昆明理工大学：大学物理（二）：Chapter12(1)

第十二章 电磁感应
Chapter 12
Electromagnetic
Induction
§ 12-1 Nonelectrostatic Force Source &
Electromotive Force 非静电力 电源 电动势
§ 12-2 Faraday’s Law of Induction
电磁感应定律
§ 12-3 Motional Electromotive Force
动生电动势
§ 12-4 Induced Electric Field
感生电动势 涡旋电场
§ 12-5 Self-induction & Mutual-induction
自感和互感
§ 12-6 Energy of the Magnetic Field 磁场的能量
1,掌握用法拉第定律计算感生电动势及判断方向；
2,理解感生电动势和动生电动势的产生原因；
3,理解涡旋电场与静电场的区别；
4,了解自感与互感，能计算简单回路的 L,M；
5,能计算简单磁场的磁能 Wm。
教学要求
Michael Faraday,1791-1867,英国物理学家、
化学家,1831发现电磁感应定律,1834年发现
电解定律，提出电场和磁场概念，还提出：电
介质、电解质、离子、阴离子、阳离子、力线、
阳极、阴极、电极、抗磁、顺磁 ……,
Introduction
Lenz:1804-1865,俄籍德国
物理学家, 1833年总结出
lenz law,它表明电磁现象
也同样遵守能量转换和守恒
定律 。
Joseph Henry:1797-1878,
美国物理学家, 先于
Faraday发现电磁感应定律,
只是没有及时发表, 发现自
感现象 。
§ 12-1 Nonelectrostatic Force Source &
Electromotive Force
非静电力 电源 电动
1,Nonelectrostatic Force非静电力
图中, A,B 为电容器极板,
开始时,, 在电场力
作用下, 正电荷从 A板经导线
到了 B板与负电荷中和, 极板
上的电荷减少, 电势差减小,
很快达 V=0,瞬间电流停止 。
结论：单靠静电力不能维持
稳恒电流 。
BA VV ?
R
A B
为了维持电流, 必须使到 B板的正电荷经另一路
径回到 A极, 但静电力是阻止正电荷从低电势运动
到高电势 。
R
A B
R
A B
非F
?
?
电源的作用：提供非静电
力 把 正电荷从低电势的 B
极沿 电源内部移到 高电势的 A
极, 从而维持两极电势差 。
非F
?
Nonelectrostatic Field
q
F
E 非非
?
?
?
2,Electromotive Force 电动势
把单位正电荷 经电源内部绕行闭合回路一周时非静
电力所作的功定义为 电源的电动势
? ?? l lE
??
d 非?
R
A B
非F
?
?
? ? ?? ）电源内（ 非AB lE
??
d ?
电动势为标量，把 电源内部 电 势升高的方向 规定为
电动势的 方向 （即从 负极经电源内部指 向 正极的 方
向 ）。
§ 12-2 Faraday’s Law of Induction
电磁感应定律
1,Induction phenomena 电磁感应现象
In 1831.8.29 Faraday used the following
apparatus( 仪器 ） to find the electromagnetic
induction:
Demonstration experiments( 演示实验 )of the
electromagnetic induction.
Date,10.17Date,10.1
A conductor is
moving in a magnetic
field.
a
b
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
G
G
Coils线圈 magnet
A current appears only if
there is relative motion between
the coil and the magnet( one
must move relative to the other);
the current disappears when
the relative motion between
them ceases(终, 停止 ） 。
The induced emf(electromotive force电动势 ） and
induced current in these experiments are apparently
caused when something changes--but what is that
something?,Faraday knew!!
Relative motion
2.Faraday’s Law of Induction法拉第电磁感应定律
Faraday’s law of induction,stated in terms of above
experiments,is this:
An emf is induced in the loop(coils) when the
number of magnetic field lines (magnetic
flux )that pass through the loop is
changing.m
?
B?
m?
?
changing
With the notion of magnetic flux,we can state
Faraday’s law in a more quantitative(定量的 ） and
useful way:
dt
d m???
As you will see in the following,the induced emf
tends to oppose the flux change,so Faraday’s law is
formally written as
dt
d m????
(SI)
The minus sign(负号） indicates that opposition:
B?
m?
?
increasing
n?
ld?
B?
m?
?
decreasing
n?
ld?
Lenz’s Law:
An induced current has a direction such that the
magnetic field due to the current opposes the
change in the magnetic flux that induces the
current.The direction of an induced emf is that of
the induced current.
B?
m?
