昆明理工大学：大学物理（二）：chapter12

第十二章
电 磁 感 应
§ 12-1 非静电力 电源 电动势
§ 12-2 法拉第电磁感应定律
§ 12-3 动生电动势
§ 12-4 感生电动势 涡旋电场
§ 12-5 自感和互感
§ 12-6 磁场的能量
1,掌握用法拉第定律计算感生电动势及判断方向；
2,理解感生电动势和动生电动势的产生原因；
3,理解涡旋电场与静电场的区别；
4,了解自感与互感，能计算简单回路的 L,M；
5,能计算简单磁场的磁能 Wm。
教学要求
麦克尔 ?法拉第, 1791-1867,英国物理学家、
化学家,1831发现电磁感应定律,1834年发现
电解定律，提出电场和磁场概念，还提出：电
介质、电解质、离子、阴离子、阳离子、力线、
阳极、阴极、电极、抗磁、顺磁 ……,
导言
楞次,1804-1865,俄籍德国
物理学家, 1833年总结出
楞次定理, 它表明电磁现象
也同样遵守能量转换和守恒
定律 。
约瑟夫 ? 亨利,1797-1878,
美国物理学家, 先于法拉第
发现电磁感应定律, 只是没
有及时发表, 发现自感现象 。
§ 12-1 非静电力 电源 电动
1,非静电力
图中, A,B 为电容器极板,
开始时,, 在电场力
作用下, 正电荷从 A板经导线
到了 B板与负电荷中和, 极板
上的电荷减少, 电势差减小,
很快达 V=0,瞬间电流停止 。
结论：单靠静电力不能维持
稳恒电流 。
BA VV ?
R
A B
为了维持电流, 必须使到 B板的正电荷经另一路
径回到 A极, 但静电力是阻止正电荷从低电势运动
到高电势 。
R
A B
R
A B
非F
?
?
电源的作用：提供非静电
力 把 正电荷从低电势的 B
极沿 电源内部移到 高电势的 A
极, 从而维持两极电势差 。
非F
?
非静电场
q
F
E 非非
?
?
?
2,电动势
把单位正电荷 经电源内部绕行闭合回路一周时非静
电力所作的功定义为 电源的电动势
? ?? l lE
??
d 非?
R
A B
非F
?
?
? ? ?? ）电源内（ 非AB lE
??
d ?
电动势为标量，把 电源内部 电 势升高的方向 规定为
电动势的 方向 （即从 负极经电源内部指 向 正极的 方
向 ）。
§ 12-2法拉第电磁感应定律
1,电磁感应现象
法拉第在 1831年的 8月 29日用下面的这个仪器发现了
电磁感应现；
电磁感应的演示实验 )。
日期, 10.17日期, 10.1
导线在磁场中运动 。
a
b
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
G
G
线圈 磁铁
只有当磁铁和线圈两者之间有
相对运动时 （ 一方必须相对另
一方运动 ） 回路里才会有电流
出现；当相对运动停止时电流
消失 。
在这个试验中的感应电动势和感应电流明显是
由于 某种物质 改变了而产生的 —— 但是这里的
某种物质 到底是什么呢？ 法拉第知道 ！！
相对运动
2,法拉第电磁感应定律
法拉第电磁感应定理, 用实验的术语来说就是：
当穿过回路的磁场线 （ 磁通量 ） 数目发
生变化时, 回路 （ 线圈 ） 里会有感应电动势
m?
B?
m?
?
变化
利用磁通量的概念, 我们可以用更有用的方式即定
量的方法来描述法拉第定理：
dt
d m???
正如你下面所看到的, 感应电动势与磁通量的改变
在形式上是相反的 。 因此, 法拉第定理的形式可以
写为：
dt
d m????
(SI)
负号表示相反,
B?
m?
?
增加
n?
ld?
B?
m?
?
减少
n?
ld?
楞次定理：
当穿过闭合的导线回路所包围面积的磁通量发
生变化时, 在回路中就会有感应电流, 此感应电流
的方向总是使它自己的磁场穿过回路面积的磁通量
去抵偿引起感应电流的磁通量的改变 。 感应电动势
的方向就是感应电流的方向 。
B?
m?
?
减少
n?
ld?
