第三节 数学教学目标的制定 　　教学目标的制定是教学目标研究的一个课题，其中主要的问题是制定教学目标的原则和方法。 　　一、制定数学教学目标的原则 　　制定数学教学目标一般应遵循以下原则。 　　1．服务性原则 　　教学大纲和教科书是制定教学目标的主要依据。因此，要严格按照教学大纲和教科书制定各年级、各单元的教学目标，落实双基教学、加强思想情感教育，为实现教育的目的任务服务。 　　2．适应性原则 　　中学数学教学大纲的制订，既考虑了社会的需求和数学的特征，也考虑到我国大多数教师的状况和学生所能达到的水平。大纲所规定的教学要求，理应是全体学生都应该达到的。但是，由于学生在知识、技能、能力、动机、兴趣诸方面都存在着差异，所以，在制定教学目标时，要从学生的实际出发，适应不同基础学生的水平。只有这样，才能使每一个学生都在原有的基础上学有所得，达到大面积提高教学质量的目的。 　　3．层次性原则 　　教学目标中关于“了解、理解、掌握和灵活运用”四级学习水平的界说要叙述清楚，涵义确切，界限明显，层次分明，这可用适当数量的有代表性的测题加以表征。测题是帮助教师和学生理解学习水平层次的最好、最具体的材料，在编制教学目标时必须精心选择。 　　4．阶段性原则 　　数学学习必须循序渐进，教学要求要逐步提高。特别是其中较重要的知识点，如绝对值的概念、函数的概念等，应该根据学生的年龄特点和认知水平，在不同的教学阶段提出不同的要求，避免在这些知识点的教学中出现要求偏高、偏低或前后脱节的现象。为此，教学目标的编制者必须纵观教学大纲和教科书，理清各知识点出现时序的变化、要求的变化和相互间的关系。 　　5．可测性原则 　　对教学质量的评估，是以学生对教学目标的达成度来衡量的，这是在教学后从学生的行为变化反映出来的。因此，根据“了解、理解、掌握、灵活运用”四级水平编制的教学目标，在描述上尽量行为化，所用的行为动词既要便于教师和学生掌握，也要便于测量。 　　二、制定数学教学目标的方法 　　1．编写教学目标规格表 　　为了编写规格表，首先要钻研大纲和教科书，根据基础知识以及知识的相对独立性，划分知识点，确定认知内容。认知内容构成规格表的一个维度。其次，将学习水平划分为“了解、理解、掌握、灵活运用”四级水平，确定每一知识内容应达到的学习水平，构成规格表的另一个维度。 　　例如，对于初中几何中的全等三角形，可以编制如表1－1的教学目标规格表。 　　　 　　2．编写学习水平的具体要求 　　这是将教学目标规格表具体化，行为化，即列出对每一认知内容学习水平的具体要求。 　　例如，根据表1－1，可以写出全等三角形教学目标的各种水平。 　　第一，属于了解水平的有：能说出全等形的定义及对应元素；能说出全等三角形的定义；知道全等三角形的记法；知道全等三角形的性质；知道三角形的稳定性。 　　第二，属于理解水平的有：能举例说明面积相等的两个三角形不一定全等；能画图说明两边一对角对应相等的两个三角形不一定全等；能画图说明三个角对应相等的两个三角形不一定全等；能将文字叙述的应用题转换成用符号和图形表示，并按图形写出“已知”、“求证”或“求”。 　　第三，属于掌握水平的有：能根据全等三角形的定义，在较复杂的图形中找出两个全等三角形的对应元素；能运用全等三角形的判定公理或定理，准确地判断两个三角形全等；直接利用全等三角形的性质证明两条线段相等或两个角相等；能利用三角形全等求解简单的实际问题。 　　第四，属于灵活运用水平的有：能综合运用已学过的知识，将间接条件转化为直接条件证明两个三角形全等或进行推理论证；能综合运用已学过的知识，通过两次三角形全等进行推理论证。 　　3．配置教学目标的测题 　　在制定教学目标时，要配置适当数量的有代表性的测题。测题的作用，一是用于表征教学目标的水平层次，有利于教师和学生领会和把握教学目标；二是用于测量属于某级水平的数学行为。从理论上说，教学目标就是测量目标，但教学目标本身不能直接用于测量，要通过测题将教学目标转化为具体的测量目标。 　　编制教学目标测题是一项要求较高的技术性工作，它不仅需要较高的数学专业造诣，而且需要丰富的教学经验和一定的教育测量、评估方面的知识。 　　了解水平的测题，目的是测量学生对已经学过的数学知识能否再认、再现、复述和回忆。因此，了解水平测题应有两个特点：第一，测题测量的准确程度和识别程度应尽量与教学过程中实践过的相一致；第二，测题一般不用新的术语和问题背景表述。 　　理解水平的测题，目的是测量学生能否把握数学概念和原理的实质，是否知道它们的由来和用途。因此，理解水平的测题的特点是，数学问题的背景材料应在一定程度上不同于教学过程中使用过的材料，但是在内容、表述和复杂性等方面可有类似的特征，转换应该包括信息的各种要素，但不包括它们之间的关系；解释除了包括要素的转换以外，还要求思考各要素之间的内在联系；举例说明则要求用教学中未曾使用过的例子。 　　