1
第 1章 离散时间信号与系统
? 离散时间信号
? 序列的表示
? 序列的产生
? 常用序列
? 序列的基本运算
? 系统分类
? 线性系统
? 移不变系统
? 因果系统
? 稳定系统
? 常系数线性差分方程
? 连续时间信号的抽样
2
x [k]={1,1,2,-1,1;k=-1,0,1,2,3}
k
1
2
1
- 1
- 1 0 1
2
3
x [ k ]
1
}1,1,2,1,1{][ ?? ?kx
离散信号 (序列 )的表示
3
? 对连续信号抽样 x[k]=x(kT)
? 信号本身是离散的
? 计算机产生
注意,
? 离散信号, 时间上都量化的信号
? 数字信号, 时间和幅度上都量化的信号
离散序列的产生
4
1．单位脉冲序列
?
?
?
?
?
?
00
0 1
][
k
k
k?定义：
2.单位阶跃序列
?
?
?
?
?
?
00
0 1
][
k
k
ku定义：
3．矩形序列
?
?
? ????
ot h e r w i s e0
10 1
][
Nk
kR N
常用序列
5
4．指数序列
Z?? kakx k,][
有界序列,?k?Z |x [k]| ? Mx 。 Mx是与 k无关的常数
aku[k],右指数序列,|a| ?1序列有界
aku[?k],左 指数序列,|a| ?1序列有界
5．虚指数序列 (单频序列 )
tjetx ??)(
角频率为 ? 的 模拟信号
kjTkj
kTt eetxkx
?? ???
?)(][
数字信号角频率 ?=T ?
6
虚指数序列 x [k]=exp( j? k) 是否为周期的?
如是周期序列其周期为多少？
即 ?? ?p为有理数时，信号才是周期的。
如果 ?? ?p?m ? L,L,m 是不可约的整数，则信号的周期为 L。
7
6．正弦型序列
2/)(c o s][ kjkj eekkx ??? ????
例 试确定余弦序列 x[k] = cos?0k 当 (a) ?0=0 (b) ?0=0.1p (c)
?0=0.2p (d) ?0=0.8p (e) ?0=0.9p (f) ?0=p 时的基本周期 。
解：
(a)?0?2p????,N=1。
(b)?0?2p???????????,N=20。
(c) ?0?2p???????????,N=10。
(d)?0?2p???8??????,N=5。
(e) ?0?2p???9???9???? N=20。
(f) ?0?2p????? N=2。
8
0 10 20 30 40
-1
0
1
x[k] = cos?0 k,?0=0.2p
0 10 20 30 40
-1
0
1
x[k] = cos?0 k,?0=0.8p
0 10 20 30 40
-1
0
1
x[k] = cos?0 k,?0=p
0 10 20 30 40
-1
0
1
x[k] = cos?0 k,?0=0
9
当 ?0从 p增加到 2p时，余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。
? ? ? ? Z??p? nkkn 00 c o s)2(c o s ??
即两个余弦序列的角频率相差 2p的整数倍时，
所表示的是同一个序列。
cos[(2p??0 )k]= cos(?0 k)
?0 在 p 附近的余弦序列是 高频信号 。
?0 ?或 2p 附近的余弦序列是 低频信号 。
10
11
][][][ nkhnxky n ?? ? ? ???
序列的基本运算
? 翻转 (time reversal) x[k]?x[-k]
? 位移 (延迟 ) x[k]?x[k-N]
? 抽取 (decimation) x[k]?x[Mk]
? 内插 (interpolation)
? 卷积
12
例,已知 x1[k] ? x2[k]= y[k]，试求 y1[k]= x1[k?n] ? x2[k?m]。
结论,y1[k]= y[k??m+n)]
例, x[k] 非零范围为 N1? k ? N2, h[k] 的非零范围为 N3? k? N4
求,y[k]=x[k]? h[k]的非零范围 。
结论,N1?N3? k ? N4?N2
13
? 实序列的偶部和奇部
? 序列的单位脉冲序列表示
)()()( mnmxnx
m
?? ?
?
???
?
