2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 1
通信原理第二章 随机信号分析刘柏森
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 2
第二章 随机信号分析
2.1 随机过程的基本概念和统计特性
2.2 平稳随机过程
2.3 高斯随机过程
2.4 随机过程通过线性系统
2.5 窄带随机过程
2.6 正弦波加窄带高斯噪声
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 3
2.1 随机过程的基本概念和统计特性
2.1.1 随机过程,
2.1.2 随机过程的统计特性
2.1.3 随机过程的数字特征
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 4
2.1.1 随机过程
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类
确定性过程。
– 其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律。
– 用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间 t的确定函数来描述。
随机过程。
– 没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。
– 用数学语言来说,这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间 t
的确定函数来描述。
– 随机信号和噪声统称为随即过程。
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 5
2.1.1 随机过程
随机过程定义：
– 设 Sk(k=1,2,…) 是随机试验。 每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作 xi(t)，所有可能出现的结果的总体 {x1(t),
x2(t),…,xn(t),…} 就构成一随机过程，记作
ξ(t)。
无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 6
样本函数的总体
x
1
( t )
x
2
( t )
x
n
( t )
t
t
t
样本空间
S
1
S
2
S
n
( t )
t
k
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 7
2.1.1 随机过程
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。
全体样本在 t1时刻的取值 ξ(t1)是一个不含 t
变化的随机变量。
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 8
2.1.2随机过程的统计特性
设 ξ(t)表示一个随机过程，
在任意给定的时刻 t1∈ T,其取值 ξ(t1)是一个一维随机变量。
随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量 ξ(t1)小于或等于某一数值 x1的概率
简记为 F1(x1,t1)，即
11{ ( ) }P t x
1 1 1 1 1(,) { ( ) }F x t P t x
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 9
1 1 1
1 1 1
1
(,) (,)F x t f x t
x
=
同理,任给 t1,t2,…,tn∈ T,则 ξ(t)的 n维分布函数被定义为
2
1 2 1,2
1 2 1 2
12
(,.,,;,,,,) (,.,,,;,.,,,)
...
nn
n n n
n
F x x t t t f x x x t t t
x x x
=
蹲抖为 ξ(t)的 n维概率密度函数。
为 ξ(t)的一维概率密度函数。
1 1 1 1 1(,) { ( ) }F x t P t x
1 2 1 2(,,;,,)n n nF x x x t t t P?1 1 2 2{ ( ),( ),( ) }nnt x t x t x
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 10
2.1.3随机过程的数字特征
用其数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。
1,数学期望,表示随机过程的 n个样本函数曲线的摆动中心。
即均值
2,方差,表示随机过程在时刻 t对于均值 a(t)的偏离程度。
即均方值与均值平方之差。
1( ) [ ( ) ] (,)a t E t x f x t d xx
￥
- == ò
[ ] [ ]{ } [ ]{ }2222( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t D t E t E t E t E ts x x x x x轾= = - = -犏臌
2 21 (,) [ ( ) ]x f x t d x a t
￥
- =-ò
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 11
3.协方差函数 B(t1,t2)和相关函数 R(t1,t2)
[ ][ ]{ }1 2 1 1 2 2(,) ( ) - ( ) ( ) - ( )B t t E t a t t a txx=
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2[ ( ) ] [ ( ) ] (,;,)x a t x a t f x x t t d x d x
ゥ
-? = - -蝌
[ ]1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2(,) ( ) ( ) (,;,)R t t E t t x x f x x t t d x d xxx ゥ-? == 蝌
1 2 1 2 1 2(,) (,) ( ) ( )B t t R t t a t a t=-
自协方差函数和自相关函数
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 12
互协方差及互相关函数
{ }1 2 1 1 2 2(,) ( ) - ( ) ( ) - ( )B t t E t a t t a tx h x hxh 轾轾= 犏臌 臌
[ ]1 2 1 2(,) ( ) ( )R t t E t txh xh=
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 13
2.2 平稳随机过程
2.2.1定义
2.2.2各态历经性
2.2.3平稳随机过程自相关函数的性质
2.2.4平稳随机过程的功率谱密度
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 14
2.2.1定义
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 15
2.2.3平稳随机过程自相关函数的性质
平稳随机过程的自相关函数特别重要。
– 其统计特性，可通过自相关函数来描述；
– 自相关函数与谱特性有着内在的联系。
设 ξ(t)为实平稳随机过程,则它的自相关函数
( ) [ ( ) ( ) ]R E t t
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 16
2.3高斯随机过程
2.3.1定义
2.3.2重要性质
2.3.3高斯白噪声
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 17
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 18
2.4随机过程通过线性系统
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 19
2.5窄带随机过程
2.5.1同相和正交分量的统计特性
2.5.2包络和相位的统计特性
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 20
