俄勒冈州立大学：数字信号处理（中英文）：4 (NXPowerLite)

主要内容,
? 频率响应
? 传输函数
? 简单滤波器
? 一些特殊的传输函数
（全通滤波器、最大、最小相位滤波器、互补
滤波器）
? 逆系统
? 系统辩识
? 双输入双输出系统
4.1 有限维离散时间系统
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?zXzpzYzd
Z
eXepeYed
D T F T
knxpknyd
M
k
k
k
N
k
k
k
j
M
k
kj
k
j
N
k
kj
k
M
k
k
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k
k
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00
00
00
变换为
对上式作
对差分方程
????
? 4.2.1 定义
4.2 频率响应（ frequency response）
? ?
? ?
? ?
? ?
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? ? ? ?? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
）或损失函数（
）—衰减函数（—
）—增益函数（—
）—相位响应（—
）—幅度响应（—
）—频率响应（—
）—特征函数（—其中
时当
f unc t i onl os s
f unc t i onnat t e nuat i oga
f unc t i ongai neHg
r e s pons ephas eeH
r e s pons em agni t udeeH
r e s pons ef r e que nc yekheH
f unc t i one i ge nenx
eeHeekhekhny
enx
knxkhny
j
j
j
k
kjj
nj
njjnj
k
kj
k
knj
nj
k
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10
)(
l og20
a r g
][
)()][(][
][][][
? 4.2.2 用 MATLAB计算频率响应
h1=ones(1,5)/5;
h2=ones(1,14)/14;
w=0:pi/255:pi;
H1=freqz(h1,1,w);
H2=freqz(h2,1,w);
m1=abs(H1);
m2=abs(H2);
plot(w/pi,m1,'r-',w/pi,m2,'b--');
xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度 ');
legend('r-','M=5','b--','M=14');
pause;
ph1=angle(H1)*180/pi;
ph2=angle(H2)*180/pi;
plot(w/pi,ph1,'r-',w/pi,ph2,'b--');
xlabel('\omega/\pi');ylabel('相位（度） ');
legend('r-','M=5','b--','M=14');
? 4.2.3 稳态响应（ steady-state response）
LTI离散时间系统的频率响应决定了其对正弦输入的稳态响应
例,
x[n] =A cos (ω0n + ?) = g[n] + g*[n]
式中,g[n] =(1/2) A e j? e jω0n
设 v[n] 为输入 g[n] 的响应，则,
v[n] = (1/2) A e j? H(e jω0) e jω0n
类似地有, v*[n] = (1/2) A e － j? H(e － jω0) e － jω0n
则输出 y[n] 对 x[n]的响应是,
? ? ? ?
,)( 2
|)(|1
))(c os (|)(|
))(c os (|)(|
}{|)(|
)()(
][][][
0
)(
0
00
)()(
2
1
2
1
2
1
0
0
00
0
00000
0000
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??
????
?
?
???
?
?????????
??????
）相位延迟（
）幅度（
为同频正弦信号，除了与
j
j
j
njjjnjjjj
njnjjnjnjj
eH
nxny
neHA
neHA
eeeeeeeHA
eeHAeeeHAe
nvnvny
?
???
???
??
??
??
???
???
?
? 4.2.4 对因果指数序列的响应
? ? ? ?
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? ? ? ?
nj
nk
kj
tr
njj
sr
nj
nk
kjnjj
nj
nk
kjnj
k
kj
nj
n
k
kj
n
k
knj
nj
eekhnyr e s pons et r ans i e nt
eeHnyr e s pons es t at es t e ady
eekheeH
eekheekh
nueekh
nuekhny
nuenx
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1
1
10
0
0
:
）：暂态响应（
）稳态响应（
，则设输入
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002
1
1
011
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NnnyNnnhnh
nynkhn
khkhekhny
ny
tr
tr
nk
knknk
nkj
tr
tr
，时，，为有限长，即当；时，，因此当时，）由于当（
）有界（
的性质：
?