)()()( nxnxnx oe ??
)]()([21)( nxnxnx e ???
)]()([21)( nxnxnx o ???
14
]}[{]}[{]}[][{ 2121 kxbTkxaTkbxkaxT ???
系统分类
? 线性 (Linearity)
注意,
? 齐次性
? 叠加性
15
例, 设一系统的输入输出关系为
y[k]=x2[k]
试判断系统是否为线性？
解：输入信号 x [k]产生的输出信号 T{x [k]}为
T{x [k]}=x2[k]
输入信号 ax [k]产生的输出信号 T{ax [k]}为
T{ax [k]}= a2x2[k]
除了 a=0,1情况, T{ax [k]}? aT{x [k]}。 故系统不满
足线性系统的的定义, 所以系统是非线性系统 。
16
例 y(n)＝ T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。
计算 T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3，
而 ay1(n)+by2(n)＝ 5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)
17
? 时 不变 (Time-Invatiance)
? 定义：如 T{x [k]}=y[k]，则 T{x [k-n]}=y[k-n]
? 线性时不变系统简称为,LTI
? 在 n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就
是“非时变”特性。
例 证明 y(n)＝ T[x(n)]＝ nx(n)不是非移变系统。
计算 T[x(n-k)]=nx(n-k)，而 y(n-k)=(n-k)x(n-k)。
18
解：输入信号 x[k]产生的输出信号 y[k]为
y[k]=T{ x[k]}= x[Mk]
输入信号 x[k?n]产生的输出信号 T{x[k?n]}为
T{x[k?n]}= x[Mk?n]
由于
x[Mk?n] ?y[k?n]
故系统是时变的 。
例, 已知抽取器的输入和输出关系为
y[k]=x[Mk]
试判断系统是否为时不变的？
19
2 3 4 51
2
6
4 k
0
][1 kx
- 1
1
3
5
]2[][ 11 kxky ?
2 3 4 51
k
0-1
1
3
5
]1[][ 12 ?? kxkx
2 3 4 51
2
6
4 k
0- 1
1
3
5
]2[][ 22 kxky ?
2 3 4 51
2
6
4
k
0-1
]2[][ 13 ?? kxkx
2 3 4 51
2
6
4 k
0- 1
1
3
5
]2[][ 33 kxky ?
2 3 41
k
0-1
1
3
5
抽取器时变特性的图示说明
20
定义,]}[{][ kTkh ??
例：累加器,
][][ nxky
k
n
?
???
?
][][ kukh ?
单位脉冲响应（ Impulse response）
21
}][][{]}[{ ? ??
n
nknxTkxT ?
}][{][? ??
n
nkTnx ?
? ??
n
nkhnx ][][
][*][ khkx?
][][][ khkxky ??
LTI系统对任意输入的响应
22
当任意输入 x(n)用前式表示时，则系统输出为
因为系统是线性非移变的，所以
通常把上式称为 离散卷积或线性卷积 。
这一关系常用符号, *” 表示：
23
离散卷积满足以下运算规律：
(1)交换律
24
(2)结合律
25
(3)分配律
26
离散卷积的计算
27
?计算卷积的步骤如下：
(1)折叠：先在哑变量坐标轴 k上画出 x(k)和 h(k)，将
h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。
(2)移位：将 h(-k)移位 n，得 h(n-k)。当 n为正数时，
右移 n；当 n为负数时，左移 n。
(3)相乘：将 h(n-k)和 x(k)的对应取样值相乘。
(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得 y(n)。
上图为：
与
的线性卷积。
28
计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面
举例说明。
例 已知 x(n)和 h(n)分别为：
和
试求 x(n)和 h(n)的线性卷积。
解 参看图 2,15，分段考虑如下：
(1)对于 n<0：
(2)对于 0≤n≤4：
(3)对于 n>4，且 n-6≤0，即 4<n≤6时：
(4)对于 n>6，且 n-6≤4，即 6<n≤10时：
(5)对于 (n-6)>4，即 n>10时：
29
x
30
综合以上结果,y(n)可归纳如下：
31
卷积结果 y(n)如图 2,16所示
32
因果性
? 定义
? 定理
? 证明（充分性、必要性）
? 举例
33
稳定性
? 定义
? 定理
? 证明（充分性、必要性）
? 举例
34
线性常系数差分方程
? 用迭代法求解差分方程－－－求单位抽样
响应
? 差分方程的优点：
? 在一定条件下，可得到系统的输出
? 可直接得到系统的结构
? 举例
35
信号的抽样
? 连续信号频谱 X(jw)与抽样信号频谱 X (ejW )
的关系
? 时域抽样定理
? 抗混叠滤波
? 信号的重建
? 连续信号的离散处理
36
x ( t )
t
0 T 2 T
x [ k ]
k
0 1 2
kTttxkx ?? )(][
点抽样
A / D
x ( t ) x [ k ] = x ( k T )
T
抽样间隔 (周期 ) T (s)
抽样角频率 ?sam=2p/T (rad/s)
抽样频率 fsam=1/T (Hz)
)e()j( j?? XX ? ??
