? 连续时间信号的抽样
? 带通信号的抽样
? 模拟低通滤波器设计
? 模拟高通、带通、带阻滤波器设计
? 反混叠滤波器设计
? A/D转换器
? D/A转换器
? 重构滤波器设计
? 连续时间信号的数字处理
)(][][)( tynyn xtx rc
Ideal sampler Discreet-time Processor Ideal interpolator
Anti-
Aliasing
filter
S/H Reconstruction filter A/D Digital Processor D/A x
a(t) ya(t)
? 简化的模型
5.1 介绍
)()(
)()()()()(
)()(p
?
?
?
?
???
?
???
?
???
??
???
??
n
a
n
aap
n
nTtnTx
nTttxtptxtx
nTtt
?
?
?
5.2.1 抽样在频域中的效应
均匀抽样的数学表示
T,采样周期, FT=1/T,采样频率
X Impulse to sequence
)(
][ )( )(
tp
nx t xtx pa
5.2 连续时间信号的抽样
xa (t)
p(t)
xp(t)
x[n]
??
???
??
n
ap nTtnTxtx )()()( ?
混叠
理想采样在频域的表示
?
??
?
?
???
?
???
?
???
?
???
??
???
???????
??
????????
???
k
a
apap
s
k
s
n
t
tj
aaa
T
jkjX
T
jPjXjXtstxtx
sr a d i a n sT
jkj
T
jPnTttp
dtetxjXtx
)
2
(
1
)()(
2
1
)()()()(
.//2
)(
2
)()()(
)()()(
?
?
?
?
?
?
）（抽样角频率—式中，
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ?????? ? ??? tfdtftftttf ??????注,
? ? ?
?
-
N N
) ( j X a
???
?
0 -
)( 2
ss
??
jPπ /T
) 2 (
) (
N
a j X
? < ?
? ? ? ? ?
?
s
s N N s
- -
T 1
? ?
) 2 (
- -
) ( T 1
s
s N N s
N
a j X
? > ?
? ? ? ? ?
?
? ?
22 00 ss TT ??>???<? ??
)]()([
)(
2
)]()([
2
1
)()(
2
1
)(
)()c o s ()(
.c o s)(
00
00
0
0
s
k
s
k
s
cp
k
p
a
kk
T
k
T
jSjXjX
nTtnTtx
ttx
????????????
?????????????
?????
???
??
?
?
?
?
???
?
???
?
???
??
?
?
?
???
?
?
?
???? 00
)( ?jXa
?? ?
)( ?jXp
???????????? - /2 /2-)(- s0ss0s0s 0
T?
)( ?jXp
???????????? /2 - - /2- s0s0s0ss0
T?
例,
Tw h e r emT
?22
T ?????,
采样定理,
设 ga(t) 为带限信号,Ga(j?)=0,? ??> ?m,则 当
下面条件成立时,ga(t) 可以由抽样信号 ga(nT),-? ?
n?+? 唯一确定
Nyquist condition
给定 {ga(nT)},ga(t)可以通过产生一脉冲串 gp(t)，然后
将 gp(t)通过增益为 T、截止频率为 ?c的理想低通 滤波器
Hr(j?) 来准确恢复。其中 ?c满足
)( T mcm ???<?<?
x[n] 的 DTFT X(ej?)与 xa(t) 的连续时间傅立叶变换 Xa(j?)
之间的关系,
))( )(:( n o t e
)(
1
)(
)
2
(
1
)
2
(
1
)(
)( )(
)(][)(
)()()()(
Tjj
k
Ta
Tj
k
a
k
a
j
p
j
n n
nj
a
njj
n
nTj
a
t
tj
ppp
eXeX
jkjX
T
eX
T
k
jX
TT
k
j
T
jX
T
eX
TjXeX
enTxenxeX
enTxdtetxjXtx
?
?
???
?
?
???
?
???
?
???
?
???
??
?
???
??
?
???
??
?
????
?
???
???
??
????
?
??
? ?
??
?
?
?
???
????
?
