管理数学I 习题二
用随机变量来描述掷一枚骰子的试验结果，并写出它的分布律。
解：令X为掷一枚骰子的试验结果，则X的取值为1，2，3，4，5，6。 并且X取其中任一值的概率都是1/6。其分布律如下：
X
1
2
3
4
5
6
p
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
某试验成功的概率为，X代表第二次成功之前试验失败的次数，写出X的分布律。
答:X的分布律为:
X
0
1
2
3
…
n
…
p
p2
2*p2(1-p)
3*p2(1-p)2
4*p2(1-p) 3
…
(n+1)p2(1-p)n
…
3．下表能否为某个随机变量的分布律？为什么？
X
1
2
3
p
0.15
0.45
0.6
答:不能,因为0.15+0.45+0.6 = 1.2 > 1。
4．产品有一、二、三等品和废品四种，一、二、三等品率和废品率分别为55%、25%、19%、1%，任取一件产品检验其质量等级，用随机变量X表示检验结果，并写出其分布律和分布函数。
答： X的分布律为：
X
1
2
3
4
p
0.55
0.25
0.19
0．1
分布函数为：
5．设某种试验成功的概率为0.7，现独立地进行10次这样的试验。问是否可以用一个服从二项分布的随机变量来描述这10次试验中成功的次数？如何描述？请写出它的分布以及分布的数学期望和标准差。
答: 本题中实验的结果只有两种,成功,不成功,符合Bernoulli实验的特征。令X为10次实验中成功的次数，显然X的取值范围就是0，1，2 …，10，而且X取k的概率为：
其中k为0-10间的自然数。显然可以用服从二项分布的随机变量来描述这10次实验中成功次数。具体分布就是
数学期望 E(X) = n*p = 10*0.7 = 7
标准差
6．如果你是一个投资咨询公司的雇员，你告诉你的客户，根据历史数据分析结果，企业A的平均投资回报比企业B的高，但是其标准差也比企业 B的大。你应该如何回答客户提出的如下问题：
是否意味着企业A的投资回报肯定会比企业B的高？为什么？
是否意味着客户应该为企业A而不是企业B投资？为什么？
答: (1) 平均投资回报反映的是长期的平均结果。就某一年或短期而言，并不能说A的投资回报一定比B高。
（2）不一定。实际上，选择的结果依赖于不同决策者对待风险的态度。
7．某公司估计在一定时间内完成某项任务的概率如下：
天数
1
2
3
4
5
概率
0.05
0.20
0.35
0.30
0.10
求该任务能在3天（包括3天）之内完成的概率；
答：3天之内完成的概率为 0.05+0.20+0.35 = 0.60。
求完成该任务的期望天数；
答：任务完成的期望天数 E = 1*.05 + 2*.20 + 3*.35 + 4*.30 + 5*.10 = 3.2 天。
该任务的费用由两部分组成——20,000元的固定费用加每天2,000元，求整个项目费用的期望值；费用=20000+2000*完成任务天数
答：费用期望值 E（费用）= 20000 + 2000*3.2 = 26400 (元)。
求完成天数的标准差。
解：方差D(X) = E(X2) – (E(X))2 = 12*0.05+22*0.2+32*0.35+42*0.3+52*0.1 – 10.24 = 1.06
则 标准差σ=1.03
8．求4中随机变量X的期望和方差，以及。
解: 期望 E(X) = 1*0.55 + 2*0.25 + 3*0.19 + 4*0.01 = 1.66
E(X2) = 12*0.55+22*0.25+32*0.19+42*0.01 = 0.55 + 1.0 + 1.71 + 0.16 = 3.42
方差 D(X) = E(X2)- (E(X))2 = 3.42 – 1.662 = 0.6644
9．设随机变量的概率密度函数为
求（1），（2）的数学期望。
解: (1) E(Y) = E(2X) = 2E(X) = 2dx = 2dx = (– 2x – 2)= 2
E(Y) = E() = == – = –=
一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，概率密度为
工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。
解: 设备寿命小于一年的概率 P() = = = 1 －
又因为设备寿命小于一年时厂方的收益为 100 - 300 = -200 元
而设备寿命大于一年时厂方的收益为 100 元
故出售一台设备净赢利的数学期望
E = 100* P(X >1) －200* P(X < 1)
= 100*(1 - P(X <1)) －200* P(X < 1)
= 100 – 300*(1 –) = 300*0.7788 – 200 = 33.64 (元)
11．设与为随机变量，，，，。在下列情况下，求和：
（1）；
（2）；
（3）。
答：三种情况下，E(3X-Y)的值都相同，且为
E(3X-Y) = 3E(X)-E(Y) = 11。
而D(3X-Y)的值各不相同，分别为：
D(3X-Y) = 9D(X) + D(Y) – 2*3*Cov(X,Y) = 81 + 4 – 6 = 79
D(3X-Y) = 9D(X) + D(Y) – 2*3*Cov(X,Y) = 81 + 4 – 0 = 85
D(3X-Y) = 9D(X) + D(Y) – 2*3*Cov(X,Y) = 81 + 4 + 6 = 91
查表求：，，，。
答: = 1.645; = 1.96; = – 1.96; = – 1.28
13．某零件的寿命服从均值为1200小时，标准差为50小时的正态分布。随机地抽取一只零件，试求：
它的寿命不低于1300小时的概率；
它的寿命在1100小时和1300小时之间的概率；
它的寿命不低于多少小时的概率为95%？
解: 据题意 μ= 1200 σ= 50 故:
(1)
(2)
设寿命不低于x小时的概率为95% 则有
一工厂生产的电子管寿命（以小时计算）服从期望值为的正态分布，若要求：，允许标准差最大为多少？
解：
所以允许标准差最大为31.25
