第二章 控制系统的数学模型
2.1 数学模型基础
2.2 线性系统的微分方程
2.3 线性系统的传递函数
2.4 系统的结构图
2.5 信号流图及梅逊公式
End
本章作业
1.定义,数学模型是指出系统内部物理量 （ 或变量 ） 之间动态关系的表达式 。
2.1 数学模型基础
2.5
2.建立数学模型的目的
● 建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作
（或基础工作）。
● 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，
然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。
2.2 2.3 2.4
3.建模方法微分方程 （ 或差分方程 ）
传递函数 （ 或结构图 ）
频率特性状态空间表达式 （ 或状态模型 ）
5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径求解 观察线性微分方程 性能指标传递函数时间响应频率响应拉氏变换 拉氏反变换估算 估算计算傅氏变换 S=jω
频率特性
4.常用数学模型
系统辨识课研究实验法本课研究分析法
2.2.1 微分方程的列写
dticRiru 1
1
11
1 dticcu 11
rc
c uu
dt
duCR
11,得化简
2.2 线性系统的微分方程
R1
C1
i1 (t)
ur(t) uc(t)
微分方程的列写步骤
1）确定系统的输入、输出变量；
2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程；
3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；
4）变换成标准形式。
2.5
2.1 2.3
2.4
2.2.2 2.2.3 2.2.4
试列写质量 m在外力 F作用下位移
y(t)的运动方程。
dt
tdyftF )()(
1?
)()(2 tkytF?
)()()()( 212
2
tFtFtFdt tydm
)()()()(2
2
tFtkydt tdyfdt tydm
)()()()( tutRitudt tdiL rc
dttictu c )(1)(
)()()()(2
2
tutudt tduRCdt tudLC rccc
例 2.1 图为机械位移系统。
R L
C
i(t)
ur(t) uc(t)
F
y(t)
k
f
m
例 2.2 如图 RLC电路，试列写以 ur(t)为输入量,uc(t)为输出量的网络微分方程。
整理得,
解,阻尼器的阻尼力,
弹簧弹性力,
解,
返回
非线性 系统：用非线性微分方程描述。
)(2 tFykydtdyf
)( tFkydtdyf
)()( tFytkdtdyf
2.2.2 微分方程的类型
线性 定常 系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。
线性系统的 重要性质,满足叠加性和均匀性（齐次性）。即：
如果输入 r1(t)— >输出 y1(t)，输入 r2(t)— >输出 y2(t)
则输入 a r1(t)+b r2(t) — >输出 a y1(t)+by2(t)
线性 系统：用线性微分方程描述。
线性 时变 系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间而变化的。
2.2.1 2.2.3 2.2.4
xdx xdfy
xx
0
)(
2
2
2
00
)(
)(
!2
1
)(
)(
0
0
x
dx
xfd
x
dx
xdf
xfyyy
xx
xx
xdx )x(df)x(fyyy
0xx
00
2.2.3 非线性元件微分方程的线性化小偏差线性化,用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。
一,假设,x,y在平衡点（ x0,y0)附近变化，即
x=x0+△ x,y=y0+△ y
二,近似处理略去高阶无穷小项
严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。
三,数学方法
2.2.1 2.2.42.2.2
求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。
rc
c uu
dt
duCR
11
)()()0()( 1111 sUsUuCRssUCR rccc
)()(1.0)( sUsUssU rcc
1
1.0
)1(
1)(
ssssU c
ttc eetu 1.01)(
2.2.4 线性定常微分方程的求解
R1
C1
i 1(t)
ur(t) uc(t)
例 2.3 已知 R1=1,C1=1F,uc(0)=0.1v,
ur(t)=1(t),求 uc(t)
拉氏变换法求解步骤：
1,考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，
得到变量 s的代数方程；
2,求出输出量拉氏变换函数的表达式；
3,对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。
解：
)s(U)s(U)s(sUCR rcc11
1sCR
1
)s(U
)s(U
11r
c
零初始条件下取拉氏变换：
2.2.1 2.2.32.2.2
2.3.1 传递函数的定义
)(
)()()(
)(
)()()(
11
1
10
11
1
10
trb
dt
tdr
b
dt
trd
b
dt
trd
b
tca
dt
tdc
a
dt
tcd
a
dt
tcd
a
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sR
sCSG
1
1
10
1
1
10
)(
)()(
)()(
)()(
1
1
10
1
1
10
sRbsbsbsb
sCasasasa
mm
mm
nn
nn
2.3 传递函数
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数 。
2.52.1 2.42.2
2.3.2 2.3.3 2.3.4
试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s).
