第 6章 IIR数字滤波器的设计
? 全通系统
? 最小相位系统
? 模拟低通滤波器设计
? 脉冲响应不变法
? 双线性变换法
? 模拟域频率变换
定义：如果用 Am(z)表示 m 阶实系数全通滤波器的系统函数，则
1)()( 1 ?-zAzA mm
1)()()( 12 ?? ?- ?? jezmmjm zAzAeA
全通滤波器的定义
1
1
1 1)( -
*-
-
-?
dz
dzzA 1?d
a)一阶全通滤波器的极点和零点
?jred ?记：
极点为,?jredp ??
1
零点为,?jerdz )/1(*/1
1 ??
一阶复系数全通滤波器
b)一阶全通滤波器的频率响应
1
1
1 1)( -
*-
-
-?
dz
dzzA
?
?
?
j
j
j
de
deeA
-
*-
-
-?
1)(1 ?
?
?
j
j
j
de
ede
-
*
-
-
-?
1
1
1)(1 ??jeA
??
??
??
jj
jj
jj
ere
ereeeA
-
-
-
-
-?
1
1)(
1
)c o s (1
)s i n (t a n2)( 1
??
?????
--
---? -
r
r
0
)(s i n))co s (1(
1)(
222
2
?
-+--
--?
?????
??
rr
r
d
d
故一阶全通滤波器的相位响应是单调递减的。
)(
)(
1
)(
1
)1(
1
1
1
)1(
1
1
1
zD
zDz
zdzdzd
zzdzddzA
m
m
m
m
m
m
m
mm
mm
m
--
---
-
-
----
- ?
++++
++++?
?
?
a)m阶全通滤波器的极点和零点
如 zk为一个极点,
则 zk* 也是 一个极点,
1/zk和 1/zk*必为系统零点 。
b)m阶全通滤波器的频率响应
1
)(
)(
)(
)()()(
1
1
1 ??
-
--
-
zD
zDz
zD
zDzzAzA
m
m
m
m
M
m
mm由于：
1)()()( 12 ?? ?- ?? jezmmjm zAzAeA
m阶实系数全通系统
1)(,0 ?jm eA由于
0)0( ??所以：
m阶实系数全通系统可分解为 m个一阶全通系统的积，由于
一阶全通系统相位是递减的
m阶实系数全通系统的相位非正递减的 。
2阶实系数全通滤波器的相位响应
(a)相位响应的主值 (b)解卷绕后的相位响应
0 ? 2 ?
- ?
0
?
?
0
?
2 ?
- 4 ?
- 2 ?
0
?
定义：零极点都在单位圆内的因果系统称为最小相
位系统 。 记为 Hmin(z)。
任一实系数因果稳定系统的 H(z)都可表示为
)()()( m i n zAzHzH m?
设系统 H(z)只有一个零点在 z = 1/a*在单位圆外, |a|<1，
那么 H(z)就能表示成
H(z)=H1(z)(z-1 - a*)
按定义 H1(z)是一个最小相位系统。 H(z)也可等效的表示为
1
1
1
1 1
1))(()(
-
-
*-
-
--?
az
azazzHzH
1
1
1
1 1)1)(( -
*-
-
-
--?
az
azazzH
故 H(z) =Hmin(z) A1(z)
最小相位系统
例 一实系数因果稳定系统的系统函数 H(z)为
1,1,1)( 1
1
??++? -
-
baaz zbzH
由于系统的零点为 z = -1/b，故这不是一最小相位系统。
1
1
1
1
1
1
1)( -
-
-
-
+
+
+
+?
bz
bz
az
zbzH
1
1
m i n 1
1)(
-
-
+
+?
az
bzzH
1
1
1
1
11
1
-
-
-
-
+
+
+
+?
bz
zb
az
和 H(z)具有相同幅度响应的最小相位系统为
0
-3
-2
-1
0
1
ph
as
e
H
m i n
H
0, 2 ? 0, 4 ? 0, 6 ? 0, 8 ? ?
?
a=0.9,b=0.4时 H(z)和 Hmin(z)的相位响应
最大相位系统 (maximum-phase system):
一个稳定的的因果系统，零点全在单位圆外
有理系统函数的稳定性
设有理系统函数 H(z)的分母多项式为
k
k
m
k
m zdzD
-
?
?+?
1
1)(
构造全通滤波器 Am(z)
)(
)()( 1
zD
zDzzA
m
m
m
m
--
?
由 H(z)稳定的充要条件
},,2,1;1{ mlk l ???
例 已知 2阶 IIR系统的分母多项式为 2
2112 1)( -- ++? zdzdzD
1,,2,1);1/()( 2,,,,,1 -?--? -- mkddddd mmkmmmmkmkm ?
试确定系统稳定的条件 。
解：由定义知 k2=d2
2
1
2
2
121
1 11 d
d
d
dddk
+
?
-
-?
所以系统稳定的条件为
1
1
1,1
2
1
2 ?+?-? d
dd
01,01,1 21122 ?++?+-? ddddd
d
1
d
2
d
2
- d
1
+ 1 = 0d
2
+ d
1
+ 1 = 0
1
- 1
- 2
1 2
IIR滤波器设计的基本思想
? 将数字滤波器的设计为模拟滤波器的设计。
? 设计满足技术指标的模拟滤波器。
? 将模拟滤波器转换为数字滤波器。
?模拟滤波器的技术要求
?Butterworth模拟低通滤波器
?切比雪夫 II型模拟低通滤波器
?切比雪夫 II型模拟低通滤波器
?椭圆低通滤波器
模拟低通滤波器的设计
模拟滤波器的技术要求
pw, 通带截止频率
ws,阻带截止频率
d p,通带波动
d s,阻带波动
)1(l o g20 10 ppA d--?
通带衰减 (db)(passband Attenuation)
ssA d10l o g20-? 阻带衰减 (db )(stopband Attenuation)
|H( jw)|
1
0
通带
过渡带
阻带
pw sw
sd
pd-1
w
G(w)=20log10|H(jw)| dB 滤波器的 Gain函数
wc
1
0
N=1
N=3
N=5
0.707
巴特沃斯低通滤波器
N
c
jH 22
)/(1
1)(
ww
w
+
?
