? 预备知识
? 双线性变换
? 低通 IIR滤波器设计
? 高通、带通、带阻 IIR数字滤波器设计
? IIR滤波器的谱变换
? 基于加窗傅立叶级数的 FIR滤波器设计
? 数字滤波器的计算机辅助设计
? 用 Matlab进行数字滤波器设计
主要内容
? 确定传输函数 G(z)的过程称为 数字滤波器设计,
? 在大多数应用中，关键的问题是用一个可实现的传输函数去逼近
给定的滤波器幅度响应指标，而滤波器的相位响应可以通过级联全
通滤波器来校正。
? 一种广泛应用的 IIR滤波器设计方法是将一个模拟的原型传输函
数转换为一个数字的传输函数,FIR滤波器的设计则是基于对指定幅
度响应的直接逼近
? 在设计数字传输函数 G(z)之前，有两个关键的问题需要考虑,
? 分析使用数字滤波器的整个系统的需求，确定合理的滤波器
频率响应指标,
? 确定所设计的滤波器是 FIR还是 IIR数字滤波器。,
7.1 预备知识
)( ?jeG
c?
1
1+ ?p
1- ?p
?s
?p ?s ?
低通数字滤波器的典型幅度指标
7.1.1 数字滤波器指标
数字滤波器指标
通带 0? ?????p
ppjp f o reG ???? ? ?????,1)(1
阻带 ?s? ?????
????? ??? ssj f o reG,)(
?p,通带截止频率
?s,阻带截止频率
?p,通带波纹
?s,阻带波纹
?p:峰值通带波纹
?s,最小阻带衰减 dBpp )1(l o g20 10 ?? ???
dBss ?? 10l o g20??
1
1/A
?
21
1
??
c??p ?s ?
)( ?jeG
归一化的数字低通滤波器幅度响应指标
最大通带衰减, dB)1(l o g20 2
10m a x ?? ??
pp ??? 2)21(l o g20 10m a x ????
设 FT 为采样频率（ Hz）,Fp 和 Fs 分别为通带和阻带
截止频率（ Hz），则归一化截止角频率为,
TFF FFT p
T
p
T
p
pp ?
?? 22 ??????
TFF FFT s
T
s
T
sss ??? 22 ??????
? FIR 滤波器可以设计为线性相位，并且总是稳定的。
? 在多数情况下,FIR滤波器的阶数 NFIR 显著大于具有等效幅度响
应的 IIR滤波器阶数 NIIR 。 NFIR/NIIR 通常为 10的量级或更高,
? IIR 滤波器通常计算更简便。
? 在很多应用中，并不要求滤波器具有严格的线性相位，在这些情
况下，通常会因计算简便而选择 IIR滤波器。
7.1.2 滤波器类型的选择
? IIR滤波器 设计,
? 在设计 IIR滤波器时，通常将数字滤波器的设计指标转化成模拟
低通原型滤波器的设计指标，从而确定满足这些指标的模拟低通
滤波器的传输函数 Ha(s)，然后再将它变换成所需要的数字滤波器
传输函数 G(z)
? 将模拟原型传输函数 Ha(s)变换成所需的数字 IIR传输函数 G(z)的
基本思路就是要把 s域映射到 z域，从而使数字滤波器能保持模拟
滤波器的基本频率响应特性，因此，这种映射函数必须满足以下
要求,
? s平面的虚轴（ jΩ）必须映射到 z平面的单位圆上。
? 稳定的模拟传输函数能变换为稳定的数字传输函数。,
7.1.3 数字滤波器设计的基本方法
? FIR 滤波器设计,
? FIR滤波器的设计是基于对指定幅度响应的直接逼近，通常还需
加上线性相位的条件限制
? 一个 N+1阶的 FIR滤波器可以通过利用脉冲响应序列或频率响应
的 N+1 个采样点来实现
? 两种直接的 FIR滤波器设计方法是加窗傅立叶级数法和频率采样
法
? 一些研究者提出了一些先进的方法估计给定性能指标的数字滤
波器的阶数
???
