第十章 真空中稳恒电流的磁场
（中文书为第十一章）
Chapter 10 Magnetic Field of a
Steady Current in Vacuum
?§ 10-2 Magnetic Field Gauss’law in Magnetic Field
磁感应强度 磁场的高斯定理
?§ 10-1 Magnetic Phenomena Ampere’s Hypothesis
基本磁现象 安培假说
?§ 10-3 Boit-Savart Law &Its Application
毕奥 – 萨伐尔定律及其应用
?§ 10-4 Ampere’s Law & Its Application
安培环路定理及其应用
?§ 10-6 Magnetic Force on Current-carrying
Conductors 磁场对载流导体的作用
? § 10-5 Motion of Charged Particles in Magnetic
Field 带电粒子在磁场中的运动
?§ 10-7 Magnetic Torque on a Current Loop
磁场对载流线圈的作用
1、掌握磁感应度的概念
2、能用毕奥 --萨伐尔定律计算简单电流的磁场分布
3、理解和掌握高斯定理,能用安培环路定理计算一
定对称分布电流的磁场分布
4、掌握洛仑兹公式，能用安培力公式和磁力矩公式
计算磁场中电流受力和力矩的简单问题
教学要求
1,Magnetic Phenomena 基本磁现象
(1)人类最早认识到的磁现象,
永久磁铁 The permanent magnet Fe3O4
N, S极 ;同性相斥,异性相吸。
§ 10-1 Magnetic Phenomena Ampere’s
Hypothesis 基本磁现象 安培假说
N北极 S南极
N北极 S南极
磁单极子？
(2)人类对地磁认识, N, S极
(2)电流与磁铁的相互作用,
奥斯特发现电流对磁铁有作用力，旋转力。
电流
小磁针
(3)安培发现：电流在磁场中受力的作用, 电子束
在磁场中受力的作用, 电流与电流之间的相互
作用, 螺线管电磁场 。
电子在磁场中运动
All Magnetic phenomena result from the motion
of the charge,一切磁现象均起源于电荷的运动,
2,Ampere’s Hypothesis 安培假说
1）磁的本质：
运动电荷在空间激发磁场，磁场对场中的运动电荷
有相互作用。
磁场运动电荷 运动电荷
电荷产生电场，但只有运动的电荷才产生磁场。
Molecular current
NS
2） 安培假说
任何物质的分子中都存在分子电流, 这些分子电
流形成圆电流, 相当于一个基元磁体 （ 小磁铁 ） 。
长直螺线管
S N
I
1.Magnetic field (Magnetic induction磁感应强度）B?
A moving charge or a current(电流 ) sets up or
creates a magnetic field in the space surrounding it.
§ 10-2 Magnetic Field Gauss’law in Magnetic
field 磁感应强度 磁场的高斯定理
运动电荷
电流 磁场
The magnetic field exerts a force on a moving
charge or a current in the field.
Like electric field,magnetic field is a vector field,We
use the symbol for magnetic field.B?
磁场
作用：电流、运动电荷等
B?
Definition of Magnetic Field
We take a moving charge( and q) as the test charge.
V?
The force on the moving charge by the magnetic field
depends on:
V?
qB? F?
(1) the direction of motion;
(2) qV of the moving charge.
(3) the angle ? between and,V? B?
The force on the moving charge is perpendicular
to and,
V? B
?
用运动电荷在磁场中的受力情况来定义,
单位,特斯拉 T(IS),高斯 1特斯拉 =104高斯
大小,
qV
F
B m a x?
方向,小磁针在某点 N极的指向规定为该点的磁感强
度 的方向 ;B?
磁场
B?
(1)Magnetic Field lines磁场线 (磁力线或磁感应线 )：
2,Magnetic Field lines & Magnetic Flux
磁场线 磁通量
Magnetic Field lines形象描绘磁场的分布 。 磁感
应线上任意一点的切线方向与该点的磁场方向一致,
且穿过垂直于 的单位面积上的磁感应线数, 与 的
大小相等 。
B? B?
特点：闭合曲线，见书上 B?
定义：通过给定曲面的磁场线数称为穿过该曲面
的磁通量。
sdB
s
m ?? ???
