第 8章 有限字长效应
? 问题的提出
? 截尾和舍入效应
?滤波器输入信号量化效应
? 滤波器系数量化效应
? 数字滤波器的定点运算误差
问题的提出
(1) 输入信号经 A/D变换而产生的量化误差 。
(2) 滤波器的系数量化误差 。
(3) 运算误差 。
数字系统，存储单元的容量有限。
有限字长的影响，主要表现在以下三方面
截尾和舍入效应
? 定点二进制数的表示
? 量化及量化误差
一,定点二进制数的表示
定点二进制数 x有原码、反码和补码 三种表示形式
?
?
?
?????
???
?
01.11
10.0
][
21
21
xXXXx
xXXXx
x
b
b
?
?
原
?
?
?
?????
???
?
01.11
10.0
][
21
21
xXXXx
xXXXx
x
b
b
?
?
反
?
?
?
????
???
012
10][
xx
xxx
补
若 x=0.X1 X2 ?Xb，则其原码、反码和补码分别定义为
二、量化及量化误差
理论上十进制数可用无穷多为二进制数表示
?
?
?
???
1
0 2
n
n
nx ??
符号位 有效数字位
实际中，只能用有限位近似表示 (b+1)位 )，这种
过程称为量化。
量化方式
q
? q
2 q
? 2 q
3 q 4 q
? 3 q
q
2 q
3 q
? 4 q
? q? 2 q? 3 q? 4 q
x
Q [ x ]
q
? q
2 q
? 2 q
3 q 4 q
? 3 q
q
2 q
3 q
? 4 q
? q? 2 q? 3 q? 4 q
x
Q [ x ]
截尾量化 舍入量化
?
?
??? b
n
n
nxQ
1
0 2][ ??
截掉 b位后数据 视 b+1位后数据的大
小决定 b位数据的值
量化误差
截尾误差 xxQE
T ?? ][
舍入误差范围 22 qEq R ???
正数和补码负数截尾误差范围为
0??? TEq
原码负数和反码负数截尾误差范围为
qE T ??0
区别：舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布。
bq ?? 2
滤波器输入信号量化效应
? 问题的提出
? 量化误差统计假设
? 信噪比和字长的关系
一、问题的提出
模拟信号经过 A/D转换为 b位数字信号，即
][][][? kekxkx ??
精确抽样值 量化误差
分析 A/D转换器的量化效应目的在于选择合适
的字长，以满足信噪比指标。
二,e[k]统计假设
1) e[k]是平稳随机序列
2) e[k] 是白噪声，且 e[k1]和 e[k2]不相关
3) e[k]和 x[k]不相关
4) e[k]等概率分布 ][ke ]}[{ kePq12q? 2q0
舍入量化误差的概率密度函数曲线
三、信噪比和字长的关系
信号 x[k]的平均功率为
2x?
输入信号的信噪比 SNR为
dB)(10l o g1079.1002.610l o g10 22
2
x
e
x bS N R ?
?
?
?????
?
?
???
?
?
字长增加一位,SNR增加 6db
? ?
12
][
2
22 qkeE
e ???
量化误差方差
滤波器系数量化效应
? 问题的提出
? IIR系数量化效应
? FIR系数量化效应
一、问题的提出
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
N
r
r
M
k
k
k
N
k
k
k
M
k
k
k
zp
zb
za
zb
zA
zB
zH
1
1
0
1
0
)1(1
)(
)(
)(
因字长有限，滤波器系数 ak,bk量化后将产生误差
1,系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。
2,系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。
严重时，使系统失去稳定。
设系统只有单极点，理想 DF的系统函数可表示为
二,IIR系数量化效应
{ak}量化后的值 Nkaaa
kkk ?,1,? ????
01
1
???? ?
?
?? k
k
N
k
k
k zaza
?
?
???
N
k
kk aa
1
1
)1(2
2}m a x {
????? b
k
k q
a
a
保持稳定性的 IIR DF系数的最小字长
量化后极点位置
为了保持稳定，设极点在单位圆内接近 z=1
Nrppp rrr ?,1,? ????
k
k
r
N
k
r aa
pp ?
?
??? ?