N,滤波器阶数
性质：
2)幅度响应单调下降 (monotonically decreasing)
1)|H( j 0)|=1,|H(j?)|??,-2?log10|H( jwc)|?3db
wc,3db 截频,当 wc =1时，称其为 归一化的 BWF
在 w??点做 Taylor series展开
?-+-? N
c
N
c
H 422 )()(1)j(
w
w
w
ww
NL jH 2
2
0 1
1)(
ww +?
归一化的 Butterworth滤波器 (BWF)
任意的 BWF和归一化 BWF的关系
)/()( 0 cL sHsH w?
3) |H(jw)|2在 w??点 1到 2N-1阶导数零。称为最大平坦性。
(maximally flat magnitude filter)
归一化 Butterworth滤波器的极点
2
j )j()j()j()()( wwww HHHsHsH s ?-?- ?
条件,h(t)是实的 H( jw ) =H*(- jw )
Ns
sHsH
2)j(1
1)()(
-+
?-
极点：
j}e{j)1( 2/1π2j π2/1 NkNks +-?-?
NkN
k
2,2,1;e )2
12
2
1(j π
???
-+
共有 2N个极点，为了保证系统的稳定，选左
半平面的 N个极点。
Nks N
k
k,2,1;e
)
2
12
2
1(j π
???
-+ 为左半平面的 N个极点
)2
2
1)1(2
2
1(j π
1 e
---++
-+ ?
N
kN
kNs
22 )R e(2))((
kkkk ssssssss +-?--
*
1)
2
)12(s i n (22 +-+? s
N
ks ?
)
2
12
2
1(j π
e N
k +-+-
?
)
2
12
2
1(jπ
e N
k -+-
? ks?
?当 N为偶数时
1)( s i n2
1)(
2
2/
1 ++
? ?
? ss
sH
k
N
k ?
)2/(π)12( Nkk -??
例,N=2,
)2/(π)12( Nkk -?? =?/4 ; k=1
12
1)(
2 ++
?
ss
sH
例,N=4,8/π)12( -? k
k?
??/ 8,3 ? / 8; k?1,2
)1)8/π3s i n (2)(1)8/πs i n (2(
1)(
22 ++++
?
ssss
sH
)18478.1)(17654.0(
1
22 ++++
?
ssss
?当 N为奇数时
)
2
12/)1(2
2
1(j π
2/)1( e
N
N
Ns
-++
+ ?
1)( s i n2
1
)1(
1)(
2
2/)1(
1 +++
? ?
-
? sss
sH
k
N
k ?
)2/(π)12( Nkk -??
例,N=1
)1(
1)(
+
?
s
sH
N=3 )32/(π)12(
1 ?-?? 6/π?
)1)(1(
1)(
2 +++
?
sss
sH
1e jπ -??
例：设计一个满足下列指标 BW型模拟滤波器
?1.0?w p, ?4.0?ws, dBAp 1?, dBAs 10?
pp AjH 1.0)(l o g
2
10 -?w ss AjH 1.0)(l o g
2
10 -?w
N
c
jH
2
2
)/(1
1)(
ww
w
+
?
pAN
c
p 1.02 10)(1 ?+
w
w sAN
c
s 1.02 10)(1 ?+
w
w
28.1
)/(l o g2
)
110
110
(l o g
10
1.0
1.0
10
?-
-
?
sp
A
A
s
p
N
ww
取 N=2，将 N=2带入通带满足的方程
4 4 0 4.0
)110( 4/11.0
?
-
? pc
w
w
通带满足指标，阻带超过指标
22
2
2 21)(2)(
1
)(
cc
c
cc
ssss
sH
ww
w
ww
++
?
++
?
22
2
4404.06228.0
4404.0
++
?
ss
验证,Ap=0.9999db ; As= 18.2795 db
模拟 Butterworth低通滤波器设计步骤,
(1)由滤波器的设计指标 wp,ws,Ap,As和式确定滤波器的阶数 N
)/(l o g2
)
110
110
(l o g
10
1.0
1.0
10
sp
A
A
s
p
N
ww
-
-
?
(2) 确定 wc
NANA 2/11.0
s
c2/11.0
p
)110()110( sp -??-
www
(3)确定滤波器的系统函数 H(s)
Type I Chebyshev Lowpass filter(CB I 型 )
)/(1
1)(
22
2
cNC
jH ww?w +?
?
?
?
?
??
-
-
1 )c o s hc o s h (
1 )c o sc o s ()(
1
1
xxN
xxNxC
N
w
))(( wjH
1
cw
N=2
N=3N=7
?, 通带波纹 cw,通带截频 N：阶数 (由阻带指标确定 )
CB I 型 filter的 性质
1)在 cww ??0 时,2)( wjH 在 1 和 21 1?+ 间振荡 (equiripple filter)
2) cww ? 时,2)( wjH 单调下降 （ N 增大，下降加速）
3) 22 1 1)( ?w +?cjH ? 控制了通带衰减
N 为奇时 1)0( 2 ?jH N 为偶时 22 1 1)0( ?+?jH
w
))(( wjH
1
cw
N=2
N=3N=7
21
1
?+
CB I 型 AF 设计步骤
1)通带截频确定 pc ww ?
2)通带指标确定 ?
pc AjH ?- )(l o g20 w 110
1.0 -?? pA?
3)阻带指标确定 N
ss AjH ?- )(l o g20 10 w
)/(c o s h
)110
1
(c o s h
1
1
cs
A s
N
ww
?
-
- -
??
切比雪夫 II型模拟低通滤波器
)/(1
)/(
)/(1
11)(
22
22
22
2
ww?
ww?
ww?w cN
cN
cN C
C
CjH +?+-?
1
0
w
p
w
d
s
1 - d
p
| H ( j w ) |
w
s
椭圆低通滤波器
MATLAB设计椭圆滤波器函：
[N,Wc]=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,'s')
确定椭圆滤波器的阶数 N。 Wc=Wp。
[num,den]=ellip(N,Ap,As,Wc,'s')
确定阶数为 N,通带参衰减为 Ap dB,阻带衰减为 As
dB的椭圆滤波器的分子和分母多项式 。 Wc是椭圆滤波器的
通带截频 。
?基本原理
?脉冲响应不变法设计 DF的 步骤
?H(z)的确定
脉冲响应不变法 (Impulse
Invariance)
kTtthkh ?? )(][
H(ej?)和 H(jw)的关系：
( )TnHTH
n
/)π2(j)/1()e( j -? ?
?
-??
??
无混叠时：
π),j()/1()e( j ?? ???