)()()()(2
2
tutudt tduRCdt tudLC rccc
)()()()(2 sUsUsR C s UsUL C s rccc
1
1
)(
)()(
2 RCsL CssU
sUsG
r
c
例 2.4 如图 RLC电路，
R L
C
i(t)
ur(t) uc(t)
LsR
1/sC
I(s)
Ur(s) Uc(s)
1) 传递函数是复变量 S的有理真分式函数，分子多项式的次数
m 低于或等于分母多项的次数 n，所有系数均为实数；
2) 传递函数只取决于系统和元件的结构,与输入信号无关；
3) 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换；
4) 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。
5) 传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态特性；零初始条件含义要明确。
参见解,1) 零初始条件下取拉氏变换：
传递函数：
2) 变换到复频域来求。
2.3.2、传递函数的性质求零状态条件下阶跃响应 uc(t) ；
2) uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t),求 uc(t) ; 3） 求脉冲响应 g(t)。
1
1
1
1
)(
)()(
11?
ssCRsU sUsG
r
c
)1(
1
1
)()(
sss
sUsU r
c
tc e1)t(u
（前例已得） )()()(11 sUsUssUCR rcc
rc
c uu
dt
duCR
11
)()()0()( 1111 sUsUuCRssUCR rccc
)()(1.0)( sUsUssU rcc
1
1.0
)1(
1)(
ssssU c
ttc eetu 1.01)(
te
sLsGLtg
]1
1[)]([)( 11
例 2.5 已知 R1=1,C1=1F,1）
对上式进行拉氏反变换：
3）
解,1）
2）
R1
C1
i1 (t)
ur(t) uc(t)
传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zs
K
pspspsa
zszszsb
sG
1
1*
210
210
)(
)(
)())((
)())((
)(
n
1j
j
m
1i
i
)sT1(s
)s1(
K)s(G
K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。
2.3.2 传递函数的零点和极点
0
j?S平面? 零、极点分布图。
传递函数分子多项式与分母多项式也可分解为如下形式：
传递函数分子多项式的根 zi称为传递函数的零点；分母多项式的根 pj称为传递函数的极点。 K*称为传递系数或根轨迹增益。
2.3.3 2.3.42.3.1
例 2.6 具有相同极点不同零点的两个系统
,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为极点 决定系统响应形式（模态）,零点 影响各模态在响应中所占比重。
)2)(1(
24)(
1
ss
ssG
)2)(1(
25.1)(
2
ss
ssG
tt ee
sss
sLtc 21
1 321])2)(1(
24[)(
tt ee
sss
sLtc 21
2 5.05.01])2)(1(
25.1[)(
2.3.3 传递函数的零点和极点对输出的影响 2.3.2 2.3.42.3.1
比例环节,G(s)=K
积分环节,G(s)=1/s
微分环节 G(s)=s
1
1)(
TssG
1)( ssG?
22
2
22 212
1)(
nn
n
ssTssTsG
2.3.4 典型环节的传递函数
惯性环节,
一阶微分环节,
振荡环节,
2.3.2 2.3.32.3.1
2.4.1 结构图的组成和绘制
)s(IR)s(U)s(U 11cr
sC
)s(I)s(U
1
1
c?
2.4 系统的结构图
R(s) C(s)E(s) G(s)
H(s)
(-)
例 2.7 绘出 RC电路的结构图。
Ur(s) Uc(s)I1(s)1/R
1 1/sC1(-)
信号线,表示信号传递通路与方向。
方框,表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或系统的传递函数。
比较点,对两个以上的信号进行加减运算。,+”表示相加，,-”
表示相减。
引出点,表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。
结构图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包括：
2.5
2.1 2.2
2.3
R1
C1
i1 (t)
ur(t) uc(t)
2.4.2 例
)]()([1)(
1
1 sUsURsI i
)()()( 21 sIsIsI c
sC
sIsU c
1
)()(?
)]()([1)(
2
2 sUsURsI o sC
sIsU
o
2
2 )()(?
例 2.8 绘出图示双 RC网络的结构图。
ui uou C2C1
ici1
R1 R2
i2
2.19
U(s) I2(s)
Uo(s)
(d)
2
1
R(-)
IC(s) U(s)
(c)
sC1
1IC(s)I1(s)
I2(s)
(-)
(b)
Ui(s) I1(s)
U(s)
(-)
(a)
1
1R
sC2
1
I2(s) Uo(s)
(e)
Ui(s) Uo(s)
I2(s)
U(s)
IC(s)
I1(s) (-)
(-)(-)
(f)
1
1
R sC1
1
sC2
1
2
1
R
返回动画演示
串联方框的简化 (等效 )：
)s(V)s(G)s(C 2?
)s(R)s(G)s(V 1?
)s(R)s(G)s(G)s(C 12?
)s(C)s(C)s(C)s(C 321
)s(R)]s(G)s(G)s(G[ 321
R(s) C(s)E(s)
G(s)
H(s)
)s(R)s(H)s(G1 )s(G)s(C
2.4.2 结构图的等效变换和简化
C(s)G
2(s)G1(s)
V(s)R(s)
(a)
(a) 变换前
R(s)
C1(s)
C3(s)
C2(s)
(-)
G1(s)
G2(s)
G3(s)
C(s)
C(s)G
2(s)G1(s)
R(s)
(b)
G1(s)+G2(s)-G3(s)
(b) 变换后
R(s) C(s)?反馈连接方框的简化（等效）：
并联方框的简化（等效）：
C(s)=G(s)E(s) E(s)=R(s)? H(s) C(s)
C(s)=G(s)[R(s)? H(s)C(s)]
例2.4.1
比较点和引出点的移动,
等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。
)()()(1)( sRsGsGsR?