或
：，可得令，并与比较
Tt
Tt
th
T
jH
jXjHjX
r
c
r
prr
/
/s i n
)(
.,0
,,
)(
)()()(
?
?
?
?
?
? ?<?
??
????
且，
其它
式中，
sequence to
impulse
Hr(jΩ)
)()(][ txtxnx rs
???? cc
)( ?jHrT
5.2.2 模拟信号的恢复,
)2(
)(
N
s jX
?>?
?????
?
s
sNNs
- -
T
1/ T
??
TnTt
TnTt
nTx
nTthnTx
thnTtnTxtx
n
c
r
n
c
r
n
cr
/)(
]/)(s in [
)(
)()(
)()()()(
?
?
?
??
???
?
?
?
?
???
?
???
?
???
?
?
?
理想的带限插值,
?
?
? ?<?
??
??
???
??
?
?
???
?
.,0
,,
)(
)(
)()()(,
,( N y q u i s t ) is
)
2
(
1
)(
它其
式中，
则
足够小若
c
r
a
r
Tj
r
k
a
j
T
jH
jX
jHeXjX
T
T
k
j
T
jX
T
eX
??
? X
Impulse to
sequence
)(
][)()(
ts
nx t xtx sc
(a) C/D
sequence to
impulse
Hr(jΩ)
)()(][ txtxnx rs (b) D/C
???? cc
)( ?jHrT
小结,
例：电影或电视中的车轮倒转假像。
设车轮转速为 v km/h,车轮直径为 0.6m
则 轮频 f = 0.1479v Hz
不混叠 fs = 2W= 0.2958v Hz
一般相机帧率,2~64frame/s 取 fs=16
不混叠最大车速 vmax = 16/0.2958=54.1km/h
即 v>54.1km/h时，电影或电视画面中会出现
车轮倒转假像。
设 ga(t) 为带限信号,Ga(j?)=0,??? <?L 且 ??? > ?H,
??= ?H- ?L，则采样频率必须满足,
)1(2 NMs ?????
NM
LH
H ?
???
??
N 为不大于 的最大整数
LH
H
???
?
5.3 带通信号的采样
图 5.11,5.12
理想低通滤波器,
???? cc
)( ?jH rT
5.4 模拟低通滤波器设计
5.4.1 滤波器特性
典型的模拟低通滤波器幅度响应指标
)( ?jH
c?
1
1+ ?p
1- ?p
?s
?p ?c ?s ?
滤波器特性,
通带 0? ?????p 中,
ppap f o rjH ????????,1)(1 ??
阻带 ?s? ?????中,
??????? ssa f o rjH,)( ?
?p,通带截止频率
?s,阻带截止频率
?p,通带波纹
?s,阻带波纹
?p,通带峰值波纹
?s:最小阻带衰减 dBpp )1(l o g20 10 ?? ???
dBss ?? 10l o g20??
模拟低通滤波器的归一化幅度指标
c?
1
1/A
?p ?c ?s ?
)( ?jH
21
1??
两个参数,
过渡比或选择性参数
分辨参数
s
pk
?
??
121 ?
?
A
k ?
? 模拟滤波器类型
? 巴特沃兹
（ Butterworth filter）
? 切比雪夫
（ Chebyshev filter）
? 椭圆
（ Elliptic filter）
? 贝塞尔
（ Bessel filter）
5.4.2 巴特沃斯滤波器
? ?
c
c
ssH ??
?? ? ?
? ? 1/
1
2 ?????
c
a jH
n阶巴特沃斯滤波器
? ? ? ?
1/
1
2 ????? n
c
a jH
NN
nnNa asasasassH ??????
?
??
1
2
2
1
1
1)(
?
归一化形式 （ ?c=1）
1阶巴特沃斯滤波器
.)1(,
)(
)( 2/)12(2
1
1
NNlj
cc
N
lN
l
l
N
a ejp
ps
csH ??
?
?????
?
?
?
?
?
巴特沃斯 滤波器的 特性,
1,?=0处的 最大平坦幅度特性（前 2N-1阶导数为 0）
2,-3dB截止频率（参数 ?c ）
截止频率dB
dBjHG cac
3,
3)2/1(lo g10)(lo g10)(
c
10
2
10
?
