昆明理工大学：大学物理（二）：Chapter9(1)

Chapter 9 Conductors and
Dielectrics in Electrostatic
Field 静电场中的导体和电
介质
§ 9-1 Conductors Elecrostatic Induction
静电场中的导体 静电感应
§ 9-3 Dielectrics 电介质的极化
§ 9-4 Gauss’ Law in Dielectric 电介质中的电场
Electric Displacement 有电介质时的高斯定理
电位移
§ 9-5 Energy in Electric Field 电 场的能量
§ 9-2 Capacitance 电容器 电容器的并联和串联
1.掌握导体静电平衡条件，能用该条件分析带电导
体在静电场中的电荷分布；求解有导体存在时场
强与电势的分布问题；
2,了解电介质的极化机理，了解电位移矢量的物理
意义及有电介质时的高斯定理；
3,理解电容的定义，能计算简单形状电容器的电容；
4,理解带电体相互作用能，计算简单对称情况下的
电场能量。
教学要求
主要研究
（ 1） 电场对导体和电介质的作用；
（ 2） 导体和电介质对电场的影响；
从导电性来讲，物质可分为三类：
导体, 半导体和绝缘体 。
Introduction
本章主要讨论导体和绝缘体与电场之间的相互作用。
对于半导体，有专门的书讲解。
1,The properties of conductor:
There are many free
electrons in the conductor,
which can move in the
conductor randomly.
ee e
e eee
e
§ 9-1 Conductors in the electric field静电
场中的导体 Electrostatic Induction
静电感应
?金属导体由带正电的晶
体点阵和可以在导体中
移动的自由电子组成。
2.Electrostatic induction( 感应 ） and electrostatic
equilibrium（ 静电平衡 ）
1）, Electrostatic induction
e e e e e
e e
e
e e e eee e
e
导体置于电场中，
其上的电荷重新分布
的现象，称为静电感
应。
2）, Electrostatic equilibrium（静电平衡）
When the charges in the conductor are at rest and
the field never changes,the conductor is in the
electrostatic equilibrium.
e e e e
ee
e e No charge moves!
The conditions of electrostatic equilibrium of conductor:
(2) the surface of conductor outside the conductor.?E?
(1) everywhere in the conductor;0?E?
e e e e
ee
e e
E?
E?
0?E?
A deduction(推论）,
The conductor is an equipotential body and its
surface is an equipotential surface.
e e e e
ee
e e
CU ?
3,The charge distribution in the electrostatic equilibrium
（ 静电平衡时电荷的分布 ）
1),实心导体（即导体内没有 空腔 ）
----
--
- ++
++
+
+
+
e?
（ 1） 导体内处处没有未抵消的净电荷,
电荷只分布在导体的表面；
??
?
???
iqSES ?
??
d
????? ? S SEE ???? d 内
??? ? iq
（ 2）导体表面上电荷密度与表面处场强的关系：
??
小柱体面
Sd.E ??
EorE 0
0
???? ??
σ △ S
导体表面上的电场强度 与电荷面密度 成正比。
表E
?SE?
??
?? S
?
?
?
S
q
（ 3）导体表面曲率对电荷分布的影响：
凸而尖锐的处 （ 曲率大 ）, 电荷就比较密集；
表面凹进去的地方 （ 曲率为负 ）, ?较小 。
+ ++
++ +
++
+
+
+ +
+
+
+
+
+
++++
++
+
+
+－
+金属导体
接感应
起电机 蜡
烛
尖端放电
2）导体壳
（ 1）腔内无带电体
? 导体壳的内表面上处处没有净电荷，电荷只分布
在外表面；
? 空腔内没有电场 ;
? 空腔内的电势处处相等。
（ 2）腔内有带电体：
导体壳内表面所带电荷与
腔内电荷的代数和为零。
Q-Q
静电屏蔽
Q-Q
高斯面
静电屏蔽
Example 9-1:如图, 导体 B带电 3C,导替壳 A带电 5C。
问静电平衡后, A的外表面带电多少？
B:3C
A
-3C
Q ?外
解：
)C(Q 835 ???外
1,Capacitors & Capacitance 电容器和电容
Any arrangement（ 安排 ） of conductors that is
used to store electric charges or energy is called a
capacitor,or condenser(电容器是用以储藏电荷或电
能的装置 ).