632236 G)GG(G
4554 GGG
1
542 3 6
2 3 6 G
GG1
GG
例 2.9
G(s)R(s) C(s)
C(s)
G(s)
G(s) C(s)
C(s)R(s)
G(s)R(s) C(s)R(s)
)(
1
sG
G(s) C(s)R(s)
R(s)
G4(s)(-)
G2(s) G6(s)
(-)
C(s)R(s)
G3(s)
G5(s)
G1(s)
引出点移动,
1,引出点前移
C(s)=G(s)R(s)
2,引出点后移
1,相加点前移
)]()(1)()[( sBsGsRsG
G(s)
(-)
B(s)
C(s)R(s)
)(
1
sG
G(s)
B(s)
C(s)R(s)
(-)
C(s)R(s) G(s)
(-)
B(s)
C(s)G(s)
G(s)
R(s)
B(s) (-)
R(s)
V1(s)
V2(s)
E1(s) C(s)
(-)
V2(s)
V1(s)
(-)
C(s)R(s)
V1(s)
V2(s)
C(s)R(s)
(-)
或
相加点的移动
3,交换或合并相加点
2,相加点后移
C(s)=G(s)R(s)-B(s)
C(s)=G(s)[R(s)-B(s)]
= G(s)R(s)-G(s)B(s)
C(s)=E1(s)+V2(s)
= R(s)-V1(s)+V2(s)
= R(s)+V2(s)-V1(s)
例 2.10 结构图化简
(1) 结构图化简方案 Ⅰ
H1
H2
G1 G2 G3
G4
(-)
(-)
R Y
R
H2+G3H1
G1 G2 G3
H2
G4
(-) Y
(a)
G4
G3
H2
YR
13222
211 HGGHG GG
(b)
G4
YR
22113222
3211 HGGHGGHG GGG
(c)
返回
2.4.22.4.1
(3) 结构图化简方案 Ⅲ
(2) 结构图化简方案 Ⅱ
H1+H2/G3
H2/G3
G2G3G1
G4
(-)R Y
(a)
H2/G3
G4
R Y
13222
3211 HGGHG GGG
(b)
G1G2G
3
H1/G1
G4
R Y(-)
)1(1 132 GGH?
(a)
3
2
31
2
1
1 GHGGHGH
G4
G1G2G3
YR
(-)
(b)
原电路
1,等效为单位反馈系统
)()(1)()(1 )()()( sRsHsHsG sHsGsC
其它等价法则 R(s)
(-)
C(s)G(s)
H(s)
)(
1
sH
G(s) H(s)
(-)
C(s)R(s)
G(s)
H(s)
R(s) C(s)
-1
E(s)
C(s)R(s) G(s)
-H(s)
E(s)
2,负号可在支路上移动
E(s)=R(s)-H(s)C(s)
=R(s)+(-1)H(s)Cs)
=R(s)+[-H(s)]C(s)
例 2.11 双 RC网络的结构图简化。
Ui(s)
R1
(-)
(-)
(-)
Uo(s)
(b)
1
1R sC
1
1 21R sC21
sT111?
Ui(s) (-)
(-)
Uo(s)
R1
(c)
2
1R sC
2
1
R1C2s
sT21 1?
Ui(s) Uo(s)(-)
(e)
sT111?
返回 动画演示
2
1R
(d)
Ui(s)
R1 C2s
(-)
Uo(s)(-)
sT111? sC21
Ui(s)
(-) (-)
(-)I1(s)
IC(s)
U(s)
I2(s)
Uo(s)
(a)
1
1R
2
1R sC
2
1sC
1
1
信号流图中常用的名词术语：
源节点 （输入节点）：
o在源节点上，只有信号输出支路而没有信号输入的支路，
它一般代表系统的输入变量。
信号流图的 基本性质,
1) 节点 标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和，用,O”表示；
2) 信号 在支路上沿箭头单向传递；
3) 支路 相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号；
4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。
1+R1C1s
x2 x5x4
x6
-1
x3 x7 I(s)
R21/R1
x1
2.5 信号流图及梅逊公式
信号流图 是由节点和支路组成的一种信号传递网络。
阱节点 （输出节点）：
在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。
2.1 2.2 2.3 2.4
2.5.2例2.5.1 2.5.3
混合节点,在混合节点上,既有信号输出的支路而又有信号输入的支路 。
2.5.1 信号流图的绘制
1,由系统微分方程绘制信号流图
1） 将微分方程通过拉氏变换,得到 S的代数方程；
2）每个变量指定一个节点；
3） 将方程按照变量的因果关系排列；
4）连接各节点，并标明支路增益。
前向通路,信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称 前向通路总增益,一般用 Pk表示。
回路,起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称 回路增益,
一般用 La表示。
不接触回路,回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。
2.5.2例 2.5.3
上式拉氏变换
C1
ui
R1
R2 uo
i1
i
)t(u)t(uR)t(i io11
2o R)t(i)t(u?