??????
3、滚降的陡峭度（参数 N）
6)(
l o g10)(
1
2
1
2
102
c112
N d BG
G
N
???
??
?
?
??
?
?
?
?
???
?>>???? 时，，
幅度响应与相位响应
巴特沃斯滤波器的设计
巴特沃斯滤波器可以由参数 ?c和 N完全确定。可以通过
指定通带截止频率、最小通带幅度、阻带截止频率和最大
阻带波纹来确定这两个参数。
2 2
122
11( ) ( 1 ),( 1 )
1 ( / ) 1ap NpcHj ??? ? ? ? ?? ? ? ?
2 2
222
11( ),( 2 )
1 ( / )
,
as N
sc
ps
Hj
A
?? ? ? ?
? ? ?
??其 中,, 通 带 截 止 频 率 ；, 阻 带 截 止 频 率 。
22
10 10 1
10 10
l og [ ( 1 ) / ] l og ( 1 / )
,(3)
2 l og ( / ) l og ( 1 / )
N ( 1) ( 2)
sp
c
Ak
N
k
??
??
??
?? 可 由 和 或 确 定 。
1 ( )
1
1 5 40,
a
p
s
Hs
f k H z
dB f k H z dB
?
?
例, 确 定 低 通 滤 波 器 的 最 低 阶 数, 使 其 满 足 下 列
指 标, 在 通 带 内 具 有 最 大 平 坦 特 性, 在 时, 衰
减 为 ； 在 时 衰 减 不 小 于
2
2
2
2
1
( 1 ),
1
10 l og 1,
1
0,2 5 8 9 5,
1
10 l og 40,
1 0,0 0 0
1 / 19 6.5 13 34 1 / 50 00 / 10 0
A
A
A
kk
?
?
?
??
??
??
???
?
??
??
??
??
?
??
确 定 和
由 此 可 得,
因 此 。
1 0 1
10
05
l o g ( 1 / )
3
l o g ( 1 / )
k
N
k
?
??
N=4
N=10
N=2
1
???? scp
2
2
1
1
1
2
)(
A
jH
??
?
Butterworth 滤波器设计举例 (II)
5.4.3切比雪夫滤波器
切比雪夫滤波器 1型滤波器,
)/(1
1)(
22
2
pN
a TjH ????? ?
.)(1)(
,2),()(2)(
,
.1),c o s hc o s h (
,1),c o sc o s (
)(
10
21
1
1
?????
???????
?
?
?
???
???
??
?
?
TT
rTTT
N
N
T
r-r-r
N
，且
迭代关系
切比雪夫多项式,
幅度响应
特点,1、通带内具有等波纹； 2、阻带内单调下降
.)(,,
],s i n [],s i n [
.,,2,1,,
)(
)(:)(
/111
2
1
2
1
2
)12(
2
)12(
1
222
N
N
l
plN
l
pl
lllN
l
l
N
c
a
Nljp
ps
sH
?
?
?
?
?
?
??
???
???
?
????
??
?
???
??????
????
?
?
??
?
?
系统函数,
与巴特沃斯滤波器的主要区别,
1,Butterworth滤波器频率特性，无论在通带与阻带都随频率而单调
变化，因此如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，
也就是会超过指标的要求，因而并不经济。
2,更有效的方法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀
分布在阻带内，或同时均匀在通带与阻带内，这时就可设计出阶数
较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特
性的逼近函数来完成。
切比雪夫滤波器 2型滤波器,
2
2
2
)/(
)/(
1
1)(
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
sN
psN
a
T
T
jH
?
.)1(,,
],s i n [],s i n [
,,
.,,2,1,,
)(
)(
)(:)(
/12
2
1
2
1
2
)12(
2
)12(
1
1
0
22
2222
N
N
l
plN
l
pl
ll
lllN
l
l
N
l
l
a
AA
Nljp
ps
zs
CsH
ll
ls
ll
ls
?????
?????
????
????