楞次定律,
磁通量的变化 感应电流
闭合回路中产生的感应电流具有确定
的方向，总是使感应电流所产生的通
过回路面积的磁通量，去补偿或反抗
引起感应电流的磁通量的变化。
试用 楞次定律判断上例中 感应电动势和
感应电流 的 方向。
我们改变穿过线圈或者回路的磁通量的一般方法有：
B?
m?
?
1)改变 的大小；B?
2)改变线圈或回路的面积 （ 例如,
拉宽线圈或将线圈由磁场中滑
进滑出等 ） ；
3)改变 和线圈平面之间的夹角。B?
例 12-1:如图所示，棒 ab长为 ?，沿两平行的轨道以速
度 v在均匀的磁场中 运动，求回路中的感应电动势。
B??
a
bc
d
x
解：（ 1）选回路方向 abcda;
(2)设 t时刻 da=x,计算
磁通量：
?co s)( xBtm ???
（ 3）应用 法拉第定理,有：
??? dt )t(d m??
（ 4）感应电动势的大小为,方向 。?c o svB? ab?
?c o svB???? dt
dxco sB ??
例 12-2:如图所示，棒 ab长为 ?，沿两角形的轨道以速
度 v在均匀的磁场中 运动，求回路中的感应电动势。
B?
?
a
bc
d
x
?
解：（ 1）选回路方向 abda;
(2)设 t时刻 da=x,计算
磁通量：
?? ? c o sBS)t( abdm ?
（ 3）应用 法拉第定理,有：
??? dt )t(d m?? （ 4）方向,ab?
???? ?xc o sB tg ?? ?? c o stgtBv ????
?? c o stgB tv ??
例 12-3:如图所示，长直导线中通有,旁
有一矩形线框静止不动，两长边与直导线平行，求回路中
的感应电动势。
tII ?c o s0?
r
b
x
a
dr
tcosII ???
A B
D C
解：（ 1）选回路方向 ABCDA;
(2)设 t时刻 的方向
垂直于板面向里,计算
磁通量：
B?
B b d rd m ???
drrIb)t( axxm ? ? ???? ???
b d rrI????? ?
x
axlnIb ?
???
?
?
?
（ 3）应用 法拉第定理,有：
x
axln
dt
dIb ?
??
?
?
??
（ 4）方向：随时间而变化。
r
b
x
a
dr
tcosII ???
A B
D C
x
axlnts inbI ?
???
?? ?
?
??
例 12-4:如图所示,回路电阻为 R,t1-t2时间穿过回
路的磁通量由 ?1-?2,求这段时间内穿过回路任一截
面的感应电荷量 。
???? ? ?? tt
Idtdq ?
解,（ 1） t时刻回路中的
电动势和电流为：
dt
d m????
dt
d
RI
m??? 1
（ 2） dt时间内通过的电量：
????? dtdtdRId tdq m?
所以,)(1
21 ???? RQ
R
d m??
基本步骤：
?选定回路方向；
?计算任意时刻的磁通量；
?应用法拉第定理求感应电动势及其它；
?讨论感应电动势（或电流）的方向。
1.导言
改变磁通量的方法：
说明, 为什么及其重要性。
§ 12-3 动生电动势
B?
B?
? 使导体发生运动 ( 固定 );
? 是变化的，导体是静止的；
? 是变化的，导体也是运动着的。
B?
在运动的导体的情况下,
非静电力
是什么?
a
b
G
v?
F?
洛仑兹力
动生电动势
在 B变化，导体静止的情况下：
G
非静电力
是什么?
1861年，麦克斯韦：感应电场 。nE?
nEqF
?? ? 涡旋电场力
感生电动势
2,动生电动势
a
b
G
v?
F?
导体运动 电子运动
洛仑兹力, BveF ??? ??? )(
非静电力,Bv
e
FE ???? ??
?? )(非
感应电动势,
dt
dldBvldE m???????? ?? ????? )(
非?
(1)对于导体 AB上的感应电动势,上面那个公式又可
改写为：
? ??? BA ldBv ??? )(?
(2)如果 AB没有形成一个回路, 这里也就不存在感应电
流：
B?
v?
A
B
Copper铜 Wood(木 )
No
broken
No
注意,
? ??? BA ldBv ??? )(?
(3)对导体 AB,电荷堆积在
AB两端点, 产生静电场, 平
衡后, AB相当于电源, 正负
两极的电势差为：
? ????? BAAB ldBvUU ??? )(?