dt)ii(C1R)t(i 111
)s(U)s(UR)s(I io11
2o R)s(I)s(U?
s
)0(u)]s()s([
sC
1R)s( c
1
1
11
)s(U)s(I)s(I)s(U)s(U)s(U o1oii
例 2.12
信号传递流程：
)0(uC)s()sCR1(
)s()0(uCsCR)s()s(
c1111
1c1111
Ui(s)Ui(s)-Uo(s) Uo(s)Uo(s)
uC(0)
-1
I1(s) I(s)
R21+R1C1s1/R1
-C1
1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。
2) 用线段表示结构图中的方框,用传递函数代表支路增益 。
注意信号流图的节点只表示变量的相加。
G(s) C(s)R(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
R(s) E(s)
D(s)
V(s) C(s)
(-)
(a) 结构图
(节点 )
C(s)R(s) G(s)
(节点 ) (支路 )
C(s)1R(s)
E(s)
G1(s) G2(s)
-H(s)
Y(s)
D(s)
V(s)
1
1
(b) 信号流图
2,由系统结构图绘制信号流图例 2.13 绘制结构图对应的信号流图 (1) 。
Ui(s) Uo(s)
I2(s)
U(s)
IC(s)
I1(s) (-)
(-)(-)
1
1
R sC1
1
sC2
1
2
1
R
Ui(s) Uo(s)
Uo(s)U(s) I2(s)IC(s)
-1 -1
-1
1/R1 1/C1s 1/C2s1/R2
动画演示
2.5.22.5.1 2.5.3
例 2.14 绘制结构图对应的信号流图 (2) 。
特征式,
— 所有单独回路增益之和；
— 在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路增益乘积和；
— 在所有互不接触的单独回路中,每次取其中三个回路增益的乘积之和 。
梅逊公式 为,
n
1k
KKP
1P
fedcba LLLLLL1
aL
cbLL
fed LLL
— 余因子式,即在信号流图中，把与第 K条前向通路相接触的回路去掉以后的 Δ值。K?
2.5.2 梅逊增益公式其中,n— 从输入节点到输出节点之前向通路总数。
Pk— 从输入节点到输出节点的第 k条前向通路总增益 。
动画示例例2.5.1 2.5.3
前向通路有两条：
，没有与之不接触的回路：
，与所有回路不接触：
解,三个回路：
R G
1 G2 G3
H2 -H2
-H1
C
G4
221 HGL
2212 HGGL?
1323 HGGL
22113222a HGGHGGHG1L1
3211 GGGP?
42 GP?
11
2
4
22113222
321
n
1k
kk GHGGHGGHG1
GGGP1)s(G?
例 2.15 已知系统信号流图，求传递函数。
回路相互均接触，则：
参见
f
求传递函数 X4/X1及 X2/X1。
b c gegdL a
d e gcb LL
1,1
,,.1
21
2141
d
abc fpae fpXX
d eg1
)1()(1
2211
1
4
b cgegd
a b cfda efpp
X
X
dapXX 1,,.2 1121
d eg1
)1(1
11
1
2
b cgegd
dap
X
X
例 2.16 已知系统信号流图，
d e g1 b c gegd则解,三个回路有两个互不接触回路
1,输入信号作用下的闭环传递函数 (N(s)=0)
)s(H)s(G)s(G1
)s(G)s(G
)s(R
)s(C)s(
21
21
)s(H)s(G)s(G1
)s(G
)s(N
)s(C)s(
21
2
n
)s(N)s()s(R)s()s(C n
)s(N)s(H)s(G)s(G1 )s(G)s(R)s(H)s(G)s(G1 )s(G)s(G
21
2
21
21
0)s(N,)s(H)s(G)s(G1 1)s(R )s(E)s(
21
e
0)s(R,)s(H)s(G)s(G1 )s(H)s(G)s(N )s(E)s(
21
2
en
)s(N)s()s(R)s()s(E ene
2.5.3 闭环系统的传递函数
R(s) E(s)
N(s)
C(s)
H(s)
G2(s)G1(s)
B(s)
(-)
2,扰动作用下的闭环传递函数 (R(s)=0)
3,输入信号和扰动信号同时作用时，系统的输出
4,闭环系统的误差传递函数 [ 定义误差 E(s)=R(s)-B(s) ]
2.5.2例2.5.1
本 章 作 业
P88
2-3(b)
2-5(a)
2-8
2-9(a)
2-11(a)(c)
2-12(a)(b)
2-13(a)
2-14(c)(d)
2.1 数学模型基础
2.2 线性系统的微分方程
2.3 线性系统的传递函数
2.4 系统的结构图
2.5 信号流图及梅逊公式
End
本章作业
1.定义,数学模型是指出系统内部物理量 （ 或变量 ） 之间动态关系的表达式 。
2.1 数学模型基础
2.5
2.建立数学模型的目的
● 建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作
（或基础工作）。
● 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，
然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。
2.2 2.3 2.4
3.建模方法微分方程 （ 或差分方程 ）
传递函数 （ 或结构图 ）
频率特性状态空间表达式 （ 或状态模型 ）
5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径求解 观察线性微分方程 性能指标传递函数时间响应频率响应拉氏变换 拉氏反变换估算 估算计算傅氏变换 S=jω
频率特性
4.常用数学模型
系统辨识课研究实验法本课研究分析法
2.2.1 微分方程的列写
dticRiru 1
1
11
1 dticcu 11
rc
c uu
dt
duCR
11,得化简
2.2 线性系统的微分方程
R1
C1
i1 (t)
ur(t) uc(t)
微分方程的列写步骤
1）确定系统的输入、输出变量；
2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程；
3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；
4）变换成标准形式。
2.5
2.1 2.3
2.4
2.2.2 2.2.3 2.2.4
试列写质量 m在外力 F作用下位移
y(t)的运动方程。
dt
tdyftF )()(
1?