? 1
系统对系数量化的灵敏度
量化后极点
第 r个极点对第 k个系数变化的敏感度
位置误差
?pr /?ak越大,?ak对 ?pr的影响越大，反之亦然。
将系数量化误差所造成的零、极点位置误差作为
对系数量化灵敏度的度量。
系统对系数量化的灵敏度
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
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N
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l
lr
kN
r
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rl
l
rlr
k
r
pzr
k
k
r
pp
p
ppp
p
p
zD
a
zD
a
p
r 11
11
)()1(
)(
)(
对级联或并联型，每个子系统最多只有两个共轭极
点，故对系数量化影响较小。
极点彼此之间距离越远，极点位置灵敏度就越低
极点彼此越密集，极点位置灵敏度就越高
三,FIR系数量化效应
系数量化只影响零点，不涉及稳定性问题，
但会影响频率特性。
若要求频响误差为 E(ej?)，则所需字长为
)1(2)1(
2
)1()( ??? ???? bj NqNeE
实际中，需要在估计字长的基础上加上 3~4位
数字滤波器的定点运算误差
? IIR DF的极限环振荡
? IIR DF乘积量化误差的统计分析
? FIR DF中乘积量化的影响
? 溢出问题
一,IIR DF 的极限环振荡
][]1[][ kxkyky ??? ?
设,y[?1]=0
b=3,? =1/2=0.100,x [k]=(7/8)d [k] = 0.111d [k]
]}1[{][][ ??? ?? kyQkxky ?
由于字长有限,IIR DF零输入下也有固定不变
的输出，或输出在一定范围内出现震荡现象。
乘法运算采用舍入量化处理，相应的差分方程为
分析：
一阶 IIR DF输出
1 1 1.087]}1[{]0[]0[ ????? ?? yQxy ?
1 0 0.0]0 1 1 1.0[]}0[{]1[ ??? ?? QyQy ?
010.0]010.0[]}1[{]2[ ??? ?? QyQy ?
001.0]001.0[]}2[{]3[ ??? ?? QyQy ?
81001.0]0001.0[]}3[{]4[ ???? ?? QyQy ?
},81,81,81,82,84,87{][? ??ky ][)
2
1(
8
7][ kuky k?
极限环震荡 无限精度输出
产生极限环震荡的原因
量化使下式成立
]1[]]1[[ ???? ?? kykyQ ? )0,0( ???? 取取 ??
即系统的差分方程变为
]1[][][ ??? ?? kykxky
极点从原来的单位圆内迁移到单位圆上，从而产生
等幅序列形式的极限环震荡。
消除限环震荡方法
1,适当地增加字长
??
??
???
1
2]1[ )1( bky
死区
2,在滤波器的输入端加入高频脉冲，使输出跳出死
区，回到零。
在 ?一定时，增加字长 b，死区也减小。
二,IIR DF乘积量化误差的统计分析
乘积的舍入用噪声源 e[k]表示，对其做如下假设：
1) 各噪声源均为白噪声序列；
2) 各噪声源统计独立，互不相关；
3) 在量化噪声范围内，各噪声源都视为等概率密度
分布。
直接 I型结构乘积量化误差分析 ??
x [ k ] b
0
b
1
b
2
b
M
? a
1
? a
N
? a
2
z
? 1
z
? 1 ? ?? ?
z
? 1
z
? 1
z
? 1
z
? 1
e
0
[ k ]
e
1
[ k ]
e
2
[ k ]
e
M
[ k ]
e
M + 1
[ k ]
e
M + 2
[ k ]
e
M + N
[ k ]
][? ky
直接 I型结构乘积量化误差单个噪声源模型
? ? 12][ 2220 qkeE i ???单个噪声源方差
直接 I型结构乘积量化误差分析 ??
x [ k ] b
0
b
1
b
2
b
M
? a
1
? a
N
? a
2
z
? 1
z
? 1 ? ?? ?
z
? 1
z
? 1
z
? 1
z
? 1
e [ k ] ][? ky
直接 I型结构乘积量化误差联合噪声源模型
? ? 12)1(][ 222 qNMkeEe ?????联合噪声方差
直接 I型结构乘积量化误差分析
e[k]通过系统的平均噪声功率
dzzzHzHjqNM ee
Cv
11
2
2 )()(
2
1
12)1(
??????
??
e[k]所通过系统的系统函数
He(z)=1/A(z)
直接 II型结构乘积量化误差分析
x [ k ] ?
? a
N
? ?
z
? 1
e
M + N
[ k ]
e
M
[ k ]
z
? 1
z
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][? ky
? a
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M + 2
[ k ]
e
M + 1
[ k ]
b
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b
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b
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M
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[ k ]
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[ k ]
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2
[ k ]
直接 II型结构乘积量化误差单个噪声源模型
直接 II型结构乘积量化误差分析 ? ?
x [ k ]
b
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b
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b
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M
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1
? a
N
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z
? 1
z
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z
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e
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[ k ] ][? kye
b
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直接 II型结构乘积量化误差联合噪声源模型
12
2)1(][
12
2 22
0
2
2
b
k
b
v MkhN
??
?
?
??? ??
ea[k]和 eb[k]通过系
统的输出噪声方差
IIR DF级联结构乘积量化误差分析
?
0 1
?
1 1
?
2 1
? ?
