第 10章 伪随机序列
10.1 m序列的产生
10.2 m序列的性质
10.3 m序列的应用
10.1 m序列的产生
10.1.1 线性反馈移位寄存器图 10-1 线性反馈移位寄存器
a
n － 1
1
a
n － 2
2
a
1
n － 1
a
0
＋
c
1
＋
c
2
＋
c
n － 1
c
n
＝ 1c
0
＝ 1
n
输出 a k
由于带有反馈,因此在移位脉冲作用下,移位寄存器各级的状态将不断变化,通常移位寄存器的最后一级做输出,
输出序列为
110}{ nk aaaa
输出序列是一个周期序列 。 其特性由移位寄存器的级数,
初始状态,反馈逻辑以及时钟速率 (决定着输出码元的宽度 )所决定 。 当移位寄存器的级数及时钟一定时,输出序列就由移位寄存器的初始状态及反馈逻辑完全确定 。 当初始状态为全零状态时,移位寄存器输出全 0 序列 。 为了避免这种情况,
需设置全 0 排除电路 。
1.
递推关系式又称为反馈逻辑函数或递推方程 。 设图 10-1 所示的线性反馈移位寄存器的初始状态为 (a0 a1 …an-2 an-1),经一次移位线性反馈,移位寄存器左端第一级的输入为
n
i
ininnnnn acacacacaca
1
0112211?
若经 k次移位，则第一级的输入为
n
i
ilil aca
1
其中,l=n+k-1≥n,k=1,2,3,…
2.
用多项式 f(x)来描述线性反馈移位寄存器的反馈连接状态：
n
i
i
i
n
n xcxcxccxf
0
10)(?
若一个 n次多项式 f(x)
(1) f(x)为既约多项式 (即不能分解因式的多项式 )
(2) f(x)可整除 (xp+1),p=2n-1;
(3) f(x)除不尽 (xq+1),q<p。
则称 f(x)为本原多项式。
10.1.2 m序列产生器现以 n=4为例来说明 m序列产生器的构成 。 用 4 级线性反馈移位寄存器产生的 m序列,其周期为 p=24-1=15,其特征多项式 f(x)是 4 次本原多项式,能整除 (x15+1)。 先将 (x15+1)分解因式,使各因式为既约多项式,再寻找 f(x)。
)1) ( (1(
)1)(1)(1(1
23434
42
15
xxxxxx
xxxxxx
图 10-2 m序列产生器
a
3
1
a
2
2
＋
a
1
3
a
0
4
a
k
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
0 1 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
… … … …
10.2.1 均衡特性 (平衡性 )
m序列每一周期中 1 的个数比 0 的个数多 1 个 。 由于
p=2n-1 为奇数,因而在每一周期中 1 的个数为 (p+1)/2=2n-1为偶数,而 0 的个数为 (p-1)/2=2n-1-1 为奇数 。 上例中 p=15,1 的个数为 8,0 的个数为 7。 当 p足够大时,在一个周期中 1 与 0
出现的次数基本相等 。
10.2 m 序列的性质
10.2.2 游程特性 (游程分布的随机性 )
我们把一个序列中取值 (1 或 0)相同连在一起的元素合称为一个游程 。 在一个游程中元素的个数称为游程长度 。 例如图 10-2 中给出的 m
{ak}= 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 …
在其一个周期的 15 个元素中,共有 8 个游程,其中长度为 4 的游程一个,即 1 1 1 1; 长度为 3 的游程 1 个,即 0
0 0； 长度为 2 的游程 2个,即 1 1 与 0 0； 长度为 1 的游程 4
个,即 2 个 1 与 2 个 0。
m序列的一个周期 (p=2n-1)中,游程总数为 2n-1。 其中长度为 1 的游程个数占游程总数的 1/2；长度为 2 的游程个数占游程总数的 1/22=1/4；长度为 3 的游程个数占游程总数的
1/2 3=1/8； ……一般地,长度为 k的游程个数占游程总数的
1/2k=2-k,其中 1≤k≤(n-2)。 而且,在长度为 k 游程中,连 1游程与连 0 游程各占一半,长为 (n-1)的游程是连 0 游程,长为 n 的游程是连 1 游程 。
10.2.3 移位相加特性 (线性叠加性 )
m序列和它的位移序列模二相加后所得序列仍是该 m序列的某个位移序列 。 设 mr是周期为 p的 m序列 mp r次延迟移位后的序列,那么
srp mmm
其中 ms为 mp某次延迟移位后的序列。 例如，
mp=0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1,…
mp延迟两位后得 mr,再模二相加
mr=0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0,…
ms=mp +mr=0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1,…
可见,ms=mp+mr为 m p延迟 8 位后的序列。
10.2.4 自相关特性
m序列具有非常重要的自相关特性 。 在 m序列中,常常用
+1代表 0,用 -1代表 1。 此时定义：设长为 p的 m序列,记作
)12(,,,,321 np paaaa?