??
2/)(6.14
13)(l o g20 10
ps
spN
?
???
???
?
2/)(
22.0)(l o g20 10
ps
sN
?
???
???
?
2/)(27
94.5)(l o g20 10
ps
pN
?
???
?对通带宽度适中的 FIR滤波器
?对通带宽度较窄的 FIR滤波器
?对通带宽度较宽的 FIR滤波器
?这样设计出来的 FIR滤波器的频率响应特性可能满足也可能不满足给
定的指标，如果不满足指标，建议逐渐增加滤波器阶数直到满足指标
为止。
7.1.4 滤波器阶数估计
? 有很多种变换方法可以将一个模拟传输函数 Ha(s)变换成一个
数字传输函数 G(z)，从而使 z域的数字传输函数保留 s域的模拟
传输函数的基本性质,
? 在这些变换中，更多地使用双线性变换法来设计基于模拟原
型滤波器变换的 IIR数字滤波器。
? 从 s平面到 z平面的双线性变换为,
)11(2 11????? zzTs
?以上变换是一个一一映射，它将 s平面上的一点映射为 z平面
上的一点，或将 z平面上的一点映射为 s平面上的一点。数字传
输函数 G(z)和原型模拟传输函数 Ha(s)之间的关系为,
)11(2 11)()( ?????? zzTsa sHzG
7.2.1 双线性变换
7.2 IIR滤波器设计的双线性变换法
?双线性变换是通过应用梯形数值积分方法来从 Ha(s)的微分方
程得到 G(z)的差分方程的一种变换。参数 T表示数值积分的步
长
?? t dxty 0 )()( ??
]}1[][{2]1[][ ????? nxnxTnyny
??? ?? ??? nT TnTnnT dxdxdxnTy )1()1(00 )()()()( ??????
2
))1(()()()()( )1(
00
TnxnTxTdxdxnTy TnnT ?????? ?? ? ????
)11(2)( 11????? zzTzH
? 双线性变换主要用在,
? 用反双线性变换来将数字滤波器的性能指标转换为模拟
原型滤波器的性能指标
? 用双线性变换来从模拟传输函数得到所希望的数字滤波
器的传输函数 G(z)
? 参数 T对 G(z)的表达式没有影响,可以选择 T=2来简化设计的
过程
s
sz
z
zs
?
???
?
??
?
?
1
1
1
1
1
1
0
0
0 1
1
??
??????
j
jzjs
2
0
2
0
2
0
2
0
00
00
00 )1(
)1(
1
1
???
?????
???
????????
?
?
?
?? z
j
jzjs
（单位圆）虚轴 1)(00 ??? z?
100 ??? z?
100 ??? z?
0
?
j? Im(z)
Re(z)
-1 1 0
令,?jezjs ???,
)2t a n ()2t a n (11 ???
?
????????
?
jeej j
j
?
?
?
)2tan(2 ?T??
?
?
)( ?jHa
)( ?jeH
? 映射高度非线性，由此引
起的频率轴失真称为频率弯
折
?二阶模拟陷波器的传输函数为
2
0
2
2
0
2)(
???
???
Bss
ssH
a
222
0
22
22
0
)()( ?????
?????
BjH a
22
0
12
0
2
0
22
0
12
0
2
0
1
1 )1()1(2)1(
)1()1(2)1()()(
1
1 ??
??
?
?? ??????????
??????????
?
? zBzB zzsHzG
z
zsa
7.2.2 IIR陷波器的设计
21
21
)1(1
)1()1(2)1(
2
1)(
??
??
???
??????
zz
zzzG
???
????
?
?
?
??
?
?
??
??
?
???
???
?
2
0
2
0
2
0
2
0
1
1
1
1
?
?