1 1
? ?
2 1
x [ k ]
z
? 1
z
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z
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z
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e
1
[ k ] ][? ky
?
0 L
?
1 L
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2 L
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1 L
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z
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L
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dzz
zAzA
zHzH
j ii
ll
L
il
Ci
L
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v
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1
1
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)()(
2
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IIR DF并联结构乘积量化误差分析
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1
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L
i
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?
三,FIR DF中乘积量化的影响
乘积量化噪声的输出平均功率
12)1(][12)1(
2
0
2
2
2 qNkqN
k
v ???? ?
?
?
d?
y [ k ]
z
? 1
z
? 1
z
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h [ 0 ]
h [ 1 ] h [ 2 ]
h [ N ? 1 ]
x [ k ]
e
0
e
1
e
2
e
N ? 1
四、溢出问题
][][][ nkxnhky
n
?? ? ][][ m a xm a x nhxky
n
??
产生原因, x[k]的最大绝对值
?
n
nhx ][m a x
超出了表示范围，就会产生溢出。
避免溢出的方法,
1,适当增加字长
2,将输入信号乘以小于 1的比例因子 A，使下式成立
1][m a x ??
n
nhAx
? 问题的提出
? 截尾和舍入效应
?滤波器输入信号量化效应
? 滤波器系数量化效应
? 数字滤波器的定点运算误差
问题的提出
(1) 输入信号经 A/D变换而产生的量化误差 。
(2) 滤波器的系数量化误差 。
(3) 运算误差 。
数字系统，存储单元的容量有限。
有限字长的影响，主要表现在以下三方面
截尾和舍入效应
? 定点二进制数的表示
? 量化及量化误差
一,定点二进制数的表示
定点二进制数 x有原码、反码和补码 三种表示形式
?
?
?
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?
01.11
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][
21
21
xXXXx
xXXXx
x
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xx
xxx
补
若 x=0.X1 X2 ?Xb，则其原码、反码和补码分别定义为
二、量化及量化误差
理论上十进制数可用无穷多为二进制数表示
?
?
?
???
1
0 2
n
n
nx ??
符号位 有效数字位
实际中，只能用有限位近似表示 (b+1)位 )，这种
过程称为量化。
量化方式
q
? q
2 q
? 2 q
3 q 4 q
? 3 q
q
2 q
3 q
? 4 q
? q? 2 q? 3 q? 4 q
x
Q [ x ]
q
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2 q
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3 q 4 q
? 3 q
q
2 q
3 q
? 4 q
? q? 2 q? 3 q? 4 q
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截尾量化 舍入量化
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截掉 b位后数据 视 b+1位后数据的大
小决定 b位数据的值
量化误差
截尾误差 xxQE
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舍入误差范围 22 qEq R ???
正数和补码负数截尾误差范围为
0??? TEq
原码负数和反码负数截尾误差范围为
qE T ??0
区别：舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布。
bq ?? 2
滤波器输入信号量化效应
? 问题的提出
? 量化误差统计假设
? 信噪比和字长的关系
一、问题的提出
模拟信号经过 A/D转换为 b位数字信号，即
][][][? kekxkx ??
精确抽样值 量化误差
分析 A/D转换器的量化效应目的在于选择合适
的字长，以满足信噪比指标。
二,e[k]统计假设
1) e[k]是平稳随机序列
2) e[k] 是白噪声，且 e[k1]和 e[k2]不相关
3) e[k]和 x[k]不相关
4) e[k]等概率分布 ][ke ]}[{ kePq12q? 2q0
舍入量化误差的概率密度函数曲线
三、信噪比和字长的关系
信号 x[k]的平均功率为
2x?
输入信号的信噪比 SNR为
dB)(10l o g1079.1002.610l o g10 22
2
x
e
x bS N R ?
?
?
?????
?
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?
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字长增加一位,SNR增加 6db
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][
2
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量化误差方差
滤波器系数量化效应
? 问题的提出
? IIR系数量化效应
? FIR系数量化效应
一、问题的提出
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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N
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1
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1
0
)1(1
)(
)(
)(
因字长有限，滤波器系数 ak,bk量化后将产生误差
1,系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。
2,系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。
严重时，使系统失去稳定。
设系统只有单极点，理想 DF的系统函数可表示为
二,IIR系数量化效应
{ak}量化后的值 Nkaaa
kkk ?,1,? ????
01
1
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2}m a x {
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保持稳定性的 IIR DF系数的最小字长
量化后极点位置
为了保持稳定，设极点在单位圆内接近 z=1
Nrppp rrr ?,1,? ????
k
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k
r aa
pp ?
?
??? ?