)()(2 tkytF?
)()()()( 212
2
tFtFtFdt tydm
)()()()(2
2
tFtkydt tdyfdt tydm
)()()()( tutRitudt tdiL rc
dttictu c )(1)(
)()()()(2
2
tutudt tduRCdt tudLC rccc
例 2.1 图为机械位移系统。
R L
C
i(t)
ur(t) uc(t)
F
y(t)
k
f
m
例 2.2 如图 RLC电路，试列写以 ur(t)为输入量,uc(t)为输出量的网络微分方程。
整理得,
解,阻尼器的阻尼力,
弹簧弹性力,
解,
返回
非线性 系统：用非线性微分方程描述。
)(2 tFykydtdyf
)( tFkydtdyf
)()( tFytkdtdyf
2.2.2 微分方程的类型
线性 定常 系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。
线性系统的 重要性质,满足叠加性和均匀性（齐次性）。即：
如果输入 r1(t)— >输出 y1(t)，输入 r2(t)— >输出 y2(t)
则输入 a r1(t)+b r2(t) — >输出 a y1(t)+by2(t)
线性 系统：用线性微分方程描述。
线性 时变 系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间而变化的。
2.2.1 2.2.3 2.2.4
xdx xdfy
xx
0
)(
2
2
2
00
)(
)(
!2
1
)(
)(
0
0
x
dx
xfd
x
dx
xdf
xfyyy
xx
xx
xdx )x(df)x(fyyy
0xx
00
2.2.3 非线性元件微分方程的线性化小偏差线性化,用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。
一,假设,x,y在平衡点（ x0,y0)附近变化，即
x=x0+△ x,y=y0+△ y
二,近似处理略去高阶无穷小项
严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。
三,数学方法
2.2.1 2.2.42.2.2
求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。
rc
c uu
dt
duCR
11
)()()0()( 1111 sUsUuCRssUCR rccc
)()(1.0)( sUsUssU rcc
1
1.0
)1(
1)(
ssssU c
ttc eetu 1.01)(
2.2.4 线性定常微分方程的求解
R1
C1
i 1(t)
ur(t) uc(t)
例 2.3 已知 R1=1,C1=1F,uc(0)=0.1v,
ur(t)=1(t),求 uc(t)
拉氏变换法求解步骤：
1,考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，
得到变量 s的代数方程；
2,求出输出量拉氏变换函数的表达式；
3,对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。
解：
)s(U)s(U)s(sUCR rcc11
1sCR
1
)s(U
)s(U
11r
c
零初始条件下取拉氏变换：
2.2.1 2.2.32.2.2
2.3.1 传递函数的定义
)(
)()()(
)(
)()()(
11
1
10
11
1
10
trb
dt
tdr
b
dt
trd
b
dt
trd
b
tca
dt
tdc
a
dt
tcd
a
dt
tcd
a
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sR
sCSG
1
1
10
1
1
10
)(
)()(
)()(
)()(
1
1
10
1
1
10
sRbsbsbsb
sCasasasa
mm
mm
nn
nn
2.3 传递函数
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数 。
2.52.1 2.42.2
2.3.2 2.3.3 2.3.4
试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s).