经过 j次移位后,m序列为
pjjjj aaaa,,,,321?
其中 ai+p=ai(以 p 为周期 ),以上两序列的对应项相乘然后相加,
利用所得的总和
p
i
ijipjpjjj aaaaaaaaaa
1
332211?
来衡量一个 m序列与它的 j次移位序列之间的相关程度,并把它叫做 m序列 (a1,a2,a3,…,ap)的自相关函数 。 记作
p
i
iji aajR
1
)(
当采用二进制数字 0 和 1 代表码元的可能取值时
p
DA
DA
DAjR
)(
p
aaaajR jiijii ]1[]0[)( 的数目的数目
由移位相加特性可知,仍是 m序列中的元素,所以式 (10-7)分子就等于 m序列中一个周期中 0 的数目与 1 的数目之差 。 另外由 m序列的均衡性可知,在一个周期中 0 比 1 的个数少一个,故得 A-D=-1(j为非零整数时 )或 p(j为零时 )。 因此得
jii aa
p
jR 1
1
)(
)1(,,2,1
0
pj
j
m序列的自相关函数只有两种取值 (1和 -1/p)。 R(j)是一个周期函数，即
)()( kpjRjR
式中,k=1,2,…,p=(2n-1)为周期。 而且 R(j)是偶函数,即
)()( jRjR j=整数图 10-3 m序列的自相关函数
R ( j)
1
1 2 3－1－2－3－ P P －1 P
j
0
10.2.5 伪噪声特性如果我们对一个正态分布白噪声取样,若取样值为正,记为 +1,取样值为负,记为 -1,将每次取样所得极性排成序列,
可以写成
…+1,-1,+1,+1,+1,-1,-1,+1,-1,…
这是一个随机序列,
(1) 序列中 +1 和 -1
(2) 序列中长度为 1 的游程约占 1/2,长度为 2 的游程约占
1/4,长度为 3 的游程约占 1/8,… 一般地,长度为 k的游程约占
1/2k,而且 +1,-1
(3) 由于白噪声的功率谱为常数，因此其自相关函数为一冲击函数 δ(τ)。
10.3 m序列的应用
10.3.1 扩展频谱通信图 10-4 扩展频谱通信系统调制 × ＋ × 带通 解调
d ( t )
信码
n ( t )A c o s ω
c
t
d ( t )
信码载波 扩频函数 噪声 解扩函数扩展频谱技术的理论基础是山农公式 。 对于加性白高斯噪声的连续信道,其信道容量 C与信道传输带宽 B及信噪比 S/N之间的关系可以用下式表示
NSBC 1l o g 2
这个公式表明,在保持信息传输速率不变的条件下,信噪比和带宽之间具有互换关系 。 就是说,可以用扩展信号的频谱作为代价,换取用很低信噪比传送信号,同样可以得到很低的差错率 。
(1)
(2) 信号的功率谱密度很低,
(3) 有利于加密,
(4)
(5)
(6) 可以进行高分辨率的测距 。
扩频通信系统的工作方式有：直接序列扩频,跳变频率扩频,跳变时间扩频和混合式扩频 。
1,
图
10-
5
直扩系统方框图和扩频信号传输图伪 码发生器模 2
加法器调相器本振钟数据发射机发射机解调器中频相关器调相器载波
V C O
接收机前站本振钟
V C O
伪 码发生器数据载波跟踪误 差码跟踪误差
( a )
0 1
1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
π 0 π 0 π π π 0 0 π 0 π π π π 0 0 π π 0 0 0 0 π π
π 0 π 0 π π π 0 0 π 0 π 0 0 0 π π 0 0 π π π π 0 0
0 1
( b )
( 1 ) 信息码
( 2 ) 伪码
( 3 ) 发送序列
( 4 ) 发端载波相位
