第二节 数学题的拟造 　　由已知条件、已知条件展开的数学逻辑叙述(推理)过程，及由此得到的结论这三个要素组成完整数学意义的陈述。隐去或部分隐去真实、确定的完整数学意义陈述的构成要素，要求应答者构造  　　完整数学意义的陈述。这种构造过程就是拟造数学题。拟题的方法有以下几种。 　　一、改编陈题 　　习惯上把数学教科书中的例题、习题和其他各类书刊上已有的题目等称为陈题。根据陈题拟造新题，所得的新题源于陈题，又有新意，对作答者要求的针对性较强。它是拟造新题的一种常用方法。 　　1．变更陈题的结论拟造新题 　　这种拟造新题的方法是保持陈题的条件不变，变更陈题的结论。怎样变更结论呢？ 　　(1) 将陈题的结论特殊化拟造新题 　　例1 已知数列｛an｝满足 　　　　　 　　其中c≠0，且c≠1，证明这个数列的通项公式是 　　 　　(选自高级中学课本《代数》(下册)) 　　若考察这个数列的第10项，可拟造如下的题目： 　　已知数列｛an｝满足 　　　　　 　　其中c≠0，且c≠1，求a10。 　　(2)将陈题的结论作为中间结果拟造新题 　　例2 如图3－1，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C是切点，求证AB⊥AC。(选自初级中学课本《几何》(第二册)) 　　将AB⊥AC作为进行下一步推理的条件，可拟造如下的题目：  　　如图3－1，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C是切点，求证：以BC为直径的圆必与线段O1O2相切于点A。 　　(3)将陈题的结论作等价变换拟造新题 　　例3 求证：  　　将等式的右边作等价变换，可拟造如下的题目： 　　求证：  　　2．变更陈题的条件拟造新题 　　这种拟造新题的方法是保持结论不变，变更陈题的条件。变更条件有如下途径。 　　(1)将陈题的条件作等价变换拟造新题 　　例4 设(x－3)2＋(y－1)2＝0(x，y为实数)，求x、y。(选自初级中学课本《代数》(第四册)) 　　等价变换本题条件的表述形式，可拟造如下的题目： 　　已知x2－6x＋y2－2y＋10＝0(x，y为实数)，求x、y。 　　(2)寻找得到陈题条件的条件拟造新题 　　例5 已知数列｛an｝，其中an＝cosnα(0＜α＜π)，求 　　a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)k+1ak＋…－a2n＋a2n+1。 　　由an＝cosnα可得an＝2an-1cosα－an-2，但反之不然。为了能由an＝2an-1cosα－an-2，得出an＝cosnα，显然还需附加规定a1＝cosα，a2＝cos2α。这样可拟造如下的题目： 　　已知数列｛an｝，其中a1＝cosα，a2＝cos2α， an＝2an-1·cosα－an-2(n≥3，0＜α＜π)， 　　求 a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)k+1ak＋…－a2n＋a2n+1。 　　(3)将陈题的条件一般化拟造新题 　　例6 如图3－2，已知点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN均是等边三角形，求证：AN＝BM。(选自初级中学课本《几何》(第一册))  　　该题中C点被限制在AB上。一般地，若C是任意一点，也有同样的结论，这样可拟造如下的题目： 　　如图3－3，已知点C是任意一点，△ACM与△BCN均是等边三角形，求证：AN＝BM。 　　(4)将条件特殊化拟造新题 　　例7 已知P为定角∠XAY的平分线上的定点，过P、A两点任作一圆与AX交于点B，与AY交于点C，求证AB＋AC为定值。 　　 　　过P、A两点任作一圆与AX交于点B，与AY交于点C，求证AB＋AC为定值。 　　3．同时变更陈题的条件和结论拟造新题 　　同时变更陈题的条件、结论是一种较为有效的拟题方法。 　　(1)通过类比关系拟造新题 　　将陈题的知识背景与另一知识背景建立类比关系，从而拟造出类似的问题(新题的正确性用另外途径加以证明)。 　　例8 证明圆内接n(n≥3)边形中的面积最大者为正n边形。若已知圆的半径为R，求出这个最大面积。 　　 　　有x′2＋b2y′2＝R2，进一步可得  　　这样把圆压缩(拉伸)为椭圆，从而圆与椭圆可进行类比。对于椭圆，可拟造类似的题目： 　　 　　(2)将陈题的条件和结论同时一般化拟造新题 　　例9 已知a，b∈R＋，a≠b，求证a4＋b4＞a3b＋ab3。