Is it OK like in practice?
dq
conductor
§ 9-2 Capacitance 电容 Capacitors in
Series & Parallel 电 容器的串联和并联
如果空间中 A,B 两导体相距足够
近, 当其中一块导体带有电量 q 时,发
出的电力线几乎都终止于另一块导体
上, 即他们总带有等量异号的电荷,
我们称这两块导体组成一个电容器,导
体 A,B 称为电容器的两个极板 。
BA
+
+
+
+
+
+
－
－
－
－
－
+q
-q
设此时两个极板间电势 差为 V，则该电容器的电容
定义为
V
q
BUAU
qC ?
??
UA UB
q -q
记号
C=Q/V 是一个与仅与导体形状大小和周围电介
质有关的量，电容的单位为法拉，符号为 F
一般来讲，法拉这个单位太大，通常用微法（ μF）
或皮法（ pF）为单位
1F=106μF=1012 pF
1F=1C / 1V
常见的电容器，按其极板的形状有：平行板
电容器、球形电容器和柱形电容器等。
按其中的电介质分有：真空电容器, 空气电
容器, 云母电容器, 陶瓷电容器, …,..
按其电容值：可变电容器和固定电容器。
下面将证明：电容器的电容值，仅决定于电容
器的性质，即极板的形状、大小、相互距离以及板
间所充的电介质，与是否带电等无关。
2,Calculation of the capacitance
几种常见电容器的电容值：
（ 1）平行板电容器 A parallel plate capacitor
d
SC 0??
d
S求解电容器步骤如下
(a) 设两极板电荷面密度为 ;
??
000 2 2 ?
?
?
?
?
? ????
?? EE
方向如图示
(c) 两极板电势差为
0
d
?
? dEdlEV B
A ???? ?
??
(d) 由电容定义有
d
S
V
QC 0 ???
(b)极板间电场为,
d
??
??
S
（ 2）球形电容器,A spherical capacitor
(a)设两极板带电量分别为 +Q,-Q，
2
04 r
QE
??
?
)
RR
(Qdr
r
QE d rV
BA
R
R
R
R
B
A
B
A
???
?
?
?
??
?
?
?
?? ????
(b)则有两极间电场为
RB
RA
Q
-Q
(c)两极板间的电势差：
AB
BA
RR
RRC
??
04 ??VQC ?
(d)代入 得,
（ 3）柱形电容器 A cylindrical capacitor RARB
l
A
B
R
R
l
C
ln
2 0??
?
r l
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
(a) 设电容器的内、外极板带有电
荷 +q 和 -q,单位长度上的电荷为
λ=q / l ；
(b)用前面已学过的知识求出两极板
间，半径为 r 处电场的值：
lr
q
rE ?? ???? ????
?
(c) 求出两极板间的电势差：
A
B
R
R
R
R
BA
R
R
l
q
dr
lr
q
E drUU
B
A
B
A
ln
22
00
????
??
??
?
?
(d) 代入电容的定义求电容值：
A
BBA
R
R
l
UU
q
C
ln
2 0??
?
?
?
RARB
l
In summary：
（ 3）柱形电容器
A
B
R
R
ln
l
C
??
?
??
RARB
l
AB
BA
RR
RRC
?
?? ? ??
（ 2）球形电容器,
RB
RA
Q
-Q
d
SC ?? ?
（ 1）平行板电容器
d
S
Using,dRR
AB ??
d
S
RR
RRC o
AB
BA ??? ?
?
? 4 0
24 RS ??
RB
RA
Q
-Q
d
S
R
d
ln
l
R
R
ln
l
C
AA
B
000
1
2 2 ?????
?
??
?
?
??
?
?
?
?? ?RS ?2?