( 5 ) 收端载波相位
( 6 ) 中频相位
( 7 ) 解调信息
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 π π π π π π π π π π π π π
2,跳变频率扩频方式伪噪声发生器频 率合成器
2
信 源
1
d ( u,t )
中频带通滤 波 器混频器伪噪声发生器
5
到解调器频 率合成器
4
3
1 跳频指令
2 频移载波
f
1
f
2
f
3
f
4
3 参考码
4 参考的频移载波
f
1
＋ 1 F f
2
＋ 1 F f
3
＋ 1 F f
4
＋ 1 F
5 送到解调器的相干中频图 10-6 跳频系统原理图
3,跳变时间扩频方式跳变时间扩频 (Time Hopping Spread Spectrum)又称为跳时,
该系统是用伪码序列来启闭信号的发射时刻和持续时间 。 该方式一般和其它方式混合使用 。
以上 3 种工作方式是基本的工作方式，最常用的是直扩方式和跳频方式两种。
4,混合式扩频方式在实际系统中,仅仅采用单一工作方式不能达到所希望的性能时,往往采用两种或两种以上工作方式的混合式扩频 。
FH/DS,DS/TH,FH/TH 等 。
10.3.2 码分多址 (CDMA)通信图 10-7 码分多址扩频通信系统模型延迟 τ
1
× ×
c o s ω
c
tPN
1
延迟 τ
k
× ×
Σ
c o s ω
c
tPN
k
……
＋ × × ∫
c o s ω
c
t PN
i
n ( t )
d
i
d
1
d
k
10.3.3 通信加密图 10-8 利用 m序列加密信源 ＋ 发送 信道 接收 ＋ 用户
m 序列产生器
m 序列产生器
Y Y
E X
1
EX
1
图 10-9 数字信号的加密与解密
1 0 1 1 0 1 0 0 1 1
1 1010 00 01 1
0 0 011011 10
1 0 1 1 0 1 0 0 1 1
原始信码 X
1
m 序列 Y
加密输出 E
解密输出 X
1
10.3.4 误码率的测量图 10-10 误码率测试
m 序列发生器数传机发送端信道数传机接收端
＋
误码计数器
m 序列发生器
10.1 m序列的产生
10.2 m序列的性质
10.3 m序列的应用
10.1 m序列的产生
10.1.1 线性反馈移位寄存器图 10-1 线性反馈移位寄存器
a
n － 1
1
a
n － 2
2
a
1
n － 1
a
0
＋
c
1
＋
c
2
＋
c
n － 1
c
n
＝ 1c
0
＝ 1
n
输出 a k
由于带有反馈,因此在移位脉冲作用下,移位寄存器各级的状态将不断变化,通常移位寄存器的最后一级做输出,
输出序列为
110}{ nk aaaa
输出序列是一个周期序列 。 其特性由移位寄存器的级数,
初始状态,反馈逻辑以及时钟速率 (决定着输出码元的宽度 )所决定 。 当移位寄存器的级数及时钟一定时,输出序列就由移位寄存器的初始状态及反馈逻辑完全确定 。 当初始状态为全零状态时,移位寄存器输出全 0 序列 。 为了避免这种情况,
需设置全 0 排除电路 。
1.
递推关系式又称为反馈逻辑函数或递推方程 。 设图 10-1 所示的线性反馈移位寄存器的初始状态为 (a0 a1 …an-2 an-1),经一次移位线性反馈,移位寄存器左端第一级的输入为
n
i
ininnnnn acacacacaca
1
0112211?
若经 k次移位，则第一级的输入为
n
i
ilil aca
1
其中,l=n+k-1≥n,k=1,2,3,…
2.
用多项式 f(x)来描述线性反馈移位寄存器的反馈连接状态：
n
i
i
i
n
n xcxcxccxf
0
10)(?