(选自高级中学课本《代数》(下册)) 　　分别将条件和不等式左、右两边各项同时一般化，有： 　　若ai∈R＋(i＝1，2，…，n)，n，m，p，q均为自然数，且p＋q＝m，求证： 　　 　　当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立。 　　(3)将陈题的条件和结论同时特殊化拟造新题 　　例10 如图 3－4，AB和平面α所成的角是θ1，AC在平面α内AC和AB的射影AB′成角θ2，设∠BAC＝θ。 　　求证：　cosθ1·cosθ2＝cosθ。  　　(选自高级中学课本《立体几何》(乙种本)) 　　令θ＝60°，则可将该题的部分条件和结论特殊化，并拟造出如下的题目： 　　如图3－4，AB和平面α所成的角是θ1，AC在平面α内，AC和AB的射影AB′成角θ2，若∠BAC＝60°，求证： 2cosθ1cosθ2－1＝0。 　　(4)交换陈题中的条件和结论拟造新题 　　将陈题中的条件与结论全部交换，或将部分条件与部分结论交换，拟造新题。 　　例11 如果f(x)＝ex，求证f(x)f(y)＝f(x＋y)。(选自高级中学课本《代数》(上册)) 　　将该题的部分条件和结论互换，可拟造如下的题目： 　　已知f(x)不是常数函数且满足f(x)f(y)＝f(x＋y)，求证f(n)＝［f(1)］n(n∈N)。 　　(5)以陈题作为解题依据拟造新题 　　有些陈题本身是重要的命题，利用它可以拟造新题。 　　例12 如果两条曲线的方程是f1(x，y)＝0，f2(x，y)＝0，它们的交点是P(x0，y0)，证明方程f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0的曲线也经过点P(λ是任意实数)。(选自高级中学课本《平面解析几何》) 　　利用本题作为解题依据可拟造如下的题目： 　　求经过圆x2＋y2－10x－10y＝0与圆x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的交点，且过点(4， 5)的圆的方程； 　　求证三个圆 　　　　　x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0， 　　　　　x2＋y2－6x＋4y＋1＝0， 　　　　　 　　有两个公共点。 　　二、编制新题 　　1．利用实际问题拟造数学题 　　通过建立数学模型，将实际问题抽象出新的数学问题。这类题的结构为：实际问题情景，数学模型化，解数学模型，从而解答这个实际问题，其目的是为了测量被试灵活运用所学数学知识分析和解决实际问题的能力，而解答这类题的关键，是从所学的数学知识中选取合适的数学知识，将实际问题数学化，因此拟出的题的本身应尽量减少暗示被试采用某种数学知识作答。 　　例13 某人想利用树影测树高。他在某—时刻测得1米长的竹竿影长为0.9米。他同时测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有部分影子在墙上。他测得留在地面部分的影长为2.7米，留在墙壁部分的影高为1.2米。求树高。 　　拟造这类题时，应先选定日常生活中的事实作为背景，然后用合适的数学语言来表述它。为了便于被试者理解，必要时需对实际问题进行适当加工。 　　2．利用数学自身问题拟造新题 　　利用已学过的数学命题间的不同组合进行逻辑推导，是拟造新题的主要方法。 　　(1)由给定的条件确定结论拟造新题 　　先给出题目的已知条件，由已知条件推出其结论，然后比较其中独立结论得到的途径，以确定作为新题的结论。 　　例14 如图3－5，已知三棱锥S－ABC的侧棱SA、SB、SC两两垂直。由此可得以下结论： 　　三个侧面两两垂直； 　　底面△ABC是锐角三角形； 　　顶点S在底面的射影H是△ABC的垂心； 　　 △SAB的面积是△HAB的面积和△ABC的面积的比例中项； 　　底面积的平方等于各侧面积的平方和；  　　三棱锥S－ABC的体积  　　 设SA＝a，SB＝b，SC＝c，SH＝h，又有： 　 　　 　　　 　　选取上面的结论与已知条件相匹配即可拟造很多题目。例如： 　　如图3－5，已知三棱锥S－ABC的侧棱SA、SB、SC两两垂直，求证底面积的平方等于各侧面积的平方和，且其体积  　　(2)由给定的结论确定条件拟造新题 　　先给定结论，再寻找结论成立的充分条件，然后比较其中独立条件得到的途径以确定新题的条件。 　　 　 　　b的具体值；也可给出a2＋b2与ab的值；或者给出a＋b与ab的值，这样可拟造如下的题目： 　　　 　　　 　　 　　(3)利用基本量法拟造新题 　　在一个系统中，如果任意一个量都可由几个量导出，而这几个量又不能相互导出，则称这几个量为该系统的基本量。