第九章 静电场中的导体和
电介质
§ 9-1 静电场中的导体 静电感应
§ 9-3 电介质的极化
§ 9-4 电介质中的电场
有电介质时的高斯定理 电位移
§ 9-5 电 场的能量
§ 9-2 电容器 电容器的并联和串联
1.掌握导体静电平衡条件，能用该条件分析带电导
体在静电场中的电荷分布；求解有导体存在时场
强与电势的分布问题；
2,了解电介质的极化机理，了解电位移矢量的物理
意义及有电介质时的高斯定理；
3,理解电容的定义，能计算简单形状电容器的电容；
4,理解带电体相互作用能，计算简单对称情况下的
电场能量。
教学要求
主要研究
（ 1） 电场对导体和电介质的作用；
（ 2） 导体和电介质对电场的影响；
从导电性来讲，物质可分为三类：
导体, 半导体和绝缘体 。
Introduction
本章主要讨论导体和绝缘体与电场之间的相互作用。
对于半导体，有专门的书讲解。
1,导体的性质,
导体中有许多自由电子, 它
们可在导体中随机运动 。
ee e
e eee
e
§ 9-1 静电场中的导体 静电感应
?金属导体由带正电的晶
体点阵和可以在导体中
移动的自由电子组成。
2.静电 感应和 静电平衡
1）,静电 感应
e e e e e
e e
e
e e e eee e
e
导体置于电场中，
其上的电荷重新分布
的现象，称为静电感
应。
2）静电平衡
当导体中的电荷静止, 电场恒定时, 导体处于静
电平衡 。
e e e e
ee
e e No charge moves!
导体静电平衡的条件,
(2) 导体外表面,?E?
(1) 导体中处处如此0?E?
e e e e
ee
e e
E?
E?
0?E?
推论,
导体是等势体, 其表面是等势面,
e e e e
ee
e e
CU ?
3,静电平衡时电荷的分布
1),实心导体（即导体内没有 空腔 ）
----
--
- ++
++
+
+
+
e?
（ 1） 导体内处处没有未抵消的净电荷,
电荷只分布在导体的表面；
??
?
???
iqSES ?
??
d
????? ? S SEE ???? d 内
??? ? iq
（ 2）导体表面上电荷密度与表面处场强的关系：
??
小柱体面
Sd.E ??
EorE 0
0
???? ??
σ △ S
导体表面上的电场强度 与电荷面密度 成正比。
表E
?SE?
??
?? S
?
?
?
S
q
（ 3）导体表面曲率对电荷分布的影响：
凸而尖锐的处 （ 曲率大 ）, 电荷就比较密集；
表面凹进去的地方 （ 曲率为负 ）, ?较小 。
+ ++
++ +
++
+
+
+ +
+
+
+
+
+
++++
++
+
+
+－
+金属导体
接感应
起电机 蜡
烛
尖端放电
2）导体壳
（ 1）腔内无带电体
? 导体壳的内表面上处处没有净电荷，电荷只分布
在外表面；
? 空腔内没有电场 ;
? 空腔内的电势处处相等。
（ 2）腔内有带电体：
导体壳内表面所带电荷与
腔内电荷的代数和为零。
Q-Q
静电屏蔽
Q-Q
高斯面
静电屏蔽
Example 9-1:如图, 导体 B带电 3C,导替壳 A带电 5C。
问静电平衡后, A的外表面带电多少？
B:3C
A
-3C
Q ?外
解：
)C(Q 835 ???外
1,电容器和电容
电容器是用以储藏电荷或电能的装置,
实际中如此吗？?
dq
导体
§ 9-2 电容 电 容器的串联和并联
如果空间中 A,B 两导体相距足够
近, 当其中一块导体带有电量 q 时,发
出的电力线几乎都终止于另一块导体
上, 即他们总带有等量异号的电荷,
我们称这两块导体组成一个电容器,导
体 A,B 称为电容器的两个极板 。
BA
+
+
+
+
+
+
－
－
－
－
－
+q
-q
设此时两个极板间电势 差为 V，则该电容器的电容
定义为
V
q
BUAU
qC ?
??
UA UB
q -q
记号
C=Q/V 是一个与仅与导体形状大小和周围电介
质有关的量，电容的单位为法拉，符号为 F
一般来讲，法拉这个单位太大，通常用微法（ μF）
或皮法（ pF）为单位
1F=106μF=1012 pF
1F=1C / 1V
常见的电容器，按其极板的形状有：平行板
电容器、球形电容器和柱形电容器等。
按其中的电介质分有：真空电容器, 空气电
容器, 云母电容器, 陶瓷电容器, …,..
