第二节 数学教学目标模型 如何将目标分类的界定具体转化为数学教学中所要实现的目标，建立起数学学科的教学目标模型，是一个值得深入研究的重要问题。 一、威尔逊的数学教学目标模型 美国佐治亚大学数学教育系系主任威尔逊(J．W．Wilson)，根据布鲁姆的学说结合对数学学科的深入分析，写出了《中学数学学习评价》一书，书中编制了一个新的数学学业成绩评价模式。这个模式在对数学学习行为的分类上，既包括了认知领域的成果，又包括了情感领域的成果。其中认知领域的行为目标分为“计算、领会、运用、分析”四级水平，每级水平又划分为若干子类，类别详尽，概括性很强；情感领域的类别读来也令人耳目一新。这里主要介绍威尔逊认知领域数学教学目标中每一级水平及其子类的特征，同时列举了该书中的一些测题，它们可以用于表征和测量属于某级水平上的数学行为。 1．计算 计算水平是学生作出的作为数学教学成果的最简单的行为，它要求能回忆基本事实的知识、术语的知识或按照学生先前已经学过的规则操作问题中的元素，即能进行记忆的简单练习和常规的变换练习，重点是知道或实施运算，而不要求作出决策或进行复杂的记忆。 计算水平包括三个子类。 (1)具体事实的知识。这个子类包括的目标是：学生以与课程学习中材料出现的几乎完全一样的方式复述或辨别材料；它也可包括基本的知识单元，例如数的基本事实等。 (2)术语的知识。在学习数学的过程中，学生会遇到大量的术语，例如，公理、推论、空集、阶乘、绝对值、多边形等。在几何学习中，学生应该能够辨别诸如锐角、钝角和直角；在代数学习中，学生应该知道“化简表达式”指导语的涵义是什么，等等。 (3)实施算法的能力。这是根据一些学过的规则，变换一个刺激物的元素的能力，它并不要求学生选择算法。 上述三个子类的测题，分别如下： 例1 半径为r的圆的周长公式是 [　 ] (A)C＝πr2； (B)C＝πr； (C)C＝2πr； (D)C＝2πr2。 例2 5！等于 [ 　]  (C)5＋4＋3＋2＋1； 　　　　　 (D)5×4×3×2×1；   (A)5%； 　　(B)10%； (C)20%； 　　(D)40%。 2．领会 领会水平既与回忆概念和通则有关，又与把问题中的元素从一种形式转化为另一种形式有关，重点是反映对概念和它们之间的关系的理解程度，而不是运用概念来作解答。此外，计算水平的行为有时表现为领会水平的行为，或包含在领会水平的行为之中，但是，领会水平是比计算水平更为复杂的一系列行为。 领会水平包括六个子类。 (1)概念的知识。一个概念的知识和一个具体事实的知识之间的区别并不十分明显。实际上，一个概念是一系列相互联系的具体事实的结合体。当然，从认知方面来说，一个概念的知识要比一个具体事实的知识更复杂些。 (2)原理、规则和通则的知识。这一子类要求学生知道概念之间和问题元素之间的关系。试题是否表征或测量了原理、规则和通则的知识，取决于学生已学过的材料。如果学生必须形成原理、规则或通则，或者为了回答问题而使用原理、规则或通则，那么这种行为处于比领会水平更高一级的水平。 (3)数学结构的知识。数学教学的内容可以划分为几个大类，但是，对渗透在任何一个类别中的一般可统一起来的内容主要有：集合语言和集合符号的使用、数学系统的结构(一种与内容密切联系的结构，不是一种心理结构)和数学过程。数学结构是中学数学教学大纲里一个统一的主题，主要包括数系的性质和代数结构的性质。这个子类中的试题所表征和测量的行为与术语的知识是有区别的，一般把仅论及现代数学的术语的试题用于表征和测量数学结构的知识。 (4)把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力。这是一个重要的领会水平的行为，它可以指从语言描述向图形表示的转化，或从语言表达向符号形式的转化，或者是每一种情形反过来的转化。值得注意的是，转化的能力并不包括在转化之后实行一种运算。因此，把一个语言论述转化为一个方程需要这种能力，但解答这个问题应是运用水平的任务。 (5)延续推理思路的能力。