抽样过程的两种数学模型
37
x ( t )
t
0 T 2 T
?
T
( t )
t
0 T 2 T
x
s
( t )
t
0 T 2 T
理想抽样
)()()( ttxtx Ts ??
)(][ kTtkxk ?? ? ?
)()( kTttx k ?? ? ?
38
)]()([)]([ s ttxFtxF T???
)]([)]([
2
1 tFtxF
T?p ??
)()j(
2
1
s a ms a m ?????p nX
n
??? ?
))(j(1 s a m?? nX
T n
?? ?
))(j(1)j( s a ms ??? nX
T
X
n
?? ?
连续信号频谱 X(jw)与理想抽样信号
频谱 Xs(jw)的关系
39?)e( j?X
ttxX tss de)()j( j ?? ??????
tkTtkx t
k
de)(][ j ?? ???? ?? ??
tkTtkx t
k
de)(][ j ?? ???? ?? ??
?kT
k
kx je][ ???
)e( j ?TX?
)/j(s TX ?
点抽样信号频谱 X(ejW)与理想抽样
信号频谱 Xs(jw)的关系
40
?)e( j?X )e( /js TX ?
))(j(1)j( s a ms ??? nX
T
X
n
?? ?
)j()j(
T
XX T ?? ???? ?? 缩因子 )π2j(1π2
T
nX
T n
?????? ?? ? ?周期化为
? ??
n T
nX
T
X )π2j(1)e( j ??
连续信号频谱 X(jw)与点抽样信号频
谱 X (ejW )的关系
41
X(j?)=0 |?|>?m
称为 ?m 为信号的最高 (角 )频率。 ωm? )j( ?X m??
0
带限 (band limit)信号
42
例, 已知某带限信号抽样信号 x(t)的频谱如图所
示,试分别抽样角频率 ?sam=2.5?m,2?m,1.6?m
抽样时，抽样后离散序列 x[k]的频谱。 ?)j( ?X m??
1
0
m?? 5.2s a m ?
解：
π8.0
5.2
π2
m
mm ???? ??? T T
1
?
)e( j?X
? ?8 p
p
0
? p
? ? p
? ? ?8 p
43
m?? 2s am ?
π
2
π2
m
mm ???? ??? T T
1
?
)e( j?X
p
0
? p
? ? p
? p
m?? 6.1s a m ? π25.1
6.1
π2
m
mm ???? ??? T T
1
?
p
0
? p
? ? p
? p
? ? ? ? pT
1
?
p
0
? p
? ? p
? p
)e( j?X
44
T1
?
)e( j?X
? ? 8 p
p
0
? p
? ? p
? ? ? 8 p
m?? 5.2s a m ?
T1
?
)e( j?X
p
0
? p
? ? p
? p
m?? 2s am ?
T1
?
p
0
? p
? ? p
? p
)e( j?X
m?? 6.1s a m ?