按其电容值：可变电容器和固定电容器。
下面将证明：电容器的电容值，仅决定于电容
器的性质，即极板的形状、大小、相互距离以及板
间所充的电介质，与是否带电等无关。
2,几种常见电容器的电容值：
（ 1）平行板电容器 A parallel plate capacitor
d
SC 0??
d
S求解电容器步骤如下
(a) 设两极板电荷面密度为 ;
??
000 2 2 ?
?
?
?
?
? ????
?? EE
方向如图示
(c) 两极板电势差为
0
d
?
? dEdlEV B
A ???? ?
??
(d) 由电容定义有
d
S
V
QC 0 ???
(b)极板间电场为,
d
??
??
S
（ 2）球形电容器,A spherical capacitor
(a)设两极板带电量分别为 +Q,-Q，
2
04 r
QE
??
?
)
RR
(Qdr
r
QE d rV
BA
R
R
R
R
B
A
B
A
???
?
?
?
??
?
?
?
?? ????
(b)则有两极间电场为
RB
RA
Q
-Q
(c)两极板间的电势差：
AB
BA
RR
RRC
??
04 ??VQC ?
(d)代入 得,
（ 3）柱形电容器 A cylindrical capacitor RARB
l
A
B
R
R
l
C
ln
2 0??
?
r l
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
(a) 设电容器的内、外极板带有电
荷 +q 和 -q,单位长度上的电荷为
λ=q / l ；
(b)用前面已学过的知识求出两极板
间，半径为 r 处电场的值：
lr
q
rE ?? ???? ????
?
(c) 求出两极板间的电势差：
A
B
R
R
R
R
BA
R
R
l
q
dr
lr
q
E drUU
B
A
B
A
ln
22
00
????
??
??
?
?
(d) 代入电容的定义求电容值：
A
BBA
R
R
l
UU
q
C
ln
2 0??
?
?
?
RARB
l
总结,
（ 3）柱形电容器
A
B
R
R
ln
l
C
??
?
??
RARB
l
AB
BA
RR
RRC
?
?? ? ??
（ 2）球形电容器,
RB
RA
Q
-Q
d
SC ?? ?
（ 1）平行板电容器
d
S
利用,dRR
AB ??
d
S
RR
RRC o
AB
BA ??? ?
?
? 4 0
24 RS ??
RB
RA
Q
-Q
d
S
R
d
ln
l
R
R
ln
l
C
AA
B
000
1
2 2 ?????
?
??
?
?
??
?
?
?
?? ?RS ?2?
RARB
l
结论：
1).,即面积越大电容越大；SC ?
2).,即两极板越近电容越大。
dC
1?
问题,S不能无限增大,d不能无限减小 (击穿 )，怎么办？
1) 中间加一层电介质，电容变为：
0CC r??
2).电容的串和并联。
为没有电介质时的电容, 为介质的相对芥电常数,
下节讲解；
0C r?
5 — 10玻璃56甘油
3 — 6云母80纯水
3.1 — 3.5聚氯乙烯2.0 — 2.3石蜡
2.2 — 2.5变压器油1.000585空气
εr电介质εr电介质
几种常见电介质的相对介电常数
当两极间充满介电常数为 ε = ε0 εr 的均匀电介质时，
三种常见电容器的电容为：
（ 1）平行板电容器
d
SC ??
d
S
（ 3）柱形电容器
A
B
R
R
l
C
ln
2 ??
?
RARB
（ 2）球形电容器：
AB
BA
RR
RRC
?
? 4 ??
RB
RA
3.电容器的并联与串联
每个电容器的电容值是确定
的，同样，在电容器两极板间能
加的电压值也是有限度的，称为
电容器的耐压值，一旦电压大于
该值，极板间电介质的绝缘性将
可能被破坏，称为“击穿”。
在实用中，为满足电路所要求的不同电容值和
耐压值，常要将几个电容器进行相互联接，联接方
式有两种。
V
（ 1） 电容器的并联
特点：各电容器上所承受的
电压相同（不能改变耐压
值）；总电量等于各个电容
器中电量之和：
Q=Q1+Q2+Q3+…+ Qn
V=V1=V2=V3=…= Vn V
C1 Q1
C2 Q2
Cn Qn
等效电容为：
????? ?? CCVQC V
C1 Q1 C2 Q2 Cn Qn
V1 V2 Vn
V
特点：各电容中的电
量相等；各电容上电
压之和等于总电压：
Q=Q1=Q2=Q3=…= Qn
V=V1+V2+V3+…+ Vn
V
（ 2） 电容器的串联
等效电容为：
????? ?? VV
Q
V
QC
nCCCC
1111
21
???? ?