B
B
令,
?陷波频率 ?0 和 3-dB陷波带宽 Bw 与常数 ? 和 ? 相关
)2/t a n (1
)2/t a n (1
w
w
B
B
?
??? 0c o s?? ?
?/? ?/?
?设计一个低通 IIR数字滤波器 G(z)，性能指标如下,
1)( 0 ?jeG
?? 25.0?p ?? 55.0?s
dBeG pj 5.0)(lo g20 10 ???
dBeG sj 015)(l o g20 10 ???
7.3 低通 IIR滤波器设计
? 将数字截止频率预弯折为模拟截止频率
4 1 4 2 1 3 6.0)225.0t a n ()2t a n ( ???? ?? pp
1 7 0 8 4 9 6.1)255.0t a n ()2t a n ( ???? ?? aa
1 2 2 0 1 8 5.01015.01 1lo g20 05.02210 ??????? ??
6 2 2 7 7 7.3110151lo g20 5.1210 ????? AA
8 2 6 6 8 0 9.21 ????
p
s
k
8 4 1 9 7 9.1511
2
1
??? ?Ak
6586997.2
)
1
(lo g
)
1
(lo g
10
1
10
??
k
k
N
588148.0
1
1
)(1
1
2
2
???
?
?
?
?
?
c
N
c
p ?
?三阶归一化低通 Butterworth传输函数,
)1)(1(
1)(
2 ???? ssssH an
)3 4 5 9 1 8.05 8 8 1 4 8.0)(5 8 8 1 4 8.0(
2 0 3 4 5 1.0)()(
2 ?????? sss
sHsH
c
ana
)3 9 1 7 4 6 8.06 7 6 2 8 5 8.01)(2 5 9 3 2 8 4.01(
)1(0 6 6 2 2 7 2.0)()(
211
31
1
1
1
1 ???
?
?
?? ???
???
?
? zzz
zsHzG
z
zsa
? 第一种方法分为以下几个步骤,
)2tan(???
7.4 高通、带通和带阻 IIR数字滤波器设计
Step 1,用式 预畸所求数字滤波器 GD(z)的数字频率指标，从
而得到一个等价的模拟滤波器 HD(s) 的频率指标。
Step 2,选取一种合适的频率变换，将 HD(s)的频率指标转换成原型低
通滤波器 HLP(s)的频率指标。
Step3:设计模拟低通滤波器 HLP(s),
Step4,用步骤 2中频率变换的逆变换将传输函数 HLP(s)转换为 HD(s),
Step5:对传输函数 HD(s)进行如式 (9.14)所示的双线性变换，从而得到所
求的数字 IIR传输函数 GD(z)
? 第二种方法分为以下几个步骤,
)2tan( ???步骤 1：用式 预畸所求数字滤波器 GD(z)的数字频率指标，从
而得到一个等价的模拟滤波器 HD(s)的频率指标。
步骤 2：选取一种合适的频率变换，将 HD(s)的频率指标转换成原型低通
滤波器 HLP(s)的频率指标。
步骤 3：设计模拟低通滤波器 HLP(s)。
步骤 4：对传输函数 HLP(s)进行双线性变换，将其转换为 IIR数字滤波器
的传输函数 GLP(s)。
步骤 5：选取一种合适的谱变换将 GLP(s)转换成所求的数字传输函数
GD(z)。
GD(z)的数字频率指标
)2tan(???
与 HD(s)相同类型的模拟滤波器频率指
标
原型低通滤波器 HLP(s) 的频率指标 Designing of HLP(s)
)?( DLP F ???
)(? 1 LPD sFs ??
HD(s)
GD(z)
s
sz
?
??
1
1
GLP(z)
s
sz
?
??
1
1
GD(z)
)(? 1 LPD zFz ??
? 谱变换可以用来将给定的低通数字 IIR传输函数 GL(z)转换成另一个低
通、高通、带通或带阻滤波器的数字传输函数 GD(z),
?jez ? ??? jez ?