?
decreasing
n?
ld?
楞次定律,
磁通量的变化 感应电流
闭合回路中产生的感应电流具有确定
的方向，总是使感应电流所产生的通
过回路面积的磁通量，去补偿或反抗
引起感应电流的磁通量的变化。
试用 楞次定律判断上例中 感应电动势和
感应电流 的 方向。
The general means by which we can change the
magnetic flux through a coil or loop:
B?
m?
?
1)Change the magnitude of ; B?
2)Change the area of the coil or
loop(for example,by expanding
the coil or sliding it in or out of
the field);
3)Change the angle between the direction of and the
area of the coil.
B?
Example 12-1:如图所示，棒 ab长为 ?，沿两平行的轨
道以速度 v在均匀的磁场中 运动，求回路中的感应电动
势。 B?
?
a
bc
d
x
解：（ 1）选回路方向 abcda;
(2)设 t时刻 da=x,计算
磁通量：
?co s)( xBtm ???
（ 3）应用 Faraday’s law,有：
??? dt )t(d m??
（ 4）感应电动势的大小为,方向 。?c o svB? ab?
?c o svB???? dt
dxco sB ??
Example 12-2:如图所示，棒 ab长为 ?，沿两角形的轨
道以速度 v在均匀的磁场中 运动，求回路中的感应电动
势。 B?
?
a
bc
d
x
?
解：（ 1）选回路方向 abda;
(2)设 t时刻 da=x,计算
磁通量：
?? ? c o sBS)t( abdm ?
（ 3）应用 Faraday’s law,有：
??? dt )t(d m?? （ 4）方向,ab?
???? ?xc o sB tg ?? ?? c o stgtBv ????
?? c o stgB tv ??
Example 12-3:如图所示，长直导线中通有,
旁有一矩形线框静止不动，两长边与直导线平行，求回路
中的感应电动势。
tII ?c o s0?
r
b
x
a
dr
tcosII ???
A B
D C
解：（ 1）选回路方向 ABCDA;
(2)设 t时刻 的方向
垂直于板面向里,计算
磁通量：
B?
B b d rd m ???
drrIb)t( axxm ? ? ???? ???
b d rrI????? ?
x
axlnIb ?
???
?
?
?
（ 3）应用 Faraday’s law,有：
x
axln
dt
dIb ?
??
?
?
??
（ 4）方向：随时间而变化。
r
b
x
a
dr
tcosII ???
A B
D C
x
axlnts inbI ?
???
?? ?
?
??
Example 12-4:如图所示,回路电阻为 R,t1-t2时间穿
过回路的磁通量由 ?1-?2,求这段时间内穿过回路任
一截面的感应电荷量 。
???? ? ?? tt
Idtdq ?
解,（ 1） t时刻回路中的
电动势和电流为：
dt
d m????
dt
d
RI
m??? 1
（ 2） dt时间内通过的电量：
????? dtdtdRId tdq m?
所以,)(1
21 ???? RQ
R
d m??
基本步骤：
?选定回路方向；
?计算任意时刻的磁通量；
?应用 Faraday’s law求感应电动势及其它；
?讨论感应电动势（或电流）的方向。
1.Introduction
Means to lead to the change of magnetic flux:
B?
B?
B?
? By the motion of conductor( steady);
? is varying and conductor is at rest;
? is varying and conductor is moving.
Explain,why and importance.
§ 12-3 Motional Electromotive Force
动生电动势
In the case of the motion of conductor:
Non-electrostatic Force
What?
a
b
G
v?
F?
Lorentz force
Motional Electromotive Force
动生电动势
In the case of B varying and conductor at rest:
G
Non-electrostatic Force
What?
In 1861,Maxwell,induced electric field,nE?
nEqF
?? ? 涡旋电场力
感生电动势
2,Motional Electromotive Force 动生电动势
a
b
G
v?
F?
导体运动 电子运动
Lorentz force,BveF ??? ??? )(
非静电力,Bv
e
FE ???? ??
?? )(非
Induced emf:
dt
dldBvldE m???????? ?? ????? )(
非?
(1)For the conductor AB,the above formula can been
rewritten as,
? ??? BA ldBv ??? )(?
(2)If AB does not form a loop,there is not any induced
current:
B?
v?
A
B
Copper铜 Wood(木 )
No
broken
No
Note:
? ??? BA ldBv ??? )(?
(3)对导体 AB,电荷堆积在
AB两端点, 产生静电场, 平
衡后, AB相当于电源, 正负
两极的电势差为：
? ????? BAAB ldBvUU ??? )(?