45
设 x(t)是带限实信号，则抽样后信号频谱不混
叠的 (充分 )条件为：
T ? p/?m=1/(2fm)
时域抽样定理
fsam? 2fm （或 ?sam ? 2 ?m）
抽样频率 fs满足：
或抽样间隔 T 满足
fsam = 2fm 频谱不混叠 最小抽样频率 (Nyquist rate)
T=1/(2fm) 频谱不混叠 最大抽样间隔
46
例：已知 x(t)=Sa(pf0t),试确定 频谱不混叠最大抽样间隔 T
及抽样后的序列 x[k]。
解：
?
p f
?
0
X ( j ? )
? p f
?
? ? f
?
所以 ?sam=2pf0,即 T=1/f0。
?)e( j?X 1
?][kx ][k?
若信号 x(t)以 T为 抽样间隔 抽样后的序列为 ?[k],则称该信
号 Nyquist-T 信号 。
在所有的 Nyquist-T 信号中，只有 x(t)=Sa(pf0t)是带限的 。
47
例：已知连续带通信号 x(t)的频谱如下图所示,试分别画出
?sam1=0.5?m 及 ?sam2=0.8?m时，抽样后离散序列的频谱。
解：
?
?
m
0
X ( j ? )
? ?? ? ?
m
1
?sam1=0.5?m,T1=2p/?sam1 =4p??m
?sam2=0.8?m,T2=2p/?sam2=2.5p??m
?
0
X ( e
j ?
)
? p ? p? pp? p? ? p? ? p? ? p
? ?T
0
X ( e
j ?
)
? ?? p ? ?? p
? ? ?? p ? ? ?? p ? ? ?? p ? ?? p
?
? ?8 ? ? p
1 / T
48
抗混叠滤波
许多实际工程信号不满足带限条件
抗混 叠
低通滤波器
)(tx )(
1 tx
)(th? )j( ?X
1
0
? )j(1 ?X m??1
0
? )j( ?H m??1
0
49
信号的重建
D / A
x [ k ]
T
)(][)(s kTtkxtx
k
?? ??
???
?
理想 D/A模型框图
k
0 1 2 3 4
x [ k ]
t
0 T 2 T 3 T 4 T
x
s
( t )
理想 D/A输入和输出
)e()j( js ?? TXX ?
50
)()( ?? jTs eXjX ?
A/T
)( ?jeX
?
mT?? mT?
pp? p2p2?
A/T
)( ?jXs
?
m?? m? 2
sam?
2
sam?? sam?sam??
51
A / T
)( ?jX s ?
m?? m? 2
sam?
2
s a m??
sam?sa m??
?
?
? ?
?
其它0
2/
)( s a mr
T
jH
??
? )/(Sa)( Ttth r p?
)()()()( thtxtxtx rsr ???
)/(Sa)}(][{ TtkTtkx
k
p? ??? ?
)/)((Sa][ TkTtkx
k
?? ? p
52
零阶保持 D/A
0 T 2 T
x
z
( t )
t
0 1 2
x [ k ]
k
理 想 D / A
x [ k ]
T
h
z
( t )
x
s
( t ) x
z
( t )
0
T
1
h
z
( t )
t
零阶保持 D/A模型框图
53
零阶保持 D/A输出信号的频谱为
Xz(j?)= Hz(j?) Xs(j?) 2/j
z e)2/(Sa)j( TTTH ??? ??
0 ?
s a m
? ?
s a m
| H
z
( j ? ) |
| X
s
( j ? ) |
| X
z
( j ? ) |
?
m
0 ?
s a m
? ?
s a m
?
s a m
? ?
m
0 ?
m
?
s a m
? ?
m
?
s a m
? ?
s a m
?
?
?
( a )
( b )
( c )
54
离散域进行补偿的 FIR和 IIR滤波器
21
1 16
1
8
9
16
1)( ?? ???? zzzH
1
2
8
1
1
8
9
)(
??
??
z
zH
? ?? ?
s a m
0
- 4
- 3
- 2
- 1
0
G
a
i
n
,
d
B
? ?? ?
s a m
? ?? ?
s a m
? ?? ?
s a m
? ?? ?
s a m
I I R
F I R
2 0 l o g 1 0 ( | H
z
( j ? ) | )
?