)(zGL )?(zGD
)?( zFz ?
)(? 1 zFz ??
7.5 IIR滤波器的谱变换
? 为了把一个有理的 GL(z)变换成一个有理的, 必须为
的一个有理函数
? 另外，为了保证 的稳定性，应该将 z平面单位圆的内部映射到
平面的单位圆的内部,
? 为了保证将低通幅度响应映射成四种基本类型的幅度响应之一,z平
面单位圆上的点必须映射成 平面单位圆上的点,
)?(zGD z?)?(zF
)?(zGD z?
z?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
1?1
1?1
1?1
)?(
zif
zif
zif
zF
?
?
?
?
?
??
??
??
???
1?1
1?1
1?1
)?(
1)?(1
zif
zif
zif
zF
zF
)?(1 zF? 为稳定的全通函数
??
??
?
?
??
?
?
???
?
????? M
l l
l
M
l l
lM
M
M
M
z
z
z
zz
zD
zDzzF
11
1
1
1 )
?
?1()
?1
?1(?
)?(
)?(?)?(
?
?
?
?
?
?
??? L
i
iM zzD
1
1 )1()( ?l?
实数或是以复共轭对的形式出现, 并且
以保持传输函数的稳定 1?l?
? 要把一个截止频率为 ωc的原型低通滤波器 GL(z)变换成另一个截止频
率为 的低通滤波器,我们会用到变换 )?(zG
Dc??
?
?
?
??? ??
z
zzFz
?
?1)?(11 ?为实数
?
?
?
?
?
?
?
1 j
j
j
e
ee
?
?
?
?
??
)2?t a n (11)2t a n ( ???? ???
??
?
?=-0.6
?=0
?=+0.6
7.5.1 低通滤波器到低通滤波器的变换
)2?t a n (11)2t a n ( cc ???? ???
)
2
?
s in (
)
2
?
s in (
)
2
?
t a n ()
2
t a n (
)
2
?
t a n ()
2
t a n (
cc
cc
cc
cc
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?利用低通滤波器到低通滤波器的变换同样可以把截止频率为 ωc的高通滤
波器变换成截止频率为 的另一个高通滤波器，把中心频率为 ωc的
带通滤波器变换成另一个中心频率为 的带通滤波器，以及把中心
频率为 ωc的带阻滤波器变换成中心频率为 的另一个带阻滤波器,
c??
0??
0??
变
换
表
滤波器类型 变换 设计参数
低通滤波器
高通滤波器
带通滤波器
带阻滤波器
1
11
1 ?
??
? ??? zzz ? ?
1
1
11 ?
?
? ??? zzz ? ?
11211
1
1
1
2
12
12
1
?????
?
??
????
??
??
?
zz
zz
z
?
??
?
?
?
?
?
??
11211
1
1
1
2
12
12
1
?????
?
??
???
??
??
?
zz
zz
z
?
?
?
?
?
?
?
?
2sin
2sin
cc
cc
ww
ww
?
?
??
2co s
2co s
cc
cc
ww
ww
?
?
???
)
2
t a n ()
2
c o t (
)
2
c o s (
)
2
c o s (
12
12
12
ccc
cc
cc
www
ww
ww
??
?
?
?
?
?
)
2
t a n ()
2
t a n (
)
2
c o s (
)
2
c o s (
12
12
12
ccc
cc
cc
www
ww
ww
??
?
?
?
?
?
率为预期高、低端截止频,12 cc ww
率为预期高、低端截止频,12 cc ww
7.5.2 其他变换
? 当低通原型滤波器的带宽与变换后带通滤波器带宽相同，即
将这个限制条件加到表 7.1中的频谱变换，可以得到修正的频谱变换为
1
111
?1
??
?
???
?
???
z
zzz
?
?
12 ?? ccc ??? ??
?
?
??
?
?
?
?
?