§ 9-3 电介质的极化
1.电介质的极化,
在电场中, 电介质也要受到电场的作用, 与导
体相比, 电介质中没有自由移动的电荷 。
电场
电介质
相互作用
- q0q0
如图实验, 在 q0不变请情况下, 插入电介质后, 两
极板间的电势降低, 电容增加,
为什么？
－
－
－
－
－
－
+
+
+
+
+
+
在电场作用下,电介质中出现 ‘ 电
荷 ’,使电容中的总场强减少, 电势差
降低, 电容增加；
电介质表面出现的这种电荷只
能在分子范围内移动, 与电介质
是不可分离的, 称为极化电荷或
束缚电荷 。
电介质在外电场作用下，其表面甚至内部出
现极化电荷的现象，叫做电介质的极化。
－
－
－
+
+
+
0 E?
E??
电介质中的总电场为两个电场之和：
????? ? EEE ???
束缚电荷也要产生电场,
E??
0E
?自由电荷产生的电场为,
0E
?但方向与 相反：
问题：如果是导体，情况？
－
－
－
－
－
－
+
+
+
+
+
+
－
－
－
+
+
+
0 E?
E??
按电荷分布的特点，电介质可以分为两类,无
极分子和有极分子,
+
+ +
+
－±
－ ＋
（ H2,He,N2……..) (HCl,NH3,CO……..)
电偶极子
2,电介质极化的微观机理
在进入外电场前，无极分
子的正、负电荷重心重合，没
有电偶极矩。
进入外场后, 在电场的作
用下, 正, 负电荷的中心发生
位移, 不再重合, 形成电偶极
子, 表面出现束缚电荷 。
这时极化是电荷中心相对位移的结果，称为位移极
化。
(1) 无极分子的极化
? ? ? ?
? ? ? ?
?E?
- + - + - + - +
- + - + - + - +
(2) 有极分子的极化
进入外场前有极分子就相当
一个电偶极子，只是由于热运
动而排列无序。
进入外场后，分子受到力
矩的作用而发生偏转，电偶极
矩转向外场方向。所以，这种
极化称为转向极化。
F1
F2
?E?
1.电介质中的电场
空间中有自由电子和 束缚电荷,
总电场为
EEE ??? ? ???
在介质的内部区域,削弱E?? 0E?
§ 9-4电介质中的电场 有电介质时的高斯定理
电位移
－
－
－
－
－
－
+
+
+
+
+
+
－
－
－
+
+
+
0 E?
E???? ???
?????
以平行板电容器为例,
V
qC
V
qC ?
?
?
? ??
E
E
Ed
dE
V
V
C
C
r
000
0
?????
r
E
E
?
0?
因此,
－
－
－
－
－
－
+
+
+
+
+
+
－
－
－
+
+
+
0 E?
E???? ???
?????
有,
0
0
0)
11( ?
?
???
??
?????
r
其中 叫做介电常数,
r??? 0?
注意, 上面得到的总电场 E 与真空中电场 E0 的关
系式, 以及自由电荷面密度 σ0 与极化电荷面密度 σ’的
关系式, 并非普适关系式, 仅在均匀各向同性充满空
间时才成立 。
考虑到,
??
?
?
??????
?
?
?
?EEE 和
?
?
??
?
?
?
?
?? ???
rr
EE
－
－
－
－
－
－
+
+
+
+
+
+
－
－
－
+
+
+
0 E?
E???? ???
?????
Example 9-2:平行板电容器的两极板上分别带有等值异号的电荷,
面密度为 9.0× 10 –6 C/m2,在两极板间充满介电常数 3.5× 10 –11
C2/（ Nm2） 的电介质, 求 （ 1） 自由电荷产生的场强； （ 2） 电介
质内的场强； （ 3） 电介质表面上的极化电荷的面密度； （ 4） 极
化电荷所产生的场强 。
解,(1)自由电荷所产生的场强（在真空中）
为
V / m101, 0 2
108, 8 5
109, 0
ε
σ
E
6
12
6
0
0
0
??
?
?
??
?
?
－
－
－
－
－
－
+
+
+
+
+
+
－
－
－
+
+
+
0 E?
E???? ???
?????