RARB
l
Conclusion:
1).,即面积越大电容越大；SC ?
2).,即两极板越近电容越大。
dC
1?
问题,S不能无限增大,d不能无限减小 (击穿 )，怎么办？
1) 中间加一层电介质，电容变为：
0CC r??
2).电容的串和并联。
为没有电介质时的电容, 为介质的相对芥电常数,
下节讲解；
0C r?
5 — 10玻璃56甘油
3 — 6云母80纯水
3.1 — 3.5聚氯乙烯2.0 — 2.3石蜡
2.2 — 2.5变压器油1.000585空气
εr电介质εr电介质
几种常见电介质的相对介电常数
当两极间充满介电常数为 ε = ε0 εr 的均匀电介质时，
三种常见电容器的电容为：
（ 1）平行板电容器
d
SC ??
d
S
（ 3）柱形电容器
A
B
R
R
l
C
ln
2 ??
?
RARB
（ 2）球形电容器：
AB
BA
RR
RRC
?
? 4 ??
RB
RA
3.电容器的并联与串联
每个电容器的电容值是确定
的，同样，在电容器两极板间能
加的电压值也是有限度的，称为
电容器的耐压值，一旦电压大于
该值，极板间电介质的绝缘性将
可能被破坏，称为“击穿”。
在实用中，为满足电路所要求的不同电容值和
耐压值，常要将几个电容器进行相互联接，联接方
式有两种。
V
（ 1） Capacitor in parallel电容器的并联
特点：各电容器上所承受的
电压相同（不能改变耐压
值）；总电量等于各个电容
器中电量之和：
Q=Q1+Q2+Q3+…+ Qn
V=V1=V2=V3=…= Vn V
C1 Q1
C2 Q2
Cn Qn
等效电容为：
????? ?? CCVQC V
C1 Q1 C2 Q2 Cn Qn
V1 V2 Vn
V
特点：各电容中的电
量相等；各电容上电
压之和等于总电压：
Q=Q1=Q2=Q3=…= Qn
V=V1+V2+V3+…+ Vn
V
（ 2） Capacitor in series 电容器的串联
等效电容为：
????? ?? VV
Q
V
QC
nCCCC
1111
21
???? ?
§ 9-3 Polarization of the dielectrics 电介质的
极化
1.电介质的极化,
在电场中, 电介质也要受到电场的作用, 与导
体相比, 电介质中没有自由移动的电荷 。
电场
电介质
相互作用
- q0q0
如图实验, 在 q0不变请情况下, 插入电介质后, 两
极板间的电势降低, 电容增加,
为什么？
－
－
－
－
－
－
+
+
+
+
+
+
在电场作用下,电介质中出现 ‘ 电
荷 ’,使电容中的总场强减少, 电势差
降低, 电容增加；
电介质表面出现的这种电荷只
能在分子范围内移动, 与电介质
是不可分离的, 称为极化电荷或
束缚电荷 。
电介质在外电场作用下，其表面甚至内部出
现极化电荷的现象，叫做电介质的极化。
－
－
－
+
+
+
0 E?
E??
电介质中的总电场为两个电场之和：
????? ? EEE ???
束缚电荷也要产生电场,
E??
0E
?自由电荷产生的电场为,
0E
?但方向与 相反：
问题：如果是导体，情况？
－
－
－
－
－
－
+
+
+
+
+
+
－
－
－
+
+
+
0 E?
E??
按电荷分布的特点，电介质可以分为两类,无
极分子和有极分子,
+
+ +
+
－±
－ ＋
（ H2,He,N2……..) (HCl,NH3,CO……..)
电偶极子
2,Molecular theory of polarization 电介质极化的
微观机理
在进入外电场前，无极分
子的正、负电荷重心重合，没
有电偶极矩。
进入外场后, 在电场的作
用下, 正, 负电荷的中心发生
位移, 不再重合, 形成电偶极
子, 表面出现束缚电荷 。
这时极化是电荷中心相对位移的结果，称为位移极
化。
(1) polarization of nonpolar molecular无极分子的
极化
? ? ? ?