?,低电势 指向 高电势，非静电力做功大小的量度；
,电场力做功大小的量度；
AB UU ?
B?
v?
A
B
a
b
G
（ 4） If AB is straight
(直的 )and that
is uniform as shown in
Figure,We have:
Bldv ??? ??
vB lldBv
a
b
???? ?
???
)(?
The potential is higher than,
aU bU
Example 12-5, Example 12-3(English) or 31-
2(Chinese).
?
0
B? v?
rd?
a
解：（ 1）选,o?a；
（ 2） oa旋转, 其上各点的速
度不同, 取 dr,有：
ld)Bv(d ??? ????
（ 3） oa上的动生电动势为：
??? ? a
o
dr)Br( ??
oaL ?
??? v B d r B rd r??
?
?
?? LB ?
（ 4） 的方向,；? oa ?
o端的电势高,a端的电势高低。
（ 5）一般情况：
?
?
B? a
b
21
?
??
ab
LobLoa
?
?
?
B? a
?
?
oa
Loa
?
Example 12-6：如图, 长直导线中通有电流 I,旁有
一直导体 AB以速度 运动, 求 AB中的动生电动势, A
和 B哪点的电势高？
v?
解,(1)磁场非均匀, 不随时间变；
导体运动, 速度不变 。
(2)选,；取 dr,有：BA ?
r)Bv( ??? dd ????
(3)AB上的动生电动势：
???? ? ?b
a
drrIv ???
rrIvrvB dd ??????? ?
a
blnIv
?
?
??
?
a
b
v?
dr
r
I
A
B
(4)动生电动势的大小为：
方向：, A点电势高 。
a
bIv ln
2 0?
?? ?
AB ?
(5)一般情况：
a
b
v?
dl
r
I
A
B
?
§ 12-4 Induced Electromotive Force 感生电动势
Induced Electric Fields 有旋电场
G KG
1.Introduction
Varying magnetic field
Induced
current
Non-electro-
static?
非F
?
试验研究表明,导体不动,磁场变化,回路中的感应
电动势与组成回路的材料性质无关,只与磁场的变化
相关,
B?
变,回路不动B?
1861年,Maxwell认为即使不
存在导体回路,变化的磁场会
在 其 周 围 激 发 出 一 种 场,A
changing magnetic field
produces an electric field.
他把这种场称为,
感应电场或涡旋电场
nE
?
这是 Maxwell为统一电磁场理论作出的
第一个重大假设 !!
涡旋电场的特点,
?与静电场的共同点就是对电荷有
相互作用,
?涡旋电场不是由电荷激发的,而是
由变化的电场所激发 ;
?涡旋电场的电力线是闭合的,不是
保守场,
B?
nE
?
nEqF
?? ?
0????
S
n SdE
??
2.感生电动势,
涡旋电场对电荷的作用力,就是
产生感生电动势的 非静电力,
t
lE mni
d
d
d
?
? ???? ?
??
所以,
B?
nE
? ld
?
Note:
(1)对于导体运动磁场也变化的情况,电荷将同时受到
Lorentz force and涡旋电场的作用,感应电动势由
Faraday’s law求出,
t
m
i d
d ????
a
b
G
B变化
(2)回路不动,磁场变化,如果回路由导体组成,存在感
应电流,除与磁场的变化有关外,还决定于回路的电阻 ;
如果不是导体回路,感生电动势存在,没有感应电流,
No current
Copper铜 Wood(木 )emf
3.An important example:
Example 13-8 （ 中文
书 ）,均匀磁场 B被局限在
半径为 R的空间,磁场对时
间的变化率为,求柱
体内外的 涡旋电场场强,
0?dtdB
解,(1)对称性分析,
磁场对称 ?涡旋电场对称分布
(2)如图取回路, 大小相等,
方向沿切线方向 ; nE
?
I
I
I
I
I
I ?
I ?
r
O
R
nE
?ld?
O
R
nE
?ld?
r
(3)According to Faraday’s law:
tldE
m
l
ni d
d ?? ???? ? ??
nnn rElElE ????? ?? dd
??
dt
d
rE
m
n
???
?2
1
Therefore:
(4)When,and we haveRr ? Br
m 2???
t
BrE
n d
d
?
??
Direction,opposite to, ld?
(5)When,and we haveRr ? BR
m 2???
Direction,opposite to, ld?
t
B
r
RE
n d
d
2
2
??
