )Nx n x n R n?
由 DFS有：
22 1
0
()
Nj k n j k n
NN
kk
k N k
x n A e A e
?? ?
?? ? ?
????
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
22 1
0
11 ( ) ( )Nj k n j k nNN
k
n N n
A x n e x n e
NN
?? ???
?? ? ?
????
将 记为
kNA
2
( ),j NNX k W e
??
?
且,则 DFS可表示为：
1
0
1( ) ( )N kn
N
k
x n X k W
N
?
?
?
? ?
1
0
( ) ( )
N
kn
N
n
X k x n W
?
?
? ?
DFS的另一种
表示形式
如果取 的主值周期 并记为,
同时取 的主值周期 并记为 则有：
()xn()xn
()Xk 0 1,kN?? ()Xk
0 1,nN??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1
0
1( ) ( ),0 1N kn
N
k
x n X k W n N
N
?
?
?
? ? ? ??
1
0
( ) ( ),0 1
N
kn
N
n
X k x n W k N
?
?
? ? ? ??
这一对关系就是 有限长序列与它的 DFT.
DFT表明,时域的 点有限长序列,可以变换
为频域的 点有限长序列 。
()xn
()Xk
N
N
显然有：
( ) ( ) ( )NX k X k R k?
( ) ( ( ) ) NX k X k? DFT与 DFS的关系
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
)(~ nx
n
N0 N2N?
N0
k
)(kX
DF
S
DF
T
kA
0
2N
N
k
2N?N?
N0
n
)(nx
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
二,DFT与频域采样的关系,
1
0
( ) ( )
N
j j n
n
X e x n e??
?
?
?
? ?
22 1
0
1
0
( ) ( )
( ) ( )
N
j k j k n
NN
n
N
kn
N
n
X e x n e
x n W X k
?? ?
?
?
?
?
?
??
?
? 1~0 ?? Nk
2( ) ( )|
j
k
N
X k X e ? ?
? ?
?? 1~0 ?? Nk
对 点有限长序列 有：N ()xn
kN?? 2?
令 则有：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
表明：有限长序列的 DFT就是对其离散时间傅立叶
变换在一个周期内等间隔采样的样本。
应该强调指出,DFT并不是 的频谱，只是其频
谱的样本。 DFT在一定程度上反映了 的频谱。只
有在满足频域采样的要求时,DFT才可以完全代表信
号的频谱。
()xn
()xn
频域采样 时域周期性延拓，要求 时限。
若 有 M点，对其频谱在 一个周期内 采样 N点，那
么,将以 N 为周期延拓。 只有当 时，这
种延拓 才不会发生混叠,即在一个周期内至少要采样
M点才能恢复原信号。
MN ?
()xn
()xn
()xn
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
若 非时限，则不论在频谱的一个周期采样多少
点，都无法从周期延拓的信号中恢复原 。所以，
DFT只能对应有限长序列。
()xn
()xn
? 考察有限长系列当满足频域采样要求时，在时域和
频域的恢复过程：
1
0
11
00
( ) ( ) ( )
11
( ) ( ) ( )
M
k n k n
NN
nn
NN
k n k n
NN
kk
X k x n W x n W
x n X k W X k W
NN
??
? ? ? ?
??
??
??
??
??
??
??
若 是一个 点的序列，在频域对其采样 点，
则有：
()xn NM
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1
0
1
()
0
1
( ) ( )
1
()
N
k m k n
NN
km
N
k m n
N
mk
x n x m W W
N
x m W
N
??
?
? ? ? ?
??
?
? ? ? ?
??
?
??
??
1
()
0
,,
0
N
k m n
N
k
N m n r N r
W
m
?
?
?
???
? ?
?
?
为整数
，其他
?
?
???
???
r
rNnxnx )()(~
当 MN ? 时可以通过矩形窗从 恢复 。
()xn ()xn
( ) ( ) ( )Nx n x n R n??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1( ) ( ) ( )
2
j j jX e X e e? ? ??
???
( ) ( )j Ne R n?? ?
11
2 2
0 2
sin
()
sin
NN N
jj j n
n
e e e
? ?
??
?
?
??
??
?
???
频谱的恢复：
22( ) ( ) ( )j
k
X e X k k
NN
? ?? ??
?
? ? ?
???
的 DTFT()xn
做周期卷积时，将积分区间取为 ?2~0,在此区间内
)()(~ kXkX ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
21 ()
0
1( ) ( ) ( )N jkj N
k
X e X k e
N
??
? ?
? ?
?
? ?
表明：以矩形窗的频谱为内插函数恢复成 。()jXe ?
2
()
1
()
2
1
( ) ( )
1 s i n ( / 2 )
2
s i n [( ) / 2 ]
jk
j N
k
Nk
j
N
ee
N
N
e
kN
N
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?令：
211 ()
00
1( ) ( ) ( ) ( ) ( )NN jkjj N
k
kk
X e X k e X k e
N
??
?? ?
?? ?
??
???? ?
则：
于是：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
例：
( ) ( )Nx n R n? 0 4,5nN? ? ?
?2 5
44
5
00
() j k nkn
nn
X k W e
??
??
? ? ???
5,0k ?
0,1 4k ?
4
2
0
si n(5 / 2)()
si n( / 2)
j j n j
n
X e e e? ? ??
?
??
?
???
2
5
5,0
( ) ( )
0,1 4|
j
k
k
X k X e
k
?
?? ?
??
?? ?
???
显然有：
2?0 ?
| ( ) |je ??
?
5N ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
例：
( ) c o s 0 7,84x n n n N?? ? ? ?
()xn
n
1
10 2
3 4 5
6 7
7
0
4,1,7
( ) c o s ( )
0,4
kn
N
n
k
X k n W
o t h e r w i s e
?
?
??
?? ?
?
?
4
()Xk
0 1 2 3 4 5 6 7
k
n
()xn
1
2 41 30
()Xk
5
? 2?
?
0
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.7 离散傅立叶变换 ( DFT )的性质：
1．线性：
D F T( ) ( )x n X k? ??? D F T( ) ( )y n Y k? ???
如果 均为 N点有限长序列,且：
DFT( ) ( ) ( ) ( )a x n b y n a X k b Y k? ? ??? ?
( ),( )x n y n
则：
2,圆周移位：
0( ( ) ) ( )NNx n n R n?
称为 的 圆周移位 。()xn
先将 以 N为周期延拓，再移位,然后 取主
值周期。本质上是周期信号移位。这相当于将序
列置于圆周上随 转动，故称为 圆周移位 。
0n()xn
0n
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
0n?
1n?
3n?
4n?
()xn
0n?
1n?
3n?
4n?
55( ( 1 ) ) ( )x n R n?
( 1)xn ?
n
()xn ()xn
n
( 2)xn?
n
( 2)xn? 55( ( 2 ) ) ( )x n R n?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
则：
01 ( ) ( )knNX k W X k?
0D F S0( ) ( )knNx n n W X k? ? ???
1 1 0( ) D F T [ ( ) ] D F T [ ( ) ( ) ]NX k x n x n n R n? ? ?
00( ) ( ) ( )k n k nN N NW X k R k W X k??
频域圆周移位：
与时域对应，如果有限长序列的 DFT在频域圆周
移位，则有：
若：
10
0
( ) ( ( ) ) ( )
( ) ( )
NN
N
x n x n n R n
x n n R n
??
??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
00( ( ) ) ( ) ( )knN N NX k k R k W x n???
3,周期卷积与圆周卷积,
)(~ nf 也是以 N为周期的。显然
若
( ) ( ) ( )Nx n x n R n? ( ) ( ) ( )Ny n y n R n?
上式可以写成,
定义为 与 的 周期卷积。
如果
)(~ nx,( )yn 以 N为周期,则将
1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N
m
f n x n y n x m y n m
?
?
? ? ? ??
)(~ nx ()yn1
0
( ) ( )
N
m
x n m y m
?
?
???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
??
?
?
?
?
????
1
0
1
0
)())(())(()()(~
N
m
NN
N
m
mymnxmnymxnf
定义, 两个长度相同序列的圆周卷积,
1
0
1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) )
( ) ( )( ( ) )
N
NN
m
N
NN
m
f n x n y n x m R ny n m
y m R nx n m
?
?
?
?
? ? ? ??
?? ?
?
? 称为 圆周卷积
( ) ( ) ( )Nf n f n R n??
? 圆周卷积的实质,是先将两个有限长序列延拓成周
期序列，做周期卷积，然后对卷积结果取主值周期，
即,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
若 )()()( nynxnf ?? 则：
)()()( kYkXkF ??
)(~)(~)(~ nynxnf ???
)(~)(~)(~ kYkXkF ?
)()(1)( kYkXNkF ??
DF S,
( ) ( )
()
k k k
kk
k
C N A B
X k N A Y k N B
F k N C
?
??
?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
NN
NN
F k F k R k X k Y k R k
X k R k Y k R k X k Y k
? ? ?
??
频域卷积,)()()( nynxnf ? 则：若
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
()ym?
m
1
()yn
n
1
()xn
n
1
(1 )ym?
m
1
()ym
m
1
()ym?
m
1
(1 )ym?
m
1
n
()fn
1
2
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
4,有限长序列的线性卷积与圆周卷积,
若 是 点序列,是 点序列，()xn N ()yn M
线性卷积,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
f n x n y n x m y n m
?
? ??
? ? ? ??
即,线性卷积 的长度为 N＋ M－ 1点。
的非零区间, 10 ??? Nm
的非零区间,10 ???? Mmn
()xm
()y n m?
因此,的非零区间为, 02n N M? ? ? ?()fn
将, 均补零加长到 L 点，做圆周卷积 有：()xn ()yn
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
L
LL
m
f n x n y n R n x m y n m R n
?
?
? ? ? ? ? ??
( ) ( ( ) ) ( )L
k
y n m y n m y n m k L
?
? ? ?
? ? ? ? ? ??
代入,1
0
( ) ( ) ( ) ( )
L
L
mk
f n x m y n m k L R n
??
? ? ? ?
? ? ? ???
1
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
L
L
km
L
k
x m y n m k L R n
f n k L R n
??
? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
??
?
表明：圆周卷积是线性卷积周期延拓后取的主值周期。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
?显然，当 1??? MNL 时，
周期延拓时不发生重叠，可以通过取 的主
值周期，即通过圆周卷积得到 。这就是 通过计
算圆周卷积求得线性卷积必须满足的条件 。
()fn
()fn()fn
1??? MNL 时,由于周期性延拓时必然发生
重叠，无法通过圆周卷积取得线性卷积的结果。
?当
5,共轭对称性,
D F T( ) ( )x n X k? ???若
则：
DFT( ) ( )x n X N k??? ??? ?