? 4.2.5 滤波
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ?
11
2211
2121
c os
c osc os
0c osc os
0
1
1
21
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??????
??????
???
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?
??
?
?
neHA
neHBneHAny
nBnAnx
eH
j
jj
c
c
cj
时，当输入
例：
? 4.2.6 相延时（ phase delay） 和群延时（ group delay）
? ? ? ?
?
??
??
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??
?
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????
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d
d
neHA
neHAny
gp
j
j
)()(
))
)(
(c o s (|)(|
))(c o s (|)(|][
0
0
0
00
0
0
????
???
???
群延时：相延时：
例,DSB-SC双边带抑制载波调制信号
x[n] =A cos (ω0 n) cos (ωc n)
=(A/2) cos (ωl n) + (A/2) cos (ωu n)
式中,ωl = ωc － ω0, ωu = ωc + ω0,
如 x[n]通过频率响应为 H(e jω)的系统,假定 | H(e jω) | ? 1,? l ?
? ? ωu, 则其输出信号为,
))(c o s ())(c o s (
))(c o s ())(c o s (][
02
)()(
02
)()(
22
?
????
?
???? ??
??????
lu
c
lu nnA
nnny
c
uu
A
ll
A
?? ???
????
假设 x[n]为 窄带信号,即 ωl, ωu 非常接近于 ωc,将 LTI离散
时间系统的相位响应用 Taylor级数展开得,
群延时
相延时
，
---|
)()()(
---
)(
2
)()(
)(|
)(
)()(
c
c
d
d
d
d
lu
lu
p
c
c
c
lu
cc
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p?
g?
? 4.2.7 LTI离散时间系统的频域特性
? ? ? ? ? ?
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? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? 系统的频率响应为其中
，则得到输出为通过系统设任意序列
LTIekheH
eXeH
eXekheelxkh
elxkheknxkh
eknxkhenyeY
nynhnx
k
kjj
jj
j
k
kj
k
kj
l
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k l
klj
k n
nj
n
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kn
njj
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????
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4.3 传输函数（ transfer function）
? 4.3.1 定义
??nh
??nx ??ny
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
）或系统函数（
）系统的传输函数（称为
其中
变换可得两边取
f unc t i ons y s t e m
f unc t i ont r ans f e rLTI
zX
zY
zH
zXzHzY
z
knxkhny
k
?
?
?? ?
?
???
][][][
? 4.3.2 传输函数的表达方式
? ? ? ?
? ?
N
NNN
M
MMM
MN
N
N
M
M
dzdzdzd
pzpzpzp
z
zdzdzdd
zpzpzpp
zX
zY
zH
????
????
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????
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2
2
1
10
2
2
1
10
2
2
1
10
2
2
1
10
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M
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l
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z
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z
z
z
d
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zX
zY
zH
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
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FIR,
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2
1
2
1
N
Nn
n
N
Nn
n
znhzH
zXznhzY
IIR,
kkzR O C ?m a x?为：因果系统的
? 4.3.3 传输函数与频率响应的关系 ? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?????
?
j
j
ez
jjjjj
ez
j
zHzHeHeHeHeHeH
zH
zHeH
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???
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1*2
对实系数的
（收敛域包含单位圆）
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d
p
eH
e
e
d
p
e
e
e
d
p
eH
e
e
e
d
p
eH
zH
11
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
a rga rga rga rg ???
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??