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
?
系统函数,
幅度响应
特点,1、通带内单调下降； 2、阻带内具有等波纹
阶数估计,
? ? 212
22
2
1
)/(c o s hc o s h [1
1
)/(1
1
)(
AN
T
jH
ps
psN
sa
?
???
?
???
??
??
?
)/1(c o s h
)/1(c o s h
)/(c o s h
)/1(c o s h
1
1
1
1
21
k
kAN
ps
?
?
?
?
??? ?? ?
( )
1 1 5 4 0,
a
ps
Hs
f k H z d B f k H z d B??
例, 设 计 切 比 雪 夫 低 通 滤 波 器 的 最 低 阶 数, 使 其 满 足 下 列
指 标, 时, 衰 减 为 ； 在 时 衰 减 不 小 于
2
2
2
( 1),
1
10 l og 1,
1
0.258 95.
1
1 0 l og
A
A,
A
?
?
?
??
??
??
???
?
?
?
?
确 定 和
由 此 可 得,
同 样 由 下 式 可 求 得
2
1
1
1
1
40,
10,00 0
1 19 6.5 13 34 1 / 50 00 / 10 00 5
c osh ( 1 / )
2.6 05 91 3
c osh ( 1 / )
A
/ k k
k
N
k
?
?
?
??
?
?
?
? ? ?
? ? ?
因 此, 。
，
5.4.4 椭圆滤波器
）（ pNa RjH ????? /1
1)(
22
2
?
其中 RN（ x） 是雅可比 (Jacobi) 椭圆函数,ε为与通带衰
减有关的参数。
特点,
1、椭圆低通滤波器是一种零、极点型滤波器，它在有限频
率范围内存在传输零点和极点。
2、椭圆低通滤波器的通带和阻带都具有等波纹特性，因此
通带，阻带逼近特性良好。
3、对于同样的性能要求，它比前两种滤波器所需用的阶数
都低，而且它的过渡带比较窄。
椭圆滤波器的幅度响应
,) ( ? j H
阶数估计,
)/1(lo g
)/4(lo g2
10
110
?
kN ?
? ? 20 112 1 kkkk ????? ????
13090500 )(150)(15)(2 ????? ????
( )
1 1 5 4 0,
a
ps
Hs
f k H z d B f k H z d B??
例, 确 定 椭 圆 低 通 滤 波 器 的 最 低 阶 数, 使 其 满 足 下 列
指 标, 时, 衰 减 为 ； 在 时 衰 减 不 小 于
2
2
2
,
1
10 l og 1,
1
0.2 589 5.
1
1 0 l og
A
A,
A
?
?
?
??
??
??
???
?
??
?
??
??
确 定 和
由 此 可 得,
同 样 由 下 式 可 求 得
2
1
0
40,
10,000
1 196.513 34 0.2
0.97979 6 0.00255 135 0.00255 13 525
2.
A
/ k k
k
N
??
?
?
??
? ? ? ?
?
因 此, 。
，
，,
23308
几种滤波器比较
：响应时，几种滤波器的幅频阻带衰减为
通带波纹为当滤波器指标为：
)(60;5.0;/600;/500
?
????
jHdB
dBsr a dsr a d sp
四种滤波器的比较,
巴特沃斯：通带和阻带均具有平滑幅度
切比雪夫 I型：通带内等波纹，阻带平滑
切比雪夫 II型：阻带内等波纹，通带平滑
椭圆：通带、阻带内具有等波纹特性
在相同条件下（阶数、波纹等），过渡带宽度,
巴特沃斯 >切比雪夫 >椭圆
相位：巴特沃斯、切比雪夫在通带 3/4内近似线
性相位，椭圆在通带 1/2内近似线性相位
5.4.5 线性相位滤波器
? 串联全通滤波器
? 贝塞尔滤波器（ Bessel lowpass filter）,
NN
NN ssdsdd
d
sB
dsH
?????? ?? 1110
00
)()( ?
1)(1 ?? ssB 33)( 22 ??? sssB
)()()12()( 221 sBssBNsB NNN ?? ???