1 j
j
jj
e
eee
?
?
??
?
???
0?? 率）（带通滤波器的中心频 0?? ?? ?
0?c o s?? ?
? 一种直观的设计方法是基于对指定频率响应的傅立叶级数进行截短来设
计
? N 点离散傅立叶变换由其频率响应的 N个等间隔的不同频率样本组成，
因此该数字滤波器的冲激响应序列可以利用它的频率样本上的离散傅立叶
逆变换来计算
7.6 基于加窗傅立叶级数的 FIR滤波器设计
)( ?jd eH
表示要求的频率响应函数
? ??
???
??
n
n
nj
d
j
d enheH
?? ][)(
][nhd 恰好是相应的冲激响应样本
?? ?????? ?? ?? ?? ndeeHnh jjdd,)(2 1)(
? 给定一个频率响应指标 Hd(ej?),可以利用上式计算 hd(n),从而确定传输函
数 Hd(z)。
? 然而在大多数实际应用中，要求的频率响应是分段的常数，并且各个频
带之间有陡峭的过渡带，在这种情况下，相应的冲激响应序列是无限长并
且非因果的。
? 我们的目标是找一个长度为 2M+1的有限冲激响应序列 {ht[n]},它的离
散时间傅立叶变换 Ht(ej?) 在某种程度上逼近所求的离散时间傅立叶变换。
7.6.1 FIR滤波器的最小积分平方误差设计
? 一种常用的逼近准则是最小积分平方误差
?? ??? ?? ?? ?? deHeH jdjt 2)()(2 1 ??
??
?? Mn
Mn
nj
t
j
t enheH
?? ][)(
Parseval’s 关系
? ??
?
??
???
??
??
?
??
??
???
????
???
1
1
222
2
][][][][
][][
M
n
n
Mn
dd
Mn
Mn
dt
n
n
dt
nhnhnhnh
nhnh
? 当 -M?n? M 时,ht[n]=hd[n]，则积分平方误差最小，或者换句话来说，
在均方误差准则下，理想无限长冲激响应的最佳和最简单的有限长逼近
是通过截短来得到的
? 冲激响应为 h[n]的因果 FIR可以通过将 ht[n]延时 M个样本后得到,
][][ Mnhnh t ??
??
?
??
??
???
???
c
cj
LP eH 0
1)(
?????? nn nnh cLP,s i n][ ??
?
?
?
?
?
??
??
?
0
)s in (
01
][
n
n
n
n
nh
c
c
HP
?
?
?
?
0,)s i n ()s i n (][ 12 ??? nn nn nnh ccBP ????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
0
)s i n ()s i n (
01
][
21
12
n
n
n
n
n
n
nh
cc
cc
BS
?
?
?
?
?
??
7.6.2 理想滤波器的冲激响应
? 理想 L带数字滤波器 HML(z)的零相位频率响应,
,,2,1,,)( 1 LkAeH kkkjML ????? ? ????
??? ?? La n dw h er e 0 0
?
?
???
L
l
l
llML n
nAAnh
1
1
)s in ()(][
?
?
?1 ?2 ?3 ?4 ? ?
A1
A2
A3
A4
A5
理想 Hilbert变换器，也
称为 90度相移器
??
?
???
????
??
???
0
0)(
j
jeH j
HT
??
????
o d dnf o rn
nf o r
nh HT 2
e v e n 0
][
?
???? ??? 0,)( jeH jD I F
??
???
?
?
? 0c o s
00
][ n
n
n
n
nh D I F ?