对稳定有理的
? 4.3.4 用几何插值的方法估计频率响应
? 有理系统可分解成一阶的零极点向量的积的形式 ;
1? ck z?1 ---- 零点向量
1? d k z?1 ---- 极点向量
? 幅值, 零向量幅值之积与 极点 向量幅值之积的比 ;
? 相位,零向量相位之和与 极点 向量相位之和的差。
例 1：系统有一极点在 z = 0,一零点在 c = 0.9 e j?/4,其分
布如下左图；幅度和相位响应如右图；
上：幅度 下：相位 零极点分布
（ 续上图）
（ 续上图）
（ 续上图）
（ 续上图）
（ 续上图）
（ 续上图）
? 4.3.5 极点位置与稳定性
FIR,当 h[n]系数为有限值时总是稳定的
IIR,可能不稳定，或经系数量化后不稳定。其稳定性和因果
性取决于 ROC和极点的位置，所有极点在单位园内则系统为
因果稳定的系统。
? ? ? ?
? ?
? ? （因果、稳定）的极点必然在单位圆内因此
因果系统的收敛域为
的收敛域包含单位圆
存在的稳定
证明：
zH
Rz
zH
D T F TnhnhSB IB O
n
?
??
?
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???
?
????? ?
?
???
例（略）
4.4 传输函数的类型
? 4.4.1 理想滤波器（ ideal filters）
? ?? ?
02
11
?
?
?
?
j
j
eH
eH
、阻带有
、通带有理想滤波器特点：
? 4.4.2 零相位（ zero-phase） 和线性相位（ linear-phase） 传输
函数
零相位传输函数：频率响应为非负实数
因果的零相位传输函数是无法实现的，但如果放松因果条
件限制，对有限长的输入信号，非实时地实现零相位的传输函数
是很容易的
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??????
????
??????
jjjjj
jjjjjj
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eVeHeUeHeWeY
eWeYeVeU
eUeHeWeXeHeV
2
*
****
**
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????zH
??nx
时反
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??zH
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时反
??ny??nw
方法一,
方法二,
??zH??
nx
时反 ??zH 时反
??ny
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ???
????
?????
jj
re
jjjj
jjjjj
eXeH
eXeHeXeH
eXeHeXeHeY
?
??
??
*
**
线性相位传输函数：在通带内相位函数为线性函数
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? DeH
AenyAenx
eeH
g
j
Dnjnj
Djj
??
??
?
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???
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??
1
1
，输出为设输入
）（线性相位的全通系统：例
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n
nn
nn
nh
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eH
c
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c
c
nj
j
LP
0
0s i n
0
0
2
0
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???
??
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?
滤波器：线性相位的理想低通例
? 4.4.3 线性相位 FIR传输函数
FIR可以很容易地设计为线性相位,IIR则比较困难
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????
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为奇数）反对称，偶数点（：类型
为偶数）反对称，奇数点（：类型
为奇数）对称，偶数点（：类型
为偶数）对称，奇数点（：类型
传输函数可以分为四类因此线性相位的
时为线性相位
反对称：
对称：
可以证明，当
：
Nnh
Nnh
Nnh
Nnh
F I R
NnnNhnhnh
NnnNhnhnh
znhzHF I R
N
n
n
4
3
2
1
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1
2
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1
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0
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2
2
12/
00
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r e s pons ephas ez e r o
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N
hnnNheH
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）或零相位响应（
）称为振幅响应（其中
为偶数）对称，奇数点（：类型
n N=4 N/2
对称中心
0
1
? 2? ? 0
)( ?jeH
? ?
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2/c os2
2
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1
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1
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2
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ot he r wi s e
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为奇数）对称，偶数点（：类型
n N=5 N/2
对称中心
0
1
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)( ?jeH
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s i n2/2
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3
2/
1
2
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1
2
12/
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2/
2
12/
0
2/2/
2
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00
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nNenheeH
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zznhznhzH
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其中
为偶数）反对称，奇数点（：类型
n
N=2
N/2
对称中心
0
-1
1
? 2? ? 0
)( ?jeH
? ?