有时也记为
()Xk? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
11
00
( ) [ ( ) ] ( ( ) ) ( )
( ( ) ) ( ) ( )
NN
k n k n
N N N N
nn
NN
x n W x n W X k R k
X N k R k X N k
??
? ? ? ?
??
??
? ? ?
? ? ? ?
??
1~0 ?? Nk
( ) ( 0 )X N X???
当 时，0k ?
( ) ( ) ( )rix n x n jx n??
1,由 可得：
1( ) [ ( ) ( ) ]
2rx n x n x n
???
实部
1( ) [ ( ) ( ) ]
2i
j x n x n x n???
虚部
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
若
DFT( ) ( )rex n X k? ??? D F T( ) ( )iojx n X k? ???
则 1
( ) [ ( ) ( ) ]2eX k X k X N k?? ? ?
1( ) [ ( ) ( ) ]
2oX k X k X N k
?? ? ?
( ) ( ) ( )eoX k X k X k??
显然，
*1( ) [ ( ) ( ) ] ( )
2eeX N k X N k X k X k
??? ? ? ? ?
由于
所以称其为 圆周共轭偶对称,或称 是
的 圆周共轭偶部。 由此，进一步可得：
()eXk ()Xk
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ]
ee
ee
X k X N k
X k X N k
??
? ? ?
圆周共轭奇对称，同理可得：
( ) ( )ooX k X N k?? ? ?
是 的 圆周共轭奇部。
()oXk ()Xk
实部 共轭偶部 (圆周共轭偶对称 )
实部圆周偶对称
虚部圆周奇对称
结论,
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ]
oo
oo
X k X N k
X k X N k
? ? ?
??
进一步可得：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
虚部 共轭奇部 (圆周共轭奇对称 )
实部圆周奇对称
虚部圆周偶对称
( ) ( )eX k X k?
2,若 是实序列,则()xn
只有共轭偶部
( ) ( )oX k X k?
若 是纯虚序列,则()xn
只有共轭奇部
)(kX
在这两种情况下，只要知道 的一半序列值，
即可得出另一半序列值。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1( ) [ ( ) ( ) ]
2e
x n x n x N n?? ? ?
圆周共轭偶部
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ox n x n x N n
?? ? ?
圆周共轭奇部
D F T 1( ) [ ( ) ( ) ] R e [ ( ) ]
2ex n X k X k X k
?? ??? ? ?
DFT 1( ) [ ( ) ( ) ] I m [ ( ) ]
2o
x n X k X k j X k?? ??? ? ?
( ) ( ) ( )x n X N k X k? ? ?? ? ? ?
? ?( ) ( )x n x N n X k? ? ?? ? ? ?
( ) ( ) ( )eox n x n x n??3,由于 ( ) (0 )x N x?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
6,Parseval定理：
??
?
?
?
?
?
1
0
2
1
0
2 |)(|1|)(|
N
k
N
n
kXNnx
在这里
( ),0 ~ 1kX k N A k N? ? ?
其实就是 DFS的 Parseval定理的变形。
一般情况下有：
11
*
00
1( ) ( ) ( ) ( )NN
nn
x n y n X k Y k
N
??
?
??
???
当 时，就成为前面的形式。( ) ( )x n y n?
11
22
00
1 | ( ) | | |NN
k
nk
x n AN
??
??
???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.8 DFT应用中的几个具体问题,
一．频谱的混叠现象,( spectrum aliasing )
在时域将连续时间信号通过采样离散化时，对带
限信号，采样频率不得低于信号最高频率的 2 倍，否
则会出现频谱混叠。此时样本序列不能代表原信号，
对其作 DFT也就失去意义了。但采样频率过高则会增
大数据量影响运算速度，且要求较大内存量。
对非带限信号，频谱混叠是必然的。只能通过提高
采样频率减轻频谱混叠程度，借以减小误差。工程中
通常取
( 2,5 ~ 3 )sM? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
若 不知道 信号的最高频率，只有已经记录下来的波
形或数据，则可以从波形或数据中找出变化规律最快
的相邻两点，以这两点的时间间隔 为依据，按照
1
2m d
f
t
? mf
dt
近似确定最高频率 。
二．信号截断与频谱泄漏：
带限信号一定非时限。 在时域将连续时间信号离散
化时，为满足 Nyquist 定理要求，信号必须带限，所
以时域序列必为无限长。要对它做 DFT就必须将其截
断为有限长序列，为此要乘上矩形窗口函数
( ) ( )jNNR n W e ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
截断后的有限长序列的频谱：
1? ( ) ( ) ( )
2
j j j
NX e X e W e
? ? ?
?
??
由于 的引入可能会产生 频谱泄漏,导致在
DFT运算中产生出信号中本来没有的频率分量。
()jNWe ?
例,
nnx
2
c o s)( ?? 0 4N ?
分别以 和 将其截断，并分别对截断
的有限长序列做 4点和 6点 DFT，考察其结果。
4?N 6N ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
结论,对周期信号截断时，必须保证 N为信号
周期的整数倍；对非周期信号，先截取 N点做 N点
DFT，再取 2N点做 2N点 DFT…… 依次类推，直到两
次 DFT的结果非常接近时为止。以此确定截断长度。
三, 频率分辨率：
若模拟信号 带限于,采样频率,()
axt M? 2ssf???
pt
在 一段时间内采样 点，则采样间隔：N
2 / 1 /ssTf?? ? ? /pst N T N f??
由于 总对应于离散域的频率,因此，做 N点
s?
2?
DFT后，在数字域的频率分辨率为,2/ N???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
模拟域频率分辨率为：
/ 1 / ( Hz )spF f N t??
这表明,在 一定时，模拟域频率分辨率与采样
点数无关。不能通过增加采样的点数或提高采样频
率来改善模拟域的频率分辨率。 要提高模拟域的频
率分辨率，只有增大采样信号的时间区段 才能奏
效。
pt
pt
在工程应用中，通常是根据对模拟域频率分辨率
的要求，来决定采样信号的时间区段,再根据采样
定理选定,进而决定采样点数,这就是做 DFT
的点数。
pt
s? N
F
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
四, 栅栏效应：
DFT是信号频谱的等间隔样本，相当于通过栅栏
观察信号的频谱。因此，必定有一些地方会被挡住
（即采样时采不到的那些点），而在 DFT的结果中
无法体现。这种现象就称为 栅栏效应 。
在工程应用中，可以通过在序列的尾部补零，加
长原序列的长度，从而增加做 DFT的点数，来消除
栅栏效应。这相当于调整了原来栅栏的间隙，使频
谱中那些在原来采样时采不到的分量得以反映。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.9 快速傅里叶变换 （ FFT）,
一, DFT的运算特点：
1
0
( ) ( )
N
kn
N
n
X k x n W
?
?
? ? 10 ??? Nk
1
0
1( ) ( )N kn
N
k
x n X k W
N
?
?
?
? ?
10 ??? Nn
运算工作量：
求出 的每一个点，要做 N 次复数乘法，
次复数加法。求出全部 要做 次复数乘法，和
做 次复数加法。可见,DFT 运算具有 数
量级的运算量。当 N 较大时，运算量是巨大的（如,N
＝ 1024点时，运算工作量超过 数量级）。
)(kX )1( ?N
2N
)1( ?NN
610
)(kX
2N
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
正是由于 DFT具有巨大的运算量，因此在快速算法
产生之前，极大地阻碍了离散时间信号处理技术在工
程实际中的应用。
DFT的运算特点：
knNW2．
有对称性。
( ) ( )k N n N k n k nNNNWWW? ? ???
/2 1NNW ? ?? ( / 2 )k N kNNWW? ??
2
/2
k n k n
NNWW?
kn
NW
对 k,n均以 N为周期。
( ) ( )k N n n N k k nNNNWWW????
1.
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
例如将一个 N点序列分成两个 N/2点序列，就可以
减少近一半的运算工作量。
最重要的是,如能将 N点序列分成几个短序列，
则可以有效地减少运算次数。
FFT的基本思想,将长序列分成短序列。并利用
DFT的运算特点（周期性、对称性）减少运算量。
二．按时间抽取的 FFT算法（ Cooley-Tukey算法）
若 的长度
把 按 n为奇数、偶数分成两组：
()xn 2 MN ?
()xn 1 ( ) ( 2 ) ;x r x r?
2 ( ) ( 2 1 ),x r x r?? ( 0 ~ 1 )
2
Nr ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1
0
( ) ( )
N
kn
N
n
X k x n W
?
?
? ?
( / 2 ) 1
2
0
( 2 )
N
rk
N
r
x r W
?
?
???
( / 2 ) 1
( 2 1)
0
( 2 1 )
N
rk
N
r
x r W
?
?
?
??
( / 2 ) 1
0 2
( 2 )
N
rk
N
r
x r W
?
?
???
( / 2 ) 1
0 2
( 2 1 )
N
r k k
NN
n
x r W W
?
?
???
( / 2 ) 1
1
0 2
()
N
nk
N
n
x n W
?
?
???
( / 2 ) 1
2
0 2
()
N
n k k
NN
n
x n W W
?
?
??
12( ) ( )kNX k W X k?? 1
20 ???
Nk
这就得到了 的前半部分。
()Xk
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
( / 2 ) 1 ()
2
1
0 2
( ) ( )2
NN nk
N
n
NX k x n W? ?
?
?? ?
( / 2 ) 1 ( ) ( )
22
2
0 2
()
NNN n k k
NN
n
x n W W
? ??
?
???
12( ) ( )kNX k W X k??
12( ) ( ) ( )kNX k X k W X k??
120 ??? Nk
12( ) ( ) ( )2
k
N
NX k X k W X k? ? ?
所以有：
1()Xk
2()Xk
12( ) ( ) ( )kNX k X k W X k??
12( ) ( ) ( )2
k
N
NX k X k W X k? ? ?
kNW
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
经 M-1次分解，最后分解为每组两点的 DFT。对
一个两点序列做 DFT不需要做乘法，此时：
?
?
?
1
0
2)()(
n
knWnxkX
)1()0()0( xxX ??
)1()0()1( xxX ??
由于这种算法在分组时是按时域中序列的奇、偶
位分解的，故称 按时间抽取的 FFT算法,也被称为
DIT( Decimation in Time )算法。
例：一个 8点序列 DIT算法的运算流程：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
三．按频率抽取的 FFT算法,（ Sand-Tukey 算法）
MN 2? 将序列每次按前一半后一半分组。
1
0
( ) ( )
N
kn
N
n
X k x n W
?
?
???
( / 2 ) 1
0
()
N
kn
N
n
x n W
?
?
? 1
( / 2 )
()
N
kn
N
nN
x n W
?
?
? ?
( / 2 ) 1
0
()
N
kn
N
n
x n W
?