理想的离散时间微分器，用于
在离散时间域上对连续时间信
号的抽样值进行差分运算
? 对于给顶的理想滤波器的冲激响应系数进行简单截短，得到的因果 FIR
滤波器的幅度响应呈现振动的现象，通常称为 Gibbs现象
? 随着滤波器长度的增加，通带和阻带的波纹数增加，而波纹的宽度相
应减小，但是在截止频率两边出现的最大波纹的高度仍然保持不变，它
与滤波器的长度无关，并且近似等于理想滤波器通带和阻带幅度差的
11%
? 在其他类型的理想滤波器冲激响应的截短频率响应中，同样可以观察
到类似的现象
? 产生 Gibbs现象的原因可以解释为：截短运算可以认为是将无限长冲激
响应系数与一个有限长的窗序列 w[n]相乘的结果
7.6.3 Gibbs现象
Normalized frequency/?
Normalized frequency/?
Normalized frequency/?
][][][ nwnhnh dt ?? ?
?
?? ?
?
???? ?
? deWeHeH
jj
d
j
t )()(2
1)( )(
w[n],N=21 )( ?jeW
??
? ???
o t h e r wi s e
Mnnw
0
01][
)2/s in (
)2/]12s in ( [)(
?
??? ??? ?
??
? MeeW M
Mn
njj
方窗
H
d
( ? ? )
o
￡ ?
c
?
c
￡ ?
?
?
W
R
( ? ? )
￡ 2 ? ? / N
2 ? ? / N
o
?
?
?
?
?
H
d
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H
d
( ? ? )
H
d
( ? ? )
H ( ? ? )
o
o
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o
?
c
W
R
( ? ￡ ? ? )
? ￡ ? ?
c
W
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( ? ￡ ? ? ) N
π2
c??
￡ ?
￡
N
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c?
￡
W
R
( ? ￡ ? ? ) N
π2
c??
￡ ?
￡ ?
N
π2
c?
￡ ?
0, 0 8 9 5
0, 5
0, 0 4 6 8
?
c
￡ 0, 0 8 9 5
0, 0 4 6 8
0, 5
￡ ?
c
( a )
( b )
( c )
( d )
( e )
( f )
()
()
1 ( ) ( )
2
j
t
jj
d
He
H e W e d
?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
-0.4? 0.4?
)( ?jd eH
*
Normalized frequency/?
Normalized frequency/?
N=21
-0.4? 0.4?
)( ?jd eH
*
N=61
Normalized frequency/?
Normalized frequency/?
)2/s in (
)2/]12s in ( [)(
?
??? ??? ?
??
? MeeW M
Mn
njj
Normalized frequency/?
? 主瓣宽度定义为中心频率点 ?=0 两侧的两个最近的零值点之间的距离：
4?/(2M+1)，它决定了主瓣的性质。频率响应中的其他波纹成为旁瓣,
? 随着 M的增大，主瓣和旁瓣的宽度都随之减小。但是主瓣和旁瓣下的面积都
保持不变。这表明随着 M的增加，波纹的振幅没有减小
? 当 M增加到某一程度，主瓣非常窄,Ht(ej?)将会很接近 Hd(ej?)，但这会增加
运算的复杂度
? 矩形窗在 -M?n?M 以外的范围有陡峭的下降沿，它是加窗理想滤波器冲激响
应序列出现 Gibbs现象的原因,,
? Gibbs现象可以通过采用两边都逐渐平滑减少到零的窗函数，或从通带到阻
带有平滑的过渡带的方法来减少。使用渐变的窗函数可以使旁瓣的高度减小，
但使主瓣的宽度相应地增加，结果在不连续点间出现了更宽的过渡带
)12/(22/)12( ????? MM ????
Hann,MnM
M
nnw ???
??? ) ],12
2c o s (1[5.0][ ?
7.6.4 固定窗函数
Hamming,
MnMM nnw ?????? ),12 2c o s (46.054.0][ ?
Blackman,
MnMM nM nnw ???????? ),12 4c o s (5.0 8 0.0)12 2c o s (5.042.0][ ??
?
?