? ? ? ?
?E?
- + - + - + - +
- + - + - + - +
(2) polarization of polar molecular 有极分子的极化
进入外场前有极分子就相当
一个电偶极子，只是由于热运
动而排列无序。
进入外场后，分子受到力
矩的作用而发生偏转，电偶极
矩转向外场方向。所以，这种
极化称为转向极化。
F1
F2
?E?
1.电介质中的电场
There are free charges and bound
charges(束缚电荷 ） in the space,
and the total electric field is given
by
EEE ??? ? ???
In the internal region of a dielectrics,deduces,E??
0E
?
§ 9-4The electric field and Gauss’ law in
dielectrics电介质中的电场 有电介质时的
高斯定理 电位移
－
－
－
－
－
－
+
+
+
+
+
+
－
－
－
+
+
+
0 E?
E???? ???
?????
Take the parallel-plate capacitor as an example:
V
qC
V
qC ?
?
?
? ??
E
E
Ed
dE
V
V
C
C
r
000
0
?????
r
E
E
?
0?
Therefore:
－
－
－
－
－
－
+
+
+
+
+
+
－
－
－
+
+
+
0 E?
E???? ???
?????
We have:
0
0
0)
11( ?
?
???
??
?????
r
where is called the permittivity(介电常数 ).
r??? 0?
注意, 上面得到的总电场 E 与真空中电场 E0 的关
系式, 以及自由电荷面密度 σ0 与极化电荷面密度 σ’的
关系式, 并非普适关系式, 仅在均匀各向同性充满空
间时才成立 。
Considering that:
??
?
?
??????
?
?
?
?EEE and
?
?
??
?
?
?
?
?? ???
rr
EE
－
－
－
－
－
－
+
+
+
+
+
+
－
－
－
+
+
+
0 E?
E???? ???
?????
Example 9-2:平行板电容器的两极板上分别带有等值异号的电荷,
面密度为 9.0× 10 –6 C/m2,在两极板间充满介电常数 3.5× 10 –11
C2/（ Nm2） 的电介质, 求 （ 1） 自由电荷产生的场强； （ 2） 电介
质内的场强； （ 3） 电介质表面上的极化电荷的面密度； （ 4） 极
化电荷所产生的场强 。
解,(1)自由电荷所产生的场强（在真空中）
为
V / m101, 0 2
108, 8 5
109, 0
ε
σ
E
6
12
6
0
0
0
??
?
?
??
?
?
－
－
－
－
－
－
+
+
+
+
+
+
－
－
－
+
+
+
0 E?
E???? ???
?????
( V / m )???? ?? ???????????? ??????,..E
?
?
??
?
?
?
?
?? ???
rr
EE
（ 2）由
由（ 9-20）式得极化电荷面密度为：
???
?
?
??????
?
??
m/C.
?
?
??
?
（ 4）极化电荷所产生的场强为：
由此可见，所得的结果相同。
－
－
－
－
－
－
+
+
+
+
+
+
－
－
－
+
+
+
0 E?
E???? ???
?????
( V / m )?
?
?????????,E ??
( V / m )?? ?????????,EEE或
2.Gauss’ law in dielectrics 有介质时的高斯定理
The electric field produced by the bound charges in
a dielectric does,of course,obey(满足 ) Gauss’s law.
Hence the total electric field will obey Gauss’s law:
?
?
??
?
??
?
S
b o u n df r e e qq
SE
S
d
??
Unfortunately(不幸地 ),the bound charges are usually
not known beforehand(预先地 ),
What can we do?
我们仍以充满相对介电常数 εr 的平行板电容器为例进
行讨论：
根据真空中的高斯定理, 在
电场中任作一闭合曲面 S,通过
该闭合曲面的电通量为：
???
?
???
)(qSE 内?S d
??
其中 q（内） 是曲面内所有电荷的代数和。
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
- - - - - -
+ + + + + +
??
???
- -+
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
- - - - - -
+ + + + + +
??
???