(6) is shown in Figure.)(rE
n
(7)directions:
0dd ?tB
Anticlockwise(逆时针 )
0dd ?tB
clockwise(顺时针 )
nE
R r
Example 12-9:均匀磁场 B被局限在半径为 R的空间,磁
场对时间的变化率为,如图所示,求 AB上的感生电
动势,
0?dtdB
解,(1)如图作辅助线 OA和 OB,
组成回路 OBAO;
(2)对回路 OBAO,有,
dt
d O B A
AOBAOB
?????? ?????
因为 (Why?),,所以,0??
AOOB ?? ABBA ?? ??
dt
dBS
O B ABA ???? dt
dBS
O B AAB ???
A B
O
?
R
(4)利用上题的结果,可有,
(3)因为,B端的电势高 ;0?AB?
?? ??? BA nBA nAB dlEldE ?? c o s??
By yourself!!
A B
O
R
nE
?
r
?
(5)In general:
O R
1
2
3
O R
Summary:
In general,the following three methods can be
accepted to find the induced emf:
(1)Faraday’s law
t
m
i d
d ????
(2)For the case in which magnetic field is not varying:
? ??? ldBv ??? )(?
(3)When the conductor is at rest:
t
lE mni
d
dd ????? ? ???
4.Vortex Current 涡电流
(1) 涡电流的产生
I
I前面讨论了变化的磁场要在回路中
产生感应电流 。 对于大块的金属导
体处在变化的磁场时, 导体内也会
产生感应电流, 这种电流在金属导
体内形成闭合回路, 称为涡电流 。
(2) 涡电流的热效应 I
~
根据电流的热效应, 可利
用涡电流产生热量, 如工
业中用的坩埚及电磁炉等 ;
但变压器等设备则要尽量
降低涡电流产生的损耗 。
～
～
t
B
d
d?
(3) 涡电流的电磁阻尼
如图，根据楞次定律，磁
场对涡电流的作用要阻碍
摆的运动，故使摆受到一
个阻尼力的作用。
4,Betatron 感应加速器 (p143,p214)
§ 12-5 Self-induction & Mutual-induction
自感和互感
1,Self-induction 自感
It was Joseph Henry who first discovered the self-
induction:
)(tI
)(tB?
)t(m?
which is called the self-induction.
I Magnetic field
m?
I Vary
varym?Induced emf
)(tI
)(tB?
)t(m?
As shown in Figure,since
magnetic field B is proportional
to the current I(t),the magnetic
flux is also proportional to the
current I,That is:
where L is called the self-inductance(自感系数或自感 ).
)(tI
)(tB?
)t(m?
)(tIB ?
LIm ??
IB ? ?? ?? Sm SdB
???
I?m?
dddddd )tLItIL(t mL ????? ??
From Faraday’s law,we have:
If L is constant,it follows that:
t
IL
L d
d???
Explain L,physical meaning,Its unit is Henry
denoted to H(SI).
)(tI
)(tB?
)t(m?
L?
)t(I
)t(B?
)t(m?
L?
(1) If the current is increasing,the direction of the
induced field is opposite to that of the current;
Note:
)t(I
)t(B?
)t(m?
L?
(2) If the current is decreasing,the direction of the
induced field is in the same direction as the current.
Inertia of body L of inductance
L 取决于,
回路的大小形状及其周围的介质 (磁导率 ).
2.3米
(1) L is determined usually by the experimental
measurements;
(2)For particular circuits(电路,回路 ),L can be obtained
by the theoretical method:
IL
m??
设回路电流 I,计算磁场 B,求出磁通量,得到 L.
Example 12-10:(example 12-6 in text)
?
N
S
I
?
解,(1)设有电流 I,则
(2)计算通过一匝和 N匝的磁通量,
INnIB ??? ??
INSBSm ????? 1 ? SINN mmN
2
1
?????
(3)自感系数,
?? IL mN?
V是体积,a为半径 (如果横截面为圆形 ).
?
?
?
SN? ?
?
?
?? SN? ??
?
??
?
?an
Vn
??
?
2,Mutual(相互的 ;彼此的 )-induction 互感
1I
2
21?
1
As shown in Figure,the variation in flux of coil 2 is
brought about by a varying current in circuit 1
and then the induced emf is produced,which is called
mutual induction.
2
?I
1
???
邻近回路电流变化引起感应电动势的现象, 产生
的感应电动势称为互感电动势 。
and
We have:
1I
2
21?
1
????? ? IM?