掌握水平的测题，目的是测量学生将所学的数学概念和原理用于解决常规问题。因此，掌握水平的测题的特点是，要学生解决的问题是与他们在课程学习中遇到过的相类似的问题，是在所学知识的背景下，在学生熟悉的基础知识、基本方法的范围内，对某一知识点和方法作简单应用。一般地说，解决问题都有一定的程序。 　　灵活运用水平的测题，目的是测量学生解决非常规问题的能力。因此，灵活运用水平的测题的特点是，问题的情境应该是新的，解决问题没有现成的对策。在某些情况下，甚至可适当采用并非教科书中获得的知识和能力来解决问题。 　　按照前述全等三角形的各级学习水平，可以配置以下测题。 　　(1)了解水平的测题 　　例1 如图 1－5，把△ABC沿 AB边翻折180°得到△ABD，用符号表示这两个三角形的全等关系。  　　例2 如图1－6，△ABC≌△CDA，A和C、B和D是对应顶点，写出这两个三角形中相等的边和角。 　　例3 起重机的支架采用三角形结构，这是因为三角形具有____。 　　例4 如果两个三角形全等，那么它们的对应外角是否相等？ 　　例5 如图 1－7，△ADB≌△CEB，则AD＝____，∠CBE＝____，∠ABE＝____。  　　(2)理解水平的测题 　　例6 判断下列说法是否正确： 　　所有的等边三角形都全等； 　　两个等腰三角形必全等； 　　底边相等的两个等腰直角三角形全等； 　　两个直角三角形的面积均为12cm2，则它们全等； 　　两边一对角对应相等的两个三角形全等。 　　例7 如图1－8所示的四个三角形中， 　　判定△ABC与△DEF全等的依据是____。 　　判定△ABC与△LMN全等的依据是____。 　　△ABC与△PQR全等吗？为什么？  　　例8 试用三角形全等的原理，说明如何测量小河两端的距离(要求说明测量的步骤，且画出图形，写出“已知”和“求证”)。 　　(3)掌握水平的测题 　　例9 如图1－9，△GAB≌△HDC，对应角是____；△AEC≌△DFB，对应边是____。  　　例10 如图 1－10，已知 AD＝AE，BD＝CE，求证△ABE≌△ACD。 　　例11 如图 1－11，已知 AB＝CD， AD＝BC，求证∠B＝∠D。  　　例12 证明：等腰三角形两腰上的中线相等(要求画出图形，写出“已知”、“求证”，并进行证明)。 　　(4)灵活运用水平的测题 　　例13 如图1－12，已知∠ABC＝45°，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，AD、BE相交于H，求证BH＝AC。  　　例14 如图1－13，已知AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，BD＝CE，连结DE交BC于M，求证DM＝EM。 　　例15 如图 1－14， AB＝CD，BC＝DA，E、F是AC上两点，且AE＝CF，求证 BF＝DE。  　　例16 如图1－15，AB＝AC，BD＝CD，求证 AD⊥BC。 　　例17 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证  　　三、中学数学单元教学目标例析 　　为体现制定数学教学目标的原则和方法，这里再选取初中数学和高中数学各一个单元，分别列出它们的教学目标规格表、各级学习水平的具体要求和测题。 　　1．一元二次方程及其解法 　　(1)教学目标规格表  　　(2)学习水平的具体要求 　　第一，属于了解水平的有： 　　能记住整式方程的定义； 　　能记住一元二次方程的定义； 　　能熟记一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； 　　能识别一元二次方程； 　　能说出一元二次方程中的二次项系数、一次项系数及常数项； 　　知道形如x2＝m(m≥0)或(ax＋n)2＝m(a≠0，m≥0)类型的一元二次方程可用直接开平方法来解； 　　知道一元二次方程可用配方法变为(x＋n)2＝m的形式，再用直接开平方法求其解； 　　记住一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在Δ＝b2－4ac≥0的条件下，求根公式为  　　第二，属于理解水平的有： 　　知道用直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的定义； 　　知道用配方法解一元二次方程的基本思路和方法； 　　懂得用因式分解法解一元二次方程的关键是将二次方程降次为与其同解的两个一元一次方程； 　　懂得一元二次方程求根公式的推导过程。 　　