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2
1
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4
2/1
1
2
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1
2
12/1
0
22
12/1
0
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2
12/1
00
N
d
d
ot he r w i s e
eHN
nnNheH
eHje
nnNhje
nNenheeH
zznhz
zznhznhzH
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g
j
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其中
为奇数）反对称，偶数点（：类型
n
N=1
N/2
对称中心
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H
N
H
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HeeeH
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N
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群延时
反对称
对称
其中
相位响应
幅度响应
形式滤波器频率响应的一般线性相位
?
?
?
?
? 4.4.4 线性相位 FIR传输函数零点的位置
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ? 也为零点为零点，则实
也为零点为零点，则镜像对称或反对称
），称为反镜像多项式（满足上式的
反对称时，当
），称为镜像多项式（满足上式的
对称时，当
*
00
0
0
1
00
1
0000
1
??
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?
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????
zznh
zzzH
A I Ppol y nom i ali m ageant i m i r r orzH
zHzznNhznhzH
nh
MIPpol y nom i ali m agem i r r orzH
zHzzmhzzmhznNhznhzH
nh
N
N
n
n
N
n
n
N
N
m
mN
N
m
mN
N
n
n
N
n
n
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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??????????
???
???
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??
?
??
?
??
1014
111111
13
011111
1102
1101
2
1
1
1
zz
HHHHH
z
HHHH
zz
zz
r
zrz
ez
e
r
zrez
N
N
j
jj
个零点在，偶数或：奇数个零点在类型
：奇数个零点在类型
，奇数个零点在个零点在：偶数或类型
和个零点在：偶数或类型
、
，实轴上：
单位圆上：
，非单位圆上：
、
?
??
类型 2：总有零点在 z=-1,不能用于高通
类型 3：总有零点在 z=1和 z=-1,不能用于低通、高通和带阻
类型 4：总有零点在 z=1,不能用于低通
z=1
z=1 z=1
z= － 1
z=1 z =－ 1
Type I Type II
Type III Type IV
? 4.4.5 有界实传输函数
? ? ?? 对所有1?jeH
则称为有界实传输函数（ bounded real (BR) transfer function）
如果
? ? ?? 对所有1?jeH
则称为无损有界实传输函数（ lossless bounded real (LBR) transfer
function）
定义：因果、稳定、实系数的传输函数 H(z),如果满足
4.5 简单的数字滤波器
? 4.5.1 简单 FIR滤波器
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
dB
eHeHg
eHeHf r e qu e nc yc ut of fdBdB
eeH
z
z
zzH
jj
c
jj
c
jj
c
c
0.30103.30
2l og20l og20l og20
2
1
33
2
2
c os
2
1
1
2
1
1
10
0
010010
0
00
2/
0
1
0
????
???
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???
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??
?
?
?
?
此时增益
）：截止频率（
、低通
? ? ? ?
? ?
2
2
s i n
1
2
1
2
2
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
c
j
j
jeeH
zzH
、高通
? 4.5.2 简单 IIR滤波器
? ?
? ?
? ? 函数）为，（如
、低通
BRzH
z
z
zH
LP
c
c
c
LP
1
c o s
s i n1
1
2
c o s
1
1
2
1
1
2
1
1
?
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?
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?
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?
?
?
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? ?
? ?
1
1
2
2
11
21
1 si n2
c os
1 c os
1
HP
c
c
c
z
Hz
z
?
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??
??
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
,高 通
（ 时 稳 定 ）
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? ?
? ? ? ?
2
12
1
00
1
21 2
3
11
2 1 1
c os c os
33
2
c os
1
11
BP
w c c
z
Hz
zz
c e ntral fre qu e nc y
dB dB ba nd wi dth
B
?
? ? ?
? ? ? ?
?
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?
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?
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?
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?
? ? ?
??
??
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??
???
??
,带 通
中 心 频 率 （ ）,
带 宽 （ ）
（, 时 稳 定 ）
图（ p242）
? ?
? ?
? ?
12
12
1
0
1
21 2
4
1 1 2
2 1 1
c os
3
2
c os
1
11
BS
w c c
zz
Hz
zz
no tc h fre qu e nc y
dB
B
??