这一子类主要指阅读数学表达的能力和倾听数学论证的能力，这是接受数学方面交流的能力。 (6)阅读和解释问题的能力。在阅读数学材料和问题的过程中，需要一些特殊的技能和能力，它们属于正常的语言技能和一般阅读能力范畴之外。阅读和解释数学问题的能力所表现的行为，虽然还远远没有达到解决问题的能力，但它却是必不可少的第一步。 上述六个子类的测题，分别如下： 例4 复数5＋3i的共轭复数是 [ ] (A)－5＋3i； 　　(B) 5－3i； (C)3＋5i； 　　　(D)3－5i。 例5 如果把一个数的小数点向右移三位，这是在 [ ] (A)用1000除这个数； 　 　(B)用100除这个数； (C)用3乘这个数；　　 　　(D)用1000乘这个数。 例6 如果(N＋68)2＝654481，则(N＋58)(N＋78)等于 [ ] (A)654381； 　　(B)654471； (C)654481　　　 (D)654581； (E)654524。 对于例6，学生可能从解方程的角度去回答，但也可能从结构或形式的知识出发作出回答。 例7 假定对任何数a和 b，一种运算定义为a*b＝a＋ab，则5*2等于 [ ] (A)10；　　 (B)12； (C)15；　　 (D)20； (E)35。  (A)如果把xy＝0代入第一个方程，这个方程变为x2＋y2＝25，因此，方程组变为一个含有两个未知数的方程，所以，原方程组有无穷多个解； (B)如果用x去除第二个方程，得y＝0，如果用y去除它，得x＝0，把这些值代入第一个方程得出0＝2，这是不可能的，因此，原方程组无解； (C)由xy＝0，可得x＝0或y＝0，把x＝0代入第一个方程，得出y＝±5；再把y＝0代入这个方程，得出x＝±5，因此，原方程组恰好有四个解； (D)如果用x去除第二个方程，得到y＝0，既然y＝0，就不可以用y去除第二个方程，把y＝0代入第一个方程，得到x＝±5，因此，原方程组只有两个解； (E)把两个方程相加得出x2＋2xy＋y2＝25，即 (x＋y)2＝25，  例9 某人上集市买了一张桌子，价格标签上标出原来的价格是60元，若卖主打20%的折扣出售，折扣额是多少？这里不要求解出，回答下列的问题：问题中的比率是什么？原价是多少？要求出的是什么？ 3．运用 运用水平的行为涉及学生作出的一系列反应。这一特点使它与计算水平或领会水平相区别。运用水平需要回忆有关的知识，选择合适的运算并实施之。运用水平涉及的活动是常规的，它要求学生在一个特定的情景中，以一种他以前实践过的方法去运用知识和方法。 运用水平包括四个子类。 (1)解决常规问题的能力。常规问题是指那些与学生在课程学习中遇到的问题相类似的问题。解决常规问题的能力涉及选择一个算法并实施之。实质上，它要求学生作出一系列领会水平的行为后，实行运算直至获得答案。 (2)作出比较的能力。这一子类需要学生决定两组或几组信息之间的关系并形成一系列的决策。在这一过程中，需要回忆有关的知识，如概念、规则、数学结构、术语等，也可能涉及一些计算，并引出推理和逻辑思考的行为。但是，这是一种常规性的形成决策的过程。例如，从许多可得的备选方案中作出选择的行为便是这种能力的一个重要方面。 (3)分析已知条件的能力。这一子类涉及阅读和解释信息，使用信息并最终作出决策或下结论。这个行为能把一个问题分解成它的构成部分，能从无关信息中鉴别出有关信息，能与已经获得解答的子问题建立联系。 (4)识别同型性和对称性的能力。在这个水平上所需要的行为再次要求作出一连串的反应：回忆信息、转化问题元素、变换已知条件和识别一个关系，要求学生从一列数据、已知信息或一个问题情境中，发现某些熟悉的东西，应该假定学生已经学过同样的同型性或对称性，并且识别出它们是可能的。 上述四个子类的测题，分别如下： 例10 一个平行四边形的两条边和一个内角分别为12cm、20cm和120°，求其中较长的一条对角线的长。 例11 比较如图1－2所示的两个三角形的面积，正确的是 [ 　　]  (A)△ABC的面积较大； (B)△PQR的面积较大； (C)△ABC和△PQR的面积相等。 