)()()()(2
2
tutudt tduRCdt tudLC rccc
)()()()(2 sUsUsR C s UsUL C s rccc
1
1
)(
)()(
2 RCsL CssU
sUsG
r
c
例 2.4 如图 RLC电路，
R L
C
i(t)
ur(t) uc(t)
LsR
1/sC
I(s)
Ur(s) Uc(s)
1) 传递函数是复变量 S的有理真分式函数，分子多项式的次数
m 低于或等于分母多项的次数 n，所有系数均为实数；
2) 传递函数只取决于系统和元件的结构,与输入信号无关；
3) 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换；
4) 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。
5) 传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态特性；零初始条件含义要明确。
参见解,1) 零初始条件下取拉氏变换：
传递函数：
2) 变换到复频域来求。
2.3.2、传递函数的性质求零状态条件下阶跃响应 uc(t) ；
2) uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t),求 uc(t) ; 3） 求脉冲响应 g(t)。
1
1
1
1
)(
)()(
11?
ssCRsU sUsG
r
c
)1(
1
1
)()(
sss
sUsU r
c
tc e1)t(u
（前例已得） )()()(11 sUsUssUCR rcc
rc
c uu
dt
duCR
11
)()()0()( 1111 sUsUuCRssUCR rccc
)()(1.0)( sUsUssU rcc
1
1.0
)1(
1)(
ssssU c
ttc eetu 1.01)(
te
sLsGLtg
]1
1[)]([)( 11
例 2.5 已知 R1=1,C1=1F,1）
对上式进行拉氏反变换：
3）
解,1）
2）
R1
C1
i1 (t)
ur(t) uc(t)
传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zs
K
pspspsa
zszszsb
sG
1
1*
210
210
)(
)(
)())((
)())((
)(
n
1j
j
m
1i
i
)sT1(s
)s1(
K)s(G
K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。
2.3.2 传递函数的零点和极点
0
j?S平面? 零、极点分布图。
传递函数分子多项式与分母多项式也可分解为如下形式：
传递函数分子多项式的根 zi称为传递函数的零点；分母多项式的根 pj称为传递函数的极点。 K*称为传递系数或根轨迹增益。
2.3.3 2.3.42.3.1
例 2.6 具有相同极点不同零点的两个系统
,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为极点 决定系统响应形式（模态）,零点 影响各模态在响应中所占比重。
)2)(1(
24)(
1
ss
ssG
)2)(1(
25.1)(
2
ss
ssG
tt ee
sss
sLtc 21
1 321])2)(1(
24[)(
tt ee
sss
sLtc 21
2 5.05.01])2)(1(
25.1[)(
2.3.3 传递函数的零点和极点对输出的影响 2.3.2 2.3.42.3.1
比例环节,G(s)=K
积分环节,G(s)=1/s
微分环节 G(s)=s
1
1)(
TssG
1)( ssG?
22
2
22 212
1)(
nn
n
ssTssTsG
2.3.4 典型环节的传递函数
惯性环节,
一阶微分环节,
振荡环节,
2.3.2 2.3.32.3.1
2.4.1 结构图的组成和绘制
)s(IR)s(U)s(U 11cr
sC
)s(I)s(U
1
1
c?
2.4 系统的结构图
R(s) C(s)E(s) G(s)
H(s)
(-)
例 2.7 绘出 RC电路的结构图。
Ur(s) Uc(s)I1(s)1/R
1 1/sC1(-)
信号线,表示信号传递通路与方向。
方框,表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或系统的传递函数。
比较点,对两个以上的信号进行加减运算。,+”表示相加，,-”
表示相减。
引出点,表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。
结构图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包括：
2.5
2.1 2.2
2.3
R1
C1
i1 (t)
ur(t) uc(t)
2.4.2 例
)]()([1)(
1
1 sUsURsI i
)()()( 21 sIsIsI c
sC
sIsU c
1
)()(?
)]()([1)(
2
2 sUsURsI o sC
sIsU
o
2
2 )()(?
例 2.8 绘出图示双 RC网络的结构图。
ui uou C2C1
ici1
R1 R2
i2
2.19
U(s) I2(s)
Uo(s)
(d)
2
1
R(-)
IC(s) U(s)
(c)
sC1
1IC(s)I1(s)
I2(s)
(-)
(b)
Ui(s) I1(s)
U(s)
(-)
(a)
1
1R
sC2
1
I2(s) Uo(s)
(e)
Ui(s) Uo(s)
I2(s)
U(s)
IC(s)
I1(s) (-)
(-)(-)
(f)
1
1
R sC1
1
sC2
1
2
1
R
返回动画演示
串联方框的简化 (等效 )：
)s(V)s(G)s(C 2?
)s(R)s(G)s(V 1?
)s(R)s(G)s(G)s(C 12?
)s(C)s(C)s(C)s(C 321
)s(R)]s(G)s(G)s(G[ 321
R(s) C(s)E(s)
G(s)
H(s)
)s(R)s(H)s(G1 )s(G)s(C
2.4.2 结构图的等效变换和简化
C(s)G
2(s)G1(s)
V(s)R(s)
(a)
(a) 变换前
R(s)
C1(s)
C3(s)
C2(s)
(-)
G1(s)
G2(s)
G3(s)
C(s)
C(s)G
2(s)G1(s)
R(s)
(b)
G1(s)+G2(s)-G3(s)
(b) 变换后
R(s) C(s)?反馈连接方框的简化（等效）：
并联方框的简化（等效）：
C(s)=G(s)E(s) E(s)=R(s)? H(s) C(s)
C(s)=G(s)[R(s)? H(s)C(s)]
例2.4.1
比较点和引出点的移动,
等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。
)()()(1)( sRsGsGsR?