T
HTH
数字滤波器在 ?点的频响特性和模拟滤波器 w ? ?/ T频
响特性只差一个常数因子
基本原理
例, 设 H (s)是一个 3dB截频为 wc的一阶低通滤波器，
c
c
s
sH
w
w
+
?)(
1)用脉冲响应不变法求出 H(z)
2)如果用下图所示系统取代 H (s),比较两系统的幅度响应 。
)()()1 tueth tc cww -? ][][ kuekh kTc cww -?
11)( ---? zezH T
c
cw
w
?--
?
-? jT
cj
eeeH cw
w
1)()2
2/,1)( sTjTce f f eejH
c
wwww ww ?-? --
A / D 离 散 系 统 D / A
x ( t )
x [ k ]
H
r
( j w )
y [ k ]
T
y
s
( t )
y
r
( t )
T
c
c
s
sH
w
w
+
?)(
2/,1 1)(e f f _ n o r sTjT
T
ee
eH
c
c
www ww
w
?- -? --
-
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Hz
HeffHa
fs=50 Hz
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Hz
HeffHa
fs=200 Hz
脉冲响应不变法设计 DF的 步骤
1,将数字滤波器的频率指标 {?k}转换为
模拟滤波器的频率指标 {wk}
kk T/??w
2,设计模拟滤波器的 H(s)。
3,由 h[k]=T h(t)|t=kT从而得出 H(z)。
H(z)的确定
dsesHth st
c
)(
πj2
1)( ??
dssTHkh ksT
c
e)(
πj2
1][ ??
s
z
sTHzH
sTc
d
e1
)(
πj2
1)(
1--
? ?
kpssTk z
sTH
?--? ? )e1
)((R e s
1
H(z)的 ROC
1)e x p ( 1 ?-zsT ))e x p ( R e ()e x p ( TssTz ???
稳定 AF 稳定 DF?
lM
l
l
M
l ps
AsTH
)(
)(
1 +
?? ?
?
lsTM
M
l
l
M
l
ps
zsM
AzH
l
l
-?
--
?
--
-
?
? 11
1
1 e1
1
d
d
)!1(
)(
?
+ lps
1
1e1
1
--- zTp l
?
+ 2)(
1
lps
21
1
)e1(
)e x p (
--
-
-
-
z
zTpT
Tp
l
l
优点,T/??w
缺点：混叠
例, 用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计
一个 3dB截频为 ?p的数字滤波器。
解：设脉冲响应不变法中的取样间隔为 T
1)确定模拟滤波器指标
模拟滤波器的 3dB截频为
T
p
p
?
w ?
2)设计模拟滤波器
3dB截频为 wp的一阶巴特沃思低通滤波器为
p
p)(
w
w
+
?
s
sH
3) 将模拟滤波器转换为数字滤波器
)/(
)(
p
p
Ts
sTH
?
?
+
?
)/(
)(
p
p
Ts
sTH
?
?
+
?
1e1
11
---
?
+ zps Tpl l
1
p
pe1
)(
---
?
z
zH
?
?
结论：
1)抽样间隔 T的取值和最终的设计结果无关。
2)由于
1
e1
)e(
p
p0j ?
-
?
- ?
?
H
所以在用脉冲响应不变法设计出数字滤波器后应该将其频率
响应归一化。
0 0.2?
-9
-6
-3
0
3
0.4? 0.6? 0.8? ?
?
Ga
in,
dB
?p=0.2?时幅度归一化和非归一化 DF的幅度响应
例：利用 AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一 DF，满足
?p=0.1?,?s=0.4?,Ap=1dB,As=10dB
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-30
-20
-10
0
Normalized frequency
Ga
in,
db
N=2,Ap= 0.9296 dB,As= 17.1220 dB
1p
p
e1
e1)(
--
-
-
-?
z
zH
?
?
例,用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计的
3dB截频为 ?p的数字滤波器为
Wp1=0.2*pi;Wp2=0.6*pi;
b1=[1-exp(-Wp1)];a1=[1 -exp(-Wp1)];
b2=[1-exp(-Wp2)];a2=[1 -exp(-Wp2)];
w=linspace(0,pi,512);
h1=freqz(b1,a1,w);
h2=freqz(b2,a2,w);
plot(w/pi,20*log10(abs(h1)),w/pi,20*log10(abs(h2)) );
xlabel('Normalized frequency');
ylabel('Gain,db');
grid;
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-9
-6
-3
0
Normalized frequency
Ga
in,
db
?p=0.2?
?p=0.6?
基本思想, 利用数值积分将模拟系统变换为数字系统。
设模拟系统的微分方程为
)()(
d
)(d taytx
t
ty -?
( )TkykTydt
dt
tdykT
Tk
)1()()(
)1(
--??
-
dttaytx
kT
Tk
))()((
)1(
-? ?
-
用梯形面积近似计算等式右边的积分得
( )
( ) ( )? ?TkayTkxkTaykTxT
TkykTy
)1()1()()()2/(
)1()(
---+-?
--
双线性变换法
所以近似描述离散系统的差分方程为
( ))1[][)2/(]1[)2/1(][)2/1( -+?---+ kxkxTkyaTkyaT
离散系统的系统函数为：
a
z
z
T
zaTaT
zT
zH
+
+
-
?
--+
+
?
-
--
-
1
11
1
1
12
1
)2/1()2/1(
)1)(2/(
)(
和模拟系统的系统函数比较可得
1
1
1
12
)()(
-
-
+
-?
?
z
z
T
s
sHzH
( )
( ) ( )? ?TkayTkxkTaykTxT
TkykTy
)1()1()()()2/(
)1()(
---+-?
--
稳定性
1
1
1
12
-
-
+
-?
z
z
Ts sT
sTz
-
+??
2
2
w? js +?
22
22
)/2(
)/2(
w?
w?
+-
++?
T
Tz
1)???,|z|?1 左半平面映射到单位元内 。 稳定 AF系统映射为稳定 DF系统 。
2)???,|z|=1
3)???,|z|>1
虚轴映射到单位圆上
右半平面映射到单位圆外
结论,因果, 稳定的 AF系统映射为因果, 稳定的 DF系统
?和 w的关系
2
1
2
1
Ts
Ts
z
-
+
??令 s=jw
2
j
1
2
j
1
w
w
T
T
z
-
+
?
))
2
(j t a ne x p (
))
2
(j t a ne x p (
1
1
w
w
T
T
-
-
-
? ))
2
(t a n2je x p ( 1 wT-?