例12 在一次选举中，356人每人投一票，从5个候选人中选出1人，谁得票最多谁将获胜，那么获胜者至少应得的选票数是 [ 　] (A)179； (B)178； (C)89； (D)72； (E)71。 例13 410的末位数字是 [　 ] (A)0； (B)2； (C)4； (D)6； (E)8。 4．分析 分析是认知水平中最高级、最复杂的行为水平，它包括了布鲁姆教育目标分类学中描述的诸如分析、综合和评价的绝大部分行为。分析水平是指需要非常规地运用概念，它要求探测关系，在一种非实践过的情景中对概念和运算进行组织和使用。 分析水平包括五个子类。 (1)解决非常规问题的能力。这个子类要求学生把先前的数学学习迁移到一个新情景中去，发展解决不同于已解决过的问题的能力。这样的解决问题的过程可能涉及把问题分解成几部分，并从每个部分中探求所能知道的东西，也可能包括为了求解用一种新方法重新组织问题元素。总之，解决非常规问题，是向学生提供一个问题情景，学生没有现成的算法来解答，需要一种探索性方法，即需要制定一个计划并实施它，或者反复对已知情景和目标进行比较，以找出区别，随着这些区别依次消失，问题也就逐步得到解决。 (2)发现关系的能力。这一子类需要用一种方式重新组织问题元素，以发现(形成)一个新关系，而不是在新的已知条件当中辨别出一个熟悉的关系。 (3)构造证明的能力。这一子类是指构造一种新证明的能力，它与模仿性证明、重述证明(运用水平)或回忆水平(计算水平)是完全不一样的。 (4)评判证明的能力。这一子类主要是指能指出隐藏在“证明”中的错误的能力。 (5)形成和证实通则的能力。这一子类是指发现一个关系并构造一个证明来证实这个发现的能力。 上述五个子类的测题，分别如下：  例14 在图1－3中，分别经过射线Ox和Oy上一点，从P到Q的最短路径是 [ ] (A)PA1A2Q； (B)PB1B2Q； (C)PC1C2Q； (D)PD1D2Q； (E)POQ。 例15 一个牲口栅，长18m，宽9m，一条长16m的链条系在牲口栅中一条较长边的中点，另一条长16m的链条系在牲口栅的一个角上。链条都用来拴住一头吃草的奶牛。问：哪一条链条给予拴住的奶牛有较多的活动余地来吃草？两个活动地方的面积之差是多少(用3.14作π的近似值)？ 例16 证明：对于任何整数n， 是一个整数。 例17 下面是“任何两个实数都相等”的一个“证明”：  ii 2c＝a＋b， iii 2c(a－b)＝(a＋b)(a－b)， iv 2ac－2bc＝a2－b2， v b2－2bc＋c2＝a2－2ac＋c2， vi (b－c)2＝(a－c)2， vii b－c＝a－c， viii b＝a， 其中步骤不正确的是 [ 　] (A)从ii到iii； (B)从iv到v； (C)从v到vi； (D)从vi到vii。 例18 在纸上画三个三角形：一个是锐角三角形，一个是直角三角形，一个是钝角三角形。用直尺和圆规，把每个三角形的每一个内角平分。在此过程中，你观察到每一个三角形的三条内角平分线之间有什么关系？这对任何三角形都正确吗？为什么？ 在《中学数学学习评价》一书中，威尔逊还特别指出了以下几点： 第一，行为水平具有顺序性和层次性。它的顺序性体现在：在认知上，分析水平比运用水平更复杂，运用水平比领会水平更为复杂，而计算水平包括那些在认知上最简单的测试题。它的层次性体现在：例如一个属于运用水平的测试题也许既需要领会水平的技能(选择恰当的运算)，也需要计算水平的技能(实施一种运算)。 第二，为了说明一道试题对于测量某个行为水平是否恰当，需要作出有关学生背景的假设。一道试题究竟处于哪一水平，这要看它是对于哪个年级水平上的大多数学生或中等水平的学生能否作出回答而言。 第三，某个学生对一道试题的回答也许不能说明他的行为水平。例 理数”这一试题也许引出运用水平的行为，而不是分析水平的行为。当一个学生第一次遇到一道题目，给出这道题目的解答也许是一种分析或运用水平的行为；而下一次遇到同样的题目时，也许是处于计算水平的行为。 