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??
?
??
?
??
??
??
?
?
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?
? ? ?
?
??
? ? ?
??
???
??
,带 阻
陷 波 频 率 （ ）,
陷 波 带 宽,
（, 时 稳 定 ）
5
3
IIR
dB
?
?
?
,高 阶 滤 波 器
衰 减 更 快
简 单 滤 波 器 串 联
带 宽 变 窄
? 4.5.3 梳状滤波器（ comb filter）
梳状滤波器：频率响应是 ω的周期函数，周期为 2π/L
梳状滤波器可以通过将原型滤波器中的每个延时单元替换为 L个延时
单元来实现。
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
LL
LL
pp
L
zzHzGzzH
zzHzGzzH
LkLkLzGzH
LkLkLzGzH
zHzG
zH
??
??
?????
?????
???
???
?
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
10/
10/
11
1
1
00
1
0
00
：例
：例
，个谷点在有，则有谷点在如果
，个峰点在有，则有峰点在如果
波器可以由下式得到为原型滤波器，梳状滤设
??
??
(a) (b)
4.6 全通（ allpass） 传输函数
? 4.6.1 定义
? ? ?? 对所有12 ?jeA
M阶因果实系数全通函数可以表示为,
? ? M
MMM
MMMM
M zdzdzd
zzdzddzA
?????
?????
????
??????
1111
1111
1 ?
?
如果定义 ? ? MMMMM zdzdzdzD ????? ????? 11111 ?
则 ? ? ? ?
? ?1 1? ???? zD zDzzA M MMM
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
的非正连续函数函数为函数，去弯折后的相位、对任意因果稳定全通
、
为零点为极点，则即如果零点和极点镜像对称，、
式分子为分母的镜像多项、
?
?
??
4
113
1
2
1
2
1
???
??
?
?
j
MMM
jj
M
M
eAzAzA
e
r
zrezzA
zA
? ? 321 3213 2.018.04.01 4.018.02.0 ??? ??? ??? ????? zzz zzzzA
例,
? 4.6.2 性质
1、因果稳定的全通传输函数为 LBR（ lossless bounded response） 传输
函数
2,
? ?
?
?
?
??
?
?
??
??
??
?
11
11
11
z
z
z
zA
3,
? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ?
? ? ????
????
??????
?
?
??
?
?
?
Md
eA
e
d
d
c
j
c
j
c
?
???
?
??
?0
00
a r g
，可以证明，为递减函数，因此有
，稳定全通函数的为去弯折后的相位函数
为定义全通函数的群延时
? 4.6.2 应用
延时均衡器，用于实现线性相位
??zG ??zA
4.7 最小相位和最大相位传输函数
（ minimum phase）（ maximum phase）
最小相位传输函数：所有零点都在单位圆内的因果稳定系统
最大相位传输函数：所有零点都在单位圆外的因果稳定系统
（注：如果是稳定系统，则所有极点都在单位圆内）
? 任意非最小相位传输函数都可以表示成为最小相位传输函
数与一个稳定全通函数之积
H(z) = H min(z)Hap(z),
为全通系统。是最小相位系统，此处，
，则在单位圆外，即有一零点证明：设
1
c )
1
1)((
1
c)
1
1)((
1
1
1
)
1
1)(()1)(()(
1 )(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
?
?
?
?
???
?
?
????
?
zc
cz
z
c
zH
zc
cz
z
c
zH
z
c
cz
z
c
zHczzHzH
cczH
最小相位系统特点,
(a) 对所有相同 |H(e jω)| LTI系统, 最小相位系统
具有最小相移；
(b) 对相同 |H(e jω)| LTI系统, 最小相位系统具有
最小群延迟；
)(a r g)(a r g)(a r g)(a r g m i nm i n ???? jjapjj eHeHeHeH ???