曲面 S：
单位, 韦伯 Wb(T.m2 )
(2) Magnetic Flux 磁通量
m?
sdBd m ???:Sd
?
闭合曲面：
???? ???
SS
m dSc osBSdB ??
??
3.Gauss’sLaw in Magnetics 磁场的高斯定理
磁场线是无头无尾的闭合线 。
穿过任一闭合曲面的总磁通量为 0.
磁场是涡旋场
0????
S
SdB
??
磁场是无源有旋场
§ 10-3 Boit-Savart Law & Its Application
毕奥 – 萨伐尔定律及其应用
（ J.B.Biot,1774~1862; Felix Savart,1791~1841)
Calculation of the
magnetic Field Set up
by a current 磁场的计
算
I
P
B?
1,Boit-Savart Law 毕奥 – 萨伐尔定律
(1) The Concept of the element Current 电流元的概念
The element current 电流元 is a
vector in the direction of the current with the
magnitude of
lI ?d
lId
lI ?d
ld?
I
The current is to be
divided,in imagination,
into short elements as
shown in Figure.
lI ?d
I
P
Bd?
r?
The contribution of to
the magnetic field at
point P is given by:
lId?
B?
?
? ?
?
?
r
rlIdBd ?
??
?
?
Called the Biol-Savart law,7
0 104 ??? ??
N/A2 or Wb/(A·m)
真空中的磁导率is permeability of the Vacuum
磁场的方向由矢量积 确定（右旋法则）。
The direction of is determined by Bd? rlI ?? ?d
rlI ?? ?d
lI ?d
I
P
Bd?
r?
2
0 s i n d
4
d
r
lIB ?
?
??
The magnitude of is
given by
Bd?
?
?
?
l r
rlI
B
3
0 d
4
???
?
?
at point P can be calculated by summing over
all current element
B? Bd?
I
P
B?
Therefore,it usually needs to calculate two
perpendicular components,such as B∥ & B⊥ etc..
Note:
(1) It is a linear integral(线积分） ;
(2) It is also a vector integral(矢量积分） ;
?
?
?
l r
rlI
B
3
0 d
4
???
?
?
I
P
B?
2,Application of Boit-Savart Law
1)The magnetic field of a
straight wire carrying a current
载流直导线的磁场
(1)如图, 取电流元, 产生的
磁场垂直于板面向里；
（ 2）电流元产生的磁场的大
小为：
?
?
?? r
s i nlIB ?
?
? dd
ao
r?
lId?
+
Bd?
?
I
I
l
)c o s( c o s
a
Is i n
a
IB
??
?? ?
?
?
?
? ? ?
?
??
?
???
?
? ?
?
d
（ 4）积分，有
（ 3）统一变量：
??? a c tg)(a c tgl ????
ao
r?
lId?
+
Bd?
?
I
I
l
??? s i n
a
)s i n (
ar ?
??
?? dsinadl ??
（ 5） 的意义如图。
?? ?? 和
+ao
B?
2?
I
I
1?
)c o s( c o s
a
IB
??
? ?
?
? ??
?
?
Note:
(1)在导线延长线上,B = 0:
0?B
)c o s( c o s
a
IB
??
? ?
?
? ??
?
?
(2)载流半无长直导线产生的磁场
a
I
a
I
B ???? ?),( ???? ??? ??
a
I
a
I
B ???? ?),( ???? ?? ???
)( c o sa
I
B ???? ?? ???
),?( ??? ?? ??
a
I
??
)c o s( c o s
a
IB
??
? ?
?
? ??
?
?
(2)导线无限长时，即载流长直导线产生的磁场
a
I
a
I
B ???? ?
磁场线为一系列垂直于导线的
同心圆, 圆心在导线上, B线
与 I的方向成右旋关系 。
......BBB ??? 21 ???
如有许多无限长载流直线，总磁场等于：
I
R
2） The Magnetic Field on the axis of a circular loop
carrying a current 载流圆线圈轴线上的磁场
（ 1） 将圆电流分成
许多电流元, 分析
其产生的磁场如图,
由图知 dB⊥ 抵消,
dB∥ 迭加；
（ 2）电流元产生的磁场
2
0
4 r
Id ldB
?
??
??? s i n
r
Id ldB
|| 2
0
4?