?
???
( / 2 ) 1 ()
2
0
() 2
NN kn
N
n
Nx n W? ?
?
??
? ( / 2 ) 1
0
[ ( ) ( 1 ) ( ) ]2
N
k k n
N
n
Nx n x n W?
?
? ? ?? 10 ??? Nk
k为偶数 时：( 2 )kr?
?)2( rX ( / 2 ) 1 2
0
[ ( ) ( ) ]
2
N
rn
N
n
Nx n x n W?
?
???
即
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
( / 2 ) 1
0 2
( 2 ) [ ( ) ( ) ]
2
N
rn
N
n
NX r x n x n W?
?
? ? ?? 120 ???
Nr
)12( ?rX ( / 2 ) 1 ( 2 1)
0
[ ( ) ( ) ]2
N
rn
N
n
Nx n x n W? ?
?
? ? ??
( / 2 ) 1
0 2
[ ( ) ( ) ]2
N
n rn
NN
n
Nx n x n W W?
?
? ? ? ??
k为奇数 时,( 2 1)kr??
)2()()(1 Nnxnxnx ???
2 ( ) [ ( ) ( )]2
n
N
Nx n x n x n W? ? ? ?
令
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
nNW
)(nx )
2()()(1
Nnxnxnx ???
)2( Nnx ?
2 ( ) [ ( ) ( )]2
n
N
Nx n x n x n W? ? ? ?
此时，信号的分组与组合可以用以下蝶形结表示：
因为这种算法的结果，在频域表现为是按频域的
奇、偶位分组的，故称 按频率抽取的 FFT算法 。也
称为 DIF( Decimation in Frequency )算法。
)2( rX ? )(1 nx )12( ?rX ? )(2 nx则
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
复数加：
2l o gN M N N??
2lo g22
NNMN??
复数乘：
? DIT与 DIF算法的运算工作量完全相同。
2logNN
运算量为,数量级。
? DIT与 DIF算法都可以进行原位运算，且运算流
程十分规则。
1 0 2 42 10 ??N 410当 时运算量大约 。比直接
运算快大约 100倍。 可见快速算法的重要性。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)
000 001 010 011 100 101 110 111
0 000 100 010 110 001 101 011 111
x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7)
一个 8点序列的码位倒置过程：
? 基本蝶形结的结构不同。
? DIT法中 DFT运算在第一级完成
? DIF法中 DFT运算在最后一级完成。
DIT算法与 DIF算法的区别：
? DIT与 DIF算法都需要 码位倒置 过程。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
可以完全照 DFT的方法建立相应的按频率抽取，
或按时间抽取的运算流程，但实用中并不这样做。
kn
NW
指数有负号
1/N
IDFT与 DFT的区别：
1）
2）有系数
1
0
1
0
1
( ) ( )
( ) ( )
N
kn
N
k
N
kn
N
n
x n X k W
N
X k x n W
?
?
?
?
?
?
?
?
?
DIT与 DIF算法的根本区别并不在于谁的输入或
输出是码位倒置的，而是它们蝶形结的结构不同。
四, IDFT的快速算法：（ IFFT）
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
先将 取复共轭，再对 的共轭执行 FFT
程序，对运算结果再取共轭，并乘以 即可。完
全可以利用 FFT程序实现 IFFT运算。
()Xk()Xk
1/N
这才是工程应用中实现 IFFT运算的方法。
1
0
1( ) ( )N kn
N
k
x n X k WN
?
?
?
? ?
1
0
1 [ ( ) ]N kn
N
k
X k WN
?
??
?
? ?
1 { D F T[ ( ) ] }Xk
N
???
由于：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.10 离散时间 LTI系统的频域分析：
理论基础,复指数信号是一切 LTI系统的特征函数；
傅立叶变换的卷积特性。
LTI()xn
)( ?jeX
()hn
()yn
)( ?jeY
时域：
( ) ( ) ( )y n x n h n??
频域：
)()()( ??? jjj eHeXeY ?
一, 离散时间 LTI系统的频域分析：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
( ) ( )jh n H e ?? ()jHe ? 称为 系统的频率响应。
若 为有限长序列,也是 有限长序列（即
FIR系统），在满足由圆周卷积求线性卷积的条件
下，有
)(nh)(nx
)()()( kHkXkY ??
此时,可通过 DFT利用 FFT算法求得 。)(ny
若 为周期信号)(nx 2
()
j kn
N
k
kN
x n A e
?
? ? ?
? ?
则
2
2
( ) ( ) N
jk jk n
N
k
kN
y n A H e e
?
?
?? ?
???
kA
可从 DFT求得。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
二、系统的频率响应：
)( ?jeH
刻画了 LTI系统的频率特性，它是系统单位脉
冲响应的傅立叶变换，可以完全表征 LTI 系统。
但并非所有的 LTI系统都一定存在频率响应。这里
有一个 先决条件，即
| ( ) |
k
hk
??
? ??
???
这说明 只有稳定系统，才能由频率响应来描述。
三、由线性常系数差分方程表征的系统：
00
( ) ( ),
NM
kk
kk
a y n k b x n k
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? ? ???
做傅立叶变换有：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
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?
?
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M
k
jjk
k
N
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jjk
k eXebeYea
00
)()( ????
0
0
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M
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be
Ye
He
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?
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?
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?
?
je ??是 的有理函数
例 1,31
( ) ( 1 ) ( 2 ) 2 ( )48y n y n y n x n? ? ? ? ?
2
22()
3 1 1 11 ( 1 )( 1 )
4 8 2 4
j
j j j j
He
e e e e
?
? ? ? ?? ? ? ?
??
? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
42( ) [ ]
1111
24
j
jj
He
ee
?
????
??
??
11( ) 4 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
24
nnh n u n u n??
通过频率响应求出系统的单位脉冲响应，是实际
应用中获得单位脉冲响应的主要方法。
例 2,由系统方框图 求系统的频率响应：
D D? ?· · ·()xn ()yn
2
1?
43
2
()wn
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
2
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3()
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j
j
j
j
jj
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He
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??
?
??
??
3( ) ( ) 2 ( 1 ) ( 2 )
4w n x n w n w n? ? ? ? ?
( ) ( ) 2 ( 1 ) ( 2 )y n x n w n w n? ? ? ? ?
由系统方框图，对两个加法器可列出以下方程：
对以上方程做 DTFT有：
23( ) ( ) ( 2 ) ( )
4
j j j j jW e X e e e W e? ? ? ? ???? ? ?
2( ) ( ) ( 2 ) ( )j j j j jY e X e e e W e? ? ? ? ???? ? ?
由此可解出：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
三, IIR与 FIR系统,
0
0
()
()
()
M
jk
kj
j k
Nj
jk
k
k
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Ye
He
Xe
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
若除 外其余 则
0a 0,ka ?
00
1() Mj j k
k
k
H e b e
a
?? ?
?
? ?
是一个 多项式 。此时：
00
1( ) ( )M
k
k
h n b n k
a
?
?
???
是有限长序列（共 M+1点）
)(1)(
00
knxb
a
ny
M
k
k ?? ?
?
，差分方程无须递推迭代，
称为 非递归方程 ； 单位脉冲响应是有限长序列 。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
系统称为 FIR( Finit Impulse Response )系统 。
()hn此时 是 无限长序列,系统称为 IIR( Infinit
Impulse Response )系统。
若除 外还有其他
0a 0,ka ?
则：
()jHe ? 是有理分式。差分方程为：
010
1( ) [ ( ) ( ) ]MN
kk
kk
y n b x n k a y n k
a ??
? ? ? ???
差分方程需要递推迭代求解，称为 递归方程 ；
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
本章小结 （ Summary )：
本章主要讨论了以下问题：
1,建立了离散时间周期信号与非周期信号的频域描
述方法 —— DFS与 DTFT。
2,通过傅立叶变换性质的讨论，研究了信号时域特
性与频域特性的关系。
3,对离散时间 LTI系统建立了频域分析的方法。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
4,对有限长序列定义了 DFT，讨论了 DFT与 DTFT、
信号频谱以及与频域采样的关系。
7,DFT的基－ 2快速算法,DIT与 DIF算法。
5.讨论了 DFT的若干性质。
6,DFT在工程应用中的实际问题。
号与系统的频域分析
x
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
? 注释,
? CFS ( the Continuous-time Fourier Series ):
连续时间傅立叶级数
? DFS ( the Discrete-time Fourier Series ):
离散时间傅立叶级数
? CTFT ( the Continuous -Time Fourier
Transforms ),连续时间傅立叶变换
? DTFT ( the Discrete -Time Fourier
Transforms ),离散时间傅立叶变换
5.0 引言,( introduction )
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
? 本章采用与上一章相同的方法研究离散时
间信号与系统的傅立叶分析。可以看到，离
散时间的频域分析与连续时间的频域分析既
有许多相似的地方，也存在一些重要区别。
? 抓住它们之间的相似之处与掌握其差别，
对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有
重要意义。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
离散时间信号与系统分析的历史并不比连续时
间信号与系统分析的历史短。但由于模拟器件的制
造技术发展的更早、更快，以致在很长一段时间里，
离散时间信号与系统的分析发展得比较缓慢，主要
限于数值分析和对时间序列的分析。
20世纪四、五十年代，数字技术和计算机的出现
极大地推动了离散时间信号与系统的研究。但由于
缺乏快速算法，其发展仍受到很大制约。六十年代
中期,Cooley和 Tukey提出 FFT算法后，这一领域
得到了飞速的发展。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
基本思路与内容：
? 复指数函数 是一切 系统的特征函数。LTInz
? 以此为基础建立离散时间周期信号与非周期信号
的频域表示。
? 离散傅立叶变换（ DFT）及其快速算法（ FFT ）。
LTI? 系统的频域分析。
? DTFT的性质 —— 信号时域特性与频域特性的关系。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.1 离散时间 LTI系统的特征函数
(The Eigenfunctions of Discrete-Time LTI
Systems)
由时域分析法：
)(*)()( nhnxny ?
?
??
???
??
k
knzkh )(
?
??
???
??
k
kn zkhz )(
)( zHz n?
nz 系统的 特征函数
)(zH 系统与 特征函数
相对应 的 特征值
LTI
)(nh
()ynnz
( ) ( ) k
k
H z h k z
??
?
? ? ?
? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
这表明,是一切离散时间 LTI系统的特征函数。nz
?
??
???
?
k
n
kk zanx )( ?
??
???
?
k
n
kkk zzHany )()(
其中 z 是一个复数,。jz re ??