( V / m )???? ?? ???????????? ??????,..E
?
?
??
?
?
?
?
?? ???
rr
EE
（ 2）由
由（ 9-20）式得极化电荷面密度为：
???
?
?
??????
?
??
m/C.
?
?
??
?
（ 4）极化电荷所产生的场强为：
由此可见，所得的结果相同。
－
－
－
－
－
－
+
+
+
+
+
+
－
－
－
+
+
+
0 E?
E???? ???
?????
( V / m )?
?
?????????,E ??
( V / m )?? ?????????,EEE或
2,有介质时的高斯定理
介质中束缚电荷产生的电场, 当然, 满足高斯定理 。
因此总电场也满足高斯定理,
?
?
??
?
??
?
S
b o u n df r e e qq
SE
S
d
??
不幸地,通常, 预先并不知道束缚电荷,
怎么办?
我们仍以充满相对介电常数 εr 的平行板电容器为例进
行讨论：
根据真空中的高斯定理, 在
电场中任作一闭合曲面 S,通过
该闭合曲面的电通量为：
???
?
???
)(qSE 内?S d
??
其中 q（内） 是曲面内所有电荷的代数和。
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
- - - - - -
+ + + + + +
??
???
- -+
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
- - - - - -
+ + + + + +
??
???
+ + +- -
为方便计，我们取如
图的长方形闭合曲面 S,
其上、下底面与极板平行，
面积均为 A,上底面在正
极板内，下底面在电介质
内。
???
?
???
)(qSE 内?S d
??
这样, 闭合曲面 S 内的自由电荷 q 0= σ0A, 而极
化电荷 q’= － σ’A, 高斯定理写为：
)(1 0
0
AAsdE
S
??? ????? ??
代入前面已得到的，自由
电荷与极化电荷面密度间
的关系式，有：
???? AA ??
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
- - - - - -
+ + + + + +
??
???
+ + +- -
?
???? ?
?
???
rr
qA
??
? ?? ?
代入高斯定理有：
? ??S
r
qsdE
?? 0
0??
? ??S qsdE 0???
ε=ε0εr
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
- - - - - -
+ + + + + +
??
???
+ + +- -
定义电介质的介电常数与电场强度的乘积为 电位移
矢量,即：
ED ?? ??
则得到有介质时的高斯定理：
? ???S
S
qsdD 自?
?
引入 线和通量,上式说明,D?
D?
通过任意闭合面的通量等于面内的自由电荷 D?
这叫做介质内的高斯定理,
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
- - - - - -
+ + + + + +
??
???
- -+
（内）?? q
(1) 我们是从平行板电容器这个特例推出有电介
质的高斯定理的，但它是普遍适用的，是静电
场的基本规律之一；
Note:
电场
?
DE
??
?
(2) 电位移矢量 D 是一个辅助物理量, 真正有物
理意义的是电场强度矢量 E,引入 D 的好处是
在高斯定理的表达式中, 不出现很难处理的极化
电荷；
? ???S
S
qsdD 自?
?
(3) 与电力线的概念一样, 我们可以引入电位移线
来描述 D 矢量场, 同时计算通过任意曲面的电位
移通量, 不过要注意, D线与 E 线是不同的；
- - - - - - - -+++++++++++++++
+ + + + + + + + + +---------------
D-line
- - - - - - - -+++++++++++++++
+ + + + + + + + + +---------------
E-line
自由 ?自由 电荷 ?电荷
(5) 电位移的单位是, 库仑 每平方米,, 符号为：
C/m2, （ 这也就是电荷面密度的单位 )。
―在任意电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移通量
等于该面所包围的自由电荷的代数和”。
? ???S
S
qsdD 自?
?
用介质中的高斯定理求电场：
要求,E? 先求 ；D? 求出,D? 再求 。E?
例 9-3,介电常数 ? 的介质中有两个点电荷 q1 和 q2 。
求它们的相互作用 。
q1
q2
r
?
解, (1) 为,D?
1qSd.D
S
?? ??
2
1
4 r
qD
??
(2) q1 的电场为
2
1
4 r
qDE
??? ??
(3) 它们的相互作用为,
2
212
4 r
qqEqf
????
Example 9-4:一金属球体, 半径为 R,带有电荷 q0,埋在均匀
,无限大, 的电介质中 （ 介电常数为 ε）, 求, （ 1） 球外任意一
点 P的场强； （ 2） 与金属球接触处的电介质表面上的极化电荷 。
解：由于电场具有球对称性，同时已知自由电荷的分
布，所以用有介质时的高斯定理来计算球外的场强是
方便的。
（ 1） 如图所示，过 P点作与金属球同心的球面 S，由
高斯定理知：
+ +
+ +S P
???? qSDS d
??