?Bd
?
||Bd
?
Bd?
lId? r?
?
x
(3)积分有：
???? ?? ??
l
|| s i nr
I d ldBB ?
?
?
考虑到,22 Rxra n d
r
Rs i n ????
2
322
2
0
2 )xR(
IRB
?
? ?
I
R ?Bd
?
||Bd
?
Bd?
lId? r?
?
x
?
? ?
? r
sinRI ??
?
?
（ 5）画出 B(x)曲线（请同学自己完成）。
（ 4）方向：右手螺旋法则。
I
R
B?
右手螺旋法则
R
I
B 2 0??
(1)在圆心处 的场,
(2)圆电流的一部分在 o点的场：
)or(R
I
B
36022
0
?
?? ??
Note:
?
(3) N 匝圆电流产生的磁场？
Example 10-1,What is the magnetic fields at point o of
the below carrying currents?
R
R
I
o
I
a
a
o
o
R
I
+1
2
a
a
0
?
Example 10-2:如图, 两根无限长平行导线相距为本 2a，
载有大小相等方向相反的电流 I,求 x 轴线上一点的磁
场 。
解：（ 1）如图,P点的磁场：
21 BBB
??? ??
（ 2）分解有：
?s i nBBB x 12???
1B
?
2B
?
x
?
r
????
??
? ????? )xa(
I
r
IB
?
?
?
?
?? ??? xa
a
r
as in ?
因此：
ixa aIB
??
22
0
??? ?
?
（ 3）当 x=0时，有：
a
IB
m ax ?
? 0?
（ 4）如果电流同向，结
果如何？
+1
2
a
a
0
?
B?
+1
2
a
a
0?B ?
?
From Boit-Savart Law
?
?
?
??
r
rlIdBd
?
?
???
we can find the magnetic field set up by a moving
charge.
A moving charge will set up magnetic field
surrounding it.
3,Magnetic Field of the Moving Charge 运动
电荷产生的磁场
q V?
B??
Assume that the numbers of
the charges in unit volume is
n,and Each moving charge
has a charge of q(>0),Hence,S
lId?
q S V ndtS V d t n qdtdQI ??? S n d lVqlq n S VdlId ??? ??
n S dldN ? is the total number of charges in the element
current,We have
?
?
??
?
?
r
rlIdBd
?
?
???
q
V?
?
?
?
?
r
rVq d N
?
?
??
dN)Bd(
?
?
?
?
?
?
?
r
rVq
B
?
?
?
?
v
?
?r
?
B??
P
Magnitude:
?
?
?
?
r
s i nV|q|B ?
?
?
注意到毕萨定理中的 dB是 dN个电荷产生的 。 一个
运动电荷 q 产生磁场为：
rv ???Direction,and q
1,Ampere’s Law 安培环路定理
??
?
??
n
i
iI
ldB
1
0
?
??
在稳恒磁场中，磁感强度 沿任一闭合路径的线
积分等于此闭合路径所包围的所有电流的代数和与真
空磁导率的乘积,
B?
§ 10-4 Ampere’s Law 安培环路定理
电流
1I
?
2I
?
3I
?n
?
l?
如图：
??
???
??
n
i
iIldB ?
??
电流：与法线的方向相同，为正；反之，为负。
)III( ???? ??? ?
2.安培环路定理的证明（以长直 电流 I 的场为例）：
(1) 闭合路径包围长直电流 I的情况
ld?
B?
?d
r
I
???
l
ldB ??
因为
?? rddlc os ?
?? ??? ?
ll
dlc o srIldB ???
??
? ? ?
l
dlc o srI ?????
l
dlcosB ?
??? ?
l
dI ???? ?? ?
l
rdrI ??? I
?? ?
在上面的证明中，如果电流反向，则：
?? rddlc os ??
IldB
l
0?????
??
ld?
B?
?d
r
I +
(2) 闭合路径没有包围长直电流 I的情况
A
B
?
1L
2L
???
??
?????
LL
l
ldBldBldB
??????
??
?? ??
(3)磁场由若干长直电流产生的情况；
由叠加原理
???? 321 BBBB ????
?? ? ? ???? IlBlBL
i L
0dd ?
????
其中 为 L 所包围的一切电流的代数和。?I
1I
3I
5I
2I
4I
1I
?