+ + +- -
为方便计，我们取如
图的长方形闭合曲面 S,
其上、下底面与极板平行，
面积均为 A,上底面在正
极板内，下底面在电介质
内。
???
?
???
)(qSE 内?S d
??
这样, 闭合曲面 S 内的自由电荷 q 0= σ0A, 而极
化电荷 q’= － σ’A, 高斯定理写为：
)(1 0
0
AAsdE
S
??? ????? ??
代入前面已得到的，自由
电荷与极化电荷面密度间
的关系式，有：
???? AA ??
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
- - - - - -
+ + + + + +
??
???
+ + +- -
?
???? ?
?
???
rr
qA
??
? ?? ?
代入高斯定理有：
? ??S
r
qsdE
?? 0
0??
? ??S qsdE 0???
ε=ε0εr
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
- - - - - -
+ + + + + +
??
???
+ + +- -
定义电介质的介电常数与电场强度的乘积为 电位移
矢量,即：
ED ?? ??
则得到有介质时的高斯定理：
? ???S
S
qsdD 自?
?
Introducing -line and the flux of,the above
equation implies that:
D? D?
The flux of through any closed surface is
equal to the free charges only within the
surface.
D?
which is called the Gauss’s law in a dielectrics.
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
- - - - - -
+ + + + + +
??
???
- -+
（内）?? q
(1) 我们是从平行板电容器这个特例推出有电介
质的高斯定理的，但它是普遍适用的，是静电
场的基本规律之一；
Note:
电场
?
DE
??
?
(2) 电位移矢量 D 是一个辅助物理量, 真正有物
理意义的是电场强度矢量 E,引入 D 的好处是
在高斯定理的表达式中, 不出现很难处理的极化
电荷；
? ???S
S
qsdD 自?
?
(3) 与电力线的概念一样, 我们可以引入电位移线
来描述 D 矢量场, 同时计算通过任意曲面的电位
移通量, 不过要注意, D线与 E 线是不同的；
- - - - - - - -+++++++++++++++
+ + + + + + + + + +---------------
D-line
- - - - - - - -+++++++++++++++
+ + + + + + + + + +---------------
E-line
自由 ?自由 电荷 ?电荷
(5) 电位移的单位是, 库仑 每平方米,, 符号为：
C/m2, （ 这也就是电荷面密度的单位 )。
―在任意电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移通量
等于该面所包围的自由电荷的代数和”。
? ???S
S
qsdD 自?
?
用介质中的高斯定理求电场：
要求,E? 先求 ；D? 求出,D? 再求 。E?
Example 9-3,There are two point charges q1 and q2 in
a dielectrics of permittivity ?,Find the interaction
between them.
q1
q2
r
?
Solution,(1) The is given by:D?
1qSd.D
S
?? ??
2
1
4 r
qD
??
(2) The electric field produced by q1 is
2
1
4 r
qDE
??? ??
(3) Their interaction is,
2
212
4 r
qqEqf
????
Example 9-4:一金属球体, 半径为 R,带有电荷 q0,埋在均匀
,无限大, 的电介质中 （ 介电常数为 ε）, 求, （ 1） 球外任意一
点 P的场强； （ 2） 与金属球接触处的电介质表面上的极化电荷 。
解：由于电场具有球对称性，同时已知自由电荷的分
布，所以用有介质时的高斯定理来计算球外的场强是
方便的。
（ 1） 如图所示，过 P点作与金属球同心的球面 S，由
高斯定理知：
+ +
+ +S P
???? qSDS d
??
???? r
qD
?
?
?
?? r
qE
??
即
（ 2）设与金属球接触的电介质表面的极化电荷为 q’，
在球面 S内有自由电荷 q0及极化电荷 q’，根据电场的叠
加原理有
+ +
+ +S P
- - -
- --
?
?
?
?
?
?
??
?? r
q
r
qE
????
?
?
?? r
q
??
即
)(
r
qq ??????? ?
Example 9-5:如图所示, 平行板电容的极板面积为 S，
求电容？
1d
2d
1?
2?