)2(t a n2 1 Tw-?? )2(t a n2 ?? Tw
1
1
1
12
-
-
+
-?
z
z
Ts
)2/tan(2 ?? Tw
?
?)( ?jeH)( wjH
p? s?
?
pw
sw
w
缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真
优点：无混叠
双线性法设计 DF的步骤：
2) 由模拟滤波器的指标设计 H(s)
3) H (s)转换为 H(z)
1
1
1
12
)()(
-
-
+
-?
?
z
z
T
s
sHzH
1)将数字滤波器的频率指标 {?k}由 wk=(2/T)tan(?k/2)
转换为模拟滤波器的频率指标 {wk}
解：设双线性变换中的参数为 T
1)模拟低通滤波器的 3dB截率为 )2/(t a n2
pp T ??w
2)3dB截率为 wp的一阶模拟 BW LP 滤波器为
1
)2/t a n (2
1
1/
1
)(
+
?
+
?
p
p
sTs
sH
?
w
3)由双线性变换得
1
1
)1)2Ω( t a n ()2Ωt a n (1
)1)(2t a n (
)( -
-
-++
+?
?
z//
z/
zH
pp
p
1
1
1
1
2
)1(
-
-
-
+-?
z
z
?
?
)2Ωt a n (1
)2t a n (1
/
/
p
p
+
?-??
例,用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计
一个 3dB截止频率为 ?p的数字低通滤波器。
11
1)(
-?-
?-
-
-?
ze
ezH
p
p
1
1
)1)2Ω( t a n ()2Ωt a n (1
)1)(2t a n (
)( -
-
-++
+?
?
z//
z/
zH
pp
p
0 0.6 1
0
0.7
1
Normalized frequency
Am
pli
tud
e
例：用 1阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计
一个 3dB截止频率为 ?p的数字高通滤波器
解：取 T=2，则 AF HP的 3dB截频为
)2/t a n ( pp ??w
AF LP 的 3dB截频为
)2/t an (/1 pp ??w
满足条件的 LP AF为
1/
1)(
+
?
p
LP ssH w
满足条件的 HP AF为
1)/(1
1)/1()(
+
??
p
LPHP ssHsH ws
s
p +?
?
)2/t a n(
1
1
1
1)()(
-
-
+
-
?
?
z
z
s
HP sHzH
)1()1)(2/t a n (
1
11
1
--
-
-++?
-?
zz
z
p
1
1
1)2/t a n (
1)2/t a n (
1
)1(
1)2/t a n (
1
-
-
+?
-?
-
-
+?
?
z
z
p
pp
1)2/t a n (
1)2/t a n (
+?
-?
?
p
p?令：
1)2/t a n(
21
+?
?+
p
?则：
,
1
1
2
)1()(
1
1
-
-
-
-+?
z
zzH
?
?
例 用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个
中心频率为 ?0,3dB带宽为 D?的数字带阻滤波器。
解：取 T=2。设数字带阻的 3dB截频分别为 ?1和 ?2，且 ?2??1。
1)模拟带阻滤波器的频率指标为 2,1,0),2/t a n ( ??? k
kkw
2)频率变换的参数为
)2/t a n()2/t a n( 1212 ?-??-? wwB
)(t an)2/t an ()2/t an ( 02212120 ?????? www
3)模拟带阻滤波器为
2
0
2
2
0
2
,)( w
w
++
+?
Bss
ssH
BSa
4)由双线性变换可得满足条件的数字带阻滤波器为
22
0
12
0
2
0
22
0
12
0
2
0
)1()1(2)1(
)1()1(2)1()(
--
--
-++--++
++--+?
zBzB
zzsH
BS www
www
2
0
2
0
2
0
2
0
1
1
1
1
w
w?
w
w?
+
-?
++
-+?,记：
B
B
B++
+?+
2
0
2
0
1
1
2
1,
w
w?则有
21
2
0
2
0
21
1
)1(
21
21
2
1
)(
--
--
+
++
-
-
+-+
?
zz
B
zz
sH BS
?
w
w
??
21
21
)1(1
21
2
1
--
--
++-
+-+?
zz
zz
???
??
2
0
2
0
1
1
w
w?
+
-?
2
s i n
2
c o s
2
s i n
2
c o s
0202
0202
?
+
?
?
-
?
?
2
t a n1
2
t a n1
02
02
?
+
?
-
? )co s ( 0??
B
B
++
-+?
2
0
2
0
1
1
w
w?
2
t a n
2
t a n
2
t a n
2
t a n1
)
2
t a n
2
( t a n
2
t a n
2
t a n1
1221
1221
?
-
?
+
??
+
?
-
?
-
??
+
?
??
????
t a nt a n1
t a nt a n)t a n (
+
-?-
( )
( )2/)(t an1
2/)(t an1
12
12
?-?+
?-?-?? ( )
( )2/t an1
2/t an1
D+
D-?
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-40
-30
-20
-10
0
Normalized frequency
?p=0.1?; ?s=0.4? ; Ap=1dB; As=10 dB;
例 用双线性变换及模拟巴特沃思滤波器设计一个满足下列条
件的带通数字滤波器 。
?0=0.5? ; ?p2=0.55?,?p1=0.45?,Ap=3dB
?s2=0.6?,?s1=0.4?,As=10dB
解：取双线性变换的参数 T=2
1)由 w=tan(?/2)获得模拟带通滤波器的频率指标 。
wp2 =1.1708,wp1 =0.8541,ws2 =1.3764,ws1 =0.7265
2) 确定变换式中的参数
B = wp2-wp1 =0.3168 w0 =sqrt(wp2 wp1)=1;
3) 由
w
www
B
2
0
2 -
? 确定归一低通滤波器的阻带参数
0515.21 -?sw 0515.22 ?sw
0 5 1 5.2?sw取：
4)确定归一化 BW低通滤波器
由 N=buttord(1,ws,Ap,As,'s')；
得 N=2
12
1)(
20 ++? sssH L
5)由变换获得模拟带通滤波器
1448.01003.2448.0
1003.0
234
2
++++? ssss
s
Bs
sssHsH
LBPa
2
0
2
0,)()(
w+??