,0,0)(a r g ( ??? ???jap eH?
.)0)](g r d [ a n d ?? ?? japg eH
4.8 互补（ complementary） 传输函数
? 4.8.1 延时互补传输函数（ delay-complementary） ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
输函数则称它们为延时互补传
为非负整数
，如果满足，，，个传输函数定义：
nzzH
zHzHzHL
L
k
n
k
L
0
1
0
110
0 ???
?
?
?
?
??
?
例（略）
? 4.8.2 全通互补传输函数（ allpass-complementary） ? ?? ?
? ? ? ?
称为全通互补
，如果满足，个传输函数定义：
?
?
?
?
???
1
0
10
M
i
i
i
zAzH
MizHM
例（略）
? 4.8.3 功率互补传输函数（ power-complementary）
? ?? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
2
1
3
0
10
2
1
2
00
1
0
1
1
0
2
00
??
?
??
???
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
jj
M
i
ii
M
i
j
i
i
eHeHf r e que nc yc r os s ov e rdB
KzHzH
KKeH
MizHM
，）：交叉频率（
效于称为功率互补。上式等
为常数
，如果满足，个传输函数定义：
例（略）
? 4.8.5 幅度互补滤波器（ magnitude-complementary）
? ?? ?
? ?
称为幅度互补
为常数
，如果满足，个滤波器定义：
0
10
1
0
??
???
?
?
?
???
M
i
j
i
i
eG
MizGM
例（略）
? 4.8.4 双互补传输函数（ doubly-complementary）
同时满足全通互补和功率互补的 M个传输函数。
4.9 逆系统（ inverse system）
? 4.9.1 z域的表达方法
? ? ? ? ? ?nnhnh ??? 21
? ? ? ? 121 ?zHzH
最小相位因果系统的因果逆系统总是稳定的
非最小相位系统的逆系统，如果加上因果条件限制则为不稳定的
? ? ? ?? ?? ?? ? 2/1,3/12/1 5/14/11 ??? ??? zzz zzzH
? ?
? ?? ?
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
?
)(5/1
)(4/15/1
)(4/1
5/14/1
3/12/1
2
反因果、不稳定
不稳定
因果、稳定
三个可能的收敛域：
逆系统：
z
z
z
zz
zz
zH
例 4.16,
? 4.9.2 输入信号的递归计算
? ? ? ? ? ?h n y n x n如 果 已 知 因 果 系 统, 输 出, 则 可 以 递 归 地 计 算 输 入 因 果 序 列
而 不 需 要 求 逆 系 统
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
0
1
0
1
0
0
0
0 0 0 0
0
1
0
1 0 0
0
n
k
n
k
n
k
y n x k h n k n
y
y x h x
h
x n n
y n x n h x k h n k
y n x k h n k
x n n h
h
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
??
? ? ?
?
?
?
方 法 一,
对 于,, 有
? ? ? ?? ?YzXz Hz?方 法 二, （ 长 除 法 ）
例 4.17
h1=input('输入冲激响应 =');
y=input('输入输出 =');
N=length(y);
x=[y(1)/h1(1) zeros(1,N-1)];
for k=2:N
x(k)=(y(k)-fliplr(h1(2:k))*x(1:k-1)')/h1(1);
end
disp('输入样本 ');disp(x);
4.10 系统辩识（ system identification）
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?zX
zY
zH
xn
x
knxkhny
nh
x
y
h
zHnhnynx
n
k
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
频域解法：
时域解法：
或，求，输出已知输入
001
0
0
0
0
1
0
基于能量密度谱的解法,
1,x[n]已知
? ? ???
? ??
?
?
?
???
?
???
?
???
?
???
?
???
?
???
?
???
?
???
???
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
?
????
??
??
k
xx
nk
n kn
yx
n
xx
k
klrkhlnxknxkh
lnxknxkhlnxnylr
lnxnxlr
knxkhny
][][][][][
][][][][][][
][][][
][][][
已知，互相关序列列假定输入信号自相关序
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ??