632236 G)GG(G
4554 GGG
1
542 3 6
2 3 6 G
GG1
GG
例 2.9
G(s)R(s) C(s)
C(s)
G(s)
G(s) C(s)
C(s)R(s)
G(s)R(s) C(s)R(s)
)(
1
sG
G(s) C(s)R(s)
R(s)
G4(s)(-)
G2(s) G6(s)
(-)
C(s)R(s)
G3(s)
G5(s)
G1(s)
引出点移动,
1,引出点前移
C(s)=G(s)R(s)
2,引出点后移
1,相加点前移
)]()(1)()[( sBsGsRsG
G(s)
(-)
B(s)
C(s)R(s)
)(
1
sG
G(s)
B(s)
C(s)R(s)
(-)
C(s)R(s) G(s)
(-)
B(s)
C(s)G(s)
G(s)
R(s)
B(s) (-)
R(s)
V1(s)
V2(s)
E1(s) C(s)
(-)
V2(s)
V1(s)
(-)
C(s)R(s)
V1(s)
V2(s)
C(s)R(s)
(-)
或
相加点的移动
3,交换或合并相加点
2,相加点后移
C(s)=G(s)R(s)-B(s)
C(s)=G(s)[R(s)-B(s)]
= G(s)R(s)-G(s)B(s)
C(s)=E1(s)+V2(s)
= R(s)-V1(s)+V2(s)
= R(s)+V2(s)-V1(s)
例 2.10 结构图化简
(1) 结构图化简方案 Ⅰ
H1
H2
G1 G2 G3
G4
(-)
(-)
R Y
R
H2+G3H1
G1 G2 G3
H2
G4
(-) Y
(a)
G4
G3
H2
YR
13222
211 HGGHG GG
(b)
G4
YR
22113222
3211 HGGHGGHG GGG
(c)
返回
2.4.22.4.1
(3) 结构图化简方案 Ⅲ
(2) 结构图化简方案 Ⅱ
H1+H2/G3
H2/G3
G2G3G1
G4
(-)R Y
(a)
H2/G3
G4
R Y
13222
3211 HGGHG GGG
(b)
G1G2G
3
H1/G1
G4
R Y(-)
)1(1 132 GGH?
(a)
3
2
31
2
1
1 GHGGHGH
G4
G1G2G3
YR
(-)
(b)
原电路
1,等效为单位反馈系统
)()(1)()(1 )()()( sRsHsHsG sHsGsC
其它等价法则 R(s)
(-)
C(s)G(s)
H(s)
)(
1
sH
G(s) H(s)
(-)
C(s)R(s)
G(s)
H(s)
R(s) C(s)
-1
E(s)
C(s)R(s) G(s)
-H(s)
E(s)
2,负号可在支路上移动
E(s)=R(s)-H(s)C(s)
=R(s)+(-1)H(s)Cs)
=R(s)+[-H(s)]C(s)
例 2.11 双 RC网络的结构图简化。
Ui(s)
R1
(-)
(-)
(-)
Uo(s)
(b)
1
1R sC
1
1 21R sC21
sT111?
Ui(s) (-)
(-)
Uo(s)
R1
(c)
2
1R sC
2
1
R1C2s
sT21 1?
Ui(s) Uo(s)(-)
(e)
sT111?
返回 动画演示
2
1R
(d)
Ui(s)
R1 C2s
(-)
Uo(s)(-)
sT111? sC21
Ui(s)
(-) (-)
(-)I1(s)
IC(s)
U(s)
I2(s)
Uo(s)
(a)
1
1R
2
1R sC
2
1sC
1
1
信号流图中常用的名词术语：
源节点 （输入节点）：
o在源节点上，只有信号输出支路而没有信号输入的支路，
它一般代表系统的输入变量。
信号流图的 基本性质,
1) 节点 标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和，用,O”表示；
2) 信号 在支路上沿箭头单向传递；
3) 支路 相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号；
4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。
1+R1C1s
x2 x5x4
x6
-1
x3 x7 I(s)
R21/R1
x1
2.5 信号流图及梅逊公式
信号流图 是由节点和支路组成的一种信号传递网络。
阱节点 （输出节点）：
在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。
2.1 2.2 2.3 2.4
2.5.2例2.5.1 2.5.3
混合节点,在混合节点上,既有信号输出的支路而又有信号输入的支路 。
2.5.1 信号流图的绘制
1,由系统微分方程绘制信号流图
1） 将微分方程通过拉氏变换,得到 S的代数方程；
2）每个变量指定一个节点；
3） 将方程按照变量的因果关系排列；
4）连接各节点，并标明支路增益。
前向通路,信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称 前向通路总增益,一般用 Pk表示。
回路,起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称 回路增益,
一般用 La表示。
不接触回路,回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。
2.5.2例 2.5.3
上式拉氏变换
C1
ui
R1
R2 uo
i1
i
)t(u)t(uR)t(i io11
2o R)t(i)t(u?