? 如果 则
? 以 为基本信号单元，将信号 表示为
的线性组合即为 信号的频域分解 。
nje ?()xnnje ?
nje ? 也是离散时间 LTI系统的特征函数。
显然
? 当 时，,1r? jze ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.2 周期信号与离散时间傅立叶级数
( Periodic Signals & Discrete-time Fourier Series )
成谐波关系的复指数信号集
N 为基波周期,中只有 N 个是独立的。
? ?
2jk n
N
k ne
?
?
??
? ??
??
()k n?
显然,是以 N为周期的。这表明 可以用 N个谐
波分量来表示周期序列,这种表示就是 DFS。
()xn
? 将其中所有独立的复指数信号线性组合起来，表示
信号时只需要 N 项。
221
0
()
N jk n jk n
NN
kk
k k N
x n A e A e
???
? ?? ?
????
??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
一, DFS：
1,级数中 只有 N个独立的成谐波关系的复指数分量。
2,k只需取相继的 N个整数，如,k=0,1,… N-1,等等。
实部偶对称，虚部奇对称；
模 偶对称，相位奇对称。
也称为 DFS的系数或频谱系数。
kA
g
若 为实序列，对 可推得：()xn
kA
g
? 若 以 N 为周期，则
称为 的离散时间傅立叶级数。
()xn 2() jk nN
k
kN
x n A e
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? ?
()xn
g
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
二, DFS的系数,
?
2
()j k r n
N
nN
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对 求和：n 22 ()
()
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n N n N k N
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k
k N n N
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g
g
由 两边同乘以,得2
() j knNk
kN
x n A e
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Ne
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()
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g
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
DFS
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A x n e
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N
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A x n e
N
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?? ?
? ?
g
g
这表明,离散时间周期序列的频谱是以 为周期的。
通常 是复数，绘制频谱时要分别以 和幅角表
示，即 幅度频谱 和 相位频谱 。
N
kA ||kA
g g
k k rNAA ??
很显然,gg
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
三, 周期性矩形脉冲信号的频谱：
11
2 1 2 1
( ) ( )
22
1
j k j k N j k N
N N N
j k j k j k
N N N
e e e
N
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2
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1
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N j N kN
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N
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1
21
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1 2
sin
kN
N
N
k
N
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? 0,,2,k N N? ? ? ???
121
k
NA
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1
2
1
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1 2
|
sin
2
k
k
N
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?
? ?
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??
??
?
g
显然 的包络具有 的形状。sin
sin
x
x
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kA
g
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
k
k
k
1 2
20
N
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1 1
10
N
N
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1 2
10
N
N
?
?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1N N?
当 不变,时，频谱的包络形状不变，只是
幅度减小，谱线间隔变密。
当 改变,不变时，由于 的包络有
的形状，而,可知其包络形状一定发生变
化。当 时，包络的第一个零点会远离原点从而
使频谱主瓣变宽。这一点也与连续时间周期矩形脉冲
的情况类似。周期序列的频谱也具有 离散性、谐波性,
在 区间考查时，也具有 收敛性 。不同的是，
离散时间周期信号的频谱具有 周期性 。
1N N kA
sin
sin
x
x
?
121N? ??
1N ?
???,
g
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
三, DFS的收敛,
DFS表明：周期序列 可以而且只能 分解成 N 个独立
的复指数谐波分量。
解释,以 N 为周期的序列在时域只有 N 个独立的值，即
该序列一个周期内各点的值。 DFS的系数 也是以 N
为周期的，也只有 N个独立的值。因此，从本质上讲，
DFS就是将序列在时域的 N个独立值变换为频域的 N个
独立值。
kA
g
DFS是一个有限项的级数，确定 的关系式也
是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生
Gibbs现象。
kA
g
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
只要在频域取够 N个分量，就一定能完全恢复成原
信号，因此 DFS不存在收敛问题。只要取够了 N个分
量，级数将完全收敛于,而不会出现 Gibbs 现
象。
()xn
连续时间周期信号在一个周期内有无数多个独立的
值，因而 CFS的系数 也有无数多个独立值。当只
取有限个谐波分量时，不可能恢复原信号。随着所取
谐波数量的增加，近似程度越来越高，在最小均方误
差准则下考虑极限情况时，就自然产生了收敛问题和
Gibbs现象。
kA
g
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
k
k
k
1 2
20
N
N
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1 2
40
N
N
?
?
1 2
10
N
N
?
?
5.3 非周期信号与离散时间傅立叶变换,
(Aperiodic Signals & Discrete-Time Fourier Transform)
一．从傅氏级数到傅氏变换,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
另一方面，任何周期信号都可以看成是一个非周期
信号周期延拓的结果。如果 是一个以 为周期
的信号,是它的一个周期，则有：
()xn
()xn% N
在讨论周期性矩形脉冲信号的频谱时，已经看到：
当周期信号的周期 N 增大时，频谱的谱线间隔变小，
谱线变密。在时域，当 时，周期信号将变
为非周期信号，离散频谱将变为连续频谱。
N ??
( ) ( )
k
x n x n k N
?
? ??
???% ()xn ? ?
1( ),| |x n n N?%
10,| |nN?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
D T F TenxeX
n
njj ——）（ ?
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???
?? ?? )(
对周期信号 由 DFS有,()xn%
jXe ? （）说明, ? 2?显然 对 是以 为周期的。
22 1
( ),( )
j k n j k n
NN
kk
k N n N
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当 时,,令 有, N ?? 2
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即 g
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
当 在一个周期范围内改变时,在 范围变化，
所以积分区间是 。
k
0k?
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2?
于是, 00
00
0
0
12
( ) ( ),
1
()
2
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kN
j k j k n
kN
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当 时，N ??
00,,,kd? ? ? ?? ? ?? ?
2
1 ()j
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A X eN ? ?
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将其与 表达式比较有：g
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
?
?
?
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? deeXnx njj???
2
)(
2
1)(
表明,离散时间序列可以分解为频率在 区间上
分布的、幅度为 的复指数分量的
线性组合。
?? ? deX j )(21
2?
?? ?
?
? deeXnx njj??
2
)(21)(
???? ?? njj enxeX ?? )()(
DTFT
对
结论：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
二, DTFT的收敛问题：
当序列是无限长序列时，由于 表达式是无
穷项级数，当然会存在收敛问题。
)jXe ?（
)jXe?（
2,()
n
xn?
? ??
???
2.若 则级数以均方误差最小准则收
敛于 。
( ),
n
xn
?
? ??
???
)jXe?（
)jXe?（
1,若 则 存在，且级数一致收
敛于 。
收敛条件有两组：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
? 当以部分复指数分量之和近似信号时，会出现起
伏和振荡；但随着 的振荡频率变高，起
伏幅度趋小 ;
,( )W x n? %
W ??
? 当 时，振荡与起伏将完全消失，不会出
现吉伯斯 ( Gibbs )现象，也不存在收敛问题。
? 绝对可和与平方可和并不是等价的。 例如：
平方可和但并不绝对可和。
0s in /nn??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
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??
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R
二, 常用信号的离散时间傅立叶变换,
通常 是复函数，它的模和相位,
()jXe ?
0
( ) ( ),1
1
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1
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j n j n
j
n
x n a u n a
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1.
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
)()1()( nuanuanx nn ???? ?
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?
???
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????
由图可以看到,
时，低通特性,单调指数衰减()xn01a??
时，高通特性,摆动指数衰减()xn10a? ? ?
( ),0 1nx n a a? ? ?2.
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
可以得出结论, 实偶序列 实偶函数
2
s in
)
2
1
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1
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xn
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? 1
1
Nn
Nn
?
?
3,矩形脉冲,
当
1 2N ?
时,
有同样的结论, 实偶信号 实偶函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
两点比较,
1,与对应的周期信号比较,
显然有
2,与对应的连续时间信号比较,
关系成立。
2
1
() jk
k
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?
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T
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?
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如图所示,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
( ) ( )x n n??
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???
? nj
n
j enxeX ??
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)(n?
0 n
1
如图所示,
5,频域均匀冲激串,
()jXe?
2?? 2?
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(1)
4.
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
()jHe?
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( ) 1xn?? 时,( ) 2 ( 2 )j
k
X e k? ? ? ? ?
?
? ? ?
???
6,理想低通滤波器：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1 s i n()
2
jn Wnh n e d
n
? ?
?
???
?
???
具有 函数的形式,系统是非因果的 。()hn sinc
7,符号函数,
sg n ( )n ?
?
1,
0,
-1,
0n?
0n?
0n?
n
1
-1
sgn( )n
将其视为下列信号的极限,
( ) ( ),( 1 )nna u n a u n a?? ? ?
于是有,
2
1 1 2 s i n
1 1 1 2 c o sjj
ja
a e a e a a??
?
?? ? ? ?? ? ? ?
当 时，可得到,1a ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
s i ns g n ( )
1 c o s
jn ?
?
??
?
实、奇信号 虚、奇频谱
8,单位阶跃的频谱,
? ?1( ) 1 s g n ( ) ( )2u n n n?? ? ?
1 2 ( 2 )
k
k? ? ? ?
?
? ??
???
s i ns g n ( )
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jn ?
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( ) 1n? ?
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1 j k
u n k
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?
? ? ?
? ? ? ?
? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.2 周期信号的 DTFT:
0
2
0
1
( ) ( )
2
()
j j n
jnjn
x n X e e d
e d e
??
?
?
??
?
?
?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
?)2(???02??002??
002,jte?? ?? ? ? ?（）
对连续时间信号，有 由此
推断对离散时间信号或许有相似的情况。
但由于 DTFT一定是以 2? 为周期的，因此，频
域的冲激应该是周期性的冲激串,
022
k
k? ? ? ? ?
?
? ??
??? （）
对其做反变换有：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
0
022
jn
k
ke ?? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ?? （）
可见：
xn（）%因此，周期信号 可表示为 DTFT：
2( ) 2 ( 2 )j
k
l k N
X e A k l
N
? ?? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ???
g
0( ) ( ) 2 ( 2 )
j
k
k N l
x n X e A k l? ?? ? ? ?
?
?? ? ? ??
? ? ? ???%
g
0
0
2( ),j k n
k
kN
x n A e
N
? ??
? ? ?
???%
由 DFS有,g
22
2 ( ) 2 ( 2 )
2
2 ( 4 )
kk
k N k N
k
kN
A k A k
NN
Ak
N
??
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
?
L
L
g
g
g
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
可以看出与连续时间傅立叶变换中的形式是完
全一致的。
11
00
1
0
22
2 ( ) 2 ( )
2
2 ( 2 )
NN
kk
kk
N
k
k
A k A k N
NN
A k N
N
??
? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
??
??
?
?
??
? ? ? ? ? ?
??
??
??
? ? ?
??
??
??
?
L
L
g g
g
1 2 1
0
31
2
22
2 ( ) 2 ( )
2
2 ( )
NN
kk
k k N
N
k
kN
A k A k
NN
Ak
N
??
? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
??
??
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
??
?
L
L2
2 ( )k
k
Ak
N
?? ? ??
? ? ?
???
gg
gg
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
? ??
?
???
??????
k
j kkeX )2()2()(
00 ?????????
?
00
0
1( ) c o s ( ),
2
j n j nx n n e e??? ?? ? ?
例 1.
不一定是周期的，当
0
2 k
N
?? ? 时才是周期的。
0 0 0s i n ( 2 ) ( 2 )
kk
n k k
j
?? ? ? ? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
??????
2( ) 2 ( )j
k
k
X e A k
N
? ?? ? ?
?
? ? ?
???
g
02 ?? ?? 02 ?? ?? 0?? 0? 02 ??? 02 ???
)( ?jeX
2?? 0 2?
?
?
L L
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
?
?
???
??
k
j k
NN
eX )2(2)( ?????
比较,与连续时间均匀冲激串的情况一致,
( ) ( )
k
x n n k N?
?
? ? ?
???
例 2,均匀脉冲串
00
1
0
1 1 1( ) ( )Njk n jk n
k
n N n
A x n e n e
N N N
?? ?
?
??
? ? ? ?
? ? ???
g
)(nx
1
N? 0 NN2? N2 n
L L
N
?2?
N
?2
)( ?jeX
N
?2
0
N
?4?
N
?4 ?
L L
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.5 离散时间傅立叶变换的性质,
( The Properties of the DTFT )
)()()()( 2121 ?? jj ebXeaXnbxnax ???
DTFT也有很多与 CTFT类似的性质，当然也有某
些明显的差别 。
通过对 DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时
域和频域特性之间的关系。
)()( )2( ???? jjj eXeXeXnx ?? ?），（）（ 则若
1,周期性 (periodic):
比较,这是与 CTFT不同的。
2,线性 (linearity):
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
3,共轭对称性 (symmetry properties):
)()(),()( ** ?? jj eXnxeXnx ???若 则
由此可进一步得到以下结论,
R e ( ) R e ( )
I m ( ) I m ( )
( ) ( )
( ) ( )
jj
jj
jj
jj
X e X e
X e X e
X e X e
X e X e
??
??
??
??
?
?
?
?
? ? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
? ? ? ????
? ? ? ??
? ?
?
?
???
?
RR
)()(),()( ** ???? jjjj eXeXeXeX ?? ??? 即
1.若
)(nx 是实信号,则 )()(* nxnx ?
因此,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
* ( ) ( ) ( ) ( )jx n x n x n X e ??? ? ?
2,若 )(nx 是实偶信号,则 ),()( nxnx ??
),()()(* ??? jjj eXeXeX ?? ?
于是有,
即,是实偶函数。)(
?jeX
)()(),()( * nxnxnxnx ????3,若 是实奇信号,则)(nx
),()()(* ??? jjj eXeXeX ??? ?
于是有,
表明, 是虚奇函数。)( ?jeX
( ) ( ) ( )
( ) R e ( ) ( ) I m ( )
eo
jj
eo
x n x n x n
x n X e x n j X e??
??
? ? ? ???? ? ? ?
，
4,若 则
说明,这些结论与连续时间情况下完全一致。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
4,时移 (shifting):
00( ) ( ) jnjx n n X e e ?? ???
若
则
( ) ( ),jx n X e ??
表明：信号在时域平移不改变幅频特性，只产生线
性的附加相移。
??
?
??
?
???
?
??
?
?
????
)2()()(
1
1
)(
)()1()1()(
0 keXeX
e
kx
eXenxnx
jj
j
n
k
jj
?????
?
??
5,时域差分与求和 (differencing and summation):
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
?
?
?
???
?
???
??
?
??
??
k
j
n
k
k
e
nu
nknu
)2(
1
1
)(
1)()()(
????
??
?
例,
6,时域 内插 与频域尺度变换 (interpolation):
?
?
??
，0
),/(
)(
knx
nx k
定义, 为 的整数倍其他n k
n
）?je ??1(
可看出 在 DTFT中 相当于 CTFT中的 j?
说明,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
( ) ( )jkkx n X e ???
表明, 信号的特性在时域与频域之间存在一种相反
的关系。
()
( ) ( ) ( )
( ) ( )
j j n j r k
k k k
nr
j r k jk
r
X e x n e x rk e
x r e X e
? ? ?
??
??
??
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
??
??
??
?
时间反转 特性( ) ( )jx n X e ????
当 K= -1时,据此可得,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
7,频域微分特性：
)()( ?jeXnx ?
()() jdX enx n j
d
?
???
() ()j jn
n
d X e j n x n e
d
?
?
?
?
? ??
?? ?
( ) ( )j j n
n
X e x n e??
?
?
? ? ?
? ?Q
8,卷积特性 (convolution):
称为 系统的频率特性。()jHe?
若 则( ) ( ) * ( ),y n x n h n?
( ) ( ) ( ),j j jY e X e H e? ? ??
卷积特性是对 LTI系统进行频域分析的理论基础。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
例,求和特性的证明：
( ) ( ) ( )
n
k
x k x n u n
? ? ?
???Q
1( ) ( 2 )
1 j k
u n k
e ?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ?
()
n
k
xk
? ? ?
?? 0() ( ) ( 2 )
1
j
j
j
k
Xe X e k
e
?
? ? ? ? ?
?
?
? ??
??
? ?
由卷积特性可得,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1 ()jXe ?
由于 和 都是以 为周期的，
因此上述卷积称为 周期卷积 。
?22 ()jXe ?
12
1( ) ( ) ( )
2
j j jY e X e X e? ? ?
???
记为,
()
122
1( ) ( ) ( )
2
j j jY e X e X e d? ? ? ?
?
?? ?? ?
12( ) ( ) ( ),y n x n x n??
如果 则
9,调制特性：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
0
02 ( 2 )
jn
k
ek? ? ? ? ? ?
?
? ??
? ? ??Q
移频特性
0() jnx n e ?
的频谱：例,移频特性
0
1 ( ) 2 ( 2 )
2
j
k
X e k? ? ? ? ? ??
?
? ??
? ? ??0() jnx n e ?
周期卷积与普通卷积的区别仅在于积分区间是
一个周期，卷积的结果也是周期性的。
由调制特性可得,
0
2 ()
00 ( ) ( ) ( )
jjX e d X e? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ??
即,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
?
?
???
???????
k
jnjn keCenc )2(2)()1()( ???????
)()()(
)()(
2
1
)()(
2
1
)(
)(
2
0
)(
2
??
?
?
??
?
?
???
????
?
?
?
?
?
???
?
??
?
?
jj
jj
jjj
eXdeX
deCeX
eCeXeY
( ) ( 1) ncn ??
例, )()()( ncnxny ??
)(nx
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
0
)( ?jeY
1
?? ? ?0
? ?
)( ?jeC
?? ?0
?
? ?
?2 ?2
)( ?jeX
?? ?M?? M?
?
0
? ?
1
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
?? ?
?
??? ?
? ?
? 2
22
)(
2
1)( deXnx j
n
10,Parseval 定理,
2)( ?jeX 称为 的 能量谱密度函数)(nx
221 ()
k
n N k N
x n A
N ? ? ? ? ? ?
???
比较, 在 DFS中,有
?
称为周期信号的 功率谱 。2
kA
?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
11,对偶性,
一, 离散时间傅立叶级数的对偶,
对离散时间周期序列有,
22 1
( ),( )
jk n jk n
NN
kk
k N n N
x n A e A x n e
N
?? ?
?? ? ?? ?
????
??
kA
由于 本身也是以 N为周期的序列，当然也可以
将其展开成 DFS形式,即,
2211
( ) ( )
j k n j k n
NN
kn
n N k N
A x n e A x k e
NN
??
?? ? ?? ?
? ? ? ???
或
将 记为 有：
nA ()an
1( ) ( )a n x k
N??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
利用对偶性可以很方便地将 DFS在时域得到的性
质对偶到频域，得到频域相应的性质。
),(1 kxN ?
这表明 序列的 DFS系数就是()an
( ) ( )
1
( ) ( )
D F S
k
D F S
x n a k A
a n x k
N
? ??? ?
? ??? ?
即,
例 1,从时移到频移：
1( ) ( ) ( ) ( )x n a k a n x k
N
? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
0
2
0
1( ) ( ) j k nNa n n x k e
N
??
? ? ?
2
2
11
( ) ( )
( ) ( )
j M n
N
j M n
N
x n e a k M
NN
x n e a k M
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
利用 时移性质 有,
由对偶性有,
2
( ) ( )
( ) ( )
j M n
N
x n a k
x n e a k M
?
? ? ?
? ? ?,即是 频移特性
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1 2 1 2
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a n b n x k x k N x k x k
N N N? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12
12
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
mN
mN
x n x n a m b k m
NN
x n x n a m b k m a k b k
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
例 2:由卷积特性到相乘特性：
由 时域卷积性质,
由对偶性,
12( ) ( ) kkx n x n A B N? ? ? ?( ),( )nnA a n B b n??
12
11( ) ( ) ( ) ( )a n x k b n x k
NN? ? ? ?
时域相乘性质
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
二, DTFT与 CFS间的对偶,
( ) ( ) ( )j j n j
n
X e x n e X e? ? ?
?
?
? ? ?
? ?
由 知 是一个以 ?2
为周期的连续函数,
?? ?
?
? deeXnx njj??
2
)(2 1)(
),( jteX 则可将其表示为 CFS:
若在时域构造一个以 为周期的连续时间信号?2
2
1( ),( )
2
jt jk t jt jk t
kk
k
X e A e A X e e dt
??
?
?
? ? ?
??? ?
()kA x k??kA
比较 和 的表达式可以看出)(nx
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
( ) ( )
( ) ( )
D T F T j
C F Sjt
x n X e
X e x k
?? ???
? ??? ?
若
则
这表明,
利用这一对偶关系，可以将 DTFT的若干特性对
偶到 CFS中去，或者反之。
例,从 CFS的时域微分到 DTFT的频域微分：
2() C F S
k
d x t j k A
d t T
?? ??? CFS的 时域微分特性
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
)()(
2)()(
2
)(
?
?
?
?
j
C F Sjt
eX
d
d
nj n x
Tkj k xkkx
T
jeX
dt
d
??
?????? ??? ），（
( ) ( ),( ) ( )D T F T C F Sj jtx n X e X e x k?? ??? ? ??? ?
若 则
)()()()(
)()()()(
2211
2211
kxeXkxeX
eXnxeXnx
C F SjtC F Sjt
jD T F TjD T F T
??? ????? ??
?? ???? ?? ??