?
?
???
j
xx
j
yxj
j
xx
jj
yx
xxyx
eS
eS
eH
eSeHeS
zSzHzS
?
?
?
则有
2,x[n]未知，但具有均匀能量密度谱
][*][*][
][][][
][][][][
][][][][
][][][][][
lrlhlh
klmrlmhkh
lmnxknxlmhkh
lmnxlmhknxkh
lnxnylnynylr
xx
m
xx
k
m nk
n mk
nn
yy
??
????
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
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?
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???
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???
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?
???
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???
?
???
?
???
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1
2
2
1
?
?
??
?
?
zHzHzSeHKeS
eSeHeS
zSzHzHzS
yy
jj
yy
j
xx
jj
yy
xxyy
??
???
谱函数的输入信号对于具有均匀能量密度
则有
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?1
1
/
?
?
??
?
zDzD
zPzP
zB
zAzS
zDzPzH
yy
，则如果
例 4.18：假设一个因果稳定 LTI离散时间系统被一个具有均匀能量谱
的输入序列激励，输出信号能量密度谱为,
? ? ? ?? ??? ??? ? ? jj jjjyy ee eeeS ? ??? ?????? 25.1 4.004.1c o s25.1 c o s4.004.1
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?11
11
1
1
1
5.015.0
2.012.0
25.1
4.004.1
??
??
?
?
?
??
???
??
???
?
zz
zz
zz
zzzHzH
ez j ?令
? ?
? ?
5.0
2.0
5.01
2.01
1
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
z
zH
z
z
zH
非最小相位系统：
最小相位系统：
4.11 数字二端口网络（ digital two-pairs）
? 4.11.1 表示方法
02
2
22
01
2
21
02
1
12
01
1
11
2221
1211
2221212
2121111
2
1
2221
1211
2
1
1212
????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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XXXX
X
Y
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X
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t
X
Y
t
X
Y
t
f unc t i ont r ans f e r
tt
tt
XtXtY
XtXtY
X
X
tt
tt
Y
Y
，，，
）称为转移矩阵（其中
方法一：
?
21
22112112
21
11
21
22
21
22211211
221
221
2
2
1
1
1
1
t
tttt
D
t
t
C
t
t
B
t
A
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B
t
A
t
A
BCAD
t
A
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f unc t i onc hai n
DC
BA
DXCYY
BXAYX
X
Y
DC
BA
Y
X
?
????
???
?
??
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，，，
，，，
的转换：与
）称为链矩阵（其中
方法二：
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? 4.11.2 互联
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2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
X
Y
DC
BA
DC
BA
Y
X
X
Y
DC
BA
Y
X
X
Y
DC
BA
Y
X
串联、
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2
1
2221
1211
2221
1211
2
1
2
1
2221
1211
2
1
2
1
2221
1211
2
1
2
X
X
tt
tt
tt
tt
Y
Y
X
X
tt
tt
Y
Y
X
X
tt
tt
Y
Y
串联,?
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zGt
zGttt
zGBA
zGDC
X
YzH
p a i r st w odc o n s t r a i n e
22
2112
11
1
1
1
3
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??
??
????
? ）、受限二端口网络（
4.12 代数稳定性检测
? 4.12.1 稳定三角形
)1)(1(1)( 12112211 ???? ?????? zzzdzdzD ??
二阶多项式,
212211 )( ???? ???? dd,
??
???
??
?
???
21
2
21 1
1
11
dd
d
?? 且
? 4.12.2 一个稳定性检测的程序
基本思想：通过检测一个具有相同分母的全通函数的稳定性来
实现目标传输函数的稳定性检测
设传输函数的分母为,
?? ? ?? ? ??? Mi iMi iiM zzdzD 1 11 )1()( ?