dt)ii(C1R)t(i 111
)s(U)s(UR)s(I io11
2o R)s(I)s(U?
s
)0(u)]s()s([
sC
1R)s( c
1
1
11
)s(U)s(I)s(I)s(U)s(U)s(U o1oii
例 2.12
信号传递流程：
)0(uC)s()sCR1(
)s()0(uCsCR)s()s(
c1111
1c1111
Ui(s)Ui(s)-Uo(s) Uo(s)Uo(s)
uC(0)
-1
I1(s) I(s)
R21+R1C1s1/R1
-C1
1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。
2) 用线段表示结构图中的方框,用传递函数代表支路增益 。
注意信号流图的节点只表示变量的相加。
G(s) C(s)R(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
R(s) E(s)
D(s)
V(s) C(s)
(-)
(a) 结构图
(节点 )
C(s)R(s) G(s)
(节点 ) (支路 )
C(s)1R(s)
E(s)
G1(s) G2(s)
-H(s)
Y(s)
D(s)
V(s)
1
1
(b) 信号流图
2,由系统结构图绘制信号流图例 2.13 绘制结构图对应的信号流图 (1) 。
Ui(s) Uo(s)
I2(s)
U(s)
IC(s)
I1(s) (-)
(-)(-)
1
1
R sC1
1
sC2
1
2
1
R
Ui(s) Uo(s)
Uo(s)U(s) I2(s)IC(s)
-1 -1
-1
1/R1 1/C1s 1/C2s1/R2
动画演示
2.5.22.5.1 2.5.3
例 2.14 绘制结构图对应的信号流图 (2) 。
特征式,
— 所有单独回路增益之和；
— 在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路增益乘积和；
— 在所有互不接触的单独回路中,每次取其中三个回路增益的乘积之和 。
梅逊公式 为,
n
1k
KKP
1P
fedcba LLLLLL1
aL
cbLL
fed LLL
— 余因子式,即在信号流图中，把与第 K条前向通路相接触的回路去掉以后的 Δ值。K?
2.5.2 梅逊增益公式其中,n— 从输入节点到输出节点之前向通路总数。
Pk— 从输入节点到输出节点的第 k条前向通路总增益 。
动画示例例2.5.1 2.5.3
前向通路有两条：
，没有与之不接触的回路：
，与所有回路不接触：
解,三个回路：
R G
1 G2 G3
H2 -H2
-H1
C
G4
221 HGL
2212 HGGL?
1323 HGGL
22113222a HGGHGGHG1L1
3211 GGGP?
42 GP?
11
2
4
22113222
321
n
1k
kk GHGGHGGHG1
GGGP1)s(G?
例 2.15 已知系统信号流图，求传递函数。
回路相互均接触，则：
参见
f
求传递函数 X4/X1及 X2/X1。
b c gegdL a
d e gcb LL
1,1
,,.1
21
2141
d
abc fpae fpXX
d eg1
)1()(1
2211
1
4
b cgegd
a b cfda efpp
X
X
dapXX 1,,.2 1121
d eg1
)1(1
11
1
2
b cgegd
dap
X
X
例 2.16 已知系统信号流图，
d e g1 b c gegd则解,三个回路有两个互不接触回路
1,输入信号作用下的闭环传递函数 (N(s)=0)
)s(H)s(G)s(G1
)s(G)s(G
)s(R
)s(C)s(
21
21
)s(H)s(G)s(G1
)s(G
)s(N
)s(C)s(
21
2
n
)s(N)s()s(R)s()s(C n
)s(N)s(H)s(G)s(G1 )s(G)s(R)s(H)s(G)s(G1 )s(G)s(G
21
2
21
21
0)s(N,)s(H)s(G)s(G1 1)s(R )s(E)s(
21
e
0)s(R,)s(H)s(G)s(G1 )s(H)s(G)s(N )s(E)s(
21
2
en
)s(N)s()s(R)s()s(E ene
2.5.3 闭环系统的传递函数
R(s) E(s)
N(s)
C(s)
H(s)
G2(s)G1(s)
B(s)
(-)
2,扰动作用下的闭环传递函数 (R(s)=0)
3,输入信号和扰动信号同时作用时，系统的输出
4,闭环系统的误差传递函数 [ 定义误差 E(s)=R(s)-B(s) ]
2.5.2例2.5.1
本 章 作 业
P88
2-3(b)
2-5(a)
2-8
2-9(a)
2-11(a)(c)
2-12(a)(b)
2-13(a)
2-14(c)(d)