? ???
o t h e r wi s e
Mnnw
0
01][Rectangular,
? 一个窗函数的性能主要取决于它的两个参数，即主瓣宽度和相对旁瓣级
? 相对旁瓣级是最大旁瓣与主瓣以 dB为单位的幅度差值
? 最大通带偏移和最小阻带值之间的距离近似等于窗的主瓣宽度
? 为了保证从通带快速过渡到阻带，窗函数应该有一个非常小的主瓣，另一方
面，为了减小通带和阻带波纹，旁瓣下的面积也要求非常小。遗憾的是，这两
个要求是相互矛盾的。
Rectangular Window Hamming Window
Hanning Window Blackman Window
Type of
windows
Main lobe
width
Relative
sidelobe level
Minimum
stopband
attenuation
Transition
bandwidth
Rectangular 4?/(2M+1) 13.3dB 20.9dB 0.92?/M
Hann 8?/(2M+1) 31.5dB 43.9dB 3.11?/M
Hamming 8?/(2M+1) 42.7dB 54.5dB 3.32?/M
Blackman 12?/(2M+1) 58.1dB 75.3dB 5.56?/M
固定窗函数的特性
?一些窗函数提供了额外的参数以控制波纹
多尔夫 -切比雪夫窗
凯泽窗
MnMM nkM kTrMnw
M
k
k ?????
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2c o s
12c o s2
1
12
1][
1
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T(x)为切比雪夫多项式
? ?? ?
? ? MnMI
MnInw ?????,/1][
0
2
0
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?
I(x)为修正 0阶贝塞尔函数
7.6.5 可调窗函数
?一种消除 Gibbs现象的方法是修正数字滤波器的频率响应的指标，从
而使该滤波器在通带和阻带之间出现一个过渡带，使各频带之间平滑
过渡
)( ?jLP eH
0 -? ? ?p ?s -?p -?s
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c
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?sp ??? ???
7.6.6 具有平滑过渡带的 FIR滤波器的冲激响应
? 由于用来使计算机设计的滤波器与要求的频率响应之间的误差最小
化的迭代最优化技术的提出，出现了很多基于该最优化技术的滤波器
设计方法
?在商业上有很多可供选择的软件包，它们使得数字滤波器的计算机
设计相当简单
)()( ?jeHzH ?
需设计的滤波器传输函数
)( ?jeD
期望的频率响应
某种准则下的
逼近
7.7 数字滤波器的计算机辅助设计
)]()()[()( ????? jjj eDeHeW ??
定义加权误差函数
用户定义的某些正的权重函数
? 经常使用的一种逼近方法称为 Chebyshev或 minimax准则，用来最小
化加权误差函数峰值的绝对值
? 另一种逼近方法称为 least-p 准则，是在一个特定的频率范围 R内使
加权误差函数的 p次幂的积分最小
R?
?
?
???? )(m a x)(
?? ? ??? deDeHeW pR jjj? ? ?? ))()()((
P=2,最小平方准则
?
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K
i
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1
))}()()(({ ????
? 通过最小化加权误差峰值绝对值得到的线性相位 FIR滤波器通常称
为等波纹 FIR滤波器，因为在 ?被最小化后，加权误差函数在感兴趣的
频率范围具有等波纹
? Parks-McClelan算法, 使用最广泛并且效率很高的等波纹 FIR滤波器
设计算法，迭代调整幅度响应的系数直到加权误差的峰值绝对值最小
7.7.1 等波纹线性相位 FIR滤波器设计
)()( 2/ ???? HeeeH jjNj ???
?的实函数
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baif ?????? ???,)( 0
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0
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s t o p b a n d i n t h e0
p a s s b a n d i n t h e1)(?D
)(?H? 必须满足通带波纹 ± ?p,
阻带波纹 ± ?s 的要求
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)()()( ??? AQH ??
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相关连与 ][][~ khka
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)](~)()[(~)( ????? DAW ??