第 1章 离散时间信号与系统
? 离散时间信号
? 序列的表示
? 序列的产生
? 常用序列
? 序列的基本运算
? 系统分类
? 线性系统
? 移不变系统
? 因果系统
? 稳定系统
? 常系数线性差分方程
? 连续时间信号的抽样
2
x [k]={1,1,2,-1,1;k=-1,0,1,2,3}
k
1
2
1
- 1
- 1 0 1
2
3
x [ k ]
1
}1,1,2,1,1{][ ?? ?kx
离散信号 (序列 )的表示
3
? 对连续信号抽样 x[k]=x(kT)
? 信号本身是离散的
? 计算机产生
注意,
? 离散信号, 时间上都量化的信号
? 数字信号, 时间和幅度上都量化的信号
离散序列的产生
4
1．单位脉冲序列
?
?
?
?
?
?
00
0 1
][
k
k
k?定义：
2.单位阶跃序列
?
?
?
?
?
?
00
0 1
][
k
k
ku定义：
3．矩形序列
?
?
? ????
ot h e r w i s e0
10 1
][
Nk
kR N
常用序列
5
4．指数序列
Z?? kakx k,][
有界序列,?k?Z |x [k]| ? Mx 。 Mx是与 k无关的常数
aku[k],右指数序列,|a| ?1序列有界
aku[?k],左 指数序列,|a| ?1序列有界
5．虚指数序列 (单频序列 )
tjetx ??)(
角频率为 ? 的 模拟信号
kjTkj
kTt eetxkx
?? ???
?)(][
数字信号角频率 ?=T ?
6
虚指数序列 x [k]=exp( j? k) 是否为周期的?
如是周期序列其周期为多少？
即 ?? ?p为有理数时，信号才是周期的。
如果 ?? ?p?m ? L,L,m 是不可约的整数，则信号的周期为 L。
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6．正弦型序列
2/)(c o s][ kjkj eekkx ??? ????
例 试确定余弦序列 x[k] = cos?0k 当 (a) ?0=0 (b) ?0=0.1p (c)
?0=0.2p (d) ?0=0.8p (e) ?0=0.9p (f) ?0=p 时的基本周期 。
解：
(a)?0?2p????,N=1。
(b)?0?2p???????????,N=20。
(c) ?0?2p???????????,N=10。
(d)?0?2p???8??????,N=5。
(e) ?0?2p???9???9???? N=20。
(f) ?0?2p????? N=2。
8
0 10 20 30 40
-1
0
1
x[k] = cos?0 k,?0=0.2p
0 10 20 30 40
-1
0
1
x[k] = cos?0 k,?0=0.8p
0 10 20 30 40
-1
0
1
x[k] = cos?0 k,?0=p
0 10 20 30 40
-1
0
1
x[k] = cos?0 k,?0=0
9
当 ?0从 p增加到 2p时，余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。
? ? ? ? Z??p? nkkn 00 c o s)2(c o s ??
即两个余弦序列的角频率相差 2p的整数倍时，
所表示的是同一个序列。
cos[(2p??0 )k]= cos(?0 k)
?0 在 p 附近的余弦序列是 高频信号 。
?0 ?或 2p 附近的余弦序列是 低频信号 。
10
11
][][][ nkhnxky n ?? ? ? ???
序列的基本运算
? 翻转 (time reversal) x[k]?x[-k]
? 位移 (延迟 ) x[k]?x[k-N]
? 抽取 (decimation) x[k]?x[Mk]
? 内插 (interpolation)
? 卷积
12
例,已知 x1[k] ? x2[k]= y[k]，试求 y1[k]= x1[k?n] ? x2[k?m]。
结论,y1[k]= y[k??m+n)]
例, x[k] 非零范围为 N1? k ? N2, h[k] 的非零范围为 N3? k? N4
求,y[k]=x[k]? h[k]的非零范围 。
结论,N1?N3? k ? N4?N2
13
? 实序列的偶部和奇部
? 序列的单位脉冲序列表示
)()()( mnmxnx
m
?? ?
?
???
?