若一个 n次多项式 f(x)
(1) f(x)为既约多项式 (即不能分解因式的多项式 )
(2) f(x)可整除 (xp+1),p=2n-1;
(3) f(x)除不尽 (xq+1),q<p。
则称 f(x)为本原多项式。
10.1.2 m序列产生器现以 n=4为例来说明 m序列产生器的构成 。 用 4 级线性反馈移位寄存器产生的 m序列,其周期为 p=24-1=15,其特征多项式 f(x)是 4 次本原多项式,能整除 (x15+1)。 先将 (x15+1)分解因式,使各因式为既约多项式,再寻找 f(x)。
)1) ( (1(
)1)(1)(1(1
23434
42
15
xxxxxx
xxxxxx
图 10-2 m序列产生器
a
3
1
a
2
2
＋
a
1
3
a
0
4
a
k
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
0 1 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
… … … …
10.2.1 均衡特性 (平衡性 )
m序列每一周期中 1 的个数比 0 的个数多 1 个 。 由于
p=2n-1 为奇数,因而在每一周期中 1 的个数为 (p+1)/2=2n-1为偶数,而 0 的个数为 (p-1)/2=2n-1-1 为奇数 。 上例中 p=15,1 的个数为 8,0 的个数为 7。 当 p足够大时,在一个周期中 1 与 0
出现的次数基本相等 。
10.2 m 序列的性质
10.2.2 游程特性 (游程分布的随机性 )
我们把一个序列中取值 (1 或 0)相同连在一起的元素合称为一个游程 。 在一个游程中元素的个数称为游程长度 。 例如图 10-2 中给出的 m
{ak}= 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 …
在其一个周期的 15 个元素中,共有 8 个游程,其中长度为 4 的游程一个,即 1 1 1 1; 长度为 3 的游程 1 个,即 0
0 0； 长度为 2 的游程 2个,即 1 1 与 0 0； 长度为 1 的游程 4
个,即 2 个 1 与 2 个 0。
m序列的一个周期 (p=2n-1)中,游程总数为 2n-1。 其中长度为 1 的游程个数占游程总数的 1/2；长度为 2 的游程个数占游程总数的 1/22=1/4；长度为 3 的游程个数占游程总数的
1/2 3=1/8； ……一般地,长度为 k的游程个数占游程总数的
1/2k=2-k,其中 1≤k≤(n-2)。 而且,在长度为 k 游程中,连 1游程与连 0 游程各占一半,长为 (n-1)的游程是连 0 游程,长为 n 的游程是连 1 游程 。
10.2.3 移位相加特性 (线性叠加性 )
m序列和它的位移序列模二相加后所得序列仍是该 m序列的某个位移序列 。 设 mr是周期为 p的 m序列 mp r次延迟移位后的序列,那么
srp mmm
其中 ms为 mp某次延迟移位后的序列。 例如，
mp=0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1,…
mp延迟两位后得 mr,再模二相加
mr=0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0,…
ms=mp +mr=0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1,…
可见,ms=mp+mr为 m p延迟 8 位后的序列。
10.2.4 自相关特性
m序列具有非常重要的自相关特性 。 在 m序列中,常常用
+1代表 0,用 -1代表 1。 此时定义：设长为 p的 m序列,记作
)12(,,,,321 np paaaa?
经过 j次移位后,m序列为
pjjjj aaaa,,,,321?
其中 ai+p=ai(以 p 为周期 ),以上两序列的对应项相乘然后相加,
利用所得的总和
p
i
ijipjpjjj aaaaaaaaaa
1
332211?
来衡量一个 m序列与它的 j次移位序列之间的相关程度,并把它叫做 m序列 (a1,a2,a3,…,ap)的自相关函数 。 记作
p
i
iji aajR
1
)(
当采用二进制数字 0 和 1 代表码元的可能取值时
p
DA
DA
DAjR
)(
p
aaaajR jiijii ]1[]0[)( 的数目的数目
由移位相加特性可知,仍是 m序列中的元素,所以式 (10-7)分子就等于 m序列中一个周期中 0 的数目与 1 的数目之差 。 另外由 m序列的均衡性可知,在一个周期中 0 比 1 的个数少一个,故得 A-D=-1(j为非零整数时 )或 p(j为零时 )。 因此得
jii aa
p
jR 1
1
)(