2I
?
3I
?n?
l?
4I
3.对安培环路定理的说明
⑴ 电流 I 的正负规定,电
流的流向与闭合路径绕行方
向满足右手螺旋法则时,I 取
正值,反之 I 取负值 ;
⑵ 是闭合回路内外所有电流产生的 ;B?
（ 3）磁场有旋，但无源；
（ 5） 的环流为零时,L 上各点的场不一定都为零。B?
（ 6） 电流位置变化, 只要不移出 （ 进 ） 回路,的环流
不变 。
B?
（ 4） 与曲线的形状无关,只与包含的电流有关；
1I
?
2I
?
3I
?n?
l?
4I
安培环路定理是普遍成立的, 描述磁场的一个性质 。
4.Application of Ampere’s Law
安培环路定理的应用
B?
B?但用其求,却要求磁场
分布具有对称性, 这样才
能把 从积分号中拿出来,
因而要求电流的分布具有
对称性 。
??
?
??
n
i
iI
ldB
1
0
?
??
电流
I
R
1)无限长载流圆柱体的磁场
(1)Symmetry analysis 对称性分析：
设电流沿园柱的截面均匀分
布，由于电流的分布具有轴对称
性，其磁场分布也具有轴对称性。
在半径为 r,圆心 在 圆柱 轴上的
园周上，各点的磁感强度大小相
等，方向沿切向，即磁场线为一
系列同心园。
Pr
B?
???l ldB ??
Rr
r
I
B ?
?
? ?
?
?
外
(3) 圆柱体外，过 P点选如图积分回
路,
(2) 选园心在轴上，半径为 r 的园为 积分回路，亦称 安
培环路。 I
R
Pr
B?
?? rB? I??
即
(4)圆柱体内, 过 Q点选如图积分回路,
?? rB????
l ldB
??
Rr
R
r
r
I
B ?
?
? ??
?
?
内
I
R
r
?
?
?
? Rr.I ???
?? I?
即
问题：怎样求 无限长载流圆柱面的磁场？
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
B
I
l
2)Field of a solenoid 载流长直螺线管内的磁场
分析,线圈绕得紧密,磁场几乎全部约束在管内,当
足够长时,认为管内磁场 均匀,场线与管轴平行选
经过 点的积分回路 abcda 。
B?
P
l
a b
cd
?
P
???
l
ldB ??
l
NIInB ?
?
?? ??
abB?
根据安培环路定理，可得
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
B
I
l
a b
cd
?
P
???
ab
ldB ?? ???
bc
ldB ?? ???
cd
ldB ?? ? ?da ldB
??
nIab???? ?? I?
即
3)Field of a toroid 环形螺线管的场（密绕）
1R
2R
r
(1)由场的对称性分析知半
径为 R的园上各点磁场大小
相等, 选积分回路如图,
(2)根据安培环路定理,有：
INrBldBl 2 0?? ???? ??
r
IN
l
NIB
?
? ?
2
00 ??
In
I
L
N
B
?
?
?
?
?
?
（ 3）当
)R(RRR ???? ???
L为 环形螺线管中心线的长度。 此时圆管内各点的磁
场近似相等，场线为一系列同心园，这就是细 螺绕环管
的场。
1R
2R
r
§ 10-5 Motion of Charged Particles in magnetic
Field 带电粒子在磁场中的运动
Hendrik Antoon Lorentz（ 洛伦
兹）, 1853-1928。
荷兰物理学家、数学家,1902年
获诺贝尔物理学奖。经典电子论
的创立者，发现 洛伦兹力，对相
对论的建立有贡献（洛伦兹变
换）。
1.Lorentz Force 洛伦兹力
The magnetic force on a moving charged particle is
given by
BVqF ??? ??
Its direction:
BV ?? ? and q>0 or <0.
?
（ q>0）
V?
B?
F?
Its Magnitude is
?s i nq V BF ?
V
F=0
B
F=Fmax
F
V
B
2,No work is done on the particles by Lorentz force
洛伦磁力永远不会对运动电荷作功。
The properties of Lorentz Force:
1,Lorentz force is always perpendicular to and,
It cannot change the particle’s speed and can
change only the direction of (and such the
direction of travel).始终与电荷的运动方向垂直
,因此洛伦兹力不改变运动电荷速度的大小,
只能改变电荷速度的方向, 使路径发生弯曲 。
V?