?,低电势 指向 高电势，非静电力做功大小的量度；
,电场力做功大小的量度；
AB UU ?
B?
v?
A
B
a
b
G
（ 4） 如果 AB是直的,
且 如图所示的
为一个均匀磁场 。
就有：
Bldv ??? ??
vB lldBv
a
b
???? ?
???
)(?
电势 要比电势 高。
aU bU
例 12-5：例 12-3(英文版 ) 或 31-2(中文版 ).
?
0
B? v?
rd?
a
解：（ 1）选,o?a；
（ 2） oa旋转, 其上各点的速
度不同, 取 dr,有：
ld)Bv(d ??? ????
（ 3） oa上的动生电动势为：
??? ? a
o
dr)Br( ??
oaL ?
??? v B d r B rd r??
?
?
?? LB ?
（ 4） 的方向,；? oa ?
o端的电势高,a端的电势高低。
（ 5）一般情况：
?
?
B? a
b
21
?
??
ab
LobLoa
?
?
?
B? a
?
?
oa
Loa
?
例 12-6：如图, 长直导线中通有电流 I,旁有一直导
体 AB以速度 运动, 求 AB中的动生电动势, A和 B哪
点的电势高？
v?
解,(1)磁场非均匀, 不随时间变；
导体运动, 速度不变 。
(2)选,；取 dr,有：BA ?
r)Bv( ??? dd ????
(3)AB上的动生电动势：
???? ? ?b
a
drrIv ???
rrIvrvB dd ??????? ?
a
blnIv
?
?
??
?
a
b
v?
dr
r
I
A
B
(4)动生电动势的大小为：
方向：, A点电势高 。
a
bIv ln
2 0?
?? ?
AB ?
(5)一般情况：
a
b
v?
dl
r
I
A
B
?
§ 12-4 感生电动势 有旋电场
G KG
1.导言
变化的磁场
感应
电流
非静电力?非F?
试验研究表明,导体不动,磁场变化,回路中的感应
电动势与组成回路的材料性质无关,只与磁场的变化
相关,
B?
变,回路不动B?
1861年,麦克斯维认为即使
不存在导体回路,变化的磁场
会在其周围激发出一种场,变
化的磁场产生一种电场 。 他把
这种场称为,
感应电场或涡旋电场
nE
?
这是麦克斯韦为统一电磁场理论作出
的第一个重大假设 !!
涡旋电场的特点,
?与静电场的共同点就是对电荷有
相互作用,
?涡旋电场不是由电荷激发的,而是
由变化的电场所激发 ;
?涡旋电场的电力线是闭合的,不是
保守场,
B?
nE
?
nEqF
?? ?
0????
S
n SdE
??
2.感生电动势,
涡旋电场对电荷的作用力,就是
产生感生电动势的 非静电力,
t
lE mni
d
d
d
?
? ???? ?
??
所以,
B?
nE
? ld
?
注意,
(1)对于导体运动磁场也变化的情况,电荷将同时受到
洛仑兹力和 涡旋电场的作用,感应电动势由 法拉第定
理 求出,
t
m
i d
d ????
a
b
G
B变化
电动势
(2)回路不动,磁场变化,如果回路由导体组成,存在感
应电流,除与磁场的变化有关外,还决定于回路的电阻 ;
如果不是导体回路,感生电动势存在,没有感应电流,
没有电流
铜 木
3一个重要的例子,
例 13-8（ 中文书 ）,均
匀磁场 B被局限在半径为 R
的空间,磁场对时间的变化
率为,求柱体内外的
涡旋电场场强,
0?dtdB
解,(1)对称性分析,
磁场对称 ?涡旋电场对称分布
(2)如图取回路, 大小相等,
方向沿切线方向 ; nE
?
I
I
I
I
I
I ?
I ?
r
O
R
nE
?ld?
O
R
nE
?ld?
r
(3)根据法拉第定理,
tldE
m
l
ni d
d ?? ???? ? ??
nnn rElElE ????? ?? dd
??
dt
d
rE
m
n
???
?2
1
因此,
(4) 当,可得：Rr? Br
m 2???
t
BrE
n d
d
?
??
方向, 与 相反。ld?
(5) 当,可得：Rr? BR
m 2???
t
B
r
RE
n d
d
2
2
??