例,从 CFS的卷积特性到 DTFT的相乘特性：
DTFT的 频域微分特性
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) ( ),( 2 )CFSjt jtX e X e x k x k T??? ? ??? ? ? ?
由 CFS的卷积特性：
12( ) * ( ) kkx t x t TA B?
)()(
2
1
)()(
)()()()(2
2121
2121
??
??
?
?
jjD T F T
jjD T F T
eXeXnxnx
eXeXnxnx
??? ??
??? ??
由对偶性有：
DTFT的相乘特性
可以将对偶关系归纳为如下图表,
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C F S连续时间傅立叶级数
() kx t A?
离散、非周期连续、周期 ??
D F S离散时间傅立叶级数
() kx n A?
离散、周期 离散、周期
连续、非周期连续、非周期 ??
C T F T连续时间傅立叶变换
( ) ( )
( ) 2 ( )
x t X j
X jt x?
??
? ? ?
D T F T离散时间傅立叶变换
)()( ?jeXnx ?
连续、周期离散、非周期 ??
12()
kA X j kTT
??
21
()jkNkA X eN
?
?
)()( ?jD T F T eXnx ?? ??
)()( kxeX C F Sjt ??? ??
1 ()
nA x kN??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
说明,
时域 频域
?
?
?
?
连续 非周期
离散 周期
周期 离散
非周期 连续
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.6 离散傅立叶变换（ DFT）,
( Discrete Fourier Transform )
可以认为时域 N点有限长序列与频域 N点有限长序
列之间有一种变换关系，这种关系就称为 DFT。
? 离散时间傅立叶变换是连续函数。为了在频域进
行数字处理，需要将其离散化，即需要一种时域离
散、频域也离散的关系,DFS正满足这一点。
kA
? DFS的本质是将时域 N个独立的点变换为频域 N
个独立的点，将一个周期序列取主周期，即得 N点
有限长序列，对 取其主周期也是 N个独立的点。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
一, 从 DFS到 DFT：
若 为有限长序列，将其周期性延拓成以 为周
期的序列 则：
()xn N
()xn
?
?
???
??
k
kNnxnx )()(~ ( ) ( ( ) ) Nx n x n?
或表示为
若
()NRn ? ?
1,0 1nN? ? ?
0,o th e r w is e
则：
( ) ( ) ( )Nx n x n R n?
由 DFS有：
22 1
0
()
Nj k n j k n
NN
kk
k N k
x n A e A e
?? ?
?? ? ?
????
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
22 1
0
11 ( ) ( )Nj k n j k nNN
k
n N n
A x n e x n e
NN
?? ???
?? ? ?
????
将 记为
kNA
2
( ),j NNX k W e
??
?
且,则 DFS可表示为：
1
0
1( ) ( )N kn
N
k
x n X k W
N
?
?
?
? ?
1
0
( ) ( )
N
kn
N
n
X k x n W
?
?
? ?
DFS的另一种
表示形式
如果取 的主值周期 并记为,
同时取 的主值周期 并记为 则有：
()xn()xn
()Xk 0 1,kN?? ()Xk
0 1,nN??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1
0
1( ) ( ),0 1N kn
N
k
x n X k W n N
N
?
?
?
? ? ? ??
1
0
( ) ( ),0 1
N
kn
N
n
X k x n W k N
?
?
? ? ? ??
这一对关系就是 有限长序列与它的 DFT.
DFT表明,时域的 点有限长序列,可以变换
为频域的 点有限长序列 。
()xn
()Xk
N
N
显然有：
( ) ( ) ( )NX k X k R k?
( ) ( ( ) ) NX k X k? DFT与 DFS的关系
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
)(~ nx
n
N0 N2N?
N0
k
)(kX
DF
S
DF
T
kA
0
2N
N
k
2N?N?
N0
n
)(nx
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
二,DFT与频域采样的关系,
1
0
( ) ( )
N
j j n
n
X e x n e??
?
?
?
? ?
22 1
0
1
0
( ) ( )
( ) ( )
N
j k j k n
NN
n
N
kn
N
n
X e x n e
x n W X k
?? ?
?
?
?
?
?
??
?
? 1~0 ?? Nk
2( ) ( )|
j
k
N
X k X e ? ?
? ?
?? 1~0 ?? Nk
对 点有限长序列 有：N ()xn
kN?? 2?
令 则有：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
表明：有限长序列的 DFT就是对其离散时间傅立叶
变换在一个周期内等间隔采样的样本。
应该强调指出,DFT并不是 的频谱，只是其频
谱的样本。 DFT在一定程度上反映了 的频谱。只
有在满足频域采样的要求时,DFT才可以完全代表信
号的频谱。
()xn
()xn
频域采样 时域周期性延拓，要求 时限。
若 有 M点，对其频谱在 一个周期内 采样 N点，那
么,将以 N 为周期延拓。 只有当 时，这
种延拓 才不会发生混叠,即在一个周期内至少要采样
M点才能恢复原信号。
MN ?
()xn
()xn
()xn
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
若 非时限，则不论在频谱的一个周期采样多少
点，都无法从周期延拓的信号中恢复原 。所以，
DFT只能对应有限长序列。
()xn
()xn
? 考察有限长系列当满足频域采样要求时，在时域和
频域的恢复过程：
1
0
11
00
( ) ( ) ( )
11
( ) ( ) ( )
M
k n k n
NN
nn
NN
k n k n
NN
kk
X k x n W x n W
x n X k W X k W
NN
??
? ? ? ?
??
??
??
??
??
??
??
若 是一个 点的序列，在频域对其采样 点，
则有：
()xn NM
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1
0
1
()
0
1
( ) ( )
1
()
N
k m k n
NN
km
N
k m n
N
mk
x n x m W W
N
x m W
N
??
?
? ? ? ?
??
?
? ? ? ?
??
?
??
??
1
()
0
,,
0
N
k m n
N
k
N m n r N r
W
m
?
?
?
???
? ?
?
?
为整数
，其他
?
?
???
???
r
rNnxnx )()(~
当 MN ? 时可以通过矩形窗从 恢复 。
()xn ()xn
( ) ( ) ( )Nx n x n R n??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1( ) ( ) ( )
2
j j jX e X e e? ? ??
???
( ) ( )j Ne R n?? ?
11
2 2
0 2
sin
()
sin
NN N
jj j n
n
e e e
? ?
??
?
?
??
??
?
???
频谱的恢复：
22( ) ( ) ( )j
k
X e X k k
NN
? ?? ??
?
? ? ?
???
的 DTFT()xn
做周期卷积时，将积分区间取为 ?2~0,在此区间内
)()(~ kXkX ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
21 ()
0
1( ) ( ) ( )N jkj N
k
X e X k e
N
??
? ?
? ?
?
? ?
表明：以矩形窗的频谱为内插函数恢复成 。()jXe ?
2
()
1
()
2
1
( ) ( )
1 s i n ( / 2 )
2
s i n [( ) / 2 ]
jk
j N
k
Nk
j
N
ee
N
N
e
kN
N
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?令：
211 ()
00
1( ) ( ) ( ) ( ) ( )NN jkjj N
k
kk
X e X k e X k e
N
??
?? ?
?? ?
??
???? ?
则：
于是：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
例：
( ) ( )Nx n R n? 0 4,5nN? ? ?
?2 5
44
5
00
() j k nkn
nn
X k W e
??
??
? ? ???
5,0k ?
0,1 4k ?
4
2
0
si n(5 / 2)()
si n( / 2)
j j n j
n
X e e e? ? ??
?
??
?
???
2
5
5,0
( ) ( )
0,1 4|
j
k
k
X k X e
k
?
?? ?
??
?? ?
???
显然有：
2?0 ?
| ( ) |je ??
?
5N ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
例：
( ) c o s 0 7,84x n n n N?? ? ? ?
()xn
n
1
10 2
3 4 5
6 7
7
0
4,1,7
( ) c o s ( )
0,4
kn
N
n
k
X k n W
o t h e r w i s e
?
?
??
?? ?
?
?
4
()Xk
0 1 2 3 4 5 6 7
k
n
()xn
1
2 41 30
()Xk
5
? 2?
?
0
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.7 离散傅立叶变换 ( DFT )的性质：
1．线性：
D F T( ) ( )x n X k? ??? D F T( ) ( )y n Y k? ???
如果 均为 N点有限长序列,且：
DFT( ) ( ) ( ) ( )a x n b y n a X k b Y k? ? ??? ?
( ),( )x n y n
则：
2,圆周移位：
0( ( ) ) ( )NNx n n R n?
称为 的 圆周移位 。()xn
先将 以 N为周期延拓，再移位,然后 取主
值周期。本质上是周期信号移位。这相当于将序
列置于圆周上随 转动，故称为 圆周移位 。
0n()xn
0n
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
0n?
1n?
3n?
4n?
()xn
0n?
1n?
3n?
4n?
55( ( 1 ) ) ( )x n R n?
( 1)xn ?
n
()xn ()xn
n
( 2)xn?
n
( 2)xn? 55( ( 2 ) ) ( )x n R n?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
则：
01 ( ) ( )knNX k W X k?
0D F S0( ) ( )knNx n n W X k? ? ???
1 1 0( ) D F T [ ( ) ] D F T [ ( ) ( ) ]NX k x n x n n R n? ? ?
00( ) ( ) ( )k n k nN N NW X k R k W X k??
频域圆周移位：
与时域对应，如果有限长序列的 DFT在频域圆周
移位，则有：
若：
10
0
( ) ( ( ) ) ( )
( ) ( )
NN
N
x n x n n R n
x n n R n
??
??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
00( ( ) ) ( ) ( )knN N NX k k R k W x n???
3,周期卷积与圆周卷积,
)(~ nf 也是以 N为周期的。显然
若
( ) ( ) ( )Nx n x n R n? ( ) ( ) ( )Ny n y n R n?
上式可以写成,
定义为 与 的 周期卷积。
如果
)(~ nx,( )yn 以 N为周期,则将
1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N
m
f n x n y n x m y n m
?
?
? ? ? ??
)(~ nx ()yn1
0
( ) ( )
N
m
x n m y m
?
?
???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
??
?
?
?
?
????
1
0
1
0
)())(())(()()(~
N
m
NN
N
m
mymnxmnymxnf
定义, 两个长度相同序列的圆周卷积,
1
0
1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) )
( ) ( )( ( ) )
N
NN
m
N
NN
m
f n x n y n x m R ny n m
y m R nx n m
?
?
?
?
? ? ? ??
?? ?
?
? 称为 圆周卷积
( ) ( ) ( )Nf n f n R n??
? 圆周卷积的实质,是先将两个有限长序列延拓成周
期序列，做周期卷积，然后对卷积结果取主值周期，
即,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
若 )()()( nynxnf ?? 则：
)()()( kYkXkF ??