)()()( nxnxnx oe ??
)]()([21)( nxnxnx e ???
)]()([21)( nxnxnx o ???
14
]}[{]}[{]}[][{ 2121 kxbTkxaTkbxkaxT ???
系统分类
? 线性 (Linearity)
注意,
? 齐次性
? 叠加性
15
例, 设一系统的输入输出关系为
y[k]=x2[k]
试判断系统是否为线性？
解：输入信号 x [k]产生的输出信号 T{x [k]}为
T{x [k]}=x2[k]
输入信号 ax [k]产生的输出信号 T{ax [k]}为
T{ax [k]}= a2x2[k]
除了 a=0,1情况, T{ax [k]}? aT{x [k]}。 故系统不满
足线性系统的的定义, 所以系统是非线性系统 。
16
例 y(n)＝ T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。
计算 T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3，
而 ay1(n)+by2(n)＝ 5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)
17
? 时 不变 (Time-Invatiance)
? 定义：如 T{x [k]}=y[k]，则 T{x [k-n]}=y[k-n]
? 线性时不变系统简称为,LTI
? 在 n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就
是“非时变”特性。
例 证明 y(n)＝ T[x(n)]＝ nx(n)不是非移变系统。
计算 T[x(n-k)]=nx(n-k)，而 y(n-k)=(n-k)x(n-k)。
18
解：输入信号 x[k]产生的输出信号 y[k]为
y[k]=T{ x[k]}= x[Mk]
输入信号 x[k?n]产生的输出信号 T{x[k?n]}为
T{x[k?n]}= x[Mk?n]
由于
x[Mk?n] ?y[k?n]
故系统是时变的 。
例, 已知抽取器的输入和输出关系为
y[k]=x[Mk]
试判断系统是否为时不变的？
19
2 3 4 51
2
6
4 k
0
][1 kx
- 1
1
3
5
]2[][ 11 kxky ?
2 3 4 51
k
0-1
1
3
5
]1[][ 12 ?? kxkx
2 3 4 51
2
6
4 k
0- 1
1
3
5
]2[][ 22 kxky ?
2 3 4 51
2
6
4
k
0-1
]2[][ 13 ?? kxkx
2 3 4 51
2
6
4 k
0- 1
1
3
5
]2[][ 33 kxky ?
2 3 41
k
0-1
1
3
5
抽取器时变特性的图示说明
20
定义,]}[{][ kTkh ??
例：累加器,
][][ nxky
k
n
?
???
?
][][ kukh ?
单位脉冲响应（ Impulse response）
21
}][][{]}[{ ? ??
n
nknxTkxT ?
}][{][? ??
n
nkTnx ?
? ??
n
nkhnx ][][
][*][ khkx?
][][][ khkxky ??
LTI系统对任意输入的响应
22
当任意输入 x(n)用前式表示时，则系统输出为
因为系统是线性非移变的，所以
通常把上式称为 离散卷积或线性卷积 。
这一关系常用符号, *” 表示：
23
离散卷积满足以下运算规律：
(1)交换律
24
(2)结合律
25
(3)分配律
26
离散卷积的计算
27
?计算卷积的步骤如下：
(1)折叠：先在哑变量坐标轴 k上画出 x(k)和 h(k)，将
h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。
(2)移位：将 h(-k)移位 n，得 h(n-k)。当 n为正数时，
右移 n；当 n为负数时，左移 n。
(3)相乘：将 h(n-k)和 x(k)的对应取样值相乘。
(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得 y(n)。
上图为：
与
的线性卷积。
28
计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面
举例说明。
例 已知 x(n)和 h(n)分别为：
和
试求 x(n)和 h(n)的线性卷积。
解 参看图 2,15，分段考虑如下：
(1)对于 n<0：
(2)对于 0≤n≤4：
(3)对于 n>4，且 n-6≤0，即 4<n≤6时：
(4)对于 n>6，且 n-6≤4，即 6<n≤10时：
(5)对于 (n-6)>4，即 n>10时：
29
x
30
综合以上结果,y(n)可归纳如下：
31
卷积结果 y(n)如图 2,16所示
32
因果性
? 定义
? 定理
? 证明（充分性、必要性）
? 举例
33
稳定性
? 定义
? 定理
? 证明（充分性、必要性）
? 举例
34
线性常系数差分方程
? 用迭代法求解差分方程－－－求单位抽样
响应
? 差分方程的优点：
? 在一定条件下，可得到系统的输出
? 可直接得到系统的结构
? 举例
35
信号的抽样
? 连续信号频谱 X(jw)与抽样信号频谱 X (ejW )
的关系
? 时域抽样定理
? 抗混叠滤波
? 信号的重建
? 连续信号的离散处理
36
x ( t )
t
0 T 2 T
x [ k ]
k
0 1 2
kTttxkx ?? )(][
点抽样
A / D
x ( t ) x [ k ] = x ( k T )
T
抽样间隔 (周期 ) T (s)
抽样角频率 ?sam=2p/T (rad/s)
抽样频率 fsam=1/T (Hz)
)e()j( j?? XX ? ??