(6) 曲线见右图。)(rE
n
(7)方向,
0dd ?tB
逆时针
0dd ?tB
顺时针
nE
R r
方向, 与 相反。ld?
例 12-9：均匀磁场 B被局限在半径为 R的空间,磁场对
时间的变化率为,如图所示,求 AB上的感生电动势,
0?dtdB
解,(1)如图作辅助线 OA和 OB,
组成回路 OBAO;
(2)对回路 OBAO,有,
dt
d O B A
AOBAOB
?????? ?????
因为 (为什么呢?),,所以,0??
AOOB ?? ABBA ?? ??
dt
dBS
O B ABA ???? dt
dBS
O B AAB ???
A B
O
?
R
(4)利用上题的结果,可有,
(3)因为,B端的电势高 ;0?AB?
?? ??? BA nBA nAB dlEldE ?? c o s??
由同学们自己完成 !!
A B
O
R
nE
?
r
?
(5)通常,
O R
1
2
3
O R
总结,
通常, 感应电动势可以用以下三种方法来求,
(1)法拉第定理
t
m
i d
d ????
(2)在磁场不变的情况下：
? ??? ldBv ??? )(?
(3)当导体是静止时：
t
lE mni
d
dd ????? ? ???
4.涡电流
(1) 涡电流的产生
I
I前面讨论了变化的磁场要在回路中
产生感应电流 。 对于大块的金属导
体处在变化的磁场时, 导体内也会
产生感应电流, 这种电流在金属导
体内形成闭合回路, 称为涡电流 。
(2) 涡电流的热效应 I
~
根据电流的热效应, 可利
用涡电流产生热量, 如工
业中用的坩埚及电磁炉等 ;
但变压器等设备则要尽量
降低涡电流产生的损耗 。
～
～
t
B
d
d?
(3) 涡电流的电磁阻尼
如图，根据楞次定律，磁
场对涡电流的作用要阻碍
摆的运动，故使摆受到一
个阻尼力的作用。
4,电子感应加速器 (p143,p214)
§ 12-5 自感和互感
1,自感
约瑟夫 ?亨利第一个发现了自感现象：
)(tI
)(tB?
)t(m?
这就称为自感现象
I 磁 场
m?
I 变化
变化 m?感应电动势
)(tI
)(tB?
)t(m?
如图所示, 磁场 B正比于电流
I(t),磁通量也正比于电流 I。
这里：
L 称为 自感系数或自感。
)(tI
)(tB?
)t(m?
)( tIB ?
LIm ??
IB ? ?? ?? Sm SdB
???
I?m?
dddddd )tLItIL(t mL ????? ??
有法拉第定理，我们可得：
如果 L是常量,它遵循：
t
IL
L d
d???
说明 L,物理意义 。 它的单位为亨利, 用 H(SI)表示 。
)(tI
)(tB?
)t(m?
L?
)t(I
)t(B?
)t(m?
L?
(1)如果电流增大, 感应电场的方向与电流的方向相反
注意：
)t(I
)t(B?
)t(m?
L?
(2) 如果电流减小, 感应电场的方向与电流的方向一
致 。
物体的惯性 L （自感应系数）
L 取决于,
回路的大小形状及其周围的介质 (磁导率 ).
2.3米
(1) L 通常是由试验测量而得；
(2)对于特定的电路 （ 回路 ）,L可由理论的方法求得：
IL
m??
设回路电流 I,计算磁场 B,求出磁通量,得到 L.
例 12-10:(课本上例 12-6)
?
N
S
I
?
解,(1)设有电流 I,则
(2)计算通过一匝和 N匝的磁通量,
INnIB ??? ??
INSBSm ????? 1 ? SINN mmN
2
1
?????
(3)自感系数,
?? IL mN?
V是体积,a为半径 (如果横截面为圆形 ).
?
?
?
SN? ?
?
?
?? SN? ??
?
??
?
?an
Vn
??
?
2,互感
1I
2
21?
1
如图所示, 线圈 1上 变化的电流 引起了 线圈 2
上磁通的变化从而产生感应电动势 。 这种感应电动势
成为互感电动势 。
2
?I
1
???
邻近回路电流变化引起感应电动势的现象, 产生
的感应电动势称为互感电动势 。
且
我们有,
1I
2
21?
1
????? ? IM?