?? ? IB
?? ?? ??? S SdB ???
1I????
?????
??
???
??
??
??
???
?
??
IM
I
SdB
IB
S
2
?
?
?
??
It can be proved experimentally that
???? ?? MMM
which is called mutual inductance.
2
?I
1
???
1I
2
21?
1
t
IM
d
d ?
?? ??? t
IM
d
d ?
?? ???
If M is constant,we can obtain from Faraday’s law:
1I
2
21?
1 ???
Note:
(1)M越大,两个线圈的 ‘ 感应 ’ 越大 ;
(2),体现作用与反作用的关系 ;???? ? MM
(3)M与两线圈的几何形状, 相对位置, 周围的
磁介质有关；
（ 4） M：一般实验测量；
特殊情况，可理论计算,?设某线圈中有电流 I，
产生磁场； ?计算在另一线圈中的磁通量； ?
根据公式：
?
??
?
??
???? ???? IIMMM
??
求出互感系数。
Example 12-11：如图, 求长直导线与导线框之间的
互感系数 。
解：（ 1）设直导线中有电流 I1；
（ 2） I1产生磁场：
r
IB
?
?
??
???
（ 3）导线框中的磁通量：
a
blnhIdr
r
hIb
a ?
?
?
??
?????
?????
（ 4）互感系数：
a
blnh
IM ?
??
???
?
?
a
b
h
N
?
r
?M
1R
2R
?M
Example 12-8 in the text.
§ 12-6 Energy stored in a magnetic field
磁场的能量
1.The R-L circuit
As shown in Figure,the
circuit is consist of a source
of emf ?,a resistor R(电阻 ）
and an inductor L。
Explain the experimental results:
(1) Switch on,the bulb no immediately shine;
(2) Switch off:no immediately die out; there is a strong
flash of lightning before the light die out,
L
?
?K
Why?
L
?
?K
Problem,Where does the
energy of the light come from
after switch off?
Answer,the energy of the
light is transformed from the
energy of the magnetic field
stored in the solenoid
( inductor L).
energy
Magnetic
field
The law of conservation
of energy,自感为 L的线
圈载流为 I 时所储存的磁
能, L
energy
I
B?
Energy stored in an inductor 自感线圈中储存的磁能
L
?
1K
I
L?At time t:
IRL ?? ??
That is
IRdtdIL ???
Multiplied(乘） by Idt(=dq),we have:
dtRIL Id IIdt 2???
Assuming that at t=0 I=0
and the current reaches I0 at
t=t0,we can obtain
??? ?? 000 0 200 tIt dtRIL I d II d t?
],0[ 00 0 tId tt ?? ? 电源供给的总能量；
],0[ 00 20 tdtRIt ?? R上消耗的能量，即焦耳热；
:21 200 0 LIL Id II ??
反抗自感电动势电源所作的功, 也
可理解为电感中储存的能量；显然,
L越大, 储存的能量越多 。
L
?
1K
I
L?
2,Energy stored in magnetic field 磁场的能量
?
??
?? LIW
m
is considered as the energy stored in the magnetic
field set up in the inductor by the current I0,
L
energy
I
B?
The energy stored in an inductor
Using
VnL 2??
n
BInIB
?? ??? 00
V
B
n
B
VnLIW
m
?
?
?
2
22
2
22
0
2
1
2
1
2
1
?
??
L
energy
I
B?
Volume V
and
we have
The density of magnetic energy( that is the energy
stored per unit volume of the field) 磁场的能量 （ 体 ）
密度
BHBw m
2
1
2
1 2 ??
?
which holds（ 成立 ） for all
magnetic fields even though we
derived it by considering the
special case of a solenoid.
B?
?
The total energy stored in the magnetic field is
given by
???
???
?
?
?
?
V
V
mm
B H d V
dVwW
B?
?
Example 12-12:如图, 同轴电缆载有电流 I,求单位长
度内储存的磁能 。
R1 R
2
I
I r l
dr
解,（ 1） 磁场：
212 RRRr
IB ???
?
?
212 RRRr
IH ???
?
（ 2） 磁场的能量密度：
22
2
82
1
r
IBHw
m ?
???
1
2ln
2 R
RL
?
??
单位
（ 3） 取高为单位长, 宽为 dr的薄的柱体壳,drrdV ??? 12 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
R
R
ln
I
dr
r
I
dVwW
R
R
V
mm
?
?
?
?
2
2
1 IL
单位
R1 R
2
I
I r l
dr