1,1,0,)!(!2 )!2( ????? ? Nllnl lNd lNl ?
图 5.19
5.4.5 使用 MATLAB进行模拟滤波器设计
巴特沃斯滤波器
[z,p,k]=buttap(N)
[num,den]=butter(N,Wn,’s’)
[num,den]=butter(N,Wn,’type’,’s’)
[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s,’)
切比雪夫 I型滤波器
[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp)
[num,den]=cheby1(N,Rp,Wn,’s’)
[num,den]=cheby1(N,Rp,Wn,’type’,’s’)
[N,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s,’)
切比雪夫 II型滤波器
[z,p,k]=cheb2ap(N,Rp)
[num,den]=cheby2(N,Rp,Wn,’s’)
[num,den]=cheby2(N,Rp,Wn,’type’,’s’)
[N,Wn]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s,’)
椭圆滤波器
[z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs)
[num,den]=ellip(N,Rp,Rs,Wn,’s’)
[num,den]=ellip(N,Rp,Rs,Wn,’type’,’s’)
[N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s,’)
贝塞尔滤波器滤波器
[z,p,k]=besselap(N)
[num,den]=besself(N,Wn)
[num,den]=besself(N,Wn,’type’)
例 5.8-5.14
? 模拟高通、带通、带阻滤波器可以通过简单的频谱由低
通原型滤波器得到
? 设计步骤,
? 利用频谱变换，由所需的模拟滤波器性能指标得到模拟低通
滤波器的性能指标
? 低通原型滤波器设计
? 用相反的频谱变换将原型低通转换为所需的模拟滤波器
)?()?()( sFsDLP sHsH ?? )(? 1)()?( sFsLPD sHsH ???
)?(sFs?
?
)(sH LP ?? )?(sHD
)(? 1 sFs ??
平面
平面
变换
?
?
?
s
s
:
?
5.5 模拟高通、带通、带阻滤波器滤波器设计
5.5.1 模拟高通滤波器设计
?
?????????
?
?
?
?
pppp
ss
p
p
??
?
?
0
p
p
?
??
??
?
?
?
???? pp
???? ? ? ? pp? ? ? ?,??
?
ss
sHsH pplphp ??
?
?
例 5.15 设计模拟高通巴特沃兹滤波器：通带截止频率 4kHz，阻带
截止频率 1kHz，通带波纹 0.1dB，最小阻带衰减 40dB,
1??p
41 0 0 02 4 0 0 02 ????? ??s
（ 2）用 MATLAB设计原型低通滤波器
[N,Wn]=buttord(1,4,0.1,40,’s’);
[B,A]=butter(N,Wn,’s’);
[num,den]=lp2hp(B,A,2*pi*4000);
低通原型的指标如下：通带截止频率 1弧度 /秒，阻带截
止频率 4弧度 /秒，通带波纹 0.1dB，最小阻带衰减 40dB,
（ 1） 选择原型低通滤波器
或：
[N,Wn]=buttord(8000*pi,2000*pi
,0.1,40,’s’);
[num,den]=butter(N,Wn,’high’,’s
’);
5.5.2 模拟带通滤波器设计
p
p
??
?
?
0
21
21
0
?,?
?,?
?
?
pp
pp
???
???
??
?
202121 ????? ??????? sspp
???? pp
??????? ? ? ? ? ? p2p112 pp
0??0???
? ? ? ?
???
?
???
? ???
??
??
?
1?2?
2
0?
2
?
??
pp
p
lpbp
s
sssHsH
(Passband center frequency)
? ? ? ?12
22
0
12
2
0
2
???
??
???
??
pp
p
pp
p s
ss
????
????????
???
????
，　如果　 2121 ???? sspp ????? 例如
，　2121 ???? sspp ??>??
则 可以减少到 或 可以增加到, 以满
足条件 。在前面一种情况中，新的通带会大于希
望的通带；后一种情况的左边过渡带会小于原来设计值。
1?p? 　221 ?/?? pss ??? 1
?s? 　221 ?/?? spp ???
