第 2章 Z变换
? Z变换的定义与收敛域
? Z反变换
? 系统的稳定性和 H(z)
? 系统函数
k
k
zkxzX ?
?
???
?? ][)(
收敛域 (ROC),R?< |z|<R+
1)有限长序列
k
N
Nk
zkxzX ?
?
?? ][)(
2
1
?<< z0R O C
][0 101][ kRNkkx N?
?
?
? ????
其它例：
1
1
0 1
1)(
?
?
?
?
? ?
??? ?
z
zzzX NkN
k
0?z
z变换定义及收敛域
2)右边序列
k
Nk
zkxzX ?
?
?
?? ][)(
1
?? Rz
][][ kuakx k?例：
1
0 1
1)(
?
?
?
? ?
?? ? azzazX kk
k
az ?
3)左边序列
k
N
k
zkxzX ?
???
?? ][)(
2
]1[][ ???? kubkx k例：
11
1
??? bz
bz <
??
?
?
??
?
???
????
1
1
)(
k
kkkk
k
zbzbzX ?
?
?
???
0
1
k
kk zb
zb 11
11
????
?< Rz
4)双边序列
k
k
zkxzX ?
?
???
?? ][)( ?? << RzRR O C
]1[][][ ???? kubkuakx kk例：
11 1
1
1
1)(
?? ???? bzazzX
bza <<
][)31)(21( 1)(,11 khzzzH 下的求所有不同的收敛情况已知例 ?? ???
11 31
3
21
2)(
?? ???
??
zzzH1) |z|?3 非稳定，因果
][)32(][ 11 kukh kk ?? ???
2) 2<|z|<3 非稳定,非因果
]1[3][2][ 11 ????? ?? kukukh kk
3) |z|<2 稳定，非因果
]1[3]1[2][ 11 ?????? ?? kukukh kk
部分分式法求 Z反变换
dzzzXjkx kc 1)(2 1][ ??? ?
C为 X(z) 的 ROC中的一闭合曲线
lpz
k
l
zzX ???? })({sRe 1
留数法求 Z反变换
21 )1(
1)(
??? azzX例：
求,1)ROC为 |z|?|a|时的 x[k]
2)ROC 为 |z|<|a|时的 x[k]
dz
az
z
j
kx
c
k
? ??
?
?
? 21
1
)1(2
1][)1
? dzaz
z
j c
k
? ??
?
2
1
)(2
1
?
时 1 ? ? k
az
k
dz
dzkx
?
?
?
1
][
][)1(]1[)1(][ kuakkuakkx kk ?????
时 1 ? < k x[k]=0
kak )1( ??
dz
az
z
j
kx
c
k
? ??
?
2
1
)(2
1][)2
?
1??k 0][ ?kx
2??k ?2,1,1 ???? mmk令
dzazzjkx c m? ?? 2)( 12 1][ ?
0
21
1
)(
1
)!1(
1
?
?
?
??
?
z
m
m
azdz
d
m
0
12
1
)(
1
)!1(
!)1(
?
??
?
??
??
z
m
m
azm
m )( ??? mma kak )1( ???
]1[)1(][ ????? kuakkx k
LTI系统稳定的充要条件：
?<?
?
???
][ kh
k
H(z)的收敛域包含单位圆
R e ( z )
I m ( z )
单位圆
稳定因果系统
R e ( z )
I m ( z )
单位圆
非稳定非因果系统
系统的稳定性和 H(z)
R e ( z )
I m ( z )
单位圆
稳定非因果系统
对 LTI系统, y[k]=x [k]*h[k]
由 z变换的性质,Y(z)=H(z)X(z)
H(z)称为离散 LTI系统的系统函数
?? ?? jj ezzHeH )()(
当的 H(z) ROC包含单位圆时
是 h[k]实系数时，由 H(ej?)的对称性质可得
)()()( 2 ???? ? jjj eHeHeH
)()( ???? jj eHeH
??
??
jezzHzH )()(
1
系统函数
][][
00
nkxbnkya n
M
n
n
N
n
??? ??
??
n
n
N
n
n
n
M
n
za
zb
zX
zY
zH
?
?
?
?
?
?
??
0
0
)(
)(
)(
N=0,a0?0 时,系统称 FIR(finite impulse response)
N>0,{ak ;k=1,2...N}中 至少有一项非零时，系统被称
为 IIR(infinite impulse response)系统
差分方程和系统函数
a) z-1的有理函数表示
N
N
M
M
zazaa
zbzbbzH
??
??
???
????
?
?
1
10
1
10)(
b) z的有理函数表示
N
NN
M
MM
MN
azaza
bzbzbzzH
???
????
?
?
?
?
?
1
10
1
10)()(
系统函数 H(z)的表示方式
c)零点、极点和增益常数表示
))(())2() ) (1((
))(()2() ) (1(()( )(
Npzpzpz
MzzzzzzkzzH MN
???
???? ?
?
?
d) 2阶因子表示
2
2
1
10
2
2
1
10
1
)( ??
??
? ??
??? ?
zazaa
zbzbbzH
kkk
kkk
L
k