)(~)(~)(~ nynxnf ???
)(~)(~)(~ kYkXkF ?
)()(1)( kYkXNkF ??
DF S,
( ) ( )
()
k k k
kk
k
C N A B
X k N A Y k N B
F k N C
?
??
?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
NN
NN
F k F k R k X k Y k R k
X k R k Y k R k X k Y k
? ? ?
??
频域卷积,)()()( nynxnf ? 则：若
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
()ym?
m
1
()yn
n
1
()xn
n
1
(1 )ym?
m
1
()ym
m
1
()ym?
m
1
(1 )ym?
m
1
n
()fn
1
2
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
4,有限长序列的线性卷积与圆周卷积,
若 是 点序列,是 点序列，()xn N ()yn M
线性卷积,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
f n x n y n x m y n m
?
? ??
? ? ? ??
即,线性卷积 的长度为 N＋ M－ 1点。
的非零区间, 10 ??? Nm
的非零区间,10 ???? Mmn
()xm
()y n m?
因此,的非零区间为, 02n N M? ? ? ?()fn
将, 均补零加长到 L 点，做圆周卷积 有：()xn ()yn
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
L
LL
m
f n x n y n R n x m y n m R n
?
?
? ? ? ? ? ??
( ) ( ( ) ) ( )L
k
y n m y n m y n m k L
?
? ? ?
? ? ? ? ? ??
代入,1
0
( ) ( ) ( ) ( )
L
L
mk
f n x m y n m k L R n
??
? ? ? ?
? ? ? ???
1
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
L
L
km
L
k
x m y n m k L R n
f n k L R n
??
? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
??
?
表明：圆周卷积是线性卷积周期延拓后取的主值周期。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
?显然，当 1??? MNL 时，
周期延拓时不发生重叠，可以通过取 的主
值周期，即通过圆周卷积得到 。这就是 通过计
算圆周卷积求得线性卷积必须满足的条件 。
()fn
()fn()fn
1??? MNL 时,由于周期性延拓时必然发生
重叠，无法通过圆周卷积取得线性卷积的结果。
?当
5,共轭对称性,
D F T( ) ( )x n X k? ???若
则：
DFT( ) ( )x n X N k??? ??? ?
有时也记为
()Xk? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
11
00
( ) [ ( ) ] ( ( ) ) ( )
( ( ) ) ( ) ( )
NN
k n k n
N N N N
nn
NN
x n W x n W X k R k
X N k R k X N k
??
? ? ? ?
??
??
? ? ?
? ? ? ?
??
1~0 ?? Nk
( ) ( 0 )X N X???
当 时，0k ?
( ) ( ) ( )rix n x n jx n??
1,由 可得：
1( ) [ ( ) ( ) ]
2rx n x n x n
???
实部
1( ) [ ( ) ( ) ]
2i
j x n x n x n???
虚部
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
若
DFT( ) ( )rex n X k? ??? D F T( ) ( )iojx n X k? ???
则 1
( ) [ ( ) ( ) ]2eX k X k X N k?? ? ?
1( ) [ ( ) ( ) ]
2oX k X k X N k
?? ? ?
( ) ( ) ( )eoX k X k X k??
显然，
*1( ) [ ( ) ( ) ] ( )
2eeX N k X N k X k X k
??? ? ? ? ?
由于
所以称其为 圆周共轭偶对称,或称 是
的 圆周共轭偶部。 由此，进一步可得：
()eXk ()Xk
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ]
ee
ee
X k X N k
X k X N k
??
? ? ?
圆周共轭奇对称，同理可得：
( ) ( )ooX k X N k?? ? ?
是 的 圆周共轭奇部。
()oXk ()Xk
实部 共轭偶部 (圆周共轭偶对称 )
实部圆周偶对称
虚部圆周奇对称
结论,
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ]
oo
oo
X k X N k
X k X N k
? ? ?
??
进一步可得：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
虚部 共轭奇部 (圆周共轭奇对称 )
实部圆周奇对称
虚部圆周偶对称
( ) ( )eX k X k?
2,若 是实序列,则()xn
只有共轭偶部
( ) ( )oX k X k?
若 是纯虚序列,则()xn
只有共轭奇部
)(kX
在这两种情况下，只要知道 的一半序列值，
即可得出另一半序列值。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1( ) [ ( ) ( ) ]
2e
x n x n x N n?? ? ?
圆周共轭偶部
1( ) [ ( ) ( ) ]
2ox n x n x N n
?? ? ?
圆周共轭奇部
D F T 1( ) [ ( ) ( ) ] R e [ ( ) ]
2ex n X k X k X k
?? ??? ? ?
DFT 1( ) [ ( ) ( ) ] I m [ ( ) ]
2o
x n X k X k j X k?? ??? ? ?
( ) ( ) ( )x n X N k X k? ? ?? ? ? ?
? ?( ) ( )x n x N n X k? ? ?? ? ? ?
( ) ( ) ( )eox n x n x n??3,由于 ( ) (0 )x N x?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
6,Parseval定理：
??
?
?
?
?
?
1
0
2
1
0
2 |)(|1|)(|
N
k
N
n
kXNnx
在这里
( ),0 ~ 1kX k N A k N? ? ?
其实就是 DFS的 Parseval定理的变形。
一般情况下有：
11
*
00
1( ) ( ) ( ) ( )NN
nn
x n y n X k Y k
N
??
?
??
???
当 时，就成为前面的形式。( ) ( )x n y n?
11
22
00
1 | ( ) | | |NN
k
nk
x n AN
??
??
???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.8 DFT应用中的几个具体问题,
一．频谱的混叠现象,( spectrum aliasing )
在时域将连续时间信号通过采样离散化时，对带
限信号，采样频率不得低于信号最高频率的 2 倍，否
则会出现频谱混叠。此时样本序列不能代表原信号，
对其作 DFT也就失去意义了。但采样频率过高则会增
大数据量影响运算速度，且要求较大内存量。
对非带限信号，频谱混叠是必然的。只能通过提高
采样频率减轻频谱混叠程度，借以减小误差。工程中
通常取
( 2,5 ~ 3 )sM? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
若 不知道 信号的最高频率，只有已经记录下来的波
形或数据，则可以从波形或数据中找出变化规律最快
的相邻两点，以这两点的时间间隔 为依据，按照
1
2m d
f
t
? mf
dt
近似确定最高频率 。
二．信号截断与频谱泄漏：
带限信号一定非时限。 在时域将连续时间信号离散
化时，为满足 Nyquist 定理要求，信号必须带限，所
以时域序列必为无限长。要对它做 DFT就必须将其截
断为有限长序列，为此要乘上矩形窗口函数
( ) ( )jNNR n W e ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
截断后的有限长序列的频谱：
1? ( ) ( ) ( )
2
j j j
NX e X e W e
? ? ?
?
??
由于 的引入可能会产生 频谱泄漏,导致在
DFT运算中产生出信号中本来没有的频率分量。
()jNWe ?
例,
nnx
2
c o s)( ?? 0 4N ?
分别以 和 将其截断，并分别对截断
的有限长序列做 4点和 6点 DFT，考察其结果。
4?N 6N ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
结论,对周期信号截断时，必须保证 N为信号
周期的整数倍；对非周期信号，先截取 N点做 N点
DFT，再取 2N点做 2N点 DFT…… 依次类推，直到两
次 DFT的结果非常接近时为止。以此确定截断长度。
三, 频率分辨率：
若模拟信号 带限于,采样频率,()
axt M? 2ssf???
pt
在 一段时间内采样 点，则采样间隔：N
2 / 1 /ssTf?? ? ? /pst N T N f??
由于 总对应于离散域的频率,因此，做 N点
s?
2?
DFT后，在数字域的频率分辨率为,2/ N???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
模拟域频率分辨率为：
/ 1 / ( Hz )spF f N t??
这表明,在 一定时，模拟域频率分辨率与采样
点数无关。不能通过增加采样的点数或提高采样频
率来改善模拟域的频率分辨率。 要提高模拟域的频
率分辨率，只有增大采样信号的时间区段 才能奏
效。
pt
pt
在工程应用中，通常是根据对模拟域频率分辨率
的要求，来决定采样信号的时间区段,再根据采样
定理选定,进而决定采样点数,这就是做 DFT
的点数。
pt
s? N
F
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
四, 栅栏效应：
DFT是信号频谱的等间隔样本，相当于通过栅栏
观察信号的频谱。因此，必定有一些地方会被挡住
（即采样时采不到的那些点），而在 DFT的结果中
无法体现。这种现象就称为 栅栏效应 。
在工程应用中，可以通过在序列的尾部补零，加
长原序列的长度，从而增加做 DFT的点数，来消除
栅栏效应。这相当于调整了原来栅栏的间隙，使频
谱中那些在原来采样时采不到的分量得以反映。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.9 快速傅里叶变换 （ FFT）,
一, DFT的运算特点：
1
0
( ) ( )
N
kn
N
n
X k x n W
?
?
? ? 10 ??? Nk
1
0
1( ) ( )N kn
N
k
x n X k W
N
?
?
?
? ?
10 ??? Nn
运算工作量：
求出 的每一个点，要做 N 次复数乘法，
次复数加法。求出全部 要做 次复数乘法，和
做 次复数加法。可见,DFT 运算具有 数
量级的运算量。当 N 较大时，运算量是巨大的（如,N
＝ 1024点时，运算工作量超过 数量级）。
)(kX )1( ?N
2N
)1( ?NN
610
)(kX
2N
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
正是由于 DFT具有巨大的运算量，因此在快速算法
产生之前，极大地阻碍了离散时间信号处理技术在工
程实际中的应用。
DFT的运算特点：
knNW2．
有对称性。
( ) ( )k N n N k n k nNNNWWW? ? ???
/2 1NNW ? ?? ( / 2 )k N kNNWW? ??
2
/2
k n k n
NNWW?
kn
NW
对 k,n均以 N为周期。
( ) ( )k N n n N k k nNNNWWW????
1.
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
例如将一个 N点序列分成两个 N/2点序列，就可以
减少近一半的运算工作量。
最重要的是,如能将 N点序列分成几个短序列，
则可以有效地减少运算次数。
FFT的基本思想,将长序列分成短序列。并利用
DFT的运算特点（周期性、对称性）减少运算量。
二．按时间抽取的 FFT算法（ Cooley-Tukey算法）
若 的长度
把 按 n为奇数、偶数分成两组：
()xn 2 MN ?
()xn 1 ( ) ( 2 ) ;x r x r?
2 ( ) ( 2 1 ),x r x r?? ( 0 ~ 1 )
2
Nr ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
1
0
( ) ( )
N
kn
N
n
X k x n W
?