6)由双线性变换获得数字带通滤波器
[b,a]=bilinear(bBP,aBP,0.5)
42
42
6 4 1 3 5.0561.11
0 2 0 0 8 3.00 4 0 1 6 7.00 2 0 0 8 3.0)(
--
--
++
+-?
zz
zzzH
BP
? 全通系统
? 最小相位系统
? 模拟低通滤波器设计
? 脉冲响应不变法
? 双线性变换法
? 模拟域频率变换
定义：如果用 Am(z)表示 m 阶实系数全通滤波器的系统函数，则
1)()( 1 ?-zAzA mm
1)()()( 12 ?? ?- ?? jezmmjm zAzAeA
全通滤波器的定义
1
1
1 1)( -
*-
-
-?
dz
dzzA 1?d
a)一阶全通滤波器的极点和零点
?jred ?记：
极点为,?jredp ??
1
零点为,?jerdz )/1(*/1
1 ??
一阶复系数全通滤波器
b)一阶全通滤波器的频率响应
1
1
1 1)( -
*-
-
-?
dz
dzzA
?
?
?
j
j
j
de
deeA
-
*-
-
-?
1)(1 ?
?
?
j
j
j
de
ede
-
*
-
-
-?
1
1
1)(1 ??jeA
??
??
??
jj
jj
jj
ere
ereeeA
-
-
-
-
-?
1
1)(
1
)c o s (1
)s i n (t a n2)( 1
??
?????
--
---? -
r
r
0
)(s i n))co s (1(
1)(
222
2
?
-+--
--?
?????
??
rr
r
d
d
故一阶全通滤波器的相位响应是单调递减的。
)(
)(
1
)(
1
)1(
1
1
1
)1(
1
1
1
zD
zDz
zdzdzd
zzdzddzA
m
m
m
m
m
m
m
mm
mm
m
--
---
-
-
----
- ?
++++
++++?
?
?
a)m阶全通滤波器的极点和零点
如 zk为一个极点,
则 zk* 也是 一个极点,
1/zk和 1/zk*必为系统零点 。
b)m阶全通滤波器的频率响应
1
)(
)(
)(
)()()(
1
1
1 ??
-
--
-
zD
zDz
zD
zDzzAzA
m
m
m
m
M
m
mm由于：
1)()()( 12 ?? ?- ?? jezmmjm zAzAeA
m阶实系数全通系统
1)(,0 ?jm eA由于
0)0( ??所以：
m阶实系数全通系统可分解为 m个一阶全通系统的积，由于
一阶全通系统相位是递减的
m阶实系数全通系统的相位非正递减的 。
2阶实系数全通滤波器的相位响应
(a)相位响应的主值 (b)解卷绕后的相位响应
0 ? 2 ?
- ?
0
?
?
0
?
2 ?
- 4 ?
- 2 ?
0
?
定义：零极点都在单位圆内的因果系统称为最小相
位系统 。 记为 Hmin(z)。
任一实系数因果稳定系统的 H(z)都可表示为
)()()( m i n zAzHzH m?
设系统 H(z)只有一个零点在 z = 1/a*在单位圆外, |a|<1，
那么 H(z)就能表示成
H(z)=H1(z)(z-1 - a*)
按定义 H1(z)是一个最小相位系统。 H(z)也可等效的表示为
1
1
1
1 1
1))(()(
-
-
*-
-
--?
az
azazzHzH
1
1
1
1 1)1)(( -
*-
-
-
--?
az
azazzH
故 H(z) =Hmin(z) A1(z)
最小相位系统
例 一实系数因果稳定系统的系统函数 H(z)为
1,1,1)( 1
1
??++? -
-
baaz zbzH
由于系统的零点为 z = -1/b，故这不是一最小相位系统。
1
1
1
1
1
1
1)( -
-
-
-
+
+
+
+?
bz
bz
az
zbzH
1
1
m i n 1
1)(
-
-
+
+?
az
bzzH
1
1
1
1
11
1
-
-
-
-
+
+
+
+?
bz
zb
az
和 H(z)具有相同幅度响应的最小相位系统为
0
-3
-2
-1
0
1
ph
as
e
H
m i n
H
0, 2 ? 0, 4 ? 0, 6 ? 0, 8 ? ?
?
a=0.9,b=0.4时 H(z)和 Hmin(z)的相位响应
最大相位系统 (maximum-phase system):
一个稳定的的因果系统，零点全在单位圆外
有理系统函数的稳定性
设有理系统函数 H(z)的分母多项式为
k
k
m
k
m zdzD
-
?
?+?
1
1)(
构造全通滤波器 Am(z)
)(
)()( 1
zD
zDzzA
m
m
m
m
--
?
由 H(z)稳定的充要条件
},,2,1;1{ mlk l ???
例 已知 2阶 IIR系统的分母多项式为 2
2112 1)( -- ++? zdzdzD
1,,2,1);1/()( 2,,,,,1 -?--? -- mkddddd mmkmmmmkmkm ?
试确定系统稳定的条件 。
解：由定义知 k2=d2
2
1
2
2
121
1 11 d
d
d
dddk
+
?
-
-?
所以系统稳定的条件为
1
1
1,1
2
1
2 ?+?-? d
dd
01,01,1 21122 ?++?+-? ddddd
d
1
d
2
d
2
- d
1
+ 1 = 0d
2
+ d
1
+ 1 = 0
1
- 1
- 2
1 2
IIR滤波器设计的基本思想
? 将数字滤波器的设计为模拟滤波器的设计。
? 设计满足技术指标的模拟滤波器。
? 将模拟滤波器转换为数字滤波器。
?模拟滤波器的技术要求
?Butterworth模拟低通滤波器
?切比雪夫 II型模拟低通滤波器
?切比雪夫 II型模拟低通滤波器
?椭圆低通滤波器
模拟低通滤波器的设计
模拟滤波器的技术要求
pw, 通带截止频率
ws,阻带截止频率
d p,通带波动
d s,阻带波动
)1(l o g20 10 ppA d--?
通带衰减 (db)(passband Attenuation)
ssA d10l o g20-? 阻带衰减 (db )(stopband Attenuation)
|H( jw)|
1
0
通带
过渡带
阻带
pw sw
sd
pd-1
w
G(w)=20log10|H(jw)| dB 滤波器的 Gain函数
wc
1
0
N=1
N=3
N=5
0.707
巴特沃斯低通滤波器
N
c
jH 22
)/(1
1)(
ww
w
+
?
N,滤波器阶数
性质：
2)幅度响应单调下降 (monotonically decreasing)
1)|H( j 0)|=1,|H(j?)|??,-2?log10|H( jwc)|?3db
wc,3db 截频,当 wc =1时，称其为 归一化的 BWF
在 w??点做 Taylor series展开
?-+-? N
c
N
c
H 422 )()(1)j(
w
w
w
ww
NL jH 2
2
0 1
1)(
ww +?