???? r
qD
?
?
?
?? r
qE
??
即
（ 2）设与金属球接触的电介质表面的极化电荷为 q’，
在球面 S内有自由电荷 q0及极化电荷 q’，根据电场的叠
加原理有
+ +
+ +S P
- - -
- --
?
?
?
?
?
?
??
?? r
q
r
qE
????
?
?
?? r
q
??
即
)(
r
qq ??????? ?
Example 9-5:如图所示, 平行板电容的极板面积为 S，
求电容？
1d
2d
1?
2?
解：
2)求 D：
??? ?ASd.D
S
??
0??D
3)两种电介质中的电场：
1
0
1
1 ?
?
? ??
DE
2
0
2
2 ?
?
? ??
DE
??1）设极板面电荷密度为 ；
4）求电势差：
2
20
1
10
2211 ?
?
?
? dddEdEV ?????
5）电容：
2112
21
2
20
1
10
00
dd
S
dd
S
V
qC
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1d
2d
1?
2?
相当于两个电容串联 !
1,电容器中的能量,
电容器不仅存储电荷, 也存储电能, 如图所示 。
电容器的能量从何而来?
q -q
dq
Source
?U
电源作功为
dqCqU d qdW ???
因此,
C
Q
C
qdqdWW QQ 2
00 2
1??? ??
§ 9 - 5 电场的能量
存储于电容器中的能量为
2
2
2
1
2
1
2
1 CVQV
C
QW
C ???
上式普遍适用 。
储存电能
CVQ
2,电场的能量
给电容器充电是在两极板间产生电场 。 因此,
认为电容器存储的能量集中在两极板的电场中 。
V
Q
-Q
E?
电场
能量
利用 和,
有, d
SC ?? EdV ?
SdECVW C 22 2121 ???
体积VESdEW e
22
2
1
2
1 ?? ??
能量密度，即单位体积中的能量，为
DEEw e 2121 2 ?? ?
V
Q
-Q
E?
ew
dV
DorE ??
一般地, 电能可表示为体积
分,
ew
??????? ???
VVV
ee D Ed VdVEdwW 2
1
2
1 2?
The integration(积分遍及电场所
处的所有空间 。
对于静电场, 电能可认为在电荷中及电场中 。 要 两
者挑一, 需要更多信息 。
RA
RB
r
Example 9-6:球形电容器的内, 外球面半径各为 RA 和 RB，
两球间充满介电常数为 ε的均匀电介质, 求内, 外球面各
带有电荷 +q 及 -q 时, 电容器的总能量 。
解：在两球间距离球心 r 处场强的大
小为：
??? r
qE
??
所以电场能量密度为：
?
?
?? ?Ew
e ? ??
?
?? r
q
??
在半径为 r 处，取厚度为 dr 的薄球
壳（如图），其体积为 rrV dd ??? ?
由于球壳内场强相等，电场的能量密度当然也相等，所以，
薄球壳内的电场能量为：
?????? ???
?
rrrqVwW ee ddd ???rrq d?
?
???
积分有
???? ?? ?
?
B
A
R
R
d
r
rqdWW
ee ??球壳 ?
?
?
?
???
? ???
?
?
BA RR
q
??
也可由
C
qW
e ??
?
Example 9-7 平行板 电容器带电 Q,间距 d, 缓慢拉动至 2d 。 求：
1) 电容器能量变化； 2) 外力做功,
??? dFdFA 电外外
2)外力做功
??? 初末 WWW?
解：（ 1）电容器能量的变化：
????
??
初末 C
Q
C
Q
S
dQ
?
?
??
d)E(Q 电
????
?
?
S
dQ
?
S
QE
00 22 ??
? ??
电
Example 9-8:一个充有各向同性均匀介质的平行板电
容器, 充电到 100V后与电源断开, 然后把介质从极板
间抽出, 此时极板间电势差升高到 300V,试求该介质
的相对介电常数 。
100V
Q
Q
300V
解：（ 1）设极板的面积为 S，则：
S
QddEV
r 0
1 0 0 ?????
（ 2）抽去介质后，有：
S
QddEV
0
0300 ????
因此,3?
r?
几种情况,Q
-Q
Q
-Q
W=?
Q
-Q
Q
-Q
W=?
V V
W=?