第三，属于掌握水平的有： 　　能熟练地用直接开平方法解形如(x－m)2＝n(n≥0)的方程； 　　能熟练地用配方法解数字系数的一元二次方程； 　　能推导一元二次方程的求根公式； 　　能熟练地用求根公式解数字系数的一元二次方程； 　　能用因式分解法解某些数字系数的一元二次方程。 　　第四，属于灵活运用水平的有： 　　能灵活运用四种解法解数字系数的一元二次方程； 　　能解某些字母系数的一元二次方程。 　　(3)测题 　　根据了解水平的具体要求，可以配置以下测题。 　　例1 含有____个未知数，并且未知数的最高次数是____的整式方程叫做一元二次方程。 　　例2 在方程2x＋1＝0、2x2＋2＝x、4x3＋2x－1＝0、y2－1＝0中，哪些是一元二次方程？ 　　项。 　　例4 方程ax2＋bx＋c＝0是不是一元二次方程？为什么？ 　　方程。 　　根据理解水平的具体要求，可以配置以下测题。 　　例6 4的平方根为____，方程x2＝4的根是____。 　　例7 将方程x2＋2x－15＝0配方得(x＋____)2＝16，用直接开平方法解这个方程得方程的根为____。 　　例8 将一元二次方程x2＋2x－15＝0的左边因式分解得(x＋5)·(x－3)＝0，一元一次方程x＋5＝0和x－3＝0的根分别为____，原方程的两根为____。 　　例9 说出一元二次方程求根公式推导过程中每一步的依据。 　　根据掌握水平的具体要求，可以配置以下测题。 　　例10 用直接开平方法解下列方程： 　　　　 　　例11 用配方法解下列方程： 　　　　x2－6x－5＝0； x2＋2x＝624。 　　例12 用公式法解下列方程： 　　　　2x2＋x＝30； －x2－x＋1＝0。 　　例13 用因式分解法解下列方程： 　　　　 　　　　(4x－5)2－4(x＋5)2＝0。 　　根据灵活运用水平的具体要求，可以配置以下测题。 　　例14 用适当的方法解下列方程： 　　　　 　　例15 解下列关于x的一元二次方程： 　　　　3x2－(m＋3)x＋m＝0(m＜3)； 　　　　a2b2x2－(a4＋b4)x＋a2b2＝0(ab≠0)。 　　 　　2．参数方程 　　(1)教学目标规格表  　　(2)学习水平的具体要求 　　第一，属于了解水平的有： 　 　　　 　　记住常见圆锥曲线(圆、椭圆、双曲线和抛物线)的参数方程； 　　能记住圆的渐开线的定义及其参数方程  其中r为圆的半径，φ为参数。 　　第二，属于理解水平的有：  　　懂得直线参数方程、圆的参数方程中参数的几何意义； 　　能根据参数的值求出曲线上相应的点。 　　第三，属于掌握水平的有： 　　能消去参数，化参数方程为普通方程； 　　能根据所给条件，化普通方程为参数方程； 　　能根据条件，写出直线和圆锥曲线的参数方程； 　　能画出参数方程所表示的曲线的图形。 　　第四，属于灵活运用水平的有： 　　能消去参数，化含有隐蔽条件的参数方程为普通方程，并画出方程所表示的曲线； 　　能利用直线和圆锥曲线的参数方程解决有关的问题； 　　会选取适当的参数，建立曲线的参数方程。 　　(3)测题 　　根据了解水平的具体要求，可以配置以下测题。  　　为_______的圆。 　　圆。 　　例4 半径为2的圆的渐开线方程为_______。 　　根据理解水平的具体要求可以配置以下测题。 　　点的坐标。 　　　  上，求A、B两点所对应的参数t的值。 　　的参数值分别为0、2和－2， 求│M0P1│、│M0P2│和│P1P2│的值。 　　根据掌握水平的具体要求可以配置以下测题。 　　例8 把下列参数方程(t、θ为参数)化为普通方程；  　 　　例9 根据所给条件，把下列普通方程化为参数方程： 　　　　1)2x＋y－1＝0，设x＝t，t为参数； 　　　　 　　　 　　例11 写出圆心为(a，－a)、半径为a的圆的参数方程。 　　例12 写出圆x2＋y2＋2ax＝0的参数方程。 　　 　　根据灵活运用水平的具体要求可以配置以下测题。 　　所表示的曲线。 　　　　 相交于A、B两点。求弦长│AB│；过P0作圆的切线，求切线的长；求│P0A│和│P0B│的长。 　　最小值。 　　　 　　　 　　　 相交于A、B两点，求│MA│·│MB│的值。 　　例19 曲线x2＋4y2－6x－16y＋21＝0与平行于y轴的直线交于A、B两点，曲线的中心为O′，求△O′AB面积的最大值。 　　例20 过不在坐标轴上的定点P(a，b)作诸直线，与x轴交于A，与y轴交于B，求AB的中点的轨迹方程  　　例21 如图1－16，在等腰直角△ABP中，∠ABP＝90°，│AB│＝│BP│＝a，当顶点A、B分别在Oy、Ox轴上移动时，求顶点P在第一象限内的轨迹方程。