归一化的 Butterworth滤波器 (BWF)
任意的 BWF和归一化 BWF的关系
)/()( 0 cL sHsH w?
3) |H(jw)|2在 w??点 1到 2N-1阶导数零。称为最大平坦性。
(maximally flat magnitude filter)
归一化 Butterworth滤波器的极点
2
j )j()j()j()()( wwww HHHsHsH s ?-?- ?
条件,h(t)是实的 H( jw ) =H*(- jw )
Ns
sHsH
2)j(1
1)()(
-+
?-
极点：
j}e{j)1( 2/1π2j π2/1 NkNks +-?-?
NkN
k
2,2,1;e )2
12
2
1(j π
???
-+
共有 2N个极点，为了保证系统的稳定，选左
半平面的 N个极点。
Nks N
k
k,2,1;e
)
2
12
2
1(j π
???
-+ 为左半平面的 N个极点
)2
2
1)1(2
2
1(j π
1 e
---++
-+ ?
N
kN
kNs
22 )R e(2))((
kkkk ssssssss +-?--
*
1)
2
)12(s i n (22 +-+? s
N
ks ?
)
2
12
2
1(j π
e N
k +-+-
?
)
2
12
2
1(jπ
e N
k -+-
? ks?
?当 N为偶数时
1)( s i n2
1)(
2
2/
1 ++
? ?
? ss
sH
k
N
k ?
)2/(π)12( Nkk -??
例,N=2,
)2/(π)12( Nkk -?? =?/4 ; k=1
12
1)(
2 ++
?
ss
sH
例,N=4,8/π)12( -? k
k?
??/ 8,3 ? / 8; k?1,2
)1)8/π3s i n (2)(1)8/πs i n (2(
1)(
22 ++++
?
ssss
sH
)18478.1)(17654.0(
1
22 ++++
?
ssss
?当 N为奇数时
)
2
12/)1(2
2
1(j π
2/)1( e
N
N
Ns
-++
+ ?
1)( s i n2
1
)1(
1)(
2
2/)1(
1 +++
? ?
-
? sss
sH
k
N
k ?
)2/(π)12( Nkk -??
例,N=1
)1(
1)(
+
?
s
sH
N=3 )32/(π)12(
1 ?-?? 6/π?
)1)(1(
1)(
2 +++
?
sss
sH
1e jπ -??
例：设计一个满足下列指标 BW型模拟滤波器
?1.0?w p, ?4.0?ws, dBAp 1?, dBAs 10?
pp AjH 1.0)(l o g
2
10 -?w ss AjH 1.0)(l o g
2
10 -?w
N
c
jH
2
2
)/(1
1)(
ww
w
+
?
pAN
c
p 1.02 10)(1 ?+
w
w sAN
c
s 1.02 10)(1 ?+
w
w
28.1
)/(l o g2
)
110
110
(l o g
10
1.0
1.0
10
?-
-
?
sp
A
A
s
p
N
ww
取 N=2，将 N=2带入通带满足的方程
4 4 0 4.0
)110( 4/11.0
?
-
? pc
w
w
通带满足指标，阻带超过指标
22
2
2 21)(2)(
1
)(
cc
c
cc
ssss
sH
ww
w
ww
++
?
++
?
22
2
4404.06228.0
4404.0
++
?
ss
验证,Ap=0.9999db ; As= 18.2795 db
模拟 Butterworth低通滤波器设计步骤,
(1)由滤波器的设计指标 wp,ws,Ap,As和式确定滤波器的阶数 N
)/(l o g2
)
110
110
(l o g
10
1.0
1.0
10
sp
A
A
s
p
N
ww
-
-
?
(2) 确定 wc
NANA 2/11.0
s
c2/11.0
p
)110()110( sp -??-
www
(3)确定滤波器的系统函数 H(s)
Type I Chebyshev Lowpass filter(CB I 型 )
)/(1
1)(
22
2
cNC
jH ww?w +?
?
?
?
?
??
-
-
1 )c o s hc o s h (
1 )c o sc o s ()(
1
1
xxN
xxNxC
N
w
))(( wjH
1
cw
N=2
N=3N=7
?, 通带波纹 cw,通带截频 N：阶数 (由阻带指标确定 )
CB I 型 filter的 性质
1)在 cww ??0 时,2)( wjH 在 1 和 21 1?+ 间振荡 (equiripple filter)
2) cww ? 时,2)( wjH 单调下降 （ N 增大，下降加速）
3) 22 1 1)( ?w +?cjH ? 控制了通带衰减
N 为奇时 1)0( 2 ?jH N 为偶时 22 1 1)0( ?+?jH
w
))(( wjH
1
cw
N=2
N=3N=7
21
1
?+
CB I 型 AF 设计步骤
1)通带截频确定 pc ww ?
2)通带指标确定 ?
pc AjH ?- )(l o g20 w 110
1.0 -?? pA?
3)阻带指标确定 N
ss AjH ?- )(l o g20 10 w
)/(c o s h
)110
1
(c o s h
1
1
cs
A s
N
ww
?
-
- -
??
切比雪夫 II型模拟低通滤波器
)/(1
)/(
)/(1
11)(
22
22
22
2
ww?
ww?
ww?w cN
cN
cN C
C
CjH +?+-?
1
0
w
p
w
d
s
1 - d
p
| H ( j w ) |
w
s
椭圆低通滤波器
MATLAB设计椭圆滤波器函：
[N,Wc]=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,'s')
确定椭圆滤波器的阶数 N。 Wc=Wp。
[num,den]=ellip(N,Ap,As,Wc,'s')
确定阶数为 N,通带参衰减为 Ap dB,阻带衰减为 As
dB的椭圆滤波器的分子和分母多项式 。 Wc是椭圆滤波器的
通带截频 。
?基本原理
?脉冲响应不变法设计 DF的 步骤
?H(z)的确定
脉冲响应不变法 (Impulse
Invariance)
kTtthkh ?? )(][
H(ej?)和 H(jw)的关系：
( )TnHTH
n
/)π2(j)/1()e( j -? ?
?
-??
??
无混叠时：
π),j()/1()e( j ?? ???