抽样过程的两种数学模型
37
x ( t )
t
0 T 2 T
?
T
( t )
t
0 T 2 T
x
s
( t )
t
0 T 2 T
理想抽样
)()()( ttxtx Ts ??
)(][ kTtkxk ?? ? ?
)()( kTttx k ?? ? ?
38
)]()([)]([ s ttxFtxF T???
)]([)]([
2
1 tFtxF
T?p ??
)()j(
2
1
s a ms a m ?????p nX
n
??? ?
))(j(1 s a m?? nX
T n
?? ?
))(j(1)j( s a ms ??? nX
T
X
n
?? ?
连续信号频谱 X(jw)与理想抽样信号
频谱 Xs(jw)的关系
39?)e( j?X
ttxX tss de)()j( j ?? ??????
tkTtkx t
k
de)(][ j ?? ???? ?? ??
tkTtkx t
k
de)(][ j ?? ???? ?? ??
?kT
k
kx je][ ???
)e( j ?TX?
)/j(s TX ?
点抽样信号频谱 X(ejW)与理想抽样
信号频谱 Xs(jw)的关系
40
?)e( j?X )e( /js TX ?
))(j(1)j( s a ms ??? nX
T
X
n
?? ?
)j()j(
T
XX T ?? ???? ?? 缩因子 )π2j(1π2
T
nX
T n
?????? ?? ? ?周期化为
? ??
n T
nX
T
X )π2j(1)e( j ??
连续信号频谱 X(jw)与点抽样信号频
谱 X (ejW )的关系
41
X(j?)=0 |?|>?m
称为 ?m 为信号的最高 (角 )频率。 ωm? )j( ?X m??
0
带限 (band limit)信号
42
例, 已知某带限信号抽样信号 x(t)的频谱如图所
示,试分别抽样角频率 ?sam=2.5?m,2?m,1.6?m
抽样时，抽样后离散序列 x[k]的频谱。 ?)j( ?X m??
1
0
m?? 5.2s a m ?
解：
π8.0
5.2
π2
m
mm ???? ??? T T
1
?
)e( j?X
? ?8 p
p
0
? p
? ? p
? ? ?8 p
43
m?? 2s am ?
π
2
π2
m
mm ???? ??? T T
1
?
)e( j?X
p
0
? p
? ? p
? p
m?? 6.1s a m ? π25.1
6.1
π2
m
mm ???? ??? T T
1
?
p
0
? p
? ? p
? p
? ? ? ? pT
1
?
p
0
? p
? ? p
? p
)e( j?X
44
T1
?
)e( j?X
? ? 8 p
p
0
? p
? ? p
? ? ? 8 p
m?? 5.2s a m ?
T1
?
)e( j?X
p
0
? p
? ? p
? p
m?? 2s am ?
T1
?
p
0
? p
? ? p
? p
)e( j?X
m?? 6.1s a m ?