M
M
M
M
MM
MM
M
MM
zdzdzdzd
zzdzdd
zD
zDzA
???
?
??
????
?
???
??????
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
.,,,,1
.,,,
)(
)(~)(
构造 M阶全通传输函数,
如果系统是稳定的，则有, 1)1(1
1
????? ?
?
M
i
i
M
Mi d ??
定义, MMM dAk ??? )(
则 AM(z)稳定的必要条件为,12 ?Mk
)1('
1
2'
2
2'
2
1'
1
)1(2'
1
1'
2
'
1
1,,,,,1
.,,,)(
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?????
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?????
M
M
M
M
MM
MM
M zdzdzdzd
zzdzddzA
.1,2,1,1 2' ????? ? Mid dddd
M
iMMi
i ?
?????? ? ??? )(1 )()(1 zAd dzAzzA
MM
MM
M
假设上述条件成立，构造函数 AM-1(z)为,
?????? ? ???????? ? ??? )(1 )()(1 )()(1 zAd dzAzzAk kzAzzA
MM
MM
MM
MM
M
?????? ? ??? )(1 )()(1 zAd dzAzzA
MM
MM
M
Am-1(z) 的极点 ?0为,
M
M kA
1)(
0 ??
12 ?Mk
1)( 0 ??MA?
?
??
?
??
??
??
?
11
11
11
)(
zf o r
zf o r
zf o r
zA
10 ??
如果 AM(z)为稳定的全通函数且,则 AM-1(z) 为稳
定的全通函数 12 ?Mk
)(1
)()(
1
1
1
1
zAzk
zAzkzA
MM
MM
M
?
?
?
?
?
??
如果 AM-1(z)为稳定的全通函数并且,则 AM(z)为稳定的全通
函数 12 ?Mk
如果 ?0 是 AM(z)的一个极点，则,
M
M kA
1)(
01
1
0 ???
? ??
12 ?Mk
0010110 )(1)( ???? ??? ??? MM AA?
?
??
?
??
??
??
?
11
11
11
)(
zf o r
zf o r
zf o r
zA
10 ??
逆命题,
综上所述,AM(z)稳定的充分必要条件为,
12 ?Mk
? AM-1(z)稳定
?
)(1
)()(
1
1
1
1
zAzk
zAzkzA
MM
MM
M
?
?
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?
?
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?????? ? ??? )(1 )()(1 zAd dzAzzA
MM
MM
M
.1,2,1,1 2' ????? ? Mid dddd
M
iMMi
i ?
稳定性检测方法：所有,时，全通函数 稳定 12 ?iK ? ?zA
M
例 4.22 432 4321 1)( zzzzzH ?????
4321
321
4
4
1
4
1
2
1
4
31
4
3
2
1
4
1
4
1
)(
????
???
????
???
?
zzzz
zzz
zA
解,
414 ?k
321
321
3
15
1
5
2
15
111
15
11
5
2
15
1
)(
???
???
???
???
?
zzz
zzz
zA 1513 ?k
21
21
2
224
79
224
1591
224
159
224
79
)(
??
??
??
??
?
zz
zz
zA 224792 ?k
1
1
2
101
531
101
53
)(
?
?
?
?
?
z
z
zA
101531 ?k
例 4.22
432 25.375.375.25.0
1)(
zzzzzH ?????
4321
4321
4 5.075.275.325.31
25.375.375.25.0)(
????
????
????
?????
zzzz
zzzzzA
解,
5.04 ?k
321
321
3 5.15.25.21
5.25.25.1)(
???
???
???
????
zzz
zzzzA 5.13 ?k
例 4.22
den=input('输入分母系数 =');
k=poly2rc(den);
knew=fliplr(k');
disp('稳定性检测参数是 ');disp(knew);
stable=all(abs(k)<1);
作业,
4.21,4.39,4.70,4.112
MATLAB实验,
M2.13,M3.9,M3.16(a),M4.6