2.6正弦波加窄带高斯噪声
通信原理第二章 随机信号分析刘柏森
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第二章 随机信号分析
2.1 随机过程的基本概念和统计特性
2.2 平稳随机过程
2.3 高斯随机过程
2.4 随机过程通过线性系统
2.5 窄带随机过程
2.6 正弦波加窄带高斯噪声
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 3
2.1 随机过程的基本概念和统计特性
2.1.1 随机过程,
2.1.2 随机过程的统计特性
2.1.3 随机过程的数字特征
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 4
2.1.1 随机过程
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类
确定性过程。
– 其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律。
– 用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间 t的确定函数来描述。
随机过程。
– 没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。
– 用数学语言来说,这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间 t
的确定函数来描述。
– 随机信号和噪声统称为随即过程。
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2.1.1 随机过程
随机过程定义：
– 设 Sk(k=1,2,…) 是随机试验。 每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作 xi(t)，所有可能出现的结果的总体 {x1(t),
x2(t),…,xn(t),…} 就构成一随机过程，记作
ξ(t)。
无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
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样本函数的总体
x
1
( t )
x
2
( t )
x
n
( t )
t
t
t
样本空间
S
1
S
2
S
n
( t )
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k
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2.1.1 随机过程
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。
全体样本在 t1时刻的取值 ξ(t1)是一个不含 t
变化的随机变量。
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 8
2.1.2随机过程的统计特性
设 ξ(t)表示一个随机过程，
在任意给定的时刻 t1∈ T,其取值 ξ(t1)是一个一维随机变量。
随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量 ξ(t1)小于或等于某一数值 x1的概率
简记为 F1(x1,t1)，即
11{ ( ) }P t x
1 1 1 1 1(,) { ( ) }F x t P t x
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 9
1 1 1
1 1 1
1
(,) (,)F x t f x t
x
=
同理,任给 t1,t2,…,tn∈ T,则 ξ(t)的 n维分布函数被定义为
2
1 2 1,2
1 2 1 2
12
(,.,,;,,,,) (,.,,,;,.,,,)
...
nn
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n
F x x t t t f x x x t t t
x x x
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蹲抖为 ξ(t)的 n维概率密度函数。
为 ξ(t)的一维概率密度函数。
1 1 1 1 1(,) { ( ) }F x t P t x
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2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 10
2.1.3随机过程的数字特征
用其数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。
1,数学期望,表示随机过程的 n个样本函数曲线的摆动中心。
即均值
2,方差,表示随机过程在时刻 t对于均值 a(t)的偏离程度。
即均方值与均值平方之差。
1( ) [ ( ) ] (,)a t E t x f x t d xx
￥
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2 21 (,) [ ( ) ]x f x t d x a t
￥
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2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 11
3.协方差函数 B(t1,t2)和相关函数 R(t1,t2)
[ ][ ]{ }1 2 1 1 2 2(,) ( ) - ( ) ( ) - ( )B t t E t a t t a txx=
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2[ ( ) ] [ ( ) ] (,;,)x a t x a t f x x t t d x d x
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自协方差函数和自相关函数
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 12
互协方差及互相关函数
{ }1 2 1 1 2 2(,) ( ) - ( ) ( ) - ( )B t t E t a t t a tx h x hxh 轾轾= 犏臌 臌
[ ]1 2 1 2(,) ( ) ( )R t t E t txh xh=
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2.2 平稳随机过程
2.2.1定义
2.2.2各态历经性
2.2.3平稳随机过程自相关函数的性质
2.2.4平稳随机过程的功率谱密度
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 14
2.2.1定义
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 15
2.2.3平稳随机过程自相关函数的性质
平稳随机过程的自相关函数特别重要。
– 其统计特性，可通过自相关函数来描述；
– 自相关函数与谱特性有着内在的联系。
设 ξ(t)为实平稳随机过程,则它的自相关函数
( ) [ ( ) ( ) ]R E t t
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 16
2.3高斯随机过程
2.3.1定义
2.3.2重要性质
2.3.3高斯白噪声
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 17
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 18
2.4随机过程通过线性系统
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 19
2.5窄带随机过程
2.5.1同相和正交分量的统计特性
2.5.2包络和相位的统计特性
2009-7-28 CP 第二章 随机信号分析 20
2.6正弦波加窄带高斯噪声