202121 ????? ??????? sspp
例 5.16 设计模拟椭圆带通滤波器：通带截止频率 4kHz和
7kHz，阻带截止频率 3kHz和 8kHz，通带波纹 1dB，最小
阻带衰减 22dB,
4.137/25 924 ????? s
低通原型的指标如下：通带截止频率 1弧度 /秒，阻带截止
频率 1.4弧度 /秒，通带波纹 1dB，最小阻带衰减 22dB,
　,621621 1024??1028?? ???????? sspp（ 1） 减少前面的通带截止
频率到 24/7=3.429kHz。则通带中心频率为 4.899kHz，通带
带宽为 25/7=3.571kHz，选择原型模拟低通滤波器通带截止
频率为 1，低通滤波器阻带截止频率为,
（ 2）用 MATLAB设计原型低通滤波器
[N,Wn]=ellipord(1,1.4,1,22,’s’);
[B,A]=ellip(N,1,22,Wn,’s’);
[num,den]=lp2bp(B,A,2*pi*4.899,2*pi*25/7);
或,Wp=[3.429 7]*2*pi;
Ws=[3 8]*2*pi;
[N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,1,22,’s’);
[num,den]=ellip(N,1,22,Wn,’s’);
5.5.3 模拟带阻滤波器设计
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实际的抗混叠滤波器需满足,
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5.6 抗混叠滤波器设计
可以通过过采样来降低抗混叠滤波器的要求
实际 A/D转换器由 采样 /保持电路 ( i.e.,zero-order holder)和 ADC组成,
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式中
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(a) 采样保持（ S/H）电路（图 5.30）
S/H 电路 A/D 转换器
A /D
BT,T
B
转换过程实际
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5.7 实际 A/D的实现
主要参数,
1、取数据时间：保持模式切换到抽样模式以及在给定
精度下获取输入模拟信号数据所需的全部时间。
2、缝隙时间：开关从抽样模式切换到保持模式所需要
的时间
3、固定偏差：保持电容泄漏产生的每秒保持电压的漂
移。
量化：用有限个幅度值近似原来连续变化的幅度值，把模
拟信号的连续幅度变为有限数量的有一定间隔的离散值。
闪速 A/D转换器
串联 -并联 A/D转换器
逐次逼近 A/D转换器
记数 A/D转换器
过抽样 sigma-delta A/D转换器
(b) 采样保持（ S/H）电路（图 5.30）
量化步长 (quantization step),
当用 N比特对取值在一定范围的模拟信号进行编码时，每个
采样值必须编码为 2N个编码电平之一，各电平之间的间距称为量
化步长,
（其中 R是最大标定模拟范围,N是比特数）也称为量化器的分
辨率 (resolution)
量化分类,
标量量化
?线性量化 (linear):采用等距离的间隔空间；
?非线性量化 (Nonlinear):采用不同的间隔空间，如,对数量
化法”；
?单极量化 (unipolar):被量化的信号只有正极性；
?双极量化 (bipolar):被量化的信号有正负极性
矢量量化
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—舍入，—
量化误差
式中，
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ne
nxnx
][
][?][
实际 A/D转换器的误差,
量化误差、转换时间、线性误差、微分非线性误差、增益误差、偏移误
差、溢出误差等
量化噪声 (quantization noise)的评估与信噪比
D/C 理想 LPF
D / A
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t)
转换过程
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D/A过程由 D/C和低通滤波器组成,
5.8 实际 D/A 的实现 (I)
D/A转换器
D/C S/H
D / A
T
t) ( t )
转换过程实际
()(][ 0 rs xxtxnx 重构滤波器
实际 D/A转换器由 D/C,保持电路和重构滤波器组成,
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重构滤波器
，
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H(jΩ)
D/A转换器种类,
1、加权电阻 D/A转换器
2、梯状电阻 D/A转换器
3、过抽样 sigma-delta D/A转换器
实际 A/D转换器的特性,
分辨率、转换时间、积分线性误差、微分非线性、偏移误差、
增益误差、毛刺
作业,
5.4 5.8 5.17 5.23