V?
B?
2,Moving Charge in Uniform Magnet Field
带电粒子在均匀磁场中的运动
对象：电量 q,质量 m,初速度 V0。
磁场：均匀磁场。
粒子作匀速直线运动
???? ? BVqF ???
1） 与 平行时
0V
? B?
B?
0V
?
0V?
r
2） 与 垂直时：V?
0 ?B
BVqF ??? ?? ?
BqVF 0?
能够证明：粒子作匀速率圆周运动：
??VV
正比于粒子的动量。
与粒子的速度无关, 仅由质量决
定 （ qB一定 ） 。
qB
mVr ??
qB
m
V
rT ?? ????
?
3) 与 成 时0V? ?B ?
BVqF ??? ?? ?
受力：
分解：
?s inVV ?? ?
?c o sVV || ??
B?
V??
?
在平行于磁场方向作直线运动，在垂直于磁场方向作
匀速圆周运动，合运动为 螺旋运动。
粒子作螺旋运动,相关数据如下,
qB
s i nmVR ??? T m
qB?
2 ? （周期）
?? c o sVqB mTVh || 02??
（螺距）
螺距
磁约束
将高温等离子体约束在一定范围内,将线圈称
为磁塞、磁镜,
BVqEqf ???? ???
3.Charged Particle in Electromagnetic
Field 带电粒子在电场磁场中的运动
磁场力，运动电荷
才受磁力
电场力，与电荷的
运动状态无关
加速 束缚运动
1）,Magnetic Focus 磁聚焦用来控制带电粒子的运动
?
条件,横向电场，纵向磁场
原理,电子束经电场加速，横向电场分离（ ）,
在纵向磁场作用下作螺旋线运动 ?
用途：
U
lB
n
m
e ??
22
228 ?
Tv
l
n
x0
?Be
mT ?2?
测微观粒子的荷质比 （ p47,159)
是纵向路径,U 是加速电压l
（圈数）
（推导略）
2, Cyclotron 回旋加速器
条件,交变电场，恒定强磁场共同作用
原理,电子在狭缝处被电场加速，在盒内磁场作用下
作园周运动，周期与速率无关
用途：
B
m
q
v
R
)(
?
B
m
qv
R
T
)(
??
??
获得高能粒子流
3, Mass spectrometer 质谱仪
电场, 磁场共同作用
电子在狭缝处被电场加速，在磁场作用下
作原周运动，粒子回旋半径与 m 成正比
获得高能粒子流
条件：
原理：
用途：
U
rqBmmvUq
?
???
2
2
1 222
电 子在正交电磁场
中被滤速
B
E
v
q v BqE
?
?
1,Ampere’s Law 安培定律
The force on the current element is given by:
BlIdFd ??? ??
B?
lId?
?Fd?
大小,?s inB Id ldF ?
方向,BlId ?? ?
called Ampere’s law.
§ 10-6 Magnetic Force on a current-carrying
conductor 磁场对载流导体的作用
问题：如何解释安培定律？见中文书 160页。
e e e e e e
e e e e e e
电流
电子
电子在磁场中运动，受 洛伦兹力，获得动量，通过与
导体的晶格碰撞，将动量传给导体，即为导体受力。
B?
I
lId? Fd?
整段载流导线受的磁场力：
? ? ? ?F d F Id l B
l l? ? ?? ?
注意：（ 1）矢量相加，线积分；
（ 2）作用点问题；
?? xx dFF ?? yy dFF ?? zz dFF
（ 3）分量形式：
2.应用举例
Example10-4:如图, 长为 ?栽有电流 I的直导线处于均匀
的磁场中, 求受到的磁场力 。
B?
?
I
?
解：由安培定律，有：
BIBldIBlIdF ????????
??
?????? ??
大小：
?s inBIF ??
方向：垂直版面向里。
x
y
Example 8-5 如图磁场对半圆形载流导线的作用力。已
知,R,I,B(均匀磁场）。
B I Rds i nB I RF ??? ?
?
???