45
设 x(t)是带限实信号，则抽样后信号频谱不混
叠的 (充分 )条件为：
T ? p/?m=1/(2fm)
时域抽样定理
fsam? 2fm （或 ?sam ? 2 ?m）
抽样频率 fs满足：
或抽样间隔 T 满足
fsam = 2fm 频谱不混叠 最小抽样频率 (Nyquist rate)
T=1/(2fm) 频谱不混叠 最大抽样间隔
46
例：已知 x(t)=Sa(pf0t),试确定 频谱不混叠最大抽样间隔 T
及抽样后的序列 x[k]。
解：
?
p f
?
0
X ( j ? )
? p f
?
? ? f
?
所以 ?sam=2pf0,即 T=1/f0。
?)e( j?X 1
?][kx ][k?
若信号 x(t)以 T为 抽样间隔 抽样后的序列为 ?[k],则称该信
号 Nyquist-T 信号 。
在所有的 Nyquist-T 信号中，只有 x(t)=Sa(pf0t)是带限的 。
47
例：已知连续带通信号 x(t)的频谱如下图所示,试分别画出
?sam1=0.5?m 及 ?sam2=0.8?m时，抽样后离散序列的频谱。
解：
?
?
m
0
X ( j ? )
? ?? ? ?
m
1
?sam1=0.5?m,T1=2p/?sam1 =4p??m
?sam2=0.8?m,T2=2p/?sam2=2.5p??m
?
0
X ( e
j ?
)
? p ? p? pp? p? ? p? ? p? ? p
? ?T
0
X ( e
j ?
)
? ?? p ? ?? p
? ? ?? p ? ? ?? p ? ? ?? p ? ?? p
?
? ?8 ? ? p
1 / T
48
抗混叠滤波
许多实际工程信号不满足带限条件
抗混 叠
低通滤波器
)(tx )(
1 tx
)(th? )j( ?X
1
0
? )j(1 ?X m??1
0
? )j( ?H m??1
0
49
信号的重建
D / A
x [ k ]
T
)(][)(s kTtkxtx
k
?? ??
???
?
理想 D/A模型框图
k
0 1 2 3 4
x [ k ]
t
0 T 2 T 3 T 4 T
x
s
( t )
理想 D/A输入和输出
)e()j( js ?? TXX ?
50
)()( ?? jTs eXjX ?
A/T
)( ?jeX
?
mT?? mT?
pp? p2p2?
A/T
)( ?jXs
?
m?? m? 2
sam?
2
sam?? sam?sam??
51
A / T
)( ?jX s ?
m?? m? 2
sam?
2
s a m??
sam?sa m??
?
?
? ?
?
其它0
2/
)( s a mr
T
jH
??
? )/(Sa)( Ttth r p?
)()()()( thtxtxtx rsr ???
)/(Sa)}(][{ TtkTtkx
k
p? ??? ?
)/)((Sa][ TkTtkx
k
?? ? p
52
零阶保持 D/A
0 T 2 T
x
z
( t )
t
0 1 2
x [ k ]
k
理 想 D / A
x [ k ]
T
h
z
( t )
x
s
( t ) x
z
( t )
0
T
1
h
z
( t )
t
零阶保持 D/A模型框图
53
零阶保持 D/A输出信号的频谱为
Xz(j?)= Hz(j?) Xs(j?) 2/j
z e)2/(Sa)j( TTTH ??? ??
0 ?
s a m
? ?
s a m
| H
z
( j ? ) |
| X
s
( j ? ) |
| X
z
( j ? ) |
?
m
0 ?
s a m
? ?
s a m
?
s a m
? ?
m
0 ?
m
?
s a m
? ?
m
?
s a m
? ?
s a m
?
?
?
( a )
( b )
( c )
54
离散域进行补偿的 FIR和 IIR滤波器
21
1 16
1
8
9
16
1)( ?? ???? zzzH
1
2
8
1
1
8
9
)(
??
??
z
zH
? ?? ?
s a m
0
- 4
- 3
- 2
- 1
0
G
a
i
n
,
d
B
? ?? ?
s a m
? ?? ?
s a m
? ?? ?
s a m
? ?? ?
s a m
I I R
F I R
2 0 l o g 1 0 ( | H
z
( j ? ) | )
?