T
HTH
数字滤波器在 ?点的频响特性和模拟滤波器 w ? ?/ T频
响特性只差一个常数因子
基本原理
例, 设 H (s)是一个 3dB截频为 wc的一阶低通滤波器，
c
c
s
sH
w
w
+
?)(
1)用脉冲响应不变法求出 H(z)
2)如果用下图所示系统取代 H (s),比较两系统的幅度响应 。
)()()1 tueth tc cww -? ][][ kuekh kTc cww -?
11)( ---? zezH T
c
cw
w
?--
?
-? jT
cj
eeeH cw
w
1)()2
2/,1)( sTjTce f f eejH
c
wwww ww ?-? --
A / D 离 散 系 统 D / A
x ( t )
x [ k ]
H
r
( j w )
y [ k ]
T
y
s
( t )
y
r
( t )
T
c
c
s
sH
w
w
+
?)(
2/,1 1)(e f f _ n o r sTjT
T
ee
eH
c
c
www ww
w
?- -? --
-
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Hz
HeffHa
fs=50 Hz
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Hz
HeffHa
fs=200 Hz
脉冲响应不变法设计 DF的 步骤
1,将数字滤波器的频率指标 {?k}转换为
模拟滤波器的频率指标 {wk}
kk T/??w
2,设计模拟滤波器的 H(s)。
3,由 h[k]=T h(t)|t=kT从而得出 H(z)。
H(z)的确定
dsesHth st
c
)(
πj2
1)( ??
dssTHkh ksT
c
e)(
πj2
1][ ??
s
z
sTHzH
sTc
d
e1
)(
πj2
1)(
1--
? ?
kpssTk z
sTH
?--? ? )e1
)((R e s
1
H(z)的 ROC
1)e x p ( 1 ?-zsT ))e x p ( R e ()e x p ( TssTz ???
稳定 AF 稳定 DF?
lM
l
l
M
l ps
AsTH
)(
)(
1 +
?? ?
?
lsTM
M
l
l
M
l
ps
zsM
AzH
l
l
-?
--
?
--
-
?
? 11
1
1 e1
1
d
d
)!1(
)(
?
+ lps
1
1e1
1
--- zTp l
?
+ 2)(
1
lps
21
1
)e1(
)e x p (
--
-
-
-
z
zTpT
Tp
l
l
优点,T/??w
缺点：混叠
例, 用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计
一个 3dB截频为 ?p的数字滤波器。
解：设脉冲响应不变法中的取样间隔为 T
1)确定模拟滤波器指标
模拟滤波器的 3dB截频为
T
p
p
?
w ?
2)设计模拟滤波器
3dB截频为 wp的一阶巴特沃思低通滤波器为
p
p)(
w
w
+
?
s
sH
3) 将模拟滤波器转换为数字滤波器
)/(
)(
p
p
Ts
sTH
?
?
+
?
)/(
)(
p
p
Ts
sTH
?
?
+
?
1e1
11
---
?
+ zps Tpl l
1
p
pe1
)(
---
?
z
zH
?
?
结论：
1)抽样间隔 T的取值和最终的设计结果无关。
2)由于
1
e1
)e(
p
p0j ?
-
?
- ?
?
H
所以在用脉冲响应不变法设计出数字滤波器后应该将其频率
响应归一化。
0 0.2?
-9
-6
-3
0
3
0.4? 0.6? 0.8? ?
?
Ga
in,
dB
?p=0.2?时幅度归一化和非归一化 DF的幅度响应
例：利用 AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一 DF，满足
?p=0.1?,?s=0.4?,Ap=1dB,As=10dB
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-30
-20
-10
0
Normalized frequency
Ga
in,
db
N=2,Ap= 0.9296 dB,As= 17.1220 dB
1p
p
e1
e1)(
--
-
-
-?
z
zH
?
?
例,用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计的
3dB截频为 ?p的数字滤波器为
Wp1=0.2*pi;Wp2=0.6*pi;
b1=[1-exp(-Wp1)];a1=[1 -exp(-Wp1)];
b2=[1-exp(-Wp2)];a2=[1 -exp(-Wp2)];
w=linspace(0,pi,512);
h1=freqz(b1,a1,w);
h2=freqz(b2,a2,w);
plot(w/pi,20*log10(abs(h1)),w/pi,20*log10(abs(h2)) );
xlabel('Normalized frequency');
ylabel('Gain,db');
grid;
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-9
-6
-3
0
Normalized frequency
Ga
in,
db
?p=0.2?
?p=0.6?
基本思想, 利用数值积分将模拟系统变换为数字系统。
设模拟系统的微分方程为
)()(
d
)(d taytx
t
ty -?
( )TkykTydt
dt
tdykT
Tk
)1()()(
)1(
--??
-
dttaytx
kT
Tk
))()((
)1(
-? ?
-
用梯形面积近似计算等式右边的积分得
( )
( ) ( )? ?TkayTkxkTaykTxT
TkykTy
)1()1()()()2/(
)1()(
---+-?
--
双线性变换法
所以近似描述离散系统的差分方程为
( ))1[][)2/(]1[)2/1(][)2/1( -+?---+ kxkxTkyaTkyaT
离散系统的系统函数为：
a
z
z
T
zaTaT
zT
zH
+
+
-
?
--+
+
?
-
--
-
1
11
1
1
12
1
)2/1()2/1(
)1)(2/(
)(
和模拟系统的系统函数比较可得
1
1
1
12
)()(
-
-
+
-?
?
z
z
T
s
sHzH
( )
( ) ( )? ?TkayTkxkTaykTxT
TkykTy
)1()1()()()2/(
)1()(
---+-?
--
稳定性
1
1
1
12
-
-
+
-?
z
z
Ts sT
sTz
-
+??
2
2
w? js +?
22
22
)/2(
)/2(
w?
w?
+-
++?
T
Tz
1)???,|z|?1 左半平面映射到单位元内 。 稳定 AF系统映射为稳定 DF系统 。
2)???,|z|=1
3)???,|z|>1
虚轴映射到单位圆上
右半平面映射到单位圆外
结论,因果, 稳定的 AF系统映射为因果, 稳定的 DF系统
?和 w的关系
2
1
2
1
Ts
Ts
z
-
+
??令 s=jw
2
j
1
2
j
1
w
w
T
T
z
-
+
?
))
2
(j t a ne x p (
))
2
(j t a ne x p (
1
1
w
w
T
T
-
-
-
? ))
2
(t a n2je x p ( 1 wT-?