?? ? IB
?? ?? ??? S SdB ???
1I????
?????
??
???
??
??
??
???
?
??
IM
I
SdB
IB
S
2
?
?
?
??
可以从实验上证明
???? ?? MMM
称 M为互感系数 。
2
?I
1
???
1I
2
21?
1
t
IM
d
d ?
?? ??? t
IM
d
d ?
?? ???
如果 M是常数, 我们可以改写法拉第定理为：
1I
2
21?
1 ???
注意,
(1)M越大,两个线圈的 ‘ 感应 ’ 越大 ;
(2),体现作用与反作用的关系 ;???? ? MM
(3)M与两线圈的几何形状, 相对位置, 周围的
磁介质有关；
（ 4） M：一般实验测量；
特殊情况，可理论计算,?设某线圈中有电流 I，
产生磁场； ?计算在另一线圈中的磁通量； ?
根据公式：
?
??
?
??
???? ???? IIMMM
??
求出互感系数。
例 12-11：如图, 求长直导线与导线框之间的互感系
数 。
解：（ 1）设直导线中有电流 I1；
（ 2） I1产生磁场：
r
IB
?
?
??
???
（ 3）导线框中的磁通量：
a
blnhIdr
r
hIb
a ?
?
?
??
?????
?????
（ 4）互感系数：
a
blnh
IM ?
??
???
?
?
a
b
h
N
?
r
?M
1R
2R
?M
课本上 例 12-8
§ 12-6 磁场的能量
1,R-L 电路
如图所示, 此回路由一
个电动势为 ?的电源, 电阻
R,电感 L组成 。
解释这个实验结果：
(1) 接通, 灯泡没有马上亮起来；
(2) 切断,灯泡没有马上就熄灭；在灯泡熄灭前更亮的
闪了一下。
L
?
?K
为什么?
L
?
?K
问题,切断以后使灯泡还亮
着的能量来自何处？
答案, 这个能量是由储存在
螺旋管 （ 自感 L） 内的磁场转
化过来的 。
能量磁 场
能量守恒定理,自感为 L
的线圈载流为 I 时所储存
的磁能,
L
能量
I
B?
自感线圈中储存的磁能
L
?
1K
I
L?t时刻,
IRL ?? ??
即
IRdtdIL ???
两边同乘 Idt(=dq),得,
dtRIL Id IIdt 2???
假设在 t=0时, I=0；
在 t=t0时, 电流达到 I0。
可得：
??? ?? 000 0 200 tIt dtRIL I d II d t?
],0[ 00 0 tId tt ?? ? 电源供给的总能量；
],0[ 00 20 tdtRIt ?? R上消耗的能量，即焦耳热；
:21 200 0 LIL Id II ??
反抗自感电动势电源所作的功, 也
可理解为电感中储存的能量；显然,
L越大, 储存的能量越多 。
L
?
1K
I
L?
2,磁场的能量
?
??
?? LIW
m
认为是 I0使得电感里产生了储存能量的磁场 。
L
energy
I
B?
能量储存于一个电感中
用
VnL 2??
n
BInIB
?? ??? 00
V
B
n
B
VnLIW
m
?
?
?
2
22
2
22
0
2
1
2
1
2
1
?
??
L
能量
I
B?
体积 V
和
可得
磁场里每单位体积里存储的能量 —— 磁场的能量 （ 体 ）
密度
BHBw m
2
1
2
1 2 ??
?
即使是由螺旋管这种特殊的情
况推导出来的, 这个式子在所
有的磁场中都成立 。
B?
?
储存在磁场里的总能量为
???
???
?
?
?
?
V
V
mm
B H d V
dVwW
B?
?
例 12-12:如图, 同轴电缆载有电流 I,求单位长度内储
存的磁能 。
R1 R
2
I
I r l
dr
解,（ 1） 磁场：
212 RRRr
IB ???
?
?
212 RRRr
IH ???
?
（ 2） 磁场的能量密度：
22
2
82
1
r
IBHw
m ?
???
1
2ln
2 R
RL
?
??
单位
（ 3） 取高为单位长, 宽为 dr的薄的柱体壳,drrdV ??? 12 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
R
R
ln
I
dr
r
I
dVwW
R
R
V
mm
?
?
?
?
2
2
1 IL
单位
R1 R
2
I
I r l
dr