??? xdF
取成对电流元, 因为对称性
?? ?? LL y s i nB I d ldFF ?
解：为曲线载流导线, 分
成许多电流元 。
?B IddF ?
?
Example 8-6,如图, 长直导线载流 I1,导线 AB载流 I2，
求两电流之间的相互作用 。
I1
I2a
b
解：（ 1）长直载流导线的磁场：
x
IB
?
?
??
??
（ 2）电流 I2上取电流元，有
x
dxIIdxBIdF
?
?
??? ????
方向如图。
（ 3）积分有：
a
blnII
x
dxIIF b
a ?
?
?
?
22
210210 ?? ?
x dx
Fd?
d
IB 20
12 2 ?
??
d
IB 10
21 2 ?
??
3.The interaction between two parallel current
两平行长直载流导线间相互作用力
在图中，已知：
?I
?I
??B
?
??B
?
?I
?I
??B
?
??B
?
??F
???F?
?
???
?
??????
?
?
???
l
d
II
s i nlIBF
d
dd
?
?
方向如图,
设两电流同向，由安培定理，
I1的磁场对 的力为
?? lI
?d
§ 11-7 Magnetic Torque on a Current Loop
磁场对载流线圈的作用
Much of the world’s work is done by electric
motors,The forces behind this work are the magnetic
forces that we studied in the preceding section.
N S
F?
F?
I
axis
1.载流线圈在磁场中的受力及其运动：
对象：平面线圈；
磁场：均匀磁场；
特点：合磁场力等于零, 因
各电流元所受的力作用点不
在同一条直线上, 有力矩,
故线圈将转动 。
B?
I
2.载流矩形线圈在磁场中的转动
如图, 矩形载流 线圈平面正法线方向 （ 由右旋法
确定 ） 与磁场夹角为 ?, AB和 CD⊥,由安培定律分
析四边受力情况：
B?
I
B?
A
B
C
D
?l
?l ?
I
B??
A
B
C
D
?l
?l
?F
??F
?F
??F
The forces acting on the sides DA and BC:
?? ??? FF
??
The forces acting on the
sides AB and CD:
?? ??? FF
??
having same line of action.
not sharing same line of
action.
（ 1） DA和 BC受力等大反向，共线；
?
?
c o sB I l
dls i n (IB
FF
l
?
?
?
??
?
????
??
?
?
)
?F
?
?
0 ?????? ???? FFFF ????
Their lines of action are same
so that their net force and
torque are zero.
I
B??
A
B
C
D
?l
?l
?F
??F
?F
??F
（ 2） AB和 CD 两边受力情况
?
?
?
??
?
???
??
?
?
B I l
ls i nIB
FF
l
d
Because these two forces have opposite directions,
their net force is zero; however,they not share the
same line of action so they do produce a net torque.
I
B??
A
B
C
D
?l
?l
?F
??F
?F
??F
?
?
s i nlB Il
s i nADFM
??
?
?
?
可写成：
?? s i nBPs i nI S BM m??
这里：
ISPm ?
为平面线圈的磁矩的大小 。
由线圈载的电流和线圈的大
小决定 。
I
B??
A
B
C
D
?l
?l
?F
??F
?F
??F
?+
?F
??F
3.磁矩的概念：
nN ISP m ?? ?
N为匝数,S为线圈面积。
载流平面线圈（任意形状）的磁矩定义为：
磁矩为 的 载流线圈在磁场中受到的磁力矩：mP?
BPM m ??? ??
大小,?sinBPM
m?
方向：右手螺旋法则，四指 代表转动方向。
n?
S
I
mP?
B?
B?
mP?
结论：磁场使磁矩转向磁场的方向, 结果
穿过线圈的磁通量最大 。
B?
mP?
非稳定平衡
B?
mP?
稳定平衡
I
B?
A
B
C
D
?l
?l ?
还是逆时针？是顺时针
还是逆时针？是顺时针
2.应用
电动机、磁电式仪表
磁电式电流计的工作原理 (题 11-36)
当恒定电流通过时
?kN B I S ?
?KM ?扭
当脉冲电流通过时，可以证
明
?
N B S
kJq ?
是线圈的转动惯量。J
k 是游丝的扭转常量 ;
j
i即
扭磁 MM ?
（例题见投影片）