? 1
系统对系数量化的灵敏度
量化后极点
第 r个极点对第 k个系数变化的敏感度
位置误差
?pr /?ak越大,?ak对 ?pr的影响越大，反之亦然。
将系数量化误差所造成的零、极点位置误差作为
对系数量化灵敏度的度量。
系统对系数量化的灵敏度
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)()1(
)(
)(
对级联或并联型，每个子系统最多只有两个共轭极
点，故对系数量化影响较小。
极点彼此之间距离越远，极点位置灵敏度就越低
极点彼此越密集，极点位置灵敏度就越高
三,FIR系数量化效应
系数量化只影响零点，不涉及稳定性问题，
但会影响频率特性。
若要求频响误差为 E(ej?)，则所需字长为
)1(2)1(
2
)1()( ??? ???? bj NqNeE
实际中，需要在估计字长的基础上加上 3~4位
数字滤波器的定点运算误差
? IIR DF的极限环振荡
? IIR DF乘积量化误差的统计分析
? FIR DF中乘积量化的影响
? 溢出问题
一,IIR DF 的极限环振荡
][]1[][ kxkyky ??? ?
设,y[?1]=0
b=3,? =1/2=0.100,x [k]=(7/8)d [k] = 0.111d [k]
]}1[{][][ ??? ?? kyQkxky ?
由于字长有限,IIR DF零输入下也有固定不变
的输出，或输出在一定范围内出现震荡现象。
乘法运算采用舍入量化处理，相应的差分方程为
分析：
一阶 IIR DF输出
1 1 1.087]}1[{]0[]0[ ????? ?? yQxy ?
1 0 0.0]0 1 1 1.0[]}0[{]1[ ??? ?? QyQy ?
010.0]010.0[]}1[{]2[ ??? ?? QyQy ?
001.0]001.0[]}2[{]3[ ??? ?? QyQy ?
81001.0]0001.0[]}3[{]4[ ???? ?? QyQy ?
},81,81,81,82,84,87{][? ??ky ][)
2
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8
7][ kuky k?
极限环震荡 无限精度输出
产生极限环震荡的原因
量化使下式成立
]1[]]1[[ ???? ?? kykyQ ? )0,0( ???? 取取 ??
即系统的差分方程变为
]1[][][ ??? ?? kykxky
极点从原来的单位圆内迁移到单位圆上，从而产生
等幅序列形式的极限环震荡。
消除限环震荡方法
1,适当地增加字长
??
??
???
1
2]1[ )1( bky
死区
2,在滤波器的输入端加入高频脉冲，使输出跳出死
区，回到零。
在 ?一定时，增加字长 b，死区也减小。
二,IIR DF乘积量化误差的统计分析
乘积的舍入用噪声源 e[k]表示，对其做如下假设：
1) 各噪声源均为白噪声序列；
2) 各噪声源统计独立，互不相关；
3) 在量化噪声范围内，各噪声源都视为等概率密度
分布。
直接 I型结构乘积量化误差分析 ??
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直接 I型结构乘积量化误差单个噪声源模型
? ? 12][ 2220 qkeE i ???单个噪声源方差
直接 I型结构乘积量化误差分析 ??
x [ k ] b
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直接 I型结构乘积量化误差联合噪声源模型
? ? 12)1(][ 222 qNMkeEe ?????联合噪声方差
直接 I型结构乘积量化误差分析
e[k]通过系统的平均噪声功率
dzzzHzHjqNM ee
Cv
11
2
2 )()(
2
1
12)1(
??????
??
e[k]所通过系统的系统函数
He(z)=1/A(z)
直接 II型结构乘积量化误差分析
x [ k ] ?
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M + N
[ k ]
e
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[ k ]
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[ k ]
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直接 II型结构乘积量化误差单个噪声源模型
直接 II型结构乘积量化误差分析 ? ?
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z
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[ k ] ][? kye
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[ k ]
直接 II型结构乘积量化误差联合噪声源模型
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2)1(][
12
2 22
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2
2
b
k
b
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ea[k]和 eb[k]通过系
统的输出噪声方差
IIR DF级联结构乘积量化误差分析
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IIR DF并联结构乘积量化误差分析
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z
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1 L
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2 L
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1
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L
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三,FIR DF中乘积量化的影响
乘积量化噪声的输出平均功率
12)1(][12)1(
2
0
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2
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k
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h [ N ? 1 ]
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0
e
1
e
2
e
N ? 1
四、溢出问题
][][][ nkxnhky
n
?? ? ][][ m a xm a x nhxky
n
??
产生原因, x[k]的最大绝对值
?
n
nhx ][m a x
超出了表示范围，就会产生溢出。
避免溢出的方法,
1,适当增加字长
2,将输入信号乘以小于 1的比例因子 A，使下式成立
1][m a x ??
n
nhAx