)1(,,2,1
0
pj
j
m序列的自相关函数只有两种取值 (1和 -1/p)。 R(j)是一个周期函数，即
)()( kpjRjR
式中,k=1,2,…,p=(2n-1)为周期。 而且 R(j)是偶函数,即
)()( jRjR j=整数图 10-3 m序列的自相关函数
R ( j)
1
1 2 3－1－2－3－ P P －1 P
j
0
10.2.5 伪噪声特性如果我们对一个正态分布白噪声取样,若取样值为正,记为 +1,取样值为负,记为 -1,将每次取样所得极性排成序列,
可以写成
…+1,-1,+1,+1,+1,-1,-1,+1,-1,…
这是一个随机序列,
(1) 序列中 +1 和 -1
(2) 序列中长度为 1 的游程约占 1/2,长度为 2 的游程约占
1/4,长度为 3 的游程约占 1/8,… 一般地,长度为 k的游程约占
1/2k,而且 +1,-1
(3) 由于白噪声的功率谱为常数，因此其自相关函数为一冲击函数 δ(τ)。
10.3 m序列的应用
10.3.1 扩展频谱通信图 10-4 扩展频谱通信系统调制 × ＋ × 带通 解调
d ( t )
信码
n ( t )A c o s ω
c
t
d ( t )
信码载波 扩频函数 噪声 解扩函数扩展频谱技术的理论基础是山农公式 。 对于加性白高斯噪声的连续信道,其信道容量 C与信道传输带宽 B及信噪比 S/N之间的关系可以用下式表示
NSBC 1l o g 2
这个公式表明,在保持信息传输速率不变的条件下,信噪比和带宽之间具有互换关系 。 就是说,可以用扩展信号的频谱作为代价,换取用很低信噪比传送信号,同样可以得到很低的差错率 。
(1)
(2) 信号的功率谱密度很低,
(3) 有利于加密,
(4)
(5)
(6) 可以进行高分辨率的测距 。
扩频通信系统的工作方式有：直接序列扩频,跳变频率扩频,跳变时间扩频和混合式扩频 。
1,
图
10-
5
直扩系统方框图和扩频信号传输图伪 码发生器模 2
加法器调相器本振钟数据发射机发射机解调器中频相关器调相器载波
V C O
接收机前站本振钟
V C O
伪 码发生器数据载波跟踪误 差码跟踪误差
( a )
0 1
1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
π 0 π 0 π π π 0 0 π 0 π π π π 0 0 π π 0 0 0 0 π π
π 0 π 0 π π π 0 0 π 0 π 0 0 0 π π 0 0 π π π π 0 0
0 1
( b )
( 1 ) 信息码
( 2 ) 伪码
( 3 ) 发送序列
( 4 ) 发端载波相位
( 5 ) 收端载波相位
( 6 ) 中频相位
( 7 ) 解调信息
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 π π π π π π π π π π π π π
2,跳变频率扩频方式伪噪声发生器频 率合成器
2
信 源
1
d ( u,t )
中频带通滤 波 器混频器伪噪声发生器
5
到解调器频 率合成器
4
3
1 跳频指令
2 频移载波
f
1
f
2
f
3
f
4
3 参考码
4 参考的频移载波
f
1
＋ 1 F f
2
＋ 1 F f
3
＋ 1 F f
4
＋ 1 F
5 送到解调器的相干中频图 10-6 跳频系统原理图
3,跳变时间扩频方式跳变时间扩频 (Time Hopping Spread Spectrum)又称为跳时,
该系统是用伪码序列来启闭信号的发射时刻和持续时间 。 该方式一般和其它方式混合使用 。
以上 3 种工作方式是基本的工作方式，最常用的是直扩方式和跳频方式两种。
4,混合式扩频方式在实际系统中,仅仅采用单一工作方式不能达到所希望的性能时,往往采用两种或两种以上工作方式的混合式扩频 。
FH/DS,DS/TH,FH/TH 等 。
10.3.2 码分多址 (CDMA)通信图 10-7 码分多址扩频通信系统模型延迟 τ
1
× ×
c o s ω
c
tPN
1
延迟 τ
k
× ×
Σ
c o s ω
c
tPN
k
……
＋ × × ∫
c o s ω
c
t PN
i
n ( t )
d
i
d
1
d
k
10.3.3 通信加密图 10-8 利用 m序列加密信源 ＋ 发送 信道 接收 ＋ 用户
m 序列产生器
m 序列产生器
Y Y
E X
1
EX
1
图 10-9 数字信号的加密与解密
1 0 1 1 0 1 0 0 1 1
1 1010 00 01 1
0 0 011011 10
1 0 1 1 0 1 0 0 1 1
原始信码 X
1
m 序列 Y
加密输出 E
解密输出 X
1
10.3.4 误码率的测量图 10-10 误码率测试
m 序列发生器数传机发送端信道数传机接收端
＋
误码计数器
m 序列发生器