利用基本量法拟造数学题的思路：弄清系统的量，确定系统基本量并给予赋值，设计条件拟造题并审定计算顺序。应该指出，一个系统的基本量不一定相同。例如与等差数列｛an｝相应的量有a1、n、an、Sn、公差d等，而a1、d、Sn和d、n、Sn分别可作为它的基本量。利用等差数列的基本量可拟造如下题目： 　　在等差数列｛an｝中，a6＋a9＋a12＋a15＝30，求S20。 　　(4)利用新的数学概念、运算法则拟造新题 　　利用新规定的概念、法则等拟造数学题的主要步骤为，首先用中学数学的概念、法则等阐述新概念、法则的意义，然后用新概念、法则提出数学题。例如，用中学数学语言揭示不动点的意义后，可拟造如下的题目： 　　如果函数f(x)的定义域为实数集，而实数c使得f(c)＝c，则称c是f(x)的一个不动点。设f(x)的不动点数为有限多个，下述命题“若f(x)是奇(偶)函数，则它的不动点数目为奇(偶)数。”是否正确？若正确请给予证明，若不正确请举一个例子说明。 　　应该指出，本题除对不动点的概念在中学数学范围内作出解释外，不动点数为有限多个的条件也极为必要，否则f(x)＝x的不动点数是不可数的，当然不存在总个数的奇偶性问题。同样，f(x)＝|x|的不动点数也是不可数的，也就不存在总个数的奇偶性问题。 　　(5)以高等数学知识为背景拟造新题 　　以高等数学的思想和知识为背景，把高等数学中的问题初等化，可以拟造新题。如(4)中不动点的定义和只有有限个不动点的条件，可看成构造这类题的例子。下面再举一例。 　　高等几何中有一个帕斯卡(Pascal)定理：“二阶曲线内接六角形的对边交点共线”。在这个定理中，把二阶曲线特殊化为圆，内接六角形用内接六边形代替，相应的对边改为对角线，则可拟造以下的题目： 　　已知圆的内接六边形的顶点为A(－3，4)，B(0，5)，C(4，3)，D(4，－3)，E(－3，－4)，F(－5，0)，求证AE与FB的交点、AD与CF的交点、BD与CE的交点在同一直线上。 　　利用帕斯卡定理的对偶定理“二阶曲线的外切六边形的对顶点连线共点”(这个定理被称为布里安桑(Brianchon)定理)，则可拟造如下的题目： 　　已知六边形HIJKLM与圆相切于点 A(－3，4)，B(0，5)，C(4，3)，D(4，－3)，E(－3，－4)，F(－5，0)。求证HK、IL、JM三条直线共点。 　　若把圆改为椭圆，显然也可得到类似的题目。 　　(6)不完全确定条件或结论拟造新题 　　到目前为止，我们所探讨的数学题，其条件和结论均是完全确定的。但在数学教学中，还经常使用结论或条件不完全确定的题的拟造方法。请看下面几道例题： 　　例16设a、b是两个实数，A＝｛(x，y)｜x＝n，y＝na＋b，n为整数｝，B＝｛(x，y)｜x＝m，y＝3m2＋15，m是整数｝，C＝｛(x，y)｜x2＋y2≤144｝是平面内点的集合，讨论是否存在a和b使得A∩B≠φ，且(a，b)∈C同时成立。 　　例17求在Acos2θ＋Bcos2(ψ＋θ)＋Ccosθcos(ψ＋θ)的值与θ无关的条件。 　　例18设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0。指出S1，S2，…，S12中，哪一个值最大，并说明理由。 　　例19设△ABC的三边a、b、c满足an＝bn＋cn(n∈N，n≥2)。试判定△ABC的类型。 　　由这几个例题可以看出，拟造这类题需对所探求的条件或结论的范围作限制，而且这个限制表现在解答过程需要对条件或结论进行讨论。 　　还应指出的是在数学教学实践中，有时还使用由给定的条件(结论)所导出的结论(条件)难以限制的题作新题。这类题对培养学生的发散思维是有益的。 　　例20 任意一直线截ABCD，分别交BC、CD于F、G，交AB、AD的延长线于E、H，⊙EFC与⊙GHC的另一交点为Q，请写出由此条件出发可能得到的结论，并说明理由。 　　结论1∠QEH＝∠CAD； 　　结论2∠GDH＝∠GHQ＋∠QEF； 　　结论3△EQH∽△CBA，△EQH∽△ADC； 　　结论4 EQ·AC＝EH·BC，EQ·AB＝EH·AD； 　　结论5∠EQC＝∠GFC，∠HQC＝∠FGC； 　　结论6∠EQH＋∠A＝180°； 　　结论7A、E、Q、H四点共圆； 　　结论8 ∠FQA＝∠EHA； 　　结论9 Q在AC上； 　　结论10 EH的移动对Q在AC上无影响。 　　由于该题的结论数难于预控，制定评分标准困难，拟定试题时应避免此类题型。