第四，在决定把一道试题置于何种行为水平时，学生解题所用的方法也许能决定他的行为水平。对于某些试题，某些学生也许以分析水平的行为作出回答，而另外一些学生也许以常规的、运用水平的行为作出回答。例如，对于如下这道题目：“求从1至25的自然数之和”，解这道题可以直接运用加法法则，简单地做1＋2＋3＋…＋25，这显然是计算水平的行为，然而，如果采用像高斯(C．F．Gauss)那样的解法，显然是属于分析水平的行为。 二、国内对数学教学目标模型的探索 在我国历次制订的中学数学教学大纲中，都没有教学目标的提法，而是将教学目标包含在教学要求和具体要求之中。因此，教师在教学中有必要依据教学大纲制定教学目标。 我国进行数学教学目标实验研究的教师，多数直接采用布鲁姆的六级分类法，或者根据实际和自身的理解建立目标体系。例如，有的将认知领域数学教学目标划分为五级水平：“记忆、了解、简单应用、综合应用、创见”；有的划分为六级水平：“识记、理解、应用、分析、综合、创新”；也有的划分为四级水平：“了解和认识，理解、简单应用、解决较复杂的问题或提出新见解”。 我们倾向于按国家教委1992年6月制订的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用)》中教学要求的层次来划分学习水平，即将认知领域的数学教学目标划分为“了解、理解、掌握、灵活运用”四级水平。其理由是：第一，“了解、理解、掌握、灵活运用”四级学习水平与威尔逊的“计算、领会、运用、分析”四级行为水平是吻合的，比较符合数学学科的特点；第二，我国对数学教学目标的研究目前尚处于起始阶段，把教学目标的确定与教学大纲一致起来，便于教师理解、掌握和贯彻大纲；第三，大纲对教学要求的四个层次所作的明确的界说，是我国广大数学教师经验的结晶，因而这种划分易于被大多数教师所接受；第四，上述教学目标的四级水平中，了解水平和理解水平是对知识而言的，掌握水平是对技能而言的，灵活运用是对能力而言的。这样的分类体现了教学目标的层次性、顺序性和相对性等特点，有利于教师在教学中将学生知识的学习、技能的训练和能力的发展落到实处。 下面详细介绍“了解、理解、掌握、灵活运用”这四级学习水平及其子类的特征。 1．了解 了解水平是指对数学概念、定理、公式、法则、图形等知识有感性的、初步的认识，能说出这些知识是什么，能够在有关的问题中识别它们。 了解相当于识记。了解水平所要解决的是“知”与“不知”的问题，即只要求“知其然”，知道“是什么”。描述了解水平的行为动词如：记住、识别、指出、画出等。 了解水平包括以下两个子类。 (1)识别、回忆。这一子类是指能再认、再现、复述学习过的材料，能记住有关的数学符号、常数、术语等，能识别相近的或容易混淆的基本概念和基本规律，在解题过程中能回忆所学的基本概念、基本规律和数学方法等数学知识。 (2)计算、画图。这一子类是指能在标准情境下，进行无需选择算法的简单计算，能按已经学过的规则作简单套用或机械模仿，能画出简单的几何图形和基本初等函数的大致图象。 上述两个子类的测题，分别如下： 例1 下列等式中不成立的是 [ ]      2．理解 理解水平是指对数学概念、定理、公式、法则、图形等知识达到理性的认识，能用自己的语言叙述和解释它们，不仅能知道它们是什么，而且能知道它们的由来，并了解它们的用途及其和其他知识之间的联系。 理解水平相当于领会。理解水平所要解决的是“懂”的问题，即要求“知其所以然”，知道“为什么”。描述理解水平的行为动词如：能(会)概述、能解释、能举例说明等。 理解水平包括以下三个子类。 (1)解释。这一子类是指能用自己的语言对数学问题所涉及的概念和原理进行叙述，能用语言概述其一般内容，并能抓住其实质和关键部分。 (2)举例。能举出确切的实例说明被理解的对象。 (3)转换。这一子类是指能将所给出的数学问题从一种形式向另一种形式转化。具体表现为能将语言的表达形式转化为符号表达形式或图形表示方式；或者是上述各种情形的逆过程。 