? 最优化问题现在变成在指定的频率带上，确定系数,
使加权近似误差的峰值绝对值最小
Lkka ??0],[~
? 交错定理, 当且仅当在一个频率范围为 0 ? ? ? pi 的闭子集 R内存在至少
L+2个极值角频率 ?0,?1,….,?L+1且 ?0<?1<…< ?L<?L+1,同时，对于所有在
0?i?L+1范围内的 i有 ?(?i)=-?(?i+1)且 时，通过最小化
的 ?(?)的峰值绝对值 ?,振幅函数 A(?)是要求的幅度响应的最佳逼近。
??? ?)( i
)]()()()[()( ?????? DAQW ??
0)()( ?? ????? ddAdd
研究类型 1等波纹低通 FIR滤波器的幅度响应,?(?) 的峰值在 ?=
?i,0?i?L+1,式中 d?(?) / d?=0
])( )()()[()()( ??????? QDAQW ??
1)( ??Q
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Chebyshev 多项式
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x nxknk
knnxT
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L
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kk
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c o s][)A( ???
? A(?) 在指定通带和阻带内有最多 L-1个局部最小和最大点,
? A(?) 在 ?=0和 ?=?有极值
? 在截止频率 ?= ?p,?= ?s,处有最大值 )(??
? 为了得到最优的解，需要解 L+2的方程组,
10,)1()](~)()[(~ ?????? LiDAW iiii ????
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L
L
L
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L
L
LL
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D
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WL
WL
WL
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?????
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?
? 如果已知 L+2个极值频率的位置，原则上可以解出未知数
? Remez 交换算法,是一种高效的迭代算法，常用于确定极值频率的位
置，并在每个迭代阶段包含下面步骤,
)(~
)1(
)(~)(~
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1
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1
1
0
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0
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1
0 )c o s ()c o s (
1L
ni
i in
nc ??
? 步骤 1,任意选择一组，或者从前面完成的过程中选择一组极值频率
的初始值 。
? 步骤 2,求解 ?
? 步骤 3,计算 ?=?i 时的 A(?)
? 步骤 4,利用 Lagrange 插值算法在 L+2个极值频率中插入上面的值，确
定出多项式 A(?)
?步骤 6,如果 ?(?)的峰值 ? 在幅度上相等，则算法是收敛的，否则返回
步骤 2
10),(~)(~ )1()( ?????? LiDWA i
i
i
i ??
??
??
?
? 1
0
)( c o s)()( L
i
ii PAA ???
10,)c o sc o s c o sc o s()( c o s
1
0
?????? ?
?
?
?
LiP
L
il
l li
l
i ??
???
)](~)()[(~)( ????? DAW ??
? 步骤 5,在频率的稠密集 S(S>=L+1) 中，计算新加权误差函数 ?(?)。
在实际中，选择 S=16L就已足够。在频率的稠密集中，由求出的 ?(?)值确定 L+2
个新的极值频率
?
?
??
K
i
jjj iii eDeHeW
1
2))}()()(({ ????
?
?
?
L
k
kkaQ
0
)c o s (][~)()(H~ ???
Lkka ???? ? 0,0][~ ?
? 上式可以生成 L+1个等式的线性方程组，用来求解 ][~ka
7.8 基于最小均方误差的 FIR数字滤波器设计
? 考虑类型 1的线性相位 FIR滤波器
MLkakaQ ??? ],[][~,1)(?
2
1
2/
0
2
1
2/
0
)()()c o s (][)(
)()c o s (][)(
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K
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k
iii
DWkkaW
DkkaW
????
????
ee T??
dHae ?? dHHaH TT ?
? 通常情况下,K>=M，由于直接解通常是病态的，因此上式需要用某种
迭代法，如 Levinson-Durbin算法来求解
?
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)c o s ()()c o s ()()(
)c o s ()()c o s ()()(
)c o s ()()c o s ()()(
22222
11111
KKkkK MWWW
MWWW
MWWW
H
?????
?????
?????
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? ?TKK DWDWDW )()()()()()( 2211 ?????? ??d