?
? ?
( / 2 ) 1
2
0
( 2 )
N
rk
N
r
x r W
?
?
???
( / 2 ) 1
( 2 1)
0
( 2 1 )
N
rk
N
r
x r W
?
?
?
??
( / 2 ) 1
0 2
( 2 )
N
rk
N
r
x r W
?
?
???
( / 2 ) 1
0 2
( 2 1 )
N
r k k
NN
n
x r W W
?
?
???
( / 2 ) 1
1
0 2
()
N
nk
N
n
x n W
?
?
???
( / 2 ) 1
2
0 2
()
N
n k k
NN
n
x n W W
?
?
??
12( ) ( )kNX k W X k?? 1
20 ???
Nk
这就得到了 的前半部分。
()Xk
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
( / 2 ) 1 ()
2
1
0 2
( ) ( )2
NN nk
N
n
NX k x n W? ?
?
?? ?
( / 2 ) 1 ( ) ( )
22
2
0 2
()
NNN n k k
NN
n
x n W W
? ??
?
???
12( ) ( )kNX k W X k??
12( ) ( ) ( )kNX k X k W X k??
120 ??? Nk
12( ) ( ) ( )2
k
N
NX k X k W X k? ? ?
所以有：
1()Xk
2()Xk
12( ) ( ) ( )kNX k X k W X k??
12( ) ( ) ( )2
k
N
NX k X k W X k? ? ?
kNW
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
经 M-1次分解，最后分解为每组两点的 DFT。对
一个两点序列做 DFT不需要做乘法，此时：
?
?
?
1
0
2)()(
n
knWnxkX
)1()0()0( xxX ??
)1()0()1( xxX ??
由于这种算法在分组时是按时域中序列的奇、偶
位分解的，故称 按时间抽取的 FFT算法,也被称为
DIT( Decimation in Time )算法。
例：一个 8点序列 DIT算法的运算流程：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
三．按频率抽取的 FFT算法,（ Sand-Tukey 算法）
MN 2? 将序列每次按前一半后一半分组。
1
0
( ) ( )
N
kn
N
n
X k x n W
?
?
???
( / 2 ) 1
0
()
N
kn
N
n
x n W
?
?
? 1
( / 2 )
()
N
kn
N
nN
x n W
?
?
? ?
( / 2 ) 1
0
()
N
kn
N
n
x n W
?
?
???
( / 2 ) 1 ()
2
0
() 2
NN kn
N
n
Nx n W? ?
?
??
? ( / 2 ) 1
0
[ ( ) ( 1 ) ( ) ]2
N
k k n
N
n
Nx n x n W?
?
? ? ?? 10 ??? Nk
k为偶数 时：( 2 )kr?
?)2( rX ( / 2 ) 1 2
0
[ ( ) ( ) ]
2
N
rn
N
n
Nx n x n W?
?
???
即
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
( / 2 ) 1
0 2
( 2 ) [ ( ) ( ) ]
2
N
rn
N
n
NX r x n x n W?
?
? ? ?? 120 ???
Nr
)12( ?rX ( / 2 ) 1 ( 2 1)
0
[ ( ) ( ) ]2
N
rn
N
n
Nx n x n W? ?
?
? ? ??
( / 2 ) 1
0 2
[ ( ) ( ) ]2
N
n rn
NN
n
Nx n x n W W?
?
? ? ? ??
k为奇数 时,( 2 1)kr??
)2()()(1 Nnxnxnx ???
2 ( ) [ ( ) ( )]2
n
N
Nx n x n x n W? ? ? ?
令
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
nNW
)(nx )
2()()(1
Nnxnxnx ???
)2( Nnx ?
2 ( ) [ ( ) ( )]2
n
N
Nx n x n x n W? ? ? ?
此时，信号的分组与组合可以用以下蝶形结表示：
因为这种算法的结果，在频域表现为是按频域的
奇、偶位分组的，故称 按频率抽取的 FFT算法 。也
称为 DIF( Decimation in Frequency )算法。
)2( rX ? )(1 nx )12( ?rX ? )(2 nx则
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
复数加：
2l o gN M N N??
2lo g22
NNMN??
复数乘：
? DIT与 DIF算法的运算工作量完全相同。
2logNN
运算量为,数量级。
? DIT与 DIF算法都可以进行原位运算，且运算流
程十分规则。
1 0 2 42 10 ??N 410当 时运算量大约 。比直接
运算快大约 100倍。 可见快速算法的重要性。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)
000 001 010 011 100 101 110 111
0 000 100 010 110 001 101 011 111
x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7)
一个 8点序列的码位倒置过程：
? 基本蝶形结的结构不同。
? DIT法中 DFT运算在第一级完成
? DIF法中 DFT运算在最后一级完成。
DIT算法与 DIF算法的区别：
? DIT与 DIF算法都需要 码位倒置 过程。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
可以完全照 DFT的方法建立相应的按频率抽取，
或按时间抽取的运算流程，但实用中并不这样做。
kn
NW
指数有负号
1/N
IDFT与 DFT的区别：
1）
2）有系数
1
0
1
0
1
( ) ( )
( ) ( )
N
kn
N
k
N
kn
N
n
x n X k W
N
X k x n W
?
?
?
?
?
?
?
?
?
DIT与 DIF算法的根本区别并不在于谁的输入或
输出是码位倒置的，而是它们蝶形结的结构不同。
四, IDFT的快速算法：（ IFFT）
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
先将 取复共轭，再对 的共轭执行 FFT
程序，对运算结果再取共轭，并乘以 即可。完
全可以利用 FFT程序实现 IFFT运算。
()Xk()Xk
1/N
这才是工程应用中实现 IFFT运算的方法。
1
0
1( ) ( )N kn
N
k
x n X k WN
?
?
?
? ?
1
0
1 [ ( ) ]N kn
N
k
X k WN
?
??
?
? ?
1 { D F T[ ( ) ] }Xk
N
???
由于：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
5.10 离散时间 LTI系统的频域分析：
理论基础,复指数信号是一切 LTI系统的特征函数；
傅立叶变换的卷积特性。
LTI()xn
)( ?jeX
()hn
()yn
)( ?jeY
时域：
( ) ( ) ( )y n x n h n??
频域：
)()()( ??? jjj eHeXeY ?
一, 离散时间 LTI系统的频域分析：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
( ) ( )jh n H e ?? ()jHe ? 称为 系统的频率响应。
若 为有限长序列,也是 有限长序列（即
FIR系统），在满足由圆周卷积求线性卷积的条件
下，有
)(nh)(nx
)()()( kHkXkY ??
此时,可通过 DFT利用 FFT算法求得 。)(ny
若 为周期信号)(nx 2
()
j kn
N
k
kN
x n A e
?
? ? ?
? ?
则
2
2
( ) ( ) N
jk jk n
N
k
kN
y n A H e e
?
?
?? ?
???
kA
可从 DFT求得。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
二、系统的频率响应：
)( ?jeH
刻画了 LTI系统的频率特性，它是系统单位脉
冲响应的傅立叶变换，可以完全表征 LTI 系统。
但并非所有的 LTI系统都一定存在频率响应。这里
有一个 先决条件，即
| ( ) |
k
hk
??
? ??
???
这说明 只有稳定系统，才能由频率响应来描述。
三、由线性常系数差分方程表征的系统：
00
( ) ( ),
NM
kk
kk
a y n k b x n k
??
? ? ???
做傅立叶变换有：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
??
?
?
?
? ?
M
k
jjk
k
N
k
jjk
k eXebeYea
00
)()( ????
0
0
()
()
()
M
jk
j k
j k
Nj
jk
k
k
be
Ye
He
Xe
ae
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
je ??是 的有理函数
例 1,31
( ) ( 1 ) ( 2 ) 2 ( )48y n y n y n x n? ? ? ? ?
2
22()
3 1 1 11 ( 1 )( 1 )
4 8 2 4
j
j j j j
He
e e e e
?
? ? ? ?? ? ? ?
??
? ? ? ?
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42( ) [ ]
1111
24
j
jj
He
ee
?
????
??
??
11( ) 4 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
24
nnh n u n u n??
通过频率响应求出系统的单位脉冲响应，是实际
应用中获得单位脉冲响应的主要方法。
例 2,由系统方框图 求系统的频率响应：
D D? ?· · ·()xn ()yn
2
1?
43
2
()wn
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
2
2
7
1()
4()
3()
12
4
j
j
j
j
jj
eYe
He
Xe ee
?
?
?
?
??
?
??
?
??
??
3( ) ( ) 2 ( 1 ) ( 2 )
4w n x n w n w n? ? ? ? ?
( ) ( ) 2 ( 1 ) ( 2 )y n x n w n w n? ? ? ? ?
由系统方框图，对两个加法器可列出以下方程：
对以上方程做 DTFT有：
23( ) ( ) ( 2 ) ( )
4
j j j j jW e X e e e W e? ? ? ? ???? ? ?
2( ) ( ) ( 2 ) ( )j j j j jY e X e e e W e? ? ? ? ???? ? ?
由此可解出：
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三, IIR与 FIR系统,
0
0
()
()
()
M
jk
kj
j k
Nj
jk
k
k
be
Ye
He
Xe
ae
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
若除 外其余 则
0a 0,ka ?
00
1() Mj j k
k
k
H e b e
a
?? ?
?
? ?
是一个 多项式 。此时：
00
1( ) ( )M
k
k
h n b n k
a
?
?
???
是有限长序列（共 M+1点）
)(1)(
00
knxb
a
ny
M
k
k ?? ?
?
，差分方程无须递推迭代，
称为 非递归方程 ； 单位脉冲响应是有限长序列 。
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系统称为 FIR( Finit Impulse Response )系统 。
()hn此时 是 无限长序列,系统称为 IIR( Infinit
Impulse Response )系统。
若除 外还有其他
0a 0,ka ?
则：
()jHe ? 是有理分式。差分方程为：
010
1( ) [ ( ) ( ) ]MN
kk
kk
y n b x n k a y n k
a ??
? ? ? ???
差分方程需要递推迭代求解，称为 递归方程 ；
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本章小结 （ Summary )：
本章主要讨论了以下问题：
1,建立了离散时间周期信号与非周期信号的频域描
述方法 —— DFS与 DTFT。
2,通过傅立叶变换性质的讨论，研究了信号时域特
性与频域特性的关系。
3,对离散时间 LTI系统建立了频域分析的方法。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第五章：离散时间信号与系统的频域分析
4,对有限长序列定义了 DFT，讨论了 DFT与 DTFT、
信号频谱以及与频域采样的关系。
7,DFT的基－ 2快速算法,DIT与 DIF算法。
5.讨论了 DFT的若干性质。
6,DFT在工程应用中的实际问题。