上述三个子类的测题，分别如下： 例3 举出解集为空集的一元二次不等式的例子。 例4 举出几个轴对称图形的实例。 例5 用语言叙述“三角形内角平分线的性质”定理，并用图形和数学式子表示出来。 理解水平包含了解水平，即具有了解水平是达到理解水平的必要条件。但是，理解水平是比了解水平高一层次的认知状态，理解水平的记忆高于了解水平的识记。了解水平的识记可以是机械的，它只能在标准状态下再认和再现，是对数学知识的感性认识；而理解水平的记忆是意义记忆或概括记忆，能在非标准状态下再认和再现，是对数学知识的理性认识。这是区别了解水平与理解水平的主要标志。 例如，学生学习了函数概念以后，能复述函数的定义，知道f(x)是表示函数的记号，这表示学生对函数概念达到了解水平。如果进一步能用自己的语言叙述函数的定义，懂得函数的两个基本要素是它的定义域和对应法则，此外，还知道函数可用解析式、表格和图象等多种方法来表示，能辨别函数的肯定例证和否定例证等，这表示学生对函数概念已经达到了理解水平。 3．掌握 一般说来，掌握水平是指在理解的基础上，通过练习，形成技能，能够(或会)用它去解决一些问题。 掌握水平相当于简单应用。掌握水平解决的主要问题是“会”与“不会”的问题。描述掌握水平的行为动词如：能(会)计算、化简、解、证明等。 掌握水平包括以下三个子类。 (1)运算。这一子类是指能根据数量关系选择恰当的方法，对数、式实施恒等变形。 (2)作图。这一子类指能使用一定的作图工具，作出符合预先给定条件的图形，能正确反映图形的位置关系和度量关系。 (3)推理。这一子类指能将所给的信息概括成熟悉的模式，然后依据基本概念和基本原理揭示已知信息与未知元素之间存在的因果关系并作出判断。 上述三个子类的测题，分别如下：   例7 如图 1－4，求作一点 P，使PC＝PD，并且使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等。 例8 设0＜x＜1，a＞0，a≠1，试比较│loga(1－x)│与│loga(1＋x)│的大小，并说明理由。 了解水平只是对知识的直接储存，理解水平则是将知识加工整理后的系统储存，掌握则需要对知识进行检索。因此，一般说来，掌握是在理解的基础上知识深化的表现。 4．灵活运用 灵活运用水平是指能够综合运用知识解决问题，并达到熟练、灵活的程度，从而形成能力。 灵活运用相当于熟练掌握、融会贯通。灵活运用水平要解决的主要问题是“熟”与“不熟”和“活”与“不活”的问题。描述灵活运用水平的行为动词如：能(会)分解、选择、分类、类比、归纳、组合等。 灵活运用水平的行为标志是能将学过的多种定义、公理、定理、法则、数学思想方法等综合运用于新的情景中去，解决一些较复杂的非常规的数学问题，即把先前的数学学习迁移到一个新的情景中去。灵活运用水平包括对具体问题各组成部分的辨认，各部分之间关系的分析和组织结构的分析等。 灵活运用水平包括以下两个子类。 (1)要素分析综合。这一子类是指能将所给信息分解成各种要素，并进一步对名种要素进行加工，以便对给出的信息在整体上有一个认识，并使这种认识与抽象概念联系起来，进而解决问题。 (2)结构关系分析综合。这一子类是指能将所给信息分解成各个组成部分，弄清各部分的结构及其关系，并进行重组，以形成一个新的、更清晰的关系，在此基础上确定解决问题的途径。 上述两个子类的测题，分别如下： 位于第一象限内？ 例10 边长为1的等边六边形，它有三个内角为直角，这个六边形确定吗？如果确定，说明理由；如果不确定，请找出两个符合条件的六边形。 掌握水平与灵活运用水平都是通过应用知识解决问题表现出来的，但所解决的问题有质的区别，前者是常规问题，后者是非常规问题。处于掌握水平阶段时，知识的运用限于同类课题，解决问题具有一定的方法和步骤；而处于灵活运用水平这一阶段时，知识的运用需要突破同类课题或透过同类课题达到更高层次的境界。解决问题必须经过联想、类比等复杂的思维活动寻找解决问题的策略，具有创造水平。