解：
2)求 D：
??? ?ASd.D
S
??
0??D
3)两种电介质中的电场：
1
0
1
1 ?
?
? ??
DE
2
0
2
2 ?
?
? ??
DE
??1）设极板面电荷密度为 ；
4）求电势差：
2
20
1
10
2211 ?
?
?
? dddEdEV ?????
5）电容：
2112
21
2
20
1
10
00
dd
S
dd
S
V
qC
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1d
2d
1?
2?
相当于两个电容串联 !
1,Energy in capacitor:
Capacitors not only store the charges,but also
electric energy,As shown in Figure,where does
the energy of capacitor come from?
q -q
dq
Source
?U
The work done by a source is
dqCqU d qdW ???
Hence:
C
Q
C
qdqdWW QQ 2
00 2
1??? ??
§ 9 - 5 Energy of Electric Field
电场的能量
The energy is stored in capacitors so that the
energy of capacitors is
2
2
2
1
2
1
2
1 CVQV
C
QW
C ???
The above equation remain true on matter what kind
of the capacitor.
储存电能
CVQ
2,Energy of the electric field
To charge a capacitor is to produce the electric
field between two plates,Therefore,it is often useful
to consider the energy stored in a capacitor as
localized(集中, 积聚 ) in the electric field between
the capacitor plates.
V
Q
-Q
E?
电场
能量
Using and,
we have,d
SC ?? EdV ?
SdECVW C 22 2121 ???
体积VESdEW e
22
2
1
2
1 ?? ??
The energy density,the energy per unit volume,is given by
DEEw e 2121 2 ?? ?
V
Q
-Q
E?
ew
dV
DorE ??
In general,the electric energy
can be expressed as a volume
integral of,ew
??????? ???
VVV
ee D Ed VdVEdwW 2
1
2
1 2?
The integration( 积分 ) extends
over all the region where the
electric field is.
For the electrostatic field,the electric energy is
considered to be in the charges and also to be in the field.
To decode which of these alternatives(两者挑一 ) is
correct,we need some extra（ 另外 ） information.
RA
RB
r
Example 9-6:球形电容器的内, 外球面半径各为 RA 和 RB，
两球间充满介电常数为 ε的均匀电介质, 求内, 外球面各
带有电荷 +q 及 -q 时, 电容器的总能量 。
解：在两球间距离球心 r 处场强的大
小为：
??? r
qE
??
所以电场能量密度为：
?
?
?? ?Ew
e ? ??
?
?? r
q
??
在半径为 r 处，取厚度为 dr 的薄球
壳（如图），其体积为 rrV dd ??? ?
由于球壳内场强相等，电场的能量密度当然也相等，所以，
薄球壳内的电场能量为：
?????? ???
?
rrrqVwW ee ddd ???rrq d?
?
???
积分有
???? ?? ?
?
B
A
R
R
d
r
rqdWW
ee ??球壳 ?
?
?
?
???
? ???
?
?
BA RR
q
??
也可由
C
qW
e ??
?
Example 9-7 平行板 电容器带电 Q,间距 d, 缓慢拉动至 2d 。 求：
1) 电容器能量变化； 2) 外力做功,
??? dFdFA 电外外
2)外力做功
??? 初末 WWW?
解：（ 1）电容器能量的变化：
????
??
初末 C
Q
C
Q
S
dQ
?
?
??
d)E(Q 电
????
?
?
S
dQ
?
S
QE
00 22 ??
? ??
电
Example 9-8:一个充有各向同性均匀介质的平行板电
容器, 充电到 100V后与电源断开, 然后把介质从极板
间抽出, 此时极板间电势差升高到 300V,试求该介质
的相对介电常数 。
100V
Q
Q
300V
解：（ 1）设极板的面积为 S，则：
S
QddEV
r 0
1 0 0 ?????
（ 2）抽去介质后，有：
S
QddEV
0
0300 ????
因此,3?
r?
几种情况,Q
-Q
Q
-Q
W=?
Q
-Q
Q
-Q
W=?
V V
W=?