)2(t a n2 1 Tw-?? )2(t a n2 ?? Tw
1
1
1
12
-
-
+
-?
z
z
Ts
)2/tan(2 ?? Tw
?
?)( ?jeH)( wjH
p? s?
?
pw
sw
w
缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真
优点：无混叠
双线性法设计 DF的步骤：
2) 由模拟滤波器的指标设计 H(s)
3) H (s)转换为 H(z)
1
1
1
12
)()(
-
-
+
-?
?
z
z
T
s
sHzH
1)将数字滤波器的频率指标 {?k}由 wk=(2/T)tan(?k/2)
转换为模拟滤波器的频率指标 {wk}
解：设双线性变换中的参数为 T
1)模拟低通滤波器的 3dB截率为 )2/(t a n2
pp T ??w
2)3dB截率为 wp的一阶模拟 BW LP 滤波器为
1
)2/t a n (2
1
1/
1
)(
+
?
+
?
p
p
sTs
sH
?
w
3)由双线性变换得
1
1
)1)2Ω( t a n ()2Ωt a n (1
)1)(2t a n (
)( -
-
-++
+?
?
z//
z/
zH
pp
p
1
1
1
1
2
)1(
-
-
-
+-?
z
z
?
?
)2Ωt a n (1
)2t a n (1
/
/
p
p
+
?-??
例,用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计
一个 3dB截止频率为 ?p的数字低通滤波器。
11
1)(
-?-
?-
-
-?
ze
ezH
p
p
1
1
)1)2Ω( t a n ()2Ωt a n (1
)1)(2t a n (
)( -
-
-++
+?
?
z//
z/
zH
pp
p
0 0.6 1
0
0.7
1
Normalized frequency
Am
pli
tud
e
例：用 1阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计
一个 3dB截止频率为 ?p的数字高通滤波器
解：取 T=2，则 AF HP的 3dB截频为
)2/t a n ( pp ??w
AF LP 的 3dB截频为
)2/t an (/1 pp ??w
满足条件的 LP AF为
1/
1)(
+
?
p
LP ssH w
满足条件的 HP AF为
1)/(1
1)/1()(
+
??
p
LPHP ssHsH ws
s
p +?
?
)2/t a n(
1
1
1
1)()(
-
-
+
-
?
?
z
z
s
HP sHzH
)1()1)(2/t a n (
1
11
1
--
-
-++?
-?
zz
z
p
1
1
1)2/t a n (
1)2/t a n (
1
)1(
1)2/t a n (
1
-
-
+?
-?
-
-
+?
?
z
z
p
pp
1)2/t a n (
1)2/t a n (
+?
-?
?
p
p?令：
1)2/t a n(
21
+?
?+
p
?则：
,
1
1
2
)1()(
1
1
-
-
-
-+?
z
zzH
?
?
例 用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个
中心频率为 ?0,3dB带宽为 D?的数字带阻滤波器。
解：取 T=2。设数字带阻的 3dB截频分别为 ?1和 ?2，且 ?2??1。
1)模拟带阻滤波器的频率指标为 2,1,0),2/t a n ( ??? k
kkw
2)频率变换的参数为
)2/t a n()2/t a n( 1212 ?-??-? wwB
)(t an)2/t an ()2/t an ( 02212120 ?????? www
3)模拟带阻滤波器为
2
0
2
2
0
2
,)( w
w
++
+?
Bss
ssH
BSa
4)由双线性变换可得满足条件的数字带阻滤波器为
22
0
12
0
2
0
22
0
12
0
2
0
)1()1(2)1(
)1()1(2)1()(
--
--
-++--++
++--+?
zBzB
zzsH
BS www
www
2
0
2
0
2
0
2
0
1
1
1
1
w
w?
w
w?
+
-?
++
-+?,记：
B
B
B++
+?+
2
0
2
0
1
1
2
1,
w
w?则有
21
2
0
2
0
21
1
)1(
21
21
2
1
)(
--
--
+
++
-
-
+-+
?
zz
B
zz
sH BS
?
w
w
??
21
21
)1(1
21
2
1
--
--
++-
+-+?
zz
zz
???
??
2
0
2
0
1
1
w
w?
+
-?
2
s i n
2
c o s
2
s i n
2
c o s
0202
0202
?
+
?
?
-
?
?
2
t a n1
2
t a n1
02
02
?
+
?
-
? )co s ( 0??
B
B
++
-+?
2
0
2
0
1
1
w
w?
2
t a n
2
t a n
2
t a n
2
t a n1
)
2
t a n
2
( t a n
2
t a n
2
t a n1
1221
1221
?
-
?
+
??
+
?
-
?
-
??
+
?
??
????
t a nt a n1
t a nt a n)t a n (
+
-?-
( )
( )2/)(t an1
2/)(t an1
12
12
?-?+
?-?-?? ( )
( )2/t an1
2/t an1
D+
D-?
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-40
-30
-20
-10
0
Normalized frequency
?p=0.1?; ?s=0.4? ; Ap=1dB; As=10 dB;
例 用双线性变换及模拟巴特沃思滤波器设计一个满足下列条
件的带通数字滤波器 。
?0=0.5? ; ?p2=0.55?,?p1=0.45?,Ap=3dB
?s2=0.6?,?s1=0.4?,As=10dB
解：取双线性变换的参数 T=2
1)由 w=tan(?/2)获得模拟带通滤波器的频率指标 。
wp2 =1.1708,wp1 =0.8541,ws2 =1.3764,ws1 =0.7265
2) 确定变换式中的参数
B = wp2-wp1 =0.3168 w0 =sqrt(wp2 wp1)=1;
3) 由
w
www
B
2
0
2 -
? 确定归一低通滤波器的阻带参数
0515.21 -?sw 0515.22 ?sw
0 5 1 5.2?sw取：
4)确定归一化 BW低通滤波器
由 N=buttord(1,ws,Ap,As,'s')；
得 N=2
12
1)(
20 ++? sssH L
5)由变换获得模拟带通滤波器
1448.01003.2448.0
1003.0
234
2
++++? ssss
s
Bs
sssHsH
LBPa
2
0
2
0,)()(
w+??
6)由双线性变换获得数字带通滤波器
[b,a]=bilinear(bBP,aBP,0.5)
42
42
6 4 1 3 5.0561.11
0 2 0 0 8 3.00 4 0 1 6 7.00 2 0 0 8 3.0)(
--
--
++